Γιάννης Σταματίου Ακολουθίες και Σειρές

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα
Advertisements

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα
Tάσος Μπούντης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών
ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ (2ηδιάλεξη)
Αντισταθμιστική ανάλυση Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του Α η Δ πραγματοποιεί μία ακολουθία από πράξεις. Θεωρήστε έναν αλγόριθμο Α που χρησιμοποιεί μια δομή.
Γιάννης Σταματίου Μη αποδοτική αναδρομή και η δυναμική προσέγγιση Webcast 8.
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Εισαγωγικές Έννοιες Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο.
του TANCIC NENAD (Α.Ε.Μ.: 3800)
Διακριτά Μαθηματικά ΙI Αναδρομή
Στατιστική Ι Παράδοση 5 Οι Δείκτες Διασποράς Διασπορά ή σκεδασμός.
Αναγνώριση Προτύπων.
Ενότητα Η Δομή Επανάληψης
Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα
Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου:
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική
Κοντινότεροι Κοινοί Πρόγονοι α βγ θ δεζ η π ν ι κλμ ρσ τ κκπ(λ,ι)=α, κκπ(τ,σ)=ν, κκπ(λ,π)=η κκπ(π,σ)=γ, κκπ(ξ,ο)=κ ξο κκπ(ι,ξ)=β, κκπ(τ,θ)=θ, κκπ(ο,μ)=α.
Μάθημα 14ο «Ισοδύναμα κλάσματα» Δάσκαλος: Γιάννης Στυλιανού
1 Θεματική Ενότητα Γραφήματα & Επίπεδα Γραφήματα.
Γιάννης Σταματίου Τεχνικές αντιστροφής γεννητριών συναρτήσεων Webcast 7.
Προβλήματα πολλαπλασιαστικών δομών
Γιάννης Σταματίου Μερικά προβλήματα μέτρησης
Ο Μετασχηματισμός Laplace και ο Μετασχηματισμός Ζ
Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση)
Γιάννης Σταματίου Γεννήτριες συναρτήσεις
Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακού 6η Ε Β Δ Ο Μ Α Δ Α Ακαδημαϊκό Έτος Τετάρτη 26, Νοεμβρίου 2008 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ.
Δομές Αναζήτησης TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A A A Χειριζόμαστε ένα σύνολο στοιχείων όπου το κάθε.
Ενότητα Α.4. Δομημένος Προγραμματισμός
Γιάννης Σταματίου Αναδρομή και αναδρομικές σχέσεις
ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΚΛΙΜΑΚΑ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ΙΙ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση) Σημειώσεις του μαθήματος Διάλεξη 7η.
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών – Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών 1 Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού Προπτυχιακό.
Κ. Μόδη: Γεωστατιστική και Εφαρμογές της (Κεφάλαιο 4) 1 Από κοινού κατανομή πολλών ΤΜ Ορίζεται ως από κοινού συνάρτηση κατανομής F(x 1, …, x n ) n τυχαίων.
Δομές Αναζήτησης TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AA A A A Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες:
ΣΥΝΟΛΑ.
Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση)
Λεξικό, Union – Find Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο.
Διδακτική Μαθηματικών Ι
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός
Δομές Δεδομένων 1 Θέματα Απόδοσης. Δομές Δεδομένων 2 Οργανώνοντας τα Δεδομένα  Η επιλογή της δομής δεδομένων και του αλγορίθμου επηρεάζουν το χρόνο εκτέλεσης.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τι είναι αλγόριθμος
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
Διακριτά Μαθηματικά Ι Γιώργος Γεωργιάδης (σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη Κυρούση) Σημειώσεις του μαθήματος Διάλεξη 8η.
Μετασχηματισμός Fourier
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παραδείγματα BP.
Ενότητα 2 η Σήματα και Συστήματα. Σήματα Γενικά η πληροφορία αποτυπώνεται και μεταφέρεται με την βοήθεια των σημάτων. Ως σήμα ορίζουμε την οποιαδήποτε.
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για αναλογίες. Ποιοτικές μεταβλητές χαρακτηρίζονται εκείνες οι οποίες τα στοιχεία τους δεν έχουν μετρηθεί με κάποιον τρόπο – οι.
ΑΡΧΑΪΚΟ ΕΠΟΣ: ΟΜΗΡΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΜΗΡΙΚΗΣ ΔΙΑΛΕΚΤΟΥ Α. Τσοπανάκης, Εισαγωγή στον Όμηρο, Θεσ/νίκη 2004, σ
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ II Καθ. Πέτρος Π. Γρουμπός Διάλεξη 3η Μετασχηματισμός Fourier.
Έβδομο μάθημα Ψηφιακά Ηλεκτρονικά.
Επικρατούσα τιμή. Σε περιπτώσεις, που διαφορετικές τιμές μιας μεταβλητής επαναλαμβάνονται περισσότερο από μια φορά, η επικρατούσα τιμή είναι η συχνότερη.
Αρχιτεκτονικη & Γεωμετρια του Παρθενωνα
Δυναμικός Κατακερματισμός
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ II
Αρχεσ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Η/Υ ΤΑξη Β΄
Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας
Το πρόβλημα της μέτρησης Μέτρηση είναι η ένταξη αριθμών σε αντικείμενα σύμφωνα με oρισμένους κανόνες και υπό την βασική προϋπόθεση ότι υπάρχει ακριβής.
Εισαγωγή στην Στατιστική
Ψηφιακός Έλεγχος διάλεξη Παρατηρητές Ψηφιακός Έλεγχος.
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI Μαθήτρια: Δήμητρα Δεληβοριά Υπεύθυνη Καθηγήτρια:
2ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθήνας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βασίλης Γκιμίσης ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Η ΕΙΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΥΛΙΚΟΥ
ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ Απλοί Ταξινομητές
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ II
Δυναμικός Κατακερματισμός
Μεταγράφημα παρουσίασης:

Γιάννης Σταματίου Ακολουθίες και Σειρές Webcast 3

Ακολουθίες Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού

Ακολουθίες a Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a Τιμές ή όροι Πεδίο ορισμού

Ακολουθίες a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού

Ακολουθίες a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2

Ακολουθίες a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 . . Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 . .

a0, a1, a2, …,: πραγματικοί αριθμοί Ακολουθίες Μια ακολουθία είναι μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών: a 1 a Τιμές ή όροι 1 Πεδίο ορισμού 2 a 2 . . a0, a1, a2, …,: πραγματικοί αριθμοί

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., όπου (μυστήρια ακολουθία, ε;) a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, a3= 2, a4= 3, a5= 5, …, (;)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., όπου (μυστήρια ακολουθία, ε;) a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, a3= 2, a4= 3, a5= 5, …, (η περίφημη ακολουθία του Fibonacci!)

Παραδείγματα ακολουθιών 0, 1, 2, 3, ..., όπου a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) 1, 2, 4, 8, ..., όπου a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, (δυνάμεις του 2) 1, 3, 5, 7, ..., όπου a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5, a3= 7, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., όπου (μυστήρια ακολουθία, ε;) a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, a3= 2, a4= 3, a5= 5, …, (η περίφημη ακολουθία του Fibonacci – θα τη συναντήσουμε ξανά!) a0 : όρος τάξης 0, a1: όρος τάξης 1, κλπ.

Ο «νιοστός» όρος Πολλές ακολουθίες μπορούν να περιγραφτούν πολύ συνοπτικά από ένα γενικό τύπο Π.χ. η a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3= 3, …, (φυσικοί αριθμοί) περιγράφονται από τον γενικό τύπο an= n Π.χ. η 1, 2, 4, 8, ..., (δυνάμεις του 2) περιγράφεται από το γενικό τύπο an = 2n Π.χ. η 1, 3, 5, 7, ..., (περιττοί αριθμοί) περιγράφεται από το γενικό τύπο an= 2n+1, …, (περιττοί φυσικοί αριθμοί) Ο γενικός αυτός τύπος καλείται όρος τάξης n ή «νιοστός» όρος

Η σημασία των ακολουθιών στα Διακριτά Μαθηματικά

Η σημασία των ακολουθιών στα Διακριτά Μαθηματικά Οι όροι μιας ακολουθίας εκφράζουν (μετρούν) τον αριθμό των μελών κάποιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων

Η σημασία των ακολουθιών στα Διακριτά Μαθηματικά Οι όροι μιας ακολουθίας εκφράζουν (μετρούν) τον αριθμό των μελών κάποιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων Π.χ. o όρος τάξης n (n = 1, 2, 3, …) της ακολουθίας a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …, αντιστοιχεί στον αριθμό των δυαδικών αριθμών n bits (με τη σύμβαση ότι υπάρχει ένας «αριθμός» των 0 bits)!

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών Το πρόβλημα μέτρησης μιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων συνίσταται στην εύρεση της ακολουθίας των οποίων οι όροι εκφράζουν τον αριθμό των αντικειμένων ως συνάρτηση του μεγέθους τους (n) – «νιοστός» όρος: an

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών Το πρόβλημα μέτρησης μιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων συνίσταται στην εύρεση της ακολουθίας των οποίων οι όροι εκφράζουν τον αριθμό των αντικειμένων ως συνάρτηση του μεγέθους τους (n) – «νιοστός» όρος: an Με άλλα λόγια, δοθέντος ενός φυσικού αριθμού n, ειμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τον όρο an ο οποίος δηλώνει το πόσα αντικείμενα μεγέθους n υπάρχουν

Βασικό πρόβλημα: Μέτρηση διακριτών δομών Το πρόβλημα μέτρησης μιας κατηγορίας διακριτών αντικειμένων συνίσταται στην εύρεση της ακολουθίας των οποίων οι όροι εκφράζουν τον αριθμό των αντικειμένων ως συνάρτηση του μεγέθους τους (n) – «νιοστός» όρος: an Με άλλα λόγια, δοθέντος ενός φυσικού αριθμού n, ειμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τον όρο an ο οποίος δηλώνει το πόσα αντικείμενα μεγέθους n υπάρχουν Το τί είναι «μέγεθος» εξαρτάται από τη φύση των αντικειμένων αυτών

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστοιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an)

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ...

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ... Μεταθέσεις Αριθμός στοιχείων n! 1, 2, 6, 24, 120, ...

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ... Μεταθέσεις Αριθμός στοιχείων n! 1, 2, 6, 24, 120, ... Δυαδικά δέντρα Αριθμός κόμβων C(2n,n)/(n+1) 1, 1, 2, 5, 14, ...

Παραδείγματα ακολουθιών που αντιστιχούν σε μέτρηση διακριτών αντικειμένων Κατηγορία Αντικειμένων «Μέγεθος» n Αριθμός αντικειμένων Μερικοί όροι (an) Δυαδικοί αριθμοί Αριθμός bits 2n 1, 2, 4, 8, 16, ... Μεταθέσεις Αριθμός στοιχείων n! 1, 2, 6, 24, 120, ... Δυαδικά δέντρα Αριθμός κόμβων C(2n,n)/(n+1) 1, 1, 2, 5, 14, ... Θα δούμε σε επόμενη ενότητα το πώς μπορούμε να υπολογίζουμε τους όρους των ακολουθιών που αντιστιχούν σε διάφορα προβλήματα μέτρησης!

Μια πολύ σημαντική κατηγορία ακολουθιών: γεωμετρικές πρόοδοι Γεωμετρική πρόοδος καλείται κάθε ακολουθία a0, a1, a2, …, για την οποία ισχύει a1 = la0, a2 = la1 , a3= la2, … για κάποιο πραγματικό αριθμό l που καλείται λόγος της γεωμετρικής προόδου

Μια πολύ σημαντική κατηγορία ακολουθιών: γεωμετρικές πρόοδοι Γεωμετρική πρόοδος καλείται κάθε ακολουθία a0, a1, a2, …, για την οποία ισχύει a1 = la0, a2 = la1 , a3= la2, … για κάποιο πραγματικό αριθμό l που καλείται λόγος της γεωμετρικής προόδου Με άλλα λόγια «επόμενος όρος = l  προηγούμενος όρος ή an = lan-1

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2, a3 = la2 = ll2 = l3,

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2, a3 = la2 = ll2 = l3, ...

«Νιοστός» όρος γεωμετρικής προόδου Όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου καθορίζονται ως εξής: Έστω a0 = 1 (δεν υπάρχει βλάβη της γενικότητας). Τότε: a0 = 1, a1 = la0 = l1 = l, a2 = la1 = ll = l2, a3 = la2 = ll2 = l3, ... an = lan-1 = lln-1 = ln.

Σειρές Έστω μία ακολουθία a0, a1, a2, … Σειρά της ακολουθίας αυτής καλείται το άθροισμα Η σειρά είναι και αυτή μία ακολουθία και ο «νιοστός» όρος της (όρος τάξης n) ισούται με το άθροισμα των n πρώτων όρων της ακολουθίας

Η σειρά μιας γεωμετρικής προόδου Έστω μία γεωμετρική πρόοδος a0, a1, a2, … με λόγο l. Η σειρά της γεωμετρικής προόδου, δηλαδή το άθροισμα των n πρώτων όρων της προόδου, είναι η εξής:

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Παραδείγματα Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων)

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Παραδείγματα Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.)

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Παραδείγματα Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.)

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n  

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n   Sn  

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n   Sn   Sn  

Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) Η έννοια της σύγκλισης Ακολουθία (γενικός όρος) Σειρά (άθροισμα n πρώτων όρων) (Γ.Π.) n   Sn   Sn   Sn  2