ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Στάσιμες και Στοχαστικές Διαδικασίες Μία στοχαστική διαδικασία είναι στάσιμη εάν για κάθε ομάδα χρονολογικών δεικτών 1 ≤ t1 < …< tm η από κοινού κατανομή των (xt1, …, xtm) είναι η ίδια με την από κοινού κατανομή των (xt1+h, … xtm+h) για h ≥ 1 Έτσι, στασιμότητα υποδηλώνει ότι τα xt είναι ισόνομα κατανεμημένα και η φύση κάθε συσχέτισης μεταξύ συνεχόμενων όρων είναι η ίδια δια μέσου των περιόδων

Διαδικασία στάσιμη ως προς τη Συνδιακύμανση Μία στοχαστική διαδικασία είναι στάσιμη ως προς τη συνδιακύμανση εάν η E(xt) είναι σταθερή, η Var(xt) είναι σταθερή για κάθε t, για κάθε h ≥ 1 Cov(xt, xt+h) εξαρτάται μόνο από την h και όχι από το t Έτσι, αυτή η ασθενέστερη μορφή της στασιμότητας απαιτεί μόνο ότι η μέση τιμή και η διακύμανση είναι σταθερές δια μέσου του χρόνου, και η συνδιακύμανση απλά εξαρτάται από την απόσταση ανάμεσα δύο χρονολογικών όρων

Ασθενώς Εξαρτημένες Χρονολογικές Σειρές Μία στάσιμη χρονολογική σειρά είναι ασθενώς εξαρτημένη εάν xt και είναι xt+h είναι «σχεδόν ανεξάρτητες» καθώς η h αυξάνει Εάν για μία στάσιμη διαδικασία ως προς τη συνδιακύμανση Corr(xt, xt+h) → 0 καθώς h → ∞, θα λέμε ότι αυτή η στάσιμη διαδικασία ως προς τη συνδιακύμανση είναι ασυμπτωτικά ασυσχέτιστη Θέλουμε ακόμα να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο τον μεγάλων αριθμών

Μία Διαδικασία Κινητού Μέσου Πρώτης Τάξης MA(1) Μία διαδικασία κινητού μέσου πρώτης τάξης (moving average) [MA(1)] εκφράζεται ως xt = et + a1et-1, t = 1, 2, … υποθέτοντας ότι τα et είναι ισόνομα και ανεξάρτητα με μέση τιμή 0 και διακύμανση s2e Η διαδικασία αυτή είναι στάσιμη, ασθενώς εξαρτημένη ακολουθία καθώς μεταβλητές διαφοράς μιας περιόδου συσχετίζονται και μεταβλητές διαφοράς 2 περιόδων δεν συσχετίζονται

Μία Διαδικασία Αυτοπαλινδρόμησης Πρώτης Τάξης AR(1) Μία διαδικασία αυτοπαλινδρόμησης πρώτης τάξης (autoregressive process) [AR(1)] εκφράζεται ως yt = ryt-1 + et , t = 1, 2,… υποθέτοντας ότι τα et είναι ισόνομα και ανεξάρτητα με μέση τιμή 0 και διακύμανση s2e Για να είναι αυτή η διαδικασία ασθενώς εξαρτημένη, πρέπει να ισχύει ότι |r| < 1 Corr(yt ,yt+h) = Cov(yt ,yt+h)/(sysy) = r1h η οποία μειώνεται καθώς η h αυξάνει

Περισσότερα για Τάσεις (Trends) Μία σειρά με τάση δεν μπορεί να είναι στάσιμη, αφού η μέση τιμή της αλλάζει δια μέσου του χρόνου Μία σειρά με τάση μπορεί να είναι ασθενώς εξαρτημένη Εάν μία σειρά είναι ασθενώς εξαρτημένη και είναι και στάσιμη ως προς τη τάση, θα την καλούμε διαδικασία στάσιμη ως προς την τάση, Εφόσον περιλαμβάνουμε την τάση στην διαδικασία μας, δεν υπάρχει πρόβλημα

Υποθέσεις για Συνέπεια 1) Γραμμικότητα και Ασθενής Εξάρτηση 2) Μία πιο ασθενής υπόθεση για την υπό δέσμευση προσδοκώμενη τιμή ίση με το 0: E(ut|xt) = 0, για κάθε t 3) Όχι τέλεια συγγραμικότητα Έτσι, για ασυμπτωτική αμεροληψία (συνέπεια), μπορούμε να κάνουμε πιο ασθενείς τις υποθέσεις των εξωγενών μεταβλητών κατά κάποιο τρόπο σχετικές με αυτές τις υποθέσεις για αμεροληψία

Επαγωγή Μεγάλων Δειγμάτων 4) Πιο ασθενή υπόθεση για ομοσκεδαστικότητα: Var (ut|xt) = s2, για κάθε t. Τα σφάλματα είναι ταυτόχρονα ομοσκεδαστικά Πιο ασθενή υπόθεση για ανυπαρξία αυτοσυσχέτισης: E(utus| xt, xs) = 0 για t  s Με αυτές τις υποθέσεις, έχουμε ασυμπτωτική κανονικότητα, τα συνήθη τυπικά σφάλματα, τα t στατιστικά, την F στατιστική και την LM στατιστική να είναι έγκυρα

Τυχαίες Διαδρομές Μία τυχαία διαδρομή (random walk) είναι ένα AR(1) μοντέλο r1 = 1, εννοώντας ότι η σειρά δεν είναι ασθενή εξαρτώμενη Σε μία τυχαία διαδρομή, η προσδοκώμενη τιμή της yt είναι πάντοτε y0 – δεν εξαρτάται από το t Var(yt) = se2t, έτσι αυξάνει γραμμικά ως προς t Λέμε ότι μία τυχαία διαδρομή είναι ισχυρά επίμονη (highly persistent) όταν E(yt+h|yt) = yt για όλα τα h ≥ 1

Τυχαίες Διαδρομές (συνέχεια) Μία τυχαία διαδικασία είναι μία ειδική περίπτωση αυτού που είναι γνωστό ως διαδικασία μοναδιαίας ρίζας (unit root process) Σημειώστε ότι η τάση και η επιμονή είναι δύο διαφορετικές έννοιες – μία σειρά μπορεί να έχει τάση αλλά να είναι ασθενή εξαρτώμενη, ή μία σειρά μπορεί να είναι ισχυρά επίμονη χωρίς τάση Μία τυχαία διαδικασία με κατεύθυνση (drift) είναι ένα παράδειγμα μιας σειράς με ισχυρή επιμονή και τάση, yt =α0+yt-1+et, t=1,2,…,

Μετασχηματίζοντας Ισχυρά Επίμονες Χρονολογικές Σειρές Μετασχηματίζοντας Ισχυρά Επίμονες Χρονολογικές Σειρές Για να παράγουμε ερμηνευτικούς εκτιμητές και να διεξάγουμε σωστά συμπερασμάτων όταν χρησιμοποιούμε ισχυρές επίμονες χρονολογικές σειρές, θα πρέπει να μετασχηματίσουμε την σειρά σε μία ασθενή εξαρτώμενη διαδικασία Μία ασθενή εξαρτώμενη διαδικασία λέμε ότι είναι ολοκληρωμένη μηδενικής τάξης, [I(0)] Μία τυχαία διαδικασία είναι ολοκληρωμένη πρώτης τάξης, [I(1)], εννοώντας ότι η πρώτη διάφορα θα είναι I(0), . Δηλαδή μία σειρά που δεν είναι ασθενή εξαρτώμενη και γίνεται όταν πάρουμε τις πρώτες διαφορές καλείται ολοκληρωμένη πρώτης τάξης

Eviews Μεταβλητές με χρονική υστέρηση στο E-views δηλώνονται ως > x(-h), π.χ. xt > x, xt-1 > x(-1), xt-2 > x(-2) Οι διαφορές, Δxt= xt- xt-1 , δηλώνονται ως > d(x(-1))