Μελέτη κίνησης με εξισώσεις Η γραφική παράσταση θέσης-χρόνου εξαρτάται από τον παρατηρητή Διότι αλλάζει η διεύθυνση του άξονα χ-θέσης και y θέσης καθώς και η αρχή μέτρησης του χρόνου Ορίζουμε πάντα ένα σύστημα αναφοράς

Ευθύγραμμη κίνηση σε μια διάσταση χ Mέση ταχύτητα Δx Β Α φ θέση α t χρόνος Δt παράγωγος Κλίση της εφαπτομένης Στιγμιαία ταχύτητα Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της θέσης με το χρόνο

Κίνηση σώματος σε ευθεία γραμμή (μονοδιάστατη κίνηση) ΟΜΑΛΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ κίνηση Ταχύτητα =ρυθμός μεταβολής της θέσης Η στιγμιαία ταχύτητα είναι σταθερή καθ’ όλη τη διάρκεια της κίνησης Θα πρέπει οι κλίσεις των εφαπτομένων ευθειών σε όλα τα σημεία του διανύσματος της ταχύτητας (σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων x-t) να έιναι ΄ίσες χ υ Χ 0 χρόνος t

2ος τρόπος υπολογισμού της στιγμιαίας ταχύτητας Για t=0 x=x 0 Όπου η σταθερά c βρίσκεται από τις αρχικές συνθήκες χ Χ 0 Ταχύτητα= ρυθμός μεταβολής της θέσης χρόνος t

Σώμα κινείται κατά τον άξονα χ σύμφωνα με την εξίσωση: Υπολογίστε τη μέση ταχυτητα κατά τη διάρκεια των 3 πρώτων δευτερολέπτων Τη στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=3s και την στιγμιαία επιτάχυνση για t=3s Μέση ταχύτητα:

Παράδειγμα Μια σφαίρα εκτοξεύεται προς τα πάνω από μια εξέδρα που βρίσκεται 30.48 μέτρα από το έδαφος με αρχική ταχύτητα 48.75 m/s και επιβράδυνση λόγω βαρύτητας ιση με 9.75 m/s2 Θεωρείστε ότι η σφαίρα εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή ίση με μηδέν για να βρείτε τη θέση της σφαίρας κάθε χρονική στιγμή U(t) S a(t) Για t=0 u=c=u0=48.75m/s

Εύθυραμμη μονοδιάσταση ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ΑΝ και μόνο ΑΝ η επιτάχυνση είναι σταθερή α υ 0 χρόνος t Μέση επιτάχυνση = Άλλος τρόπος Στιγμιαία επιτάχυνση = Ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας

Eυθύγραμμη μονοδιάστατη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Με τις εξισώσεις κίνησης προβλέπουμε τη θέση και την ταχύτητα ΄για κάθε χρονική στιγμή της κίνησης

Παράδειγμα 2ο Μια βαρειά πέτρα εκσφεντονίζεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 48 m/s 2 και φτάνει σε ύψος s(t)=48t-4.8t2 μέσα σε χρόνο t sec Πόσο ψηλά φτάνει η πέτρα ? Μέγιστο ύψος αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα Συνεπώς η πέτρα φτάνει στο μέγιστο ύψος τη χρονική στιγμή:

Χρήση ολοκληρωμάτων στην κινηματική Η ταχύτητα ενός κινητού δίδεται από τον τύπο: κ είναι μια σταθερά Βρείτε τη θέση του σώματος κάθε χρονική στιγμή Θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα βρίσκεται στη θέση So Η σταθερή c της ολοκλήρωσης υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες Για t=0 S=c=So

Κίνηση στο χώρο z u(t) r(t) r(t)+Δt y χ H ταχύτητα είναι σε κάθε χρονική στιγμή εφαπτόμενη της τροχιάς

Κατ’ αντιστοιχία, η επιτάχυνση στο χώρο είναι: Αν για παράδειγμα ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στη διεύθυνση του άξονα χ, και ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη στον άξονα y και κινείται σε επίπεδο , θα είναι:

Παράδειγμα Η θέση ενός κινητού σε σύστημα αξόνων ΟΧYZ έχει συντεταγμένες : Ποιά είναι η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος σε t=2s

Οι εξισώσεις κίνησης ενός σώματος είναι: Αποδείξτε ότι εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Για να διαπιστώσω αν είναι ευθύγραμμη η κίνηση βρίσκω την τροχιά απαλείφοντας το χρόνο Ευθύγραμμη κίνηση Σταθερή επιτάχυνση με μέτρο :

Παράδειγμα Σωματίδιο κινείται στο χώρο. Η διανυσματική συνάρτηση της θέσης του είναι: Βρείτε τη ταχύτητα , την επιτάχυνση και την τροχιά του σωματιδίου Τροχιά: z Η τροχιά είναι παραβολή στο επίπεδο ΥΟΖ και διέρχεται από το χ=1 υ X=1 χ

Παράδειγμα Ένα αντικείμενο κινείται στο επίπεδο χy ακολουθώντας την καμπύλη Η συνιστώσα της ταχύτητας είναι σταθερή: Βρείτε τις διανυσματικές συυναρτήσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και τα μέτρα τους στη θέση χ=3

Ένα αεροπλάνο για να απογειωθεί πρέπει να αναπτύξει ταχύτητα u=360Km/h Ένα αεροπλάνο για να απογειωθεί πρέπει να αναπτύξει ταχύτητα u=360Km/h. Υποθέστε ότι η επιτάχυνσή του είναι σταθερή και ότι ο διάδρομος απογείωσης έχει μήκος 1.8Km. Ποιά είναι η ελάχιστη επιτάχυνση που πρέπει να αναπτύξει προκειμένου να απογειωθεί ? Αν γνωρίζω τη χρονική στιγμή της απογείωσης τότε μπορώ να βρω την επιτάχυνση Επιτάχυνση σταθερή Επειδή δεν γνωρίζω τη χρονική στιγμή απογείωσης απαλείφω τον χρόνο: Για χ=L , όπου L είναι το μήκος του διαδρόμου απογείωσης η παραπάνω σχέση δίδει

Κίνηση σε δύο διαστάσεις Για κάθε σώμα που εκτελεί κίνηση στο χώρο ή στο επίπεδο η κινήσή του σε κάθε κατεύθυνση είναι ανεξάρτητη από την κινησή του στις άλλες κατευθύνσεις και καθορίζεται μόνο από τις δυνάμεις που ασκούνται επάνω του σε κάθε κατεύθυνση Παράδειγμα δισδιάτατης κίνησης όπου το σώμα εκτελει διαφορετικό είδος κίνησης σε κάθε κατεύθυνση είναι η ΒΟΛΗ

Βολές y Διεύθυνση Χ: Στο σώμα δεν ασκείται καμία δύναμη άρα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα: u0x u0 u0y ay φ u0x x B=mg Στο σώμα ασκείται η δύναμη της βαρύτητας(σταθερή και ίση με Β=mg) άρα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση ay=-g Διεύθυνση Υ:

Βολές-συνέχεια Διεύθυνση Χ: y u0 u0y Διεύθυνση Υ: ay φ u0x x B=mg Ποιό είναι το μέγιστο ύψος (h) του σώματος ? Αντιστοιχεί στην συνθήκη uy=0, που συμβαίνει τη χρονική στιγμή tmax

Βολές-συνέχεια y Διεύθυνση Υ: u0 u0y ay φ u0x x B=mg Ποιό είναι το μέγιστο ύψος (h) του σώματος ?

Βολές-συνέχεια Διεύθυνση Χ: y u0 u0y Διεύθυνση Υ: ay φ u0x x B=mg Ποιά είναι η μέγιστη οριζόντια απόσταση που διανύει το σώμα (ΒΕΛΗΝΕΚΕΣ) Αντιστοιχεί στην συνθήκη y=0

Σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα u=675m/s και χτυπά στο έδαφοςσε απόσταση d=511m . Ποιό είναι το ύψος h ? Οριζόντια το σώμα εκτελεί εύθυγραμμη ομαλή κίνηση h ο Για x=d d Kάθετα, στο σώμα ασκείται το βάρος του άρα εκτελεί εύθυγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Για t=td y=0

τρομοκράτης ευρισκόμενος πάνω στον λόφο, ρίχνει βόμβα ελεύθερα όταν το τραίνο απέχει απόσταση Βρείτε αν πέτυχε τον στόχο του ! Όπου v είναι η σταθερή ταχύτητα του τραίνου h Τροχιά τραίνου: Tροχιά βόμβας: u l Για να πετύχει το στόχο του πρέπει : ΑΠΕΤΥΧΕ

τρομοκράτης ευρισκόμενος πάνω στον λόφο, ρίχνει βόμβα οριζόντια όταν το τραίνο απέχει απόσταση : Βρείτε αν πέτυχε τον στόχο του ! Όπου v είναι η σταθερή ταχύτητα του τραίνου h Τροχιά τραίνου: w Tροχιά βόμβας: u l Για να πετύχει το στόχο του πρέπει : ΑΠΕΤΥΧΕ

Kυκλική κίνηση Tο υλικό σημείο εκτελεί κυκλική τροχιά με σταθερό μέτρο ταχύτητας Β Α R Δθ χ Υ Οι ορθογώνιες συντεταγμένες μεταβάλλονται με το χρόνο διότι η γωνία θ μεταβάλλεται με το χρόνο Ορίζουμε τη γωνιακή ταχύτητα με μέτρο ω: Εκφράζει τη στιγμιαία ταχύτητα μεταβολής της γωνίας θ Διεύθυνση-φορά:

Kυκλική κίνηση Β Α R Δθ χ Υ S Σχέση μεταξύ τόξου S και γωνίας θ Τόξο κύκλου προς ακτίνα κύκλου Μονάδες:rad 1 rad αντιστοιχεί σε τόξο μήκους ίσου με την ακτίνα του κύκλου Μία περιστροφή αντιστοιχεί σε 360ο Oι 360ο αντιστοιχούν σε: Παράδειγμα: οι 60ο αντιστοιχούν σε : Άρα οι μονάδες της γωνιακής ταχύτητας είναι:

Kυκλική κίνηση Β Α R Δθ χ Υ S Περίοδος Τ : το χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε το κινητό να συμπληρώσει μια πλήρη περιστροφή Συχνότητα (f) : o αριθμός των στροφών που κάνει το κινητό στη μονάδα του χρόνου Εφαρμογή: Ένας δίσκος περιστρέφεται με 33 στροφές το λεπτό και χρειάζεται 20 s για να σταματήσει. Αν ω είναι σταθερό ποιά είναι η γωνιακή του επιτάχυνση;

Kυκλική κίνηση Β Α R Δθ χ Υ S Γωνιακή Επιτάχυνση: Aν ω=σταθερό (ομαλή κυκλική κίνηση): Ένας δίσκος περιστρέφεται με 33 στροφές το λεπτό και χρειάζεται 20 s για να σταματήσει. Αν ω είναι σταθερό ποιά είναι η γωνιακή του επιτάχυνση; Εφαρμογή: για ω=0 t=20s ω=σταθερό

Ομαλή κυκλική κίνηση Β Α R Δθ χ Υ ΔS Επιτρόχιος ταχύτητα: Η επιτρόχιος ταχύτητα είναι εφαπτομενική της τροχιάς και το μέτρο της είναι σταθερό: Επιτρόχιος επιτάχυνση:

Ομαλή κυκλική κίνηση Β Α R Δθ χ Υ Κεντρομόλος επιτάχυνση:

Σύνοψη Ευθύγραμμη κίνηση Κυκλική κίνηση Μετατόπιση: x Γωνιακή μετατόπιση: ω Ταχύτητα: υ=dx/dt Γωνιακή ταχύτητα : ω=dθ/dt Επιτρόχιος ταχύτητα: u=dS/dt u=ωR Επιτάχυνση : α=du/dt Eπιτρόχιος επιτάχυνση :a=du/dt Γωνιακή επιτάχυνση: α=dω/dt a=αR Kεντρομόλος επιτάχυνση: ακ=ω2R Eυθύγραμμη ομαλή κίνηση:u=σταθερό x=x0+ut Ομαλή κυκλική κίνηση: ω=σταθερό θ=θ0+ωt Eυθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση u=u0+at X=xo+uot+1/2at2 u=u0+αt θ=θo+uot+1/2αt2