Μια ευριστική εξαγωγή της κβάντωσης κατά Planck E. Χανιωτάκης 1

Είναι εμπειρικά ελέγξιμο το γεγονός ότι όταν θερμαίνουμε ένα μέταλλο (π.χ σίδηρο) εκείνο παίρνει πρώτα μία σκουροκόκκινη χροιά, η οποία στην συνέχεια γίνεται κίτρινη, χρυσαφί και εν τέλει εκτυφλωτική λευκή 2

Αυτό το απλό εμπειρικό γεγονός ήταν ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα που αντιμετώπισαν οι φυσικοί στα τέλη του 19ου αιώνα Ο λόγος είναι ότι η κλασσική φυσική υπαγορεύει ότι ένα μέταλλο το οποίο πυρακτώνεται θα πρέπει να εκπέμπει ακτινοβολία υψηλής συχνότητας (μπλέ), της οποίας η ένταση θα αυξάνει όσο αυξάνεται η θερμοκρασία. Aς δούμε πως αποδεικνύεται η παραπάνω υπόθεση, ποια τα αδιέξοδά της και ποια η συνεισφορά του Planck στην επίλυση τους. ** Η αυθεντική εκδοχή του Planck είχε να κάνει με την ακτινοβολία μέλανος σώματος. Ως μέλαν σώμα ορίζουμε ένα σώμα που έχει μηδενική ανακλαστικότητα και βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με λουτρό θερμοκρασίας Τ. Η επιλογή της παρουσίασης ενός μετάλλου (π.χ σίδηρος) έγινε διότι το φάσμα εκπομπής του είναι εξαιρετικά όμοιο με το φάσμα μέλανος σώματος 3

Υπόθεση Εργασίας: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σώμα που αποτελείται από Ν- ανεξάρτητους ταλαντωτές. Οι ταλαντωτές έχουν ηλεκτρικό φορτίο, ίδιες μάζες αλλά διαφορετικές φυσικές συχνότητες ταλάντωσης (ω). Το σώμα βρίσκεται σε ένα λουτρό θερμοκρασίας Τ. Οι ταλαντωτές κατά συνέπεια βρίσκονται σε θερμική ισορροπία. Οι ενέργειες των ταλαντωτών είναι μεταξύ τους ίσες, με Ε= k B T/2 k B : σταθερά Boltzman βάσει του θεωρήματος ισοκατανομής της ενέργειας στους βαθμούς ελευθερίας 4

Από τα παραπάνω, δύο φορτισμένοι ταλαντωτές με ίσες μάζες, διαφορετικές φυσικές συχνότητες και ίσες ενέργειες αποδεικνύεται ότι έχουν διαφορετικές επιταχύνσεις. Απόδειξη: max 5

Mε βάση την κλασσική ηλεκτροδυναμική, ένα επιταχυνόμενο φορτισμένο σωμάτιο εκπέμπει ακτινοβολία, η ισχύς της οποίας δίδεται από τον τύπο του Larmor: Αν η πηγή της ακτινοβολίας (το φορτισμένο σωμάτιο) ταλαντώνεται η περιστρέφεται με συχνότητα ω, τότε η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας ισούται με την συχνότητα ω. 6

Με βάση τα παραπάνω, σε ένα σώμα που βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με λουτρό θερμοκρασίας Τ, θα εκπέμπεται ακτινοβολία η ένταση της οποίας θα είναι ανάλογη της επιτάχυνσης. Όσο μεγαλύτερη η φυσική συχνότητα => τόσο μεγάλυτερη η ένταση της ακτινοβολίας. Κατά συνέπεια περιμένουμε η ένταση της ακτινοβολίας να έχει το μέγιστό της στην υψηλή συχνότητα και το μέγιστο αυτό να μην μετακινείται όσο αλλάζει η θερμοκρασία 7

Παρακάτω βλέπουμε την κλασσική πρόβλεψη (Rayleigh- Jeans) σε σύγκριση με την πραγματικότητα 8

Η υπόθεση του Planck (1900) Ο Planck στην προσπάθειά του να εξηγήσει το φάσμα της ακτινοβολίας μέλανος σώματος έκανε την εξής υπόθεση: Η ενέργεια που εκπέμπεται υπο μορφή ακτινοβολίας από το μέλαν σώμα είναι κβαντισμένη. Τα πακέτα ενέργειας που εκπέμπονται έχουν τιμή ανάλογη της συχνότητας. Ε = h v - ν : συχνότητα της παραγόμενης ακτινοβολίας. Συμπίπτει με την συχνότητα ταλάντωσης του ταλαντωτή- πηγής της ακτινοβολίας (Ισχύει ω=2πν) - h : Σταθερά αναλογίας. Την καλούμε σταθερά του Planck και έχει τιμή h= 6.63*10^-34J*sec 9

Επεξήγηση Η υπόθεση του Planck έγινε αυθαίρετα για να εξηγήσει τα πειραματικά δεδομένα. Δεδομένου ότι κάθε ταλαντωτής δονείται μόνο με την φυσική του συχνότητα ω0, τότε αυτός μπορεί να απορροφήσει και να εκπέμψει ακτινοβολία ενέργειας Εο=(h/2π)ω0 Όταν το σώμα βρίσκεται σε χαμηλή θερμοκρασία, η μέση ενέργεια είναι χαμηλή. Κατά συνέπεια μόνο οι ταλαντωτές με χαμηλή φυσική συχνότητα μπορούν να εκπέμψουν ακτινοβολία. Όσο η θερμοκρασία ανεβαίνει, οι υψηλότερης συχνότητας ταλαντωτές μπορούν να ακτινοβολήσουν. Κατά συνέπεια θα βλέπουμε μία μετατόπιση του μεγίστου του φάσματος του μέλανος σώματος προς μεγαλύτερα μήκη κύματος όσο η θερμοκρασία αυξάνεται. 10

H συναρτησιακή σχέση μεταξύ πυκνότητας ενέργειας, συχνότητας και θερμοκρασίας που εξήγαγε ο Planck με το μοντέλο του είναι η παρακάτω: Παρακάτω βλέπουμε την συμφωνία των παρατηρησιακών δεδομένων με το μοντέλο του Planck καθώς και την απόκλιση της κλασσικής θεωρίας από αυτά 11

Επίλογος Η υπόθεση του Planck για τον ασυνεχή τρόπο ανταλλαγής ενέργειας μέσω ακτινοβολίας ενός μέλανος σώματος με το περιβάλλον του ήταν ο θεμέλιος λίθος για την ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας Η θεωρία των κβάντα γνώρισε την άμεση αποδοχή από τον Α. Αινστάιν(!) ο οποίος την εφήρμοσε στην επεξήγση σειράς φαινομένων (φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, ειδικές θερμότητες στερεών σωμάτων σε χαμηλές θερμοκρασίες..). Η συνέχεια είναι λίγο ως πολύ γνωστή. Μια σειρά πρωτοπόρων (Μπόρ, Μπόρν, Σόμμερφελντ, Χάιζενμπεργκ,Σρέντιγκερ,ΝτεΜπρέιγ,Ντιράκ κ.α) συνέβαλαν τα μέγιστα ώστε η θέαση που έχουμε για τον μικρόκοσμο να αλλάξει ριζικά. 12