Επίλυση κυκλωμάτων αντιστατών με την εφαρμογή των κανόνων του Κίρκωφ ΣΤΟΧΟΣ : Ο μαθητής να μπορεί να, εφαρμόζει τους κανόνες του Κίρκωφ στην επίλυση απλών ηλεκτρικών κυκλωμάτων με δύο ή και περισσότερες πηγές.

Παράδειγμα 1 Να επιλύσετε το κύκλωμα που παρουσιάζεται στο σχήμα 1, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Ε1=10V, E2=7V, E3=4V, R1=10Ω, R2=10Ω

Λύση 1 Με τον όρο επίλυση του κυκλώματος εννοείται η εύρεση των ρευμάτων στους διάφορους κλάδους του, νοουμένου ότι δίνονται οι τιμές των διαφόρων η.ε.δ. και των αντιστάσεων. Συμβολίζομε το κύκλωμα. Πάνω στο κύκλωμα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2, έχουμε τοποθετήσει αυθαίρετα τη φορά των ρευμάτων, τη φορά των η.ε.δ. των πηγών, τη φορά των πτώσεων τάσεως στους αντιστάτες, καθώς και τις δεξιόστροφες φορές των βρόγχων “β1” και “β2”. Σχήμα 2

Καταρχήν, υπάρχουν τρεις άγνωστοι, που είναι τα ρεύματα Ι1, Ι2, και Ι3 και συνεπώς για να τους υπολογίσουμε θα χρειασθούμε 3 εξισώσεις. Τις εξισώσεις αυτές θα τις σχηματίσουμε με την εφαρμογή των κανόνων του Κίρχωφ. Πρώτη εξίσωση Η εξίσωση αυτή σχηματίζεται με την εφαρμογή του πρώτου κανόνα του Κίρχωφ στον κόμβο Α, δηλαδή: Ι1+ Ι3- Ι2=0 -------------------------(1)

Δεύτερη εξίσωση Η εξίσωση αυτή σχηματίζεται με την εφαρμογή του δεύτερου κανόνα του Κίρχωφ για το βρόχο β1, δηλαδή: Ε1- Ε3-U1=0 Ε1- Ε3=U1 Ε1- Ε3= Ι1R1 10-4=10Ι1 6=10Ι1

Τρίτη εξίσωση Η εξίσωση αυτή σχηματίζεται με την εφαρμογή του δευτέρου κανόνα του Κίρχωφ στο βρόχο β2, δηλαδή: Ε3+ Ε2-U2=0 Ε3+ Ε2=U2 Ε3+ Ε2= Ι2R2 4+7=10Ι2 11= 10Ι2 Στην εξίσωση (1) Ι1+ Ι3- Ι2=0 αντικαθιστούμε την τιμή του Ι1 και του Ι2 και έχουμε 0,6+ Ι3-1,1=0 Ι3=1,1-0,6=0,5Α

Παρατηρούμε ότι το Ι1 το Ι2 και το Ι3 βρέθηκαν θετικά, πράγμα που σημαίνει ότι η φορά τους, όπως την τοποθετήσαμε αρχικά στο σχήμα ήταν ορθή. Βλέπουμε λοιπόν ότι η αυθαίρετη τοποθέτηση οποιασδήποτε φοράς ρεύματος αρχικά στο κύκλωμα δεν έχει σημασία. Μετά την επίλυση θα βρούμε την ορθή φορά αρκεί να εφαρμόσουμε ορθά τους κανονισμούς.

Παράδειγμα 2 Να επιλύσετε το κύκλωμα που παρουσιάζεται στο σχήμα 1, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Εα=20V, Eβ=8V, R1=4Ω, R2=10Ω, R3=15Ω, R4=0,4Ω, και το R5=0,3Ω Σχήμα 1

Λύση 2 Με τον όρο επίλυση κυκλώματος εννοείται η εύρεση των ρευμάτων στους διάφορους κλάδους του, νοουμένου ότι δίνονται οι τιμές των διαφόρων η.ε.δ. και των αντιστάσεων. Συμβολίζομε το κύκλωμα. Πάνω στο κύκλωμα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2, έχουμε τοποθετήσει αυθαίρετα τη φορά των ρευμάτων, τη φορά των η.ε.δ. των πηγών, τη φορά των πτώσεων τάσεως στους αντιστάτες, καθώς και τις δεξιόστροφες φορές των βρόγχων “β1” και “β2”. Σχήμα 2

Καταρχήν, υπάρχουν τρεις άγνωστοι, που είναι τα ρεύματα Ι1, Ι2, και Ι3 και συνεπώς για να τους υπολογίσουμε θα χρειασθούμε 3 εξισώσεις. Τις εξισώσεις αυτές θα σχηματίσουμε με την εφαρμογή των νόμων του Κίρκωφ. Πρώτη εξίσωση Η εξίσωση αυτή σχηματίζεται με την εφαρμογή του πρώτου νόμου του Κίρχωφ στον κόμβο Β, δηλαδή: Ι1+ Ι2= Ι3 -------------------------(1)

Δεύτερη εξίσωση Η εξίσωση αυτή σχηματίζεται με την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Κίρχωφ για το βρόχο β1, δηλαδή: Uα-U1-U3-U4=0 Αλλά το Uα=Εα Εα-U1-U3-U4=0 Εα= U1+U3+U4 Εα= Ι1R1+Ι3R3+Ι1R4 Εα= Ι1(R1+R4)+ Ι3R3 ή 20=4,4Ι1+15Ι3 -----------------(2)

Τρίτη εξίσωση Η εξίσωση αυτή σχηματίζεται με την εφαρμογή του δευτέρου νόμου του Κίρκωφ στο βρόχο β2, δηλαδή: -Uβ+U5+U3+U2=0 Αλλά το Uβ=Εβ -Εβ+ U5+U3+U2=0 -Εβ= -U5-U3-U2 Εβ= U5+U3+U2 Εβ= Ι2R5+Ι3R3+Ι2R2 Εβ= Ι2(R2+R5)+Ι3R3 ή 8=10,3Ι2+15Ι3 -----------------(3)

Στην εξίσωση (2) αντικαθιστούμε την τιμή του Ι3 και έχουμε 20=4,4Ι1+15(Ι1+Ι2) 20=4,4Ι1+15Ι1+15Ι2 20=19,4Ι1+15Ι2 --------------------(4) Στην εξίσωση (3) αντικαθιστούμε την τιμή του Ι3 και έχουμε 8= 10,3Ι2+15(Ι1+Ι2) 8=10,3Ι2+15Ι1+15Ι2 8=15Ι1+25,3Ι2 -----------------------(5) Τώρα έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων (4) και (5) με δύο αγνώστους 20=19,4Ι1+15 Ι2 --------------------(4) 8=15 Ι1+25,3Ι2 --------------------(5) Πολλαπλασιάζουμε την (4) με -15 και την (5) με +19,4 και έχουμε -300 = -291Ι1 - 225 Ι2 -155,2= 291Ι1+ 490,82 Ι2 ------------------------------------- - 144,8= 265,82 Ι2 Ι2= - 0,545Α

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση (4) την τιμή του Ι2 και έχουμε 20=19,4Ι1+15(-0,545) 20=19,4Ι1 - 8,175 20 + 8,175 = 19,4Ι1 Ι1= 1,452Α Αντικαθιστούμε στην εξίσωση (1) την τιμή του Ι2 και του Ι1 και έχουμε Ι1+ Ι2= Ι3 -------------------------(1) 1,452 + (- 0,545) = Ι3 Ι3 = 0,907Α Παρατηρούμε ότι το Ι1 και το Ι3 βρέθηκαν θετικά, πράγμα που σημαίνει ότι η φορά τους, όπως την τοποθετήσαμε αρχικά στο σχήμα 2 ήταν ορθή. Η τιμή του ρεύματος Ι2 βρέθηκε αρνητική, πράγμα που σημαίνει ότι η φορά του στο σχήμα 2 είναι αντίθετη και πρέπει να διορθωθεί.

Βλέπουμε λοιπόν ότι η αυθαίρετη τοποθέτηση οποιασδήποτε φοράς ρεύματος αρχικά στο κύκλωμα δεν έχει σημασία. Μετά την επίλυση θα βρούμε την ορθή φορά αρκεί να εφαρμόσουμε ορθά τους κανονισμούς.

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 1. Ο δεύτερος κανόνας του Κίρκωφ αφορά τη σχέση των πηγών τάσεως (ή ηλεκτρεγερτικών δυνάμεων) και των πτώσεων τάσεως σε ένα οποιοδήποτε βρόχο του κυκλώματος. Για να προσδιορίσομε τη σχέση αυτή, να αναφέρετε τα πέντε πιο σημαντικά στάδια σήμανσης του κυκλώματος που ακολουθούμε. 2. Να βρείτε τις τιμές των ρευμάτων I1 ,I2 , I3 , στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας τους νόμους του Κίρκωφ όπου: Ε1=20V, E2=8V, r1=0,4Ω, r2=0,3Ω, R1=4Ω, R2=10Ω,R3=15Ω (Απ. I1 =1,45Α, I2 =-0,54Α, I3 =0,91Α)

3. Να βρείτε τις τιμές των ρευμάτων I1 , I2 , I3 , στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας τους νόμους του Κίρκωφ όπου: Ε1=12V, E2=10V, E3=2V, R1=4Ω, R2=2Ω, R3=6Ω (Απ. I1 =0,73Α, I2 =-0,46A, I3 =1,19Α)

4. Δίνεται το κύκλωμα του πιο κάτω σχήματος R1=2Ω, R2=3Ω, R3=5Ω, R4=4Ω, Ε1=12V, E2=24V, C=2μF Με εφαρμογή των νόμων του Κίρκωφ, να υπολογίσετε: (α) Τις τιμές και τη φορά των ρευμάτων μέσα από τις αντιστάσεις R1, R2, R3 και R4. (β) Τη διαφορά δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή C.

5. Να υπολογίσετε τα ρεύματα μέσα σε κάθε κλάδο στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Ε1=6V, E2=4V,R1=2Ω, R2=3Ω, και το R3=10Ω

6. Να υπολογίσετε τα ρεύματα μέσα σε κάθε κλάδο στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Ε1=20V, E2=8V,R1=4Ω,R2=10Ω, R3=15Ω, R4=0.4Ω, και το R5=0.3Ω

7. Να υπολογίσετε τα ρεύματα μέσα σε κάθε κλάδο στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Ε1=12V, E2=10V, E3=2V, R1=4Ω,R2=2Ω, και το R3=6Ω

8. Να υπολογίσετε τα ρεύματα μέσα σε κάθε κλάδο στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Ε1=20V, R1=3Ω,R2=5Ω, R3=3Ω, R4=7Ω, και το R5=2Ω.

9. Να υπολογίσετε τα ρεύματα μέσα σε κάθε κλάδο στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Ε1=20V, Ε2=20V, R1=2Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4=4Ω, και το R5=2Ω.

10. Να υπολογίσετε τα ρεύματα μέσα σε κάθε κλάδο στο πιο κάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας του νόμους του Κίρκωφ. Αν το Ε1=18V, Ε2=16V, Ε3=14V, και το R=5Ω.