Γιάννης Σταματίου Ακολουθίες και Σειρές Webcast 3

Ακολουθίες Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού

Ακολουθίες a Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού

Ακολουθίες a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού

Ακολουθίες a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2

Ακολουθίες a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 . . Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 . .

a0, a1, a2, …,: πραγματικοί αριθμοί Ακολουθίες Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 . . a0, a1, a2, …,: πραγματικοί αριθμοί

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., όπου (μυστήρια ακολουθία, ε;) a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, a3= 2, a4= 3, a5= 5, …, (;)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., όπου (μυστήρια ακολουθία, ε;) a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, a3= 2, a4= 3, a5= 5, …, (η περίφημη ακολουθία του Fibonacci!)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., όπου (μυστήρια ακολουθία, ε;) a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, a3= 2, a4= 3, a5= 5, …, (η περίφημη ακολουθία του Fibonacci – θα τη συναντήσουμε ξανά!) a0 : όρος τάξης 0, a1: όρος τάξης 1, κλπ.

Ο «νιοστός» όρος Πολλές ακολουθίες μπορούν να περιγραφτούν πολύ συνοπτικά από ένα γενικό τύπο Π.χ. η a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) περιγράφονται από τον γενικό τύπο an= n Π.χ. η 1, 2, 4, 8, ..., (δυνάμεις του 2) περιγράφεται από το γενικό τύπο an = 2n Π.χ. η 1, 3, 5, 7, ..., (περιττοί αριθμοί) περιγράφεται από το γενικό τύπο an= 2n+1, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) Ο γενικός αυτός τύπος καλείται όρος τάξης n ή «νιοστός» όρος

Η σημασία των ακολουθιών στα Διακριτά Μαθηματικά

Η σημασία των ακολουθιών στα Διακριτά Μαθηματικά Οι όροι μιας ακολουθίας εκφράζουν (μετρούν) τον αριθμό των μελών κάποιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων

Η σημασία των ακολουθιών στα Διακριτά Μαθηματικά Οι όροι μιας ακολουθίας εκφράζουν (μετρούν) τον αριθμό των μελών κάποιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων Π.χ. o όρος τάξης n (n = 1, 2, 3, …) της ακολουθίας a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, αντιστοιχεί στον αριθμό των δυαδικών αριθμών n bits (με τη σύμβαση ότι υπάρχει ένας «αριθμός» των 0 bits)!

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών Το πρόβλημα μέτρησης μιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων συνίσταται στην εύρεση της ακολουθίας των οποίων οι όροι εκφράζουν τον αριθμό των αντικειμένων ως συνάρτηση του μεγέθους τους (n) – «νιοστός» όρος: an

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών Το πρόβλημα μέτρησης μιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων συνίσταται στην εύρεση της ακολουθίας των οποίων οι όροι εκφράζουν τον αριθμό των αντικειμένων ως συνάρτηση του μεγέθους τους (n) – «νιοστός» όρος: an Με άλλα λόγια, δοθέντος ενός φυσικού αριθμού n, ειμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τον όρο an ο οποίος δηλώνει το πόσα αντικείμενα μεγέθους n υπάρχουν

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών Το πρόβλημα μέτρησης μιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων συνίσταται στην εύρεση της ακολουθίας των οποίων οι όροι εκφράζουν τον αριθμό των αντικειμένων ως συνάρτηση του μεγέθους τους (n) – «νιοστός» όρος: an Με άλλα λόγια, δοθέντος ενός φυσικού αριθμού n, ειμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τον όρο an ο οποίος δηλώνει το πόσα αντικείμενα μεγέθους n υπάρχουν Το τί είναι «μέγεθος» εξαρτάται από τη φύση των αντικειμένων αυτών

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστοιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an)

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ...

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ... Μεταθέσεις Αριθμός στοιχείων n! 1, 2, 6, 24, 120, ...

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ... Μεταθέσεις Αριθμός στοιχείων n! 1, 2, 6, 24, 120, ... Δυαδικά δέντρα Αριθμός κόμβων C(2n,n)/(n+1) 1, 1, 2, 5, 14, ...

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ... Μεταθέσεις Αριθμός στοιχείων n! 1, 2, 6, 24, 120, ... Δυαδικά δέντρα Αριθμός κόμβων C(2n,n)/(n+1) 1, 1, 2, 5, 14, ... Θα δούμε σε επόμενη ενότητα το πώς μπορούμε να υπολογίζουμε τους όρους των ακολουθιών που αντιστιχούν σε διάφορα προβλήματα μέτρησης!

Μια πολύ σημαντική κατηγορία ακολουθιών: γεωμετρικές πρόοδοι Γεωμετρική πρόοδος καλείται κάθε ακολουθία a0, a1, a2, …, για την οποία ισχύει a1 = la0, a2 = la1 , a3= la2, … για κάποιο πραγματικό αριθμό l που καλείται λόγος της γεωμετρικής προόδου

Μια πολύ σημαντική κατηγορία ακολουθιών: γεωμετρικές πρόοδοι Γεωμετρική πρόοδος καλείται κάθε ακολουθία a0, a1, a2, …, για την οποία ισχύει a1 = la0, a2 = la1 , a3= la2, … για κάποιο πραγματικό αριθμό l που καλείται λόγος της γεωμετρικής προόδου Με άλλα λόγια «επόμενος όρος = l  προηγούμενος όρος ή an = lan-1

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2, a3 = la2 = ll2 = l3,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2, a3 = la2 = ll2 = l3, ...

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2, a3 = la2 = ll2 = l3, ... an = lan-1 = lln-1 = ln.

Σειρές Έστω μία ακολουθία a0, a1, a2, … Σειρά της ακολουθίας αυτής καλείται το άθροισμα Η σειρά είναι και αυτή μία ακολουθία και ο «νιοστός» όρος της (όρος τάξης n) ισούται με το άθροισμα των n πρώτων όρων της ακολουθίας

Η σειρά μιας γεωμετρικής προόδου Έστω μία γεωμετρική πρόοδος a0, a1, a2, … με λόγο l. Η σειρά της γεωμετρικής προόδου, δηλαδή το άθροισμα των n πρώτων όρων της προόδου, είναι η εξής:

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Παραδείγματα Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων)

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Παραδείγματα Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.)

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Παραδείγματα Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.)

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n  

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n   Sn  

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n   Sn   Sn  

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n   Sn   Sn   Sn  2