4η Εβδομάδα έγινε την 5η: 1η Διάλεξη

Παρουσίαση με θέμα: "4η Εβδομάδα έγινε την 5η: 1η Διάλεξη"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 4η Εβδομάδα έγινε την 5η: 1η Διάλεξη
έγινε Ελένη Κανδηλώρου

2 Παράδοση Λύση άσκησης. Μέθοδοι σημειακής εκτίμησης: Ροπών,
Ελαχίστων Τετραγώνων, Μεγίστης Πιθανοφάνειας.

3 Λύση της άσκησης Πρόβλημα Αμερόληπτη εκτίμηση του μέσου? Δείγμα
Χ1=6,7 Χ2=7,0 ... Χ9=6,0 Ζητούμενο Για να βρεθεί μια αμερόληπτη εκτίμηση θα πρέπει η εκτιμήτρια του μέσου να είναι αμερόληπτη

4 Λύση Ε (Χ) = Ε {(1/n) ΣΧi } = (1/n) * E [ΣΧi ] = (1/n) μ * n = μ Αμερόληπτη εκτίμηση: Χ = {(6,7+7, ,0)/9} = (63/9) = 7

5 Μέθοδοι Σημειακής Εκτίμησης
Μέθοδος: Ροπών, Ελαχίστων Τετραγώνων, Μεγίστης Πιθανοφάνειας. Κάθε μια από τις μεθόδους αυτές οδηγεί σε εκτιμήτριες με επιθυμητές ιδιότητες.

6 Μέθοδος Ροπών Ορισμός: Η ροπή r τάξης μιας τ.μ. oρίζεται η συνάρτηση,
μ r = Ε (Χ r) δεδομένου ότι υπάρχει αυτή η μέση τιμή. Ένα τ.δ. Χ1, Χ2, ..., Χn Μπορούμε απ’ αυτό να ορίσουμε την ροπή r τάξης του δείγματος:

7 Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην εξίσωση μερικών από τις 1ες ροπές του πληθυσμού με τις τιμές των αντίστοιχων ροπών ενός τ.δ.

8 Έχουμε τόσες ροπές (εξισώσεις) όσο είναι & ο αριθμός των παραμέτρων που θέλουμε να εκτιμήσουμε.
μ r = m r r = 1, 2, …, kεξισώσεις Άρα, Ε(Χr) = [ (1/n) Σ Χir ]

9 Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους μ & σ2 της κανονικής κατανομής με τη μέθοδο των ροπών. Δεδομένα: x ~ Ν (μ, σ2) 2 αγνώστους = 2 εξισώσεις/ροπές μ & σ2 Ζητούμενο: εκτίμηση των παραμέτρων μ & σ2

10 Λύση Έχουμε: Έστω το τ.δ. : (Χ1, Χ2, ..., Χn ) Οι αντίστοιχες δειγ/κές ροπές είναι:

11 Όσες εξισώσεις (ροπές) = τόσοι άγνωστοι
1η εξίσ.: μ = Χ (διότι, μ1= m1) 2η εξίσ.: ??? Η επόμενη εξίσωση: ???

12

13 ± n X2

14 Δηλαδή: