ΜΕΛΕΤΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΛΕΤΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Σίμου Κων/νος ΑΕΜ 924 Επιβλέπων : Καλόμοιρος Ιωάννης Επ. καθηγητής

Εισαγωγή Αναπτύξαμε λογισμικό για την μελέτη απλών μη-γραμμικών μοντέλων, όπως η λογιστική απεικόνιση Αναπτύξαμε λογισμικό αποτίμησης πειραματικών χαοτικών χρονοσειρών και το εφαρμόσαμε σε χαοτική χρονοσειρά που πήραμε από μη-γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα R-L-D Τα προγράμματα αναπτύχθηκαν σε γλώσσα C++ και το ηλεκτρικό κύκλωμα προσομοιώθηκε σε περιβάλλον MultiSim.

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συστήματα τα οποία περιγράφονται από μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Τα μη-γραμμικά συστήματα μπορούν να οδηγήσουν σε χαοτική συμπεριφορά Η χαοτικότητα ενός συστήματος δεν οφείλεται σε εξωτερικούς παράγοντες (θόρυβος) αλλά στις ιδιότητες του ίδιου του συστήματος

Χαοτικές χρονοσειρές από διάφορες περιοχές της επιστήμης

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΧΑΟΣ; Η εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της εξέλιξης του συστήματος από τις αρχικές συνθήκες «Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα” Poincare Δηλαδή μια μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες οδηγεί μακροπρόθεσμα σε εντελώς διαφορετική εξέλιξη του φαινομένου

Στα χαοτικά συστήματα υπάρχει το φαινόμενο εκθετικής απόκλισης γειτονικών τροχιών στο χώρο των φάσεων Τροχιά στον χώρο των φάσεων είναι οι διαδοχικές καταστάσεις από τις οποίες περνά το σύστημα, καθώς εξελίσσεται στον χρόνο Στα μη διατηρητικά συστήματα (που έχουν απώλειες ενέργειας) οι τροχιές στον χώρο των φάσεων καταλήγουν σε μια περιοχή του χώρου των φάσεων, που ονομάζεται ελκυστής Στα χαοτικά συστήματα οι ελκυστές είναι γεωμετρικές μορφές με το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της μη-ακέραιης διάστασης. Αλλιώς λέμε ότι έχουν φρακταλική διάσταση (π.χ. διάσταση 2.3)

Παραδείγματα δύο ελκυστών Εδώ οι άξονες των διαγραμμάτων αντιπροσωπεύουν τις ανεξάρτητες μεταβλητές που περιγράφουν σε κάθε στιγμή την κατάσταση του συστήματος.

Ένα κριτήριο για να διαπιστώσουμε ότι ένα σύστημα συμπεριφέρεται χαοτικά και δεν είναι θόρυβος είναι να δείξουμε ότι ο ελκυστής που περιγράφει το σύστημα έχει φρακταλική (ημι-ακέραιη) διάσταση. Έτσι, ο ελκυστής του Lorentz γεμίζει το επίπεδο, αλλά παίρνει και κάτι από την τρίτη διάσταση προκειμένου να αναπτυχθεί πλήρως. Έτσι, έχει διάσταση 2.07 Το παραπάνω κριτήριο χρησιμοποιήθηκε και στη δική μας εργασία για την αποτίμηση πειραματικής χαοτικής χρονοσειράς (κύκλωμα R-L-D)

Μελέτη Χαοτικών συστημάτων στην εργασία μας Μια γνωστή μη-γραμμική συνάρτηση που βοηθά στην κατανόηση των μη-γραμμικών συστημάτων που οδηγούνται στο χάος είναι η λογιστική απεικόνιση: xn+1 = Axn(1-xn) ≡ fA(xn) Είναι μια αναδρομική συνάρτηση που περιγράφει την εξέλιξη πληθυσμών. Κάθε επόμενη τιμή του συνολικού πληθυσμού προκύπτει από την προηγούμενη, με αντικατάσταση στη σχέση

Λογισμικό μελέτης της λογιστικής απεικόνισης Σ’ αυτή την εργασία αναπτύχθηκε λογισμικό για τη μελέτη της λογιστικής απεικόνισης σε περιβάλλον οπτικού προγραμματισμού

Αρχικά παράγουμε τα διαγράμματα της τιμής της συνάρτησης για διάφορες τιμές του x στο διάστημα από 0 έως 1. Το διάγραμμα αυτό μπορούμε να το παράγουμε για διάφορες τιμές της παραμέτρου Α

Στη συνέχεια παράγουμε τα διαγράμματα της τιμής της συνάρτησης (τιμή του πληθυσμού) σαν συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων. Το διάγραμμα αυτό μπορούμε επίσης να το παράγουμε για διάφορες τιμές της παραμέτρου Α

Παρατηρούμε ότι ο πληθυσμός ξεκινά από μια κατάσταση ισορροπίας αλλά με την αύξηση του Α μεταβάλλεται με όλο και πιο σύνθετο τρόπο για να καταλήξει τελικά σε μια άτακτη ταλάντωση, που είναι χαοτική

Το διάγραμμα δικρανισμού μας δείχνει τις καταστάσεις από τις οποίες περνά το σύστημα, καθώς μεταβάλλεται στον οριζόντια άξονα η παράμετρος Α. Στον κατακόρυφο άξονα το διάγραμμα αποτυπώνει τις τιμές της συνάρτησης για κάθε Α. Οι τιμές διπλασιάζονται, τετραπλασιάζονται, οκταπλασιάζονται και στη συνέχεια γίνονται πάρα πολλές. Αυτή είναι μία τυπική διαδρομή ενός συστήματος προς το χάος.

Λογισμικό μελέτης συνάρτησης πληθυσμών Ας το δούμε

Μελέτη κυκλώματος R-L-D varactor

V0=1 Volt (T) V0=1,1 Volt (2T) V0=2,5 Volt (4T) V0=2,0 Volt (2T)

V0=3,0 Volt (8T) V0=4,0 Volt (χαοτική χρονοσειρά)

Η αποτίμηση του χάους Οι τροχιές του συστήματος δείχνουν να έλκονται γύρω από μία περιοχή του φασικού διαγράμματος, η οποία ονομάζεται ελκυστής. Μια τεχνική για την μελέτη και αποτίμηση ενός πειραματικού χαοτικού συστήματος είναι η «ανακατασκευή του φασικού χώρου» (Phase space reconstruction). Η κεντρική ιδέα για την ανακατασκευή του φασικού χώρου είναι η αναδημιουργία των μεταβλητών κατάστασης του συστήματος, ξεκινώντας από την μία μεταβλητή που μετράμε.

Έστω πειραματικό σύστημα του οποίου οι μεταβλητές είναι η τάση, το ρεύμα, η φάση κλπ. Θα έχει τόσες ανεξάρτητες μεταβλητές όσες και οι εξισώσεις που το περιγράφουν. Έστω ότι εμείς μετράμε την μία μεταβλητή, δηλαδή την τάση. Μπορούμε να ανακατασκευάσουμε τις άλλες από την πρώτη, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των μετατοπισμένων διανυσμάτων. Ξεκινούμε από την πειραματική χρονοσειρά και με μια χρονική μετατόπιση παράγουμε μια δεύτερη χρονοσειρά. Κατόπιν την τρίτη κ.ο.κ. Έτσι, μπορεί να προκύψει ένας χώρος φάσεων μεγάλης διάστασης. Με τη βοήθεια των μετατοπισμένων διανυσμάτων ανακατα-σκευάζουμε έναν ελκυστή που δεν είναι ίδιος με τον πραγματικό, αλλά τοπολογικά ισοδύναμος, έχει δηλαδή τις ίδιες ιδιότητες.

Στην πράξη Έστω το σήμα x(t)={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Έστω ότι βρέθηκε χρονική καθυστέρηση 1 Παράγουμε τα διανύσματα X(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X(x+t) X(x+2t) Θα πάρουμε τα σημεία με συντεταγμένες: X1={1,2,3} X2={2,3,4} X3={3,4,5} X4={4,5,6} X5={5,6,7}, X6={6,7,8},X7={7,8,9} X8={8,9,10} Ο φασικός χώρος έχει διάσταση m=3

Παρένθεση Εάν επιλέξουμε για παράδειγμα διάσταση 4 και χρονική καθυστέρηση 2 τότε θα έχουμε τον πίνακα X(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X(x+T) X(x+2T) X(x+3T) Θα πάρουμε τα σημεία με συντεταγμένες: X1={1,3,5,7} X2={2,4,6,8} X3={3,5,7,9},X4={4,6,8,10} Ο φασικός χώρος θα έχει διάσταση m=4

Συνάρτηση αυτοσυσχετισμού Η χρονική καθυστέρηση για την μετατόπιση της χρονοσειράς που μετρήσαμε, προκύπτει από τον πρώτο μηδενισμό της συνάρτησης αυτοσυσχετισμού Συνάρτηση αυτοσυσχετισμού a=i+k.

Αναπτύσσουμε λογισμικό για την ανακατασκευή του χώρου των φάσεων Ας θεωρήσουμε ότι ο φασικός χώρος έχει ανακατασκευαστεί σωστά σύμφωνα με την μέθοδο των καθυστερήσεων Ο σκοπός μας είναι να διαπιστώσουμε 1) αν υπάρχει ελκυστής 2) ποια είναι η κατάλληλη διάσταση του χώρου των φάσεων για την εναπόθεση του ελκυστή 3) ποια είναι η φρακταλική διάσταση του ελκυστή

Μέθοδος Grassberger-Procaccia Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα συσχετισμού το οποίο μετρά πόσα σημεία στον χώρο των φάσεων απέχουν μεταξύ τους ευκλείδια απόσταση μικρότερη από κάποιο l.

Κάνουμε το διάγραμμα log Cm-logl, για διάφορες τιμές του l H κλίση του διαγράμματος μας δίνει τη διάσταση συσχετισμού Μπρούμε να παράγουμε τέτοια διαγράμματα για διαφορετικές τιμές της διάστασης του χώρου των φάσεων m

Εκπαιδευτικό πρόγραμμα αποτίμησης χαοτικών χρονοσειρών Γραφική απεικόνιση Συνάρτηση αυτοσυσχετισμού Μετατόπιση-χρονική καθυστέρηση Μέτρηση αποστάσεων Μέθοδος Grassberger Ας το δούμε