ΧΑΟΣ και (μη-) προβλεψιμότητα Σίμος Ιχτιάρογλου Σπουδαστήριο Θεωρητικής Μηχανικής Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής Τμήμα Φυσικής Α.Π.Θ.

Ευαισθησία σε πολύ μικρές μεταβολές της αρχικής κατάστασης ΧΑΟΣ Ευαισθησία σε πολύ μικρές μεταβολές της αρχικής κατάστασης Δεν υπάρχει δυνατότητα πρόβλεψης μετά από κάποιο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα

Το φαινόμενο της πεταλούδας Ο καιρός σε μια πόλη των ΗΠΑ εξαρτάται από το πέταγμα μιας πεταλούδας στην Κίνα

Δραστηριότητα του εγκεφάλου Κίνηση ρευστού Ηλιακές εκλάμψεις Ηλιακό σύστημα Δραστηριότητα του εγκεφάλου Δυναμική πληθυσμών

Μονοδιάστατες απεικονίσεις x f ( x ) C

Σταθερό σημείο (fixed point) της f Περιοδική τροχιά περιόδου k

x΄  U και n  Z τέτοιο ώστε Το συνολο S είναι αναλλοίωτο σύνολο της απεικόνισης f αν H απεικόνιση f είναι τοπολογικά μεταβατική στο συμπαγές αναλλοίωτο σύνολο S αν για οποιαδήποτε διαστήματα υπάρχει n τέτοιο ώστε H απεικόνιση f έχει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες στο αναλλοίωτο σύνολο S αν υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε σημείο x και κάθε διάστημα U του x να υπάρχει σημείο x΄  U και n  Z τέτοιο ώστε

Ιδιότητες του χάους H απεικόνιση f είναι χαοτική στο συμπαγές αναλλοίωτο σύνολο S αν Έχει ένα πυκνό σύνολο περιοδικών σημείων Είναι τοπολογικά μεταβατική Έχει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Ο ορισμός δόθηκε από τον Devaney (1989) Οι τρεις παραπάνω ιδιότητες δεν είναι ανεξάρτητες. Αν ισχύουν οι δύο πρώτες, αποδεικνύεται η τρίτη (Banks et al. (1992), Glasner & Weiss (1993))

Πυκνό σύνολο περιοδικών σημείων: Τα περιοδικά σημεία είναι όλα ασταθή και ενεργούν ως απωθητικά σημεία Τοπολογική μεταβατικότητα: Σχετίζεται με την εργοδικότητα της απεικόνισης Ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες: Συνεπάγεται τη μη δυνατότητα πρόβλεψης παρά μόνο για πεπερασμένα χρονικά διαστήματα

Αντιπαραδείγματα 1. Η απεικόνιση είναι τακτική. Σταθερό σημείο: x = 0 x 2x 4x Όλες οι αρχικές συνθήκες καταλήγουν στο άπειρο. Η αρχική αβεβαιότητα Δx0 αυξάνεται εκθετικά αλλά δεν υπάρχει μίξη των καταστάσεων.

2. Η απεικόνιση έχει όλα τα σημεία περιοδικά. Αν α = p/q τότε Δεν υπάρχει τοπολογική μεταβατικότητα ούτε ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες

3. Στην απεικόνιση η τροχιά κάθε σημείου είναι πυκνή στην S1. και η ακολουθία των σημείων μιας τροχιάς διαμερίζει τον κύκλο σε τόξα μήκους μικρότερου του ε H απεικόνιση είναι τοπολογικά μεταβατική αλλά δεν έχει κανένα περιοδικό σημείο ούτε ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες

Η απεικόνιση Renyi φ 2φ 4φ 8φ H απεικόνιση διπλασιάζει το μήκος τόξου

Είναι μη αντιστρέψιμη και κάθε σημείο έχει δύο προεικόνες στο διάστημα [0,1) Π.χ. το σημείο φ1=0 έχει προεικόνες τις φ0=0 και φ0=1/2 Αφού κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί στη δυαδική παράσταση όπου

H απεικόνιση μετακινεί την υποδιαστολή μια θέση προς τα δεξιά και ξεχνά το ακέραιο μέρος. Αν τότε Η προεικόνα του φ είναι

... . 0 1 0 0 1 1 1 0 ... ή Οι τιμές του φ αντιστοιχούν προς όλες τις δυνατές απλά άπειρες ακολουθίες δύο συμβόλων. Η αντιστοιχία είναι 1-1 εκτός από τους ρητούς της μορφής αφού π.χ. .100000…. =.0111111….

Είδη τροχιών της απεικόνισης 1. Το σημείο φ0 =.00000…. ή φ0 =.111111…. είναι σταθερό σημείο 2. Ρητοί της μορφής φ = (2m+1)/2k ή καταλήγουν στο φ0 μετά από πεπερασμένες επαναλήψεις

3. Ρητοί που παριστάνονται από περιοδικές ακολουθίες k ψηφίων αντιστοιχούν σε περιοδικές τροχιές της f με περίοδο k 4. Ρητοί που καταλήγουν σε περιοδική τροχιά μετά από πεπερασμένες επαναλήψεις, π.χ. 5. Οι απεριοδικές ακολουθίες αντιστοιχούν στους άρρητους αριθμούς, συνεπώς οι μη περιοδικές τροχιές της f είναι μη αριθμήσιμες.

Ορίζουμε την απόσταση δύο σημείων ως εξής ή Η απόσταση d αντιστοιχεί στο μικρότερο τόξο (φ,φ΄). Αν τότε το φ΄ ανήκει στην ε – περιοχή του φ.

Ας είναι αρκούντως μεγάλο ώστε Αν οι δυαδικές παραστάσεις των φ,φ΄ συμπίπτουν στα k πρώτα ψηφία, τότε το φ΄ ανήκει στην ε – περιοχή του φ αφού

Η απεικόνιση Renyi έχει ένα πυκνό σύνολο περιοδικών σημείων Αν θεωρήσουμε την ε – περιοχή U του σημείου όπου ο ακέραιος k είναι αρκούντως μεγάλος, ώστε τότε το σημείο είναι περιοδικό σημείο και επιπλέον

Η απεικόνιση Renyi είναι τοπολογικά μεταβατική Θεωρούμε την ε – περιοχή U του σημείου και την ε΄ – περιοχή V του σημείου Τότε ώστε

Η απεικόνιση Renyi έχει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Θεωρούμε το σημείο Σε κάθε ε – περιοχή U του φ ανήκουν όλα τα σημεία με ακολουθίες της μορφής με

Προφανώς άρα Επιπλέον έτσι ώστε .00... .01... .10... .11...

Χάος και διαφορικές εξισώσεις Θεωρούμε το σύστημα και ορίζουμε την απεικόνιση Poincarè Οι ασυμπτωτικές πολλαπλότητες ενός υπερβολικού σταθερού σημείου εν γένει τέμνονται εγκάρσια και εμφανίζονται εγκάρσια ομοκλινικά σημεία

Θεώρημα Smale Υπάρχει κατάλληλα ορισμένο συμπαγές αναλλοίωτο σύνολο στην γειτονιά του υπερβολικού σημείου στο οποίο η απεικόνιση Poincarè είναι χαοτική, δηλαδή έχει: Ένα πυκνό σύνολο περιοδικών σημείων Τοπολογική μεταβατικότητα Ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες

Συμπεράσματα 1. Το χάος είναι έννοια αυστηρά ορισμένη και χαρακτηρίζεται από ευαισθησία της τελικής κατάστασης από τις αρχικές συνθήκες ώστε να μην επιτρέπει την πρόβλεψη για αυθαίρετα μεγάλα χρονικά διαστήματα. 2. Σχεδόν όλα τα συστήματα είναι χαοτικά. Η πολυπλοκότητα δεν είναι απαραίτητη για την εμφάνιση χάους, που μπορεί να υπάρχει και σε απλά συστήματα.