Γιάννης Σταματίου Μερικά προβλήματα μέτρησης Webcast 8

Αύξηση πληθυσμού ελαφιών! Θα εξετάσουμε την μεταβολή του πληθυσμού των ελαφιών ανά ημέρα σε ένα δάσος

Αύξηση πληθυσμού ελαφιών! Θα εξετάσουμε την μεταβολή του πληθυσμού των ελαφιών ανά ημέρα σε ένα δάσος Έστω ότι μετράμε τα ελάφια την ημέρα 0 (n=0) και βρίσκουμε ότι είναι 20 ενώ την ημέρα 1 (n=1) βρίσκουμε ότι είναι 22 στον αριθμό

Αύξηση πληθυσμού ελαφιών! Θα εξετάσουμε την μεταβολή του πληθυσμού των ελαφιών ανά ημέρα σε ένα δάσος Έστω ότι μετράμε τα ελάφια την ημέρα 0 (n=0) και βρίσκουμε ότι είναι 20 ενώ την ημέρα 1 (n=1) βρίσκουμε ότι είναι 22 στον αριθμό Υποθέτουμε ότι η αύξηση του πληθυσμού από την ημέρα n - 1 στην ημέρα n είναι διπλάσια από την αύξηση του πληθυσμού από την ημέρα n - 2 στην ημέρα n - 1

Εύρεση αναδρομικής σχέσης Ψάχνουμε την ακολουθία dn της οποίας ο «νιοστός» όρος είναι ίσος με τον πληθυσμό των ελαφιών κατά την ημέρα n. Αρχικές συνθήκες d0 = 20 και d1=22

Εύρεση αναδρομικής σχέσης Ψάχνουμε την ακολουθία dn της οποίας ο «νιοστός» όρος είναι ίσος με τον πληθυσμό των ελαφιών κατά την ημέρα n. Αρχικές συνθήκες d0 = 20 και d1=22 Μπορούμε να ανακαλύψουμε μια αναδρομική σχέση; Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε τα εξής:

Εύρεση αναδρομικής σχέσης Ψάχνουμε την ακολουθία dn της οποίας ο «νιοστός» όρος είναι ίσος με τον πληθυσμό των ελαφιών κατά την ημέρα n. Αρχικές συνθήκες d0 = 20 και d1=22 Μπορούμε να ανακαλύψουμε μια αναδρομική σχέση; Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε τα εξής: Αύξηση πληθυσμού από ημέρα n - 1 σε ημέρα n: dn – dn - 1 Αύξηση πληθυσμού από ημέρα n - 2 σε ημέρα n - 1: dn - 1 – dn - 2 Τότε ισχύει: dn – dn - 1 = 2(dn - 1 – dn – 2)

Εύρεση αναδρομικής σχέσης Ψάχνουμε την ακολουθία dn της οποίας ο «νιοστός» όρος είναι ίσος με τον πληθυσμό των ελαφιών κατά την ημέρα n. Αρχικές συνθήκες d0 = 20 και d1=22 Μπορούμε να ανακαλύψουμε μια αναδρομική σχέση; Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε τα εξής: Αύξηση πληθυσμού από ημέρα n - 1 σε ημέρα n: dn – dn - 1 Αύξηση πληθυσμού από ημέρα n - 2 σε ημέρα n - 1: dn - 1 – dn - 2 Τότε ισχύει: dn – dn - 1 = 2(dn - 1 – dn – 2) Και έχουμε αναδρομική σχέση για την ακολουθία που ψάχνουμε!

Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης Γράφουμε λίγο καλύτερα την αναδρομική σχέση ως εξής: dn = 3dn - 1 – 2dn – 2

Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης Γράφουμε λίγο καλύτερα την αναδρομική σχέση ως εξής: dn = 3dn - 1 – 2dn – 2 Και ξεκινάμε για την εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης!

Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης Γράφουμε λίγο καλύτερα την αναδρομική σχέση ως εξής: dn = 3dn - 1 – 2dn – 2 Και ξεκινάμε για την εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης!

Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης Γράφουμε λίγο καλύτερα την αναδρομική σχέση ως εξής: dn = 3dn - 1 – 2dn – 2 Και ξεκινάμε για την εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης!

Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης Γράφουμε λίγο καλύτερα την αναδρομική σχέση ως εξής: dn = 3dn - 1 – 2dn – 2 Και ξεκινάμε για την εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης!

Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης Γράφουμε λίγο καλύτερα την αναδρομική σχέση ως εξής: dn = 3dn - 1 – 2dn – 2 Και ξεκινάμε για την εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης!

Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης Γράφουμε λίγο καλύτερα την αναδρομική σχέση ως εξής: dn = 3dn - 1 – 2dn – 2 Και ξεκινάμε για την εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης!

Ανάλυση σε μερικά κλάσματα Αγνοώντας στην αρχή τον αριθμητή, θα βρούμε την ανάλυση σε μερικά κλάσματα της συνάρτησης

Ανάλυση σε μερικά κλάσματα Αγνοώντας στην αρχή τον αριθμητή, θα βρούμε την ανάλυση σε μερικά κλάσματα της συνάρτησης Ο παρονομαστής έχει τις εξής ρίζες:

Ανάλυση σε μερικά κλάσματα Αγνοώντας στην αρχή τον αριθμητή, θα βρούμε την ανάλυση σε μερικά κλάσματα της συνάρτησης Ο παρονομαστής έχει τις εξής ρίζες: Άρα ή συνάρτηση γράφεται:

Και η ανάλυση σε μερικά κλάσματα είναι η εξής:

Και η ανάλυση σε μερικά κλάσματα είναι η εξής: Πολλαπλασιάζοντας και με τον αριθμητή :

Συνεπώς, για n1έχουμε:

Δυαδικά δέντρα (ορισμός) Θυμίζουμε ότι ένα δυαδικό δέντρο είτε είναι άδειο είτε αποτελείται από ένα διακεκριμένο κόμβο (ρίζα) ενωμένο με δύο μικρότερα δέντρα (αριστερό και δεξί υποδέντρο) Ορίζεται, δηλαδή, ένα δέντρο ως συνάρτηση μικρότερων δέντρων μέχρι που φτάνουμε στο κενό δέντρο

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) : ο αριθμός των δυαδικών δέντρων με n κόμβους

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) : ο αριθμός των δυαδικών δέντρων με n κόμβους

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) : ο αριθμός των δυαδικών δέντρων με n κόμβους R

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) : ο αριθμός των δυαδικών δέντρων με n κόμβους R

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) : ο αριθμός των δυαδικών δέντρων με n κόμβους R

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση)

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) Κανόνας αθροίσματος και κανόνας γινομένου!

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) Κανόνας αθροίσματος και κανόνας γινομένου!

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) Κανόνας αθροίσματος και κανόνας γινομένου! Συνέλιξη! Γεννήτρια, το γινόμενο των γεννητριών

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση)

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) Τώρα θα λύσουμε την τετράγωνη αυτή συναρτησιακή εξίσωση. Αυτή έχει 2 ρίζες:

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) Τώρα θα λύσουμε την τετράγωνη αυτή συναρτησιακή εξίσωση. Αυτή έχει 2 ρίζες: Ποια ρίζα κρατάμε; Τις γράφουμε λίγο διαφορετικά:

Δυαδικά δέντρα (μέτρηση) Τώρα θα λύσουμε την τετράγωνη αυτή συναρτησιακή εξίσωση. Αυτή έχει 2 ρίζες: Ποια ρίζα κρατάμε; Τις γράφουμε λίγο διαφορετικά: Για z=0, η πρώτη ισότητα δίνει 0=1 (άτοπο!) ενώ η δεύτερη 0=0. Συνεπώς, πρέπει να κρατήσουμε τη δεύτερη λύση:

Τώρα δεν έχουμε παρά να βρούμε την ακολουθία που κωδικοποιείται από τη γεννήτρια συνάρτηση

Τώρα δεν έχουμε παρά να βρούμε την ακολουθία που κωδικοποιείται από τη γεννήτρια συνάρτηση Η αντιστροφή εμπεριέχει πολλές αλγεβρικές πράξεις (χωρίς να είναι δύσκολη στην κατανόηση πάντως). Στα πλαίσια της παρούσας διάλεξης θα πούμε μόνο ότι στηρίζεται στο γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα για n οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και όχι απλά ακέραιο

Ο γενικός όρος της ακολουθίας που μας δίνει τον αριθμό των δυαδικών δέντρων ως συνάρτηση του αριθμού των κόμβων του n είναι ο εξής:

Ο γενικός όρος της ακολουθίας που μας δίνει τον αριθμό των δυαδικών δέντρων ως συνάρτηση του αριθμού των κόμβων του n είναι ο εξής: Υπάρχουν πάνω από 100 συνδυαστικά προβλήματα που επιδέχονται τη λύση αυτή!

Ο γενικός όρος της ακολουθίας που μας δίνει τον αριθμό των δυαδικών δέντρων ως συνάρτηση του αριθμού των κόμβων του n είναι ο εξής: Υπάρχουν πάνω από 100 συνδυαστικά προβλήματα που επιδέχονται τη λύση αυτή! Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται Καταλανικοί αριθμοί προς τιμή του Βέλγου μαθηματικού Eugene Catalan που τους ανακάλυψε