Θερμικές Ιδιότητες Στερεών (Με βάση το πλέγμα)

Εισαγωγή Σχέσεις διασποράς Ενέργεια κάθε τρόπου  = j(q) όπου j=1, 2,…3(a+b), 3r 3ρ κλάδοι διασποράς 𝑢 𝛼𝑖 (𝐪 κανονικοί τρόποι (ορθοκανονικοί) Κβαντική έκφραση Ενέργεια κάθε τρόπου Ενέργεια κάθε τρόπου (Πλάτος) Φάσμα συχνοτήτων Θερμική ενέργεια ενός στερεού /όγκο Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Πυκνότητα καταστάσεων Ν κυψελίδες r άτομα /κυψελίδα 3rN λύσεις Διαφορετικές ! Επιβολή λύσεων επιπέδων κυμάτων: Επαναληψιμότητα λύσεων : Αντίφαση Αντίφαση: Πλήρη συμμετρία μετατόπισης (άπειρος κρύσταλλος) Ν κυψελίδων πεπερασμένο Παράκαμψη: Θεώρηση πεπερασμένου όγκου V, με Ν κυψελίδες. Όμως Τμήμα περιοδικής διάταξης που εκτείνεται στο άπειρο !! Αυτή η θεώρηση: Διατήρηση έννοιας πεπερασμένου κρυστάλλου. Συμμετρία μετατόπισης ( Επίπεδα κύματα λύσεις). Παράβλεψη επιφανειών !!! Επιβολή περιορισμού στις τιμές του q, Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Πυκνότητα καταστάσεων Ζ(q) Επανάληψη μετά από Ν κυψελίδες Επανάληψη sn μετά από Ν1/3 απόσταση Περιοδική συνθήκη Αυτή η θεώρηση: Συνολικός αριθμός q ισούται με τον αριθμό των κυψελίδων Ν Πυκνότητα καταστάσεων q, Z(q) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Πυκνότητα καταστάσεων Ζ(ω) Πυκνότητα καταστάσεων Ζ(ω) Συνήθως ζητείται Ζ(ω). Μέσω των σχέσεων διασποράς. Μεγάλο Ζ(ω). Μικρό το |grandqω(q)| Κρίσιμα σημεία (Ανωμαλίες van hove |grandqω(q)|  0 Η πυκνότητα καταστάσεων δεν αποτελεί ίδιον της κρυσταλλικότητας !! Έχουν και τα άμορφα (οφείλεται στη γειτνίαση των ατόμων) Όχι πολύ διαφορετική των κρυσταλλικών Η γραμμική αλυσίδα εμφανίζει κρίσιμα σημεία αφού |grandqω(q)|=0 για ω = 0 και π/α ενώ ακόμη και ω(q)= 0 για ω =0. Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Διατομική αλυσίδα (DOS) A Β A' Β' Κρίσιμα σημεία (Critical Points) - Van Hove singularities Κυκλικές συχνότητες στις οποίες μηδενίζεται ( απειρίζεται) η ταχύτητα ομάδος (η πυκνότητα καταστάσεως) προς κάποια διεύθυνση. ( Όχι για όλες) Προκαλείται από κάποιο γεωμετρικό τόπο σταθεράς ω στοn q—χώρο και ο οποίος τόπος αλλάζει χαρακτήρα σε σχέση με το όριο της ζώνης του Birillouin. Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Πυκνότητα καταστάσεων σε ελαστικό μέσο Πυκνότητα καταστάσεων σε ελαστικό μέσο Επιφάνειες 𝜔 𝐪 =𝜎𝜏𝛼𝜃𝜀𝜌ό Ελαστικό ισότροπο μέσο: u = ω/q σταθερή Debye qz qx qy dfw dq Συνολική πυκνότητα καταστάσεων Παρατηρείστε ότι η πυκνότητα καταστάσεων στο χώρο των συχνοτήτων δεν είναι σταθερή. Αυξάνεται τετραγωνικά με το ω. Σταθερή στο χώρο q. Z(q) = V/(2π)3=(L/2π)3. Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Θερμική ενέργεια αρμονικού ταλαντωτή Boltzmann Πιθανότητα κατάληψης από ένα σωματίδιο Ε3 Ε2 Εi Ε Μέση Ενέργεια Bose Μέσος αριθμός κατάληψης από πολλά μη άλλη-λεπιδρώντα σω-ματίδια Τα "μη αλληλεπιδρώντα" επίπεδα κύματα (q, κλάδος j) "προσδιορίζονται" επίσης και από τον αριθμό των "κυμάτων" <n>T. Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Ειδική θερμότητα Συνολική πυκνότητα ενέργειας = Πυκνότητα καταστάσεων, Ζ(ω) , x (Εσωτερική) Ενέργεια κάθε κατάστασης ε(ω,Τ) Πρόβλημα: Γνώση σχέσεων διασποράς. Αριθμητική ολοκλήρωση Απλή περίπτωση: Ελαστικό μέσο (Debye). + Συνεχής κατανομή (λ  ∞) Ορισμός (??) συχνότητος αποκοπής Debye Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Ειδική θερμότητα Μη μονοσήμαντος ορισμός Θ Νόμος Τ3 Νόμος Doulong Petit Το Θ προσδιορίζει πλήρως την ειδική θερμότητα. Μεγάλες διαφοροποιήσεις Θ. Στερείται φυσικής σημασίας η Θ. Μεγάλη διακύμανση της Θ Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Αναρμονικά φαινόμενα Οφείλονται στον αναρμονικό όρο στην ανάπτυξη της δυναμικής ενέργειας. Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Αναρμονικά φαινόμενα (Αλληλεπίδραση φωνονίων) ±𝐪± 𝐪 ′ ± 𝐪 ′′ =𝐺 ±𝜔± 𝜔 ′ ±𝜔=0 Ο αριθμός των φωνονίων δεν παραμένει σταθερός ‼ q q' q'' q -q' -q'' q' q'' q -q' -q'' q Δυνατές διαδικασίες (ενδιάμεσα στάδια) Δεν διατηρείται η ψευδο-ορμή !! Αναρμονικότητα Εισαγωγή χρόνου ζωής φωνονίου ! Διατηρείται η ενέργεια. Διατηρείται η ψευδο – ορμή Ερμηνεύει: Θερμική διαστολή Ελαφρά αύξηση cv, Τ>Θ cv,  cp, cijkl(T) cijkl(p) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Θερμική διαστολή Αρμονικός ταλαντωτής ( αρμονική προσέγγιση) Αρμονικός ταλαντωτής ( αρμονική προσέγγιση) Στην αρμονική προσέγγιση η ω ΔΕΝ εξαρτάται από την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας επομένως η Fs(T, V) = Fs(T) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Θερμική διαστολή Στις 3-διαστάσεις Αναρμονικός ταλαντωτής ( μη αρμονική προσέγγιση) α0 "αρμονική" θέση ισορροπίας. α "αναρμονική" θέση ισορροπίας Στις 3-διαστάσεις Ο συντελεστής θερμικής διαστολής είναι ανάλογος της ειδικής θερμότητος Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

γ (q, j) Παράμετροι Grüneisen Θερμική διαστολή γ (q, j) Παράμετροι Grüneisen ~ 2 Μαλακά υλικά ( μικρό κ) μεγάλο θερμικό συντελεστή. Για μη κυβικά υλικά διαφοροποιείται στις επιμέρους κατευθύνσεις. Τα γ (q, j) αποτελούν "δείκτες" της "ισχύος" των δεσμών οι οποίοι "ελέγχουν " τις επιμέρους ταλαντώσεις. Μαλακά υλικά μεγάλα γ (q, j). Επιτρέπου τη διαπίστωση "ιεραρχίας" δεσμών (=δυνάμεων) στα στερεά. Ο αρνητικός θερμικός συντελεστής σε χαμηλές θερμοκρασίες οφείλεται σε "αρνητικές" τιμές Grüneisen παραμέτρους κατά μήκος ορισμένων διευθύνσεων (ΓΧ). ( Η συχνότητα μειώνεται με τη μείωση του όγκου. Κανονικά αυξάνεται με την πίεση) Si Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος