Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση Διγαλάκης Βασίλης

Η έννοια της συσχέτισης Για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ: Συσχέτιση: Ε{Χ Υ} Συμμεταβλητότητα: Συντελεστής συσχέτισης:

Παράδειγμα 1 Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Υ=aΧ+b και Ε{Χ}=μΧ, Ε{(Χ-μΧ)2}=σΧ2 Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:

Παράδειγμα 2 Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Χ~Ν(0, σΧ2) και Υ=Χ2 Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Χ~Ν(0, σΧ2) και Υ=Χ2 Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση: Γραμμικά Ανεξάρτητες.

Παράδειγμα 3 Έστω Χ,Ζ ανεξάρτητες κανονικές Τ.Μ. και Υ=αΧ+b+Ζ Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:

Τυχαία Διανύσματα Ορισμός: Η συλλογή των Τ.Μ. ορίζει ένα Τυχαίο Διάνυσμα (Τ.Δ.), που παίρνει τιμές σε ένα m-διάστατο χώρο Rm.

Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Οι στατιστικές ιδιότητες του Τ.Δ. καθορίζονται από την από κοινού συνάρτηση κατανομής Από κοινού Σ.Π.Π.:

Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Οριακές Σ.Π.Π.: (M-1)ης τάξης: (M-2)ης τάξης: 1ης τάξης

Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Υπό συνθήκη Σ.Π.Π. των Χ1, Χ2, Χ3 | Χ4 :

Αναμενόμενες τιμές

Διανυσματικός συμβολισμός Ορίσαμε το Τ.Δ. Χ ως ένα διάνυσμα m x 1 XT = (X1, X2, . . . , Xm) Οι τιμές του Τ.Δ. μπορούν να οριστούν ως σημεία στον m-διάστατο χώρο Rm: χT = (χ1, χ2, . . . , χm)

Μέση τιμή ενός Τ.Δ. Ορισμός: Μέση (αναμενόμενη) τιμή του Τ.Δ. Χ ορίζεται ως το (m x 1) διάνυσμα  

Πίνακας Συνδιακύμανσης ενός Τ.Δ. Ορισμός:  

Ανεξάρτητες/Ασυσχέτιστες συνιστώσες Τ.Δ. Αν x1, x2,…,xM είναι ασυσχέτιστες θα έχουν διαγώνιο πίνακα συνδιακύμανσης: Αν x1, x2,…,xM είναι ανεξάρτητες  ασυσχέτιστες  διαγώνιος πίνακας συνδιακύμανσης.

Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή Ένα Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή εαν έχει Σ.Π.Π. της μορφής: Αν οι συνιστώσες του διανύσματος είναι ανεξάρτητες:

Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή Ο εκθέτης της Σ.Π.Π. γίνεται: Η Σ.Π.Π. γίνεται:

Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής Αν το Τ.Δ. Χ μπορεί να χωριστεί: Όπου Τότε:

Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής Αν ο πίνακας συνδιακύμανσης ΣΧ είναι διαγώνιος και Χ ακολουθεί κανονική κατανομή  οι συνιστώσες του Τ.Δ. Χ είναι ανεξάρτητες : Για κανονικές κατανομές (μόνο): Κανονικές Ασυσχέτιστες ΤΜ ↔ Κανονικές Ανεξάρτητες ΤΜ

Γραμμικές συναρτήσεις Τ.Δ. Θεωρείστε το Τ.Δ. Υ=aΧ+b. Υπολογίστε μέση τιμή και πίνακα συνδιακύμανσης του Υ.

Παράδειγμα 1 Έστω Χ ακολουθεί τετραδιάστατη κανονική κατανομή με και Χ1 = (x1 x2)Τ, Χ2 = (x3 x4)Τ. Υπολογίστε την κατανομή του Χ1 Αντίστοιχα:

Παράδειγμα 1 2) Υπολογίστε την κατανομή του Y=AX=κανονική κατανομή με

Παράδειγμα 1 3) Υπολογίστε την κατανομή του X1=(x1,x2) δεδομένου του Χ2=(x3,x4) X1|X2 ακολουθεί κανονική κατανομή με

Συναρτήσεις Τυχαίας Μεταβλητής Y=g(X) Οι συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας ορίζονται με βάση ισοδύναμα ενδεχόμενα Συνεχείς ΤΜ: Εστω οι K ρίζες της εξίσωσης y=g(x), x(1),x(2),…,x(K). Η ΣΠΠ της ΤΜ Y δίδεται από

Παράδειγμα Εστω ότι η ΤΜ X ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή. Δώστε την ΣΠΠ της ΤΜ Y=|Χ|.

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Δίδεται η από κοινού Σ.Π.Π. των X1, X2: fx1 x2(x1, x2) και οι μετασχηματισμένες Τ.Μ. Y1, Y2 Y1 = g1(X1,X2) Y2 = g2(X1,X2) Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2 υπολογίζεται, αντίστοιχα με τη συνάρτηση μιας Τ.Μ., από τις ρίζες του συστήματος εξισώσεων και την Ιακωβιανή (Jacobian) του μετασχηματισμού:

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2 είναι: Ιακωβιανή:

Παράδειγμα Παράδειγμα: δύο αντιστάσεις Χ1, Χ2 είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα μεταξύ 9 και 11 ohms. Βρείτε την Σ.Π.Π. της Τ.Μ. Υ2 που αντιπροσωπεύει τον παράλληλο συνδυασμό των Χ1, Χ2.

Γραμμικός μετασχηματισμός Θεωρείστε το γραμμικό μετασχηματισμό Y = A X + B ή Υποθέτοντας οτι ο Α είναι nonsingular, έχουμε:

Παράδειγμα: Άθροισμα δύο Τ.Μ. Παράδειγμα: Έστω Y1 = X1 + X2, όπου X1, X2 ανεξάρτητες Τ.Μ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. της Y1 συναρτήσει των Σ.Π.Π. των X1, X2 Παράδειγμα: X1, X2 είναι ανεξάρτητες Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες στο [-1,1]. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του αθροίσματος τους.

Γραμμικός μετασχηματισμός πολυδιάστατης κανονικής κατανομής Το Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή με Ε{Χ} = 0 και πίνακα συνδιακύμανσης ΣΧ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του Τ.Δ. Υ = ΑΧ, όπου Α είναι αντιστρέψιμος.