ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΜΕΤΑΛΛΑ Κατά την Κλασσική Μηχανική τα ελεύθερα ηλεκτρόνια των στερεών μπορούν να έχουν οποιαδήποτε τιμή ενέργειας. Αντιθέτως, στην Κβαντομηχανική οι λύσεις των εξισώσεων Schrodinger επιβάλλουν περιορισμούς στις τιμές αυτές. Η απαγορευτική αρχή του Pauli επιτρέπει την κατάληψη μιας κατάστασης (θέση, ορμή) από ένα φερμιόνιο. Κάθε κατάσταση περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση ψ(x) η οποία μπορεί να δώσει πληροφορία για οποιοδήποτε μετρήσιμο μέγεθος. Η έκφραση │ψ(x)│2 δίνει την πιθανότητα κατά τη μέτρηση να παρατηρηθεί το σωμάτιο στη θέση μεταξύ x+dx.
ΕΞΙΣΩΣΗ Schrodinger Η συνάρτηση ψ(x) προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης Schrodinger, η οποία έχει την εξής μορφή: όπου Ε η ολική ενέργεια και V η δυναμική ενέργεια του σωμάτιου στην αντίστοιχη θέση. Η γενική λύση της εξίσωσης Schrodinger είναι της μορφής:
ΘΕΩΡΗΜΑ FLOQUET-BLOCH Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της εξίσωσης Schrödinger σε περιοδικό δυναμικό ικανοποιούν το θεώρημα Floquet-Bloch. Εξειδικευμένο στη μία διάσταση το θεώρημα αυτό λέει ότι οι λύσεις χαρακτηρίζονται από έναν κυματαριθμό k που παίρνει τιμές: Για πολύ μεγάλο αριθμό κυψελίδων N του κρυστάλλου, όπως φαίνεται από την παραπάνω εξίσωση, ο κυματαριθμός παίρνει πρακτικά συνεχείς τιμές. Οι κυματοσυναρτήσεις Floquet-Bloch αν μετατοπιστούν κατά μία κυψελίδα (περίοδο) αλλάζουν μόνο κατά έναν παράγοντα ek. Δηλαδή, εφαρμόζοντας το θεώρημα Floquet-Bloch μπορούμε από τις λύσεις της εξίσωσης Schrödinger να βρούμε τη λύση σε οποιοδήποτε σημείο.
ΘΕΩΡΗΜΑ FLOQUET-BLOCH Περιοδικό πλέγμα : Συνάρτηση Bloch : Περιοδική Συνάρτηση (περίοδος = μοναδιαία κυψελίδα) H ισότητα των δύο καταστάσεων έχει ως αποτέλεσμα την ισότητα των αντίστοιχων ενεργειών:
Απόδειξη: Μονοδιάστατο μοντέλο: Μήκος αλυσίδας: L=N α Συνθήκη: Πυκνότητα φορτίου: ρ περιοδική: Ομοίως: n=0,1…N-1 Ν φορές: κυματαριθμός ή
Συνθήκη Bloch ή Τελικά: Γενικά: Αποδεκτή λύση της δ.ε. Schrödinger R: Άνυσμα πλέγματος Bravais Συνθήκη Bloch Γενικά: Αποδεκτή λύση της δ.ε. Schrödinger Σε τρισδιάστατη μορφή: Όπου: και:
ΣυνΑρτηση Fermi-Dirac Η EF καλείται ενέργεια Fermi f(E) = πιθανότητα κατάληψης της ενεργειακής στάθμης E από ένα ηλεκτρόνιο given
Γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας Fermi-Dirac f(E,Τ) των ηλεκτρονίων σε ένα στερεό.
Μοντελο ενεργειακων ζωνων
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Ένα άτομο Li Ατομικό δυναμικό 2p 2s Η ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι κβαντισμένη 1s Διακριτές ενεργειακές στάθμες Τι θα συμβεί εάν πλησιάσουμε ένα δεύτερο άτομο;
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Ένα άτομο 2p 2s 1s Δύο άτομα 2p 2s 1s Το ατομικό δυναμικό μεταβάλλεται Κάθε διακριτή ενεργειακή στάθμη έχει διαχωριστεί σε δύο Η διαφορά ενέργειας των δύο σταθμών γίνεται τόσο μεγαλύτερη όσο τα άτομα πλησιάζουν
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Ένα άτομο 2p 2s 1s Δύο άτομα 2p 2s 1s Η απόσταση των δύο σταθμών είναι τόσο μεγαλύτερη όσο ασθενέστερα είναι «δεμένα» τα ηλεκτρόνια με το άτομο
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Ένα άτομο 2p 2s 1s Δύο άτομα 2p 2s 1s Αύξηση του αριθμού των ατόμων συνεπάγεται αύξηση του αριθμού των ενεργειακών σταθμών
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Ένα άτομο 2p 2s 1s Δύο άτομα 2p 2s 1s Στερεό 2p 2s 1s
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Κάθε ομάδα χωριστών ενεργειακών σταθμών ονομάζεται ενεργειακή ζώνη. Οι ζώνες διαχωρίζονται μεταξύ τους από ενεργειακά χάσματα, δηλαδή απαγορευμένες τιμές ενέργειες στις οποίες δεν μπορούν να υπάρξουν ελεύθεροι φορείς. Σε συνθήκες Τ=0 K, η ζώνη που είναι πλήρης καλείται ζώνη σθένους και τα ηλεκτρόνια δεν συμμετέχουν στην αγωγιμότητα του στερεού, αφού δεν υπάρχουν διαθέσιμες ενεργειακές καταστάσεις, που μπορούν να τις καταλάβουν υπό την επίδραση εξωτερικού πεδίου. Η αμέσως επόμενη ζώνη που είναι κενή ή μερικώς πληρωμένη, είναι γνωστή ως ζώνη αγωγιμότητας
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Στερεό 2p 2s 1s Στερεό 2p 2s 1s Ενεργειακή ζώνη Ενεργειακή ζώνη Στα στερεά σχηματίζονται ενεργειακές ζώνες Στα στερεά σχηματίζονται ενεργειακές ζώνες Οι ενεργειακές περιοχές που διαχωρίζουν τις ενεργειακές ζώνες ονομάζονται ενεργειακά χάσματα Οι ιδιότητες των στερεών εξαρτώνται μεταξύ άλλων από τον τρόπο που έχουν καταληφθεί οι ζώνες από τα ηλεκτρόνια
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Πλήρως κατειλημμένες ζώνες Μονωτής Άδεια ζώνη Πλήρως κατειλημμένες ζώνες
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μονωτής Μία ή περισσότερες ενεργειακές ζώνες είναι εν μέρει κατειλημμένες Μέταλλο
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μονωτής Μέταλλο Ημιαγωγός Ζώνες σχεδόν πλήρως κατειλημμένες
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μονωτής Ενεργειακό χάσμα Ενεργειακό χάσμα Μέταλλο Ημιαγωγός
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μονωτής Ενεργειακό χάσμα Ενεργειακό χάσμα Μέταλλο Ημιαγωγός Οι μονωτές παρουσιάζουν μεγάλο ενεργειακό χάσμα
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μονωτής Ενεργειακό χάσμα Ενεργειακό χάσμα Μέταλλο Ημιαγωγός Οι ημιαγωγοί παρουσιάζουν μικρότερο ενεργειακό χάσμα
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μονωτής Ενεργειακό χάσμα Ενεργειακό χάσμα Μέταλλο Ημιαγωγός Ζώνη αγωγιμότητας
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Μονωτής Ενεργειακό χάσμα Ενεργειακό χάσμα Μέταλλο Ημιαγωγός Ζώνη αγωγιμότητας Ζώνη σθένους
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Ελεύθερα ηλεκτρόνια ή ηλεκτρόνια αγωγιμότητας Ζώνη αγωγιμότητας Κινούνται σχεδόν «ελεύθερα» μέσα στο μέταλλο με ενέργειες που αντιστοιχούν στη ζώνη αγωγιμότητας Μέταλλο
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών Ελεύθερα ηλεκτρόνια ή ηλεκτρόνια αγωγιμότητας Ζώνη αγωγιμότητας Κινούνται σχεδόν «ελεύθερα» μέσα στο μέταλλο με ενέργειες που αντιστοιχούν στη ζώνη αγωγιμότητας Μέταλλο Η ενέργεια Fermi είναι η ενέργεια των ηλεκτρονίων στην ανώτερη κατειλημμένη ενεργειακή στάθμη στους 0οΚ
Μοντέλο ενεργειακών ζωνών
ΕξΑρτηση ενεργειακοΥ χΑσματοΣ απΟ ΘερμοκρασΙα Το ενεργειακό χάσμα στους ημιαγωγούς εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Όταν αυτή αυξάνεται το χάσμα μικραίνει. Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να κατανοηθεί καλύτερα αν σκεφθούμε ότι, λόγω της θερμικής ενέργειας, αυξάνει το πλάτος των ατομικών ταλαντώσεων και ως εκ τούτου, αυξάνει η απόσταση μεταξύ των ατόμων. Μια αύξηση των διατομικών αποστάσεων, ελαττώνει το δυναμικό που βλέπουν τα ηλεκτρόνια του κρυσταλλικού στερεού και αυτό με τη σειρά του μικραίνει το ενεργειακό χάσμα. Επίσης, μια απευθείας διαμόρφωση των διατομικών αποστάσεων, όπως για παράδειγμα να τοποθετήσουμε τον κρύσταλλο σε σύστημα εφελκυσμού, επιφέρει ανάλογα αποτελέσματα. Η εξάρτηση του ενεργειακού χάσματος από τη θερμοκρασία, δίνεται από την πειραματική σχέση: