Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Παρουσίαση με θέμα: "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα
Διγαλάκης Βασίλης

2 Στατικές (Στάσιμες) Διαδικασίες
Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου. Ποιές στατιστικές ιδιότητες; Υπάρχουν διαφορετικοί ορισμοί στατικότητας, ανάλογα με τις στατιστικές ιδιότητες που παραμένουν χρονικά αμετάβλητες: Αυστηρά στατικές διαδικασίες (Strict Sense Stationarity - SSS) Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες (Wide Sense Stationarity – WSS)

3 Αυστηρά Στατικές Διαδικασίες
Ορισμός: Μια στοχαστική διαδικασία είναι αυστηρά στατική εάν, για κάθε k, t1, t2, …, tk, και για κάθε χρονική καθυστέρηση τ ισχύει η εξής ιδιότητα για τη συνάρτηση κατανομής: Σε περίπτωση που η ανωτέρω ιδιότητα δεν ισχύει για όλα τα κ, αλλά για κν, λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία είναι στατική ν-οστής τάξης.

4 Περιπτώσεις SSS διαδικασιών
Δεν εξαρτάται από το t1 SSS 2ης τάξης: SSS νης τάξης: Αν μια διαδικασία είναι SSS ν-ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,…,ν-1

5 Ιδιότητες SSS διαδικασιών
Αν μια διαδικασία είναι SSS ν-ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,…,ν-1 Παράδειγμα: Έστω X(t) SSS 2ης τάξης. Τότε: Συνεπώς: Άρα είναι και 1ης τάξης

6 Ιδιότητες SSS διαδικασιών
Τι ιδιότητα έχει η μέση τιμή ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 1ης τάξης; Οπότε Δηλαδή η μέση τιμή είναι σταθερή:

7 Ιδιότητες SSS διαδικασιών
Τι ιδιότητα έχει η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 2ης τάξης; Δηλαδή:

8 Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες
Μια διαδικασία είναι στατική υπό την ευρεία έννοια (WSS) εάν για τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύουν: Συνεχούς χρόνου: Διακριτού χρόνου:

9 Παράδειγμα (1) X(n) I.I.D. διαδικασία: Από τον ορισμό: και
Οπότε θα είναι SSS.

10 Παράδειγμα (2) On-Off signalling: X(t)=cos(ωt) στο [0,Τ] με πιθανότητα p και X(t)=0, με πιθανότητα 1-p. Η μέση τιμή: Άρα δεν είναι στατικό 1ης τάξης.

11 Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (1)
Εστω X(t) WSS Τ.Σ. πληροφορίας. Δίδεται η Τ.Μ. Θ, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Το διαμορφωμένο ΑΜ Τ.Σ. ορίζεται ως: Y(t) = X(t) cos(ω0t + Θ). Ενώ η Θ και το σήμα X(t) είναι μεταξύ τους στατιστικά ανεξάρτητα. Είναι το Y(t) WSS; Μέση τιμή: Και Δηλαδή:

12 Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (2)
Αυτοσυσχέτιση: Και ………

13 Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (3)
Αυτοσυσχέτιση: Και

14 Παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους (4)
Αυτοσυσχέτιση: Δηλαδή: Συνεπώς θα είναι WSS Αν το φέρον ήταν cos(ω0t) τότε το Y(t)=X(t) cos(ω0t) δεν είναι WSS.

15 Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (1)
Ai και Bi, i=1, 2, …, n είναι ένα σύνολο από 2n τυχαίες μεταβλητές που είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες και ακολουθούν από κοινού κανονική κατανομή με Ε{Ai} = Ε{Bi} = 0 και Ε{Ai2} = Ε{Bi2} = σ2. Δίδεται το σήμα: Δείξτε οτι το X(t) είναι μια SSS κανονική διαδικασία. Μέση Τιμή:

16 Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (2)
Αυτοσυσχέτιση: ή

17 Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (3)
Αυτοσυσχέτιση: Όπου:

18 Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (4)
Αυτοσυσχέτιση: Συνεπώς X(t) είναι WSS

19 Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (5)
Για δύο χρονικές στιγμές t1, t2: Σε μορφή πίνακα: , F ακολουθούν κανονικές κατανομές Είναι το X(t) εκτός από WSS και SSS;

20 Παράδειγμα: Ασυσχέτιστες Τ.Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (6)
Για k χρονικές στιγμές: όπου: και Άρα θα είναι και SSS

21 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για WSS διαδικασίες
Ορισμός:

22 Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (1)
Για τ=0 αντιπροσωπεύει τη μέση ισχύ του Τ.Σ.: Είναι άρτια:

23 Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (2)
3. Είναι φραγμένη από την τιμή RX(0): |RX(τ)|≤ RX(0), όπου RX(0)=Ε{X2(t)}≥0. Απόδειξη: Άρα:

24 Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (3)
Εαν το Τ.Σ. X(t) έχει μια περιοδική συνιστώσα, τότε και η Rx(τ) θα περιέχει μια περιοδική συνιστώσα. Εάν lim RΧ(τ) = C, τότε C = μΧ2. Εαν RΧ(T0) = RΧ(0) για κάποιο T0≠0, τότε η RΧ(τ) θα είναι περιοδική με περίοδο Τ0. Αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την ανισότητα: