Μοντελοποίηση Έργα Μαθήματα Αξιολόγηση Αναστοχασμός Μοντελοποίηση

Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση 2 Μοντελοποίηση Έργα Μαθήματα Αξιολόγηση Αναστοχασμός Μοντελοποίηση Τι είναι η μοντελοποίηση 2

Κατανόηση της μοντελοποίησης Φάση 1η Κατανόηση της μοντελοποίησης 3

Στόχοι Πρέπει να: Εργαστείτε σε διαφορετικά αυθεντικά έργα, τα οποία βασίζονται στην πραγματικότητα. Αναστοχαστείτε για τα χαρακτηριστικά των έργων. Σκεφτείτε κριτήρια με τα οποία θ ’ αναγνωρίζετε τα έργα μοντελοποίησης ανάμεσα σ ’ άλλα έργα, τα οποία θα σχετίζονται, επίσης, με ρεαλιστικές καταστάσεις. Modelling and applied tasks: Modelling task: there is a segment of reality (authentic) we want to explore in other to solve some questions and to improve our knowledge about these situation. The solver needs to simplify, structure, … the situation and construct a mathematical model. This model has to be tried out as mean to tackle with the situation (to solve the questions, to know more, to create new questions, …). The power of the model to produce knowledge about the situation has to be tested. Sometimes, it is necessary to build a new model better adapted to the situation. Applied task: there is a segment of reality (not necessary authentic) where a piece of mathematical knowledge is given in advance to solve some questions related to it. The solver has to use this mathematical knowledge to solve the questions given. Real: when this “segment of reality” is real, in the sense that you can find it in your daily life, in the domain of some professions or it is needed for someone as a citizen. Fictitious: when this “segment of reality” is only a more or less distorted reproduction of a real context, taken only with didactical purposes.

Αποτελέσματα Κριτήρια αναγνώρισης των έργων μοντελοποίησης. Αντίληψη της διαδικασίας μοντελοποίησης.

Φάση δομής Δουλεύοντας σε δοσμένες καταστάσεις Δραστηριότητα 1 Δουλεύοντας σε δοσμένες καταστάσεις Δραστηριότητα 2 Αναστοχασμός για τα χαρακτηριστικά των δοσμένων καταστάσεων Δραστηριότητα 3 Ανταλλαγή και έκφραση αναστοχασμών Δραστηριότητα 4 Ανάπτυξη και δημιουργία κριτηρίων [Μικρές ομάδες] [Μικρές ομάδες] [Ολομέλεια] [Ολομέλεια]

Δραστηριότητα 1 Επίλυση κάποιων έργων.

Έργο 1: «Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου» Πρόσφατα, στις 25 Απριλίου 2006, οι Ισπανοί τάχθηκαν εναντίον ενός νέου νόμου που προώθησε η κυβέρνηση και παρουσίασαν στο κογκρέσο 4.000.000 υπογραφές Όλες οι ισπανικές εφημερίδες δημοσίευσαν φωτογραφίες με τα μεγάλα κουτιά και τα 10 φορτηγά που χρειάζονταν για την μεταφορά των χαρτιών στο κογκρέσο. Πιστεύετε ότι υπήρχε πολιτική πρόθεση πίσω απ ’ όλα αυτά ή ήταν όλα τα κουτιά και με τα φορτηγά πράγματι απαραίτητα για την μεταφορά των 4.000.000 υπογραφών;

Έργο 2: «Καρδιακοί παλμοί» Για λόγους υγείας οι άνθρωποι πρέπει να περιορίσουν τις προσπάθειες τους, για παράδειγμα, στην άθληση τους, ώστε να μην υπερβαίνουν ένα συγκεκριμένο αριθμό καρδιακών παλμών. Για χρόνια, η σχέση μεταξύ του μέγιστου επιτρεπτού αριθμού καρδιακών παλμών ενός ατόμου και της ηλικίας του περιγραφόταν με τον ακόλουθο τύπο: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 220 – ηλικία Πρόσφατη έρευνα έδειξε ότι αυτός ο τύπος πρέπει να τροποποιηθεί. Ο νέος τύπος είναι ο ακόλουθος: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 208 – (0.7 x ηλικία) Ένα άρθρο στην εφημερίδα αναφέρει: «Η χρήση του νέου τύπου αντί του παλιού, έχει ως αποτέλεσμα ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός παλμών της καρδιάς ανά λεπτό να είναι ελαφρώς μειωμένος για τα νέα άτομα και ελαφρώς αυξημένος για τους πιο ηλικιωμένους». Από ποια ηλικία και μετά ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών αυξάνεται ως αποτέλεσμα της εισαγωγής του νέου τύπου; Να δείξετε πώς εργαστήκατε. Ανάκληση από: www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf

Έργο 3: «Φεστιβάλ μουσικής» Το φεστιβάλ Glastonbury των σύγχρονων εφαρμοσμένων τεχνών είναι το μεγαλύτερο φεστιβάλ μουσικής και φεστιβάλ καλών τεχνών στον κόσμο. Το 2005, το εμβαδόν του ήταν μεγαλύτερο από 3,6 km² και είχε περισσότερες από 385 ζωντανές παραστάσεις. Πολλοί απ ’ τους επισκέπτες του φεστιβάλ μεταφέρουν τα αντίσκηνά τους, ώστε να κοιμηθούν στον χώρο του φεστιβάλ. Οι διοργανωτές πρέπει να περιορίσουν τον αριθμό των εισιτηρίων και τον αριθμό των αντίσκηνων, που επιτρέπονται, για να μπορούν να εγγυηθούν την ασφάλεια των επισκεπτών. Τι θα τους συμβουλεύατε να κάνουν;

Έργο 4: Φυσικό αέριο Το 1993, τα παγκόσμια αποθέματα φυσικού αερίου υπολογίστηκαν στα 141,8 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα. Από τότε, χρησιμοποιούνται 2,5 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα κατά μέσο όρο κάθε χρόνο. Να υπολογίσετε πότε θα εξαντληθούν τ ’ αποθέματα του φυσικού αερίου. Να κάνετε διαφορετικές υποθέσεις και μοντέλα. Να εξηγήσετε όλα τα βήματά σας. © Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren im Unterricht. Cornelsen Verlag, Berlin

Έργο 5: Πασχαλινά αυγά Η Ντανιέλλα βρήκε 23 αυγά. Χάρηκε, επειδή είχε βρει εννιά αυγά περισσότερα απ ’ το Χρήστο. Η Ευγενία χάρηκε ακόμη περισσότερο. Βρήκε ακριβώς τόσα αυγά, όσα η Ντανιέλλα και ο Χρήστος μαζί. Πόσα αυγά βρήκε η Ευγενία;

Έργο 6: Γείτονες Κατά τη γνώμη σας, πόσοι άνθρωποι μένουν σ ’ αυτήν την πολυκατοικία; Τα κουδούνια με τα ονόματα των κατοίκων στην είσοδο της πολυκατοικίας © Maaß, Katja (2009): Mathematisches Modellieren im Grundschulunterricht. Cornelsen Verlag, Berlin

 Να καταγράψετε τις ιδέες σας στους πίνακες που σας δόθηκαν. Δραστηριότητα 2 Να συγκρίνετε τις λύσεις σας σε ομάδες: Ποιές είναι οι διαφορές; Ποιές είναι οι ομοιότητες;  Να καταγράψετε τις ιδέες σας στους πίνακες που σας δόθηκαν. (Χρησιμοποιήστε διαφορετικούς πίνακες για κάθε έργο)

Κατευθυντήριες γραμμές για αναστοχασμό Το πλαίσιο των έργων Κατευθυντήριες γραμμές για αναστοχασμό Αναμενόμενες λύσεις Η μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Τα κύρια χαρακτηριστικά του λύτη

Δραστηριότητα 3: Συζήτηση Ποιες ομοιότητες και διαφορές μπορείτε να εντοπίσετε μεταξύ αυτών των έργων; Μαθηματική γνώση Αναμενόμενες λύσεις Πλαίσιο Ενέργειες του μαθητή

Κάποια συμπεράσματα Λαμβάνοντας υπόψη το πλαίσιο του έργου Λαμβάνοντας υπόψη την μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Λαμβάνοντας υπόψη τις αναμενόμενες λύσεις Λαμβάνοντας υπόψη τις ενέργειες του λύτη

Δραστηριότητα 4: Αναπτύσσοντας κριτήρια Ποια χαρακτηριστικά πρέπει να έχει ένα έργο, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ως έργο μοντελοποίησης ; Όσον αφορά: Πλαίσιο Μαθηματική γνώση Αναμενόμενες λύσεις Ενέργειες του μαθητή

Περιγράφοντας τη διαδικασία μοντελοποίησης Φάση 2η Περιγράφοντας τη διαδικασία μοντελοποίησης 19

Στόχοι Πρέπει να: Αναστοχαστείτε για τις διαδικασίες επίλυσης προβλήματος, τις οποίες χρησιμοποιήσατε στην 1η Φάση Συνοψίστε αυτές τις διαδικασίες σ ’ ένα απλό σχήμα Συζητήσετε για ένα πιθανό σχήμα, το οποίο θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε, προκειμένου να περιγράψετε τη διαδικασία μοντελοποίησης Μάθετε για τη διαδικασία μοντελοποίησης. Modelling and applied tasks: Modelling task: there is a segment of reality (authentic) we want to explore in other to solve some questions and to improve our knowledge about these situation. The solver needs to simplify, structure, … the situation and construct a mathematical model. This model has to be tried out as mean to tackle with the situation (to solve the questions, to know more, to create new questions, …). The power of the model to produce knowledge about the situation has to be tested. Sometimes, it is necessary to build a new model better adapted to the situation. Applied task: there is a segment of reality (not necessary authentic) where a piece of mathematical knowledge is given in advance to solve some questions related to it. The solver has to use this mathematical knowledge to solve the questions given. Real: when this “segment of reality” is real, in the sense that you can find it in your daily life, in the domain of some professions or it is needed for someone as a citizen. Fictitious: when this “segment of reality” is only a more or less distorted reproduction of a real context, taken only with didactical purposes.

Αποτελέσματα Περιγραφή της διαδικασίας μοντελοποίησης

Φάσης δομής Αναστοχασμός για τις διαδικασίες επίλυσης του προβλήματος Δραστηριότητα 1 Αναστοχασμός για τις διαδικασίες επίλυσης του προβλήματος Δραστηριότητα 2 Ανταλλαγή/ και έκφραση των αναστοχασμών [Μικρές ομάδες] [Ολομέλεια]

[ Έργο 1 – Έργο 2– Έργο 3 – Έργο 4 – Έργο 5 – Έργο 6 ] Δραστηριότητα 1 Εργασία σε ομάδες: Κοιτάξτε τα έργα τα οποία έχετε επιλύσει μέχρι στιγμής Πώς προχωρήσατε, για να καταλήξετε στη λύση; Αναστοχαστείτε για τις διαδικασίες επίλυσης προβλήματος, που χρησιμοποιήσατε, σ ’ ένα γενικό επίπεδο Σχεδιάστε μόνο ένα διάγραμμα, συνθέτοντας αυτές τις διαδικασίες [ Έργο 1 – Έργο 2– Έργο 3 – Έργο 4 – Έργο 5 – Έργο 6 ]

Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Εισαγωγή περιγραφής της διαδικασίας μοντελοποίησης Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003) «Πραγματικός κόσμος» «Μαθηματικός κόσμος» 1 2 3 4 5 Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση

Δραστηριότητα 2: Ανταλλαγή αναστοχασμών Ανταλλαγή διαγραμμάτων Ποιες ομοιότητες και διαφορές μπορείτε να εντοπίσετε μεταξύ αυτών;

Ο κύκλος μοντελοποίησης (PISA, 2003) “Real world” “Mathematical world” 1 2 3 4 5 Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση Ο κύκλος μοντελοποίησης (PISA, 2003) Ξεκινώντας από ένα πρόβλημα σχετικό με την πραγματικότητα Οργανώνοντας το πρόβλημα σύμφωνα με μαθηματικές έννοιες και αναγνωρίζοντας τα σχετικά μαθηματικά Σταδιακά, απομακρυνόμαστε απ ’ την πραγματικότητα μέσα από διάφορες διαδικασίες, όπως κάνοντας υποθέσεις, γενικεύοντας και διαμορφώνοντας σχέδια και αποφάσεις που προωθούν τα μαθηματικά χαρακτηριστικά της κατάστασης και ακόμη μετατρέποντας το αυθεντικό-πραγματικό πρόβλημα σε μαθηματικό πρόβλημα, το οποίο θ ’ αναπαριστά πιστά την κατάσταση Λύνοντας το μαθηματικό πρόβλημα Βγάζοντας νόημα απ ’ τη μαθηματική λύση σύμφωνα με το πλαίσιο της πραγματικής κατάστασης 1 2 3 4 5 Επέκταση της περιγραφής Παραδείγματα

Σημαντικές παρατηρήσεις “Real world” “Mathematical world” 1 2 3 4 5 Real-world problem Mathematical Problem solution Real solution Σημαντικές παρατηρήσεις Ο κύκλος μοντελοποίησης δεν είναι ένας αλγόριθμος Σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητο να σκεφτόμαστε από πριν το επόμενο βήμα, αλλά και ν ’ αναλογιζόμαστε το προηγούμενο βήμα Πιθανόν, να χρειαστεί να επαναλάβετε πολλές φορές αυτό τον κύκλο, μέχρι να καταλήξετε σε μια λύση Είναι πιθανές περισσότερες από μια λύσεις Πολλές φορές η λύση εξαρτάται απ ’ το άτομο, που εργάζεται στο συγκεκριμένο έργο

Φάση 1η: Κατανόηση της μοντελοποίησης Επιπλέον διαφάνειες Φάση 1η: Κατανόηση της μοντελοποίησης 28

Λαμβάνοντας υπόψη το πλαίσιο του έργου Πραγματικό και αυθεντικό; Ενδιαφέρον για τους μαθητές; Σχετικό με τους μαθητές; Έργο 1 Ναι Θα μπορούσε Έργο 2 Όχι σίγουρο θα μπορούσε Έργο 3 Θα μπροούσε Έργο 4 Έργο 5 Όχι Πιθανόν όχι Σίγουρα όχι Έργο 6 Πίσω στα συμπεράσματα

Λαμβάνοντας υπόψη τη μαθηματική γνώση που εμπλέκεται Μοναδικό και πρωτότυπο; Προωθεί τη χρήση διαφορετικών πτυχών μαθηματικής γνώσης; Έργο 1 Όχι Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, γεωμετρία Έργο 2 Ναι Γραμμικές συναρτήσεις Έργο 3 Έργο 4 Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί, μετρήσεις, άλγεβρα, συναρτήσεις Έργο 5 Αριθμητική Έργο 6 Εκτίμηση αποτελέσματος, αριθμητικοί υπολογισμοί Πίσω στα συμπεράσματα

Λαμβάνοντας υπόψη τις αναμενόμενες λύσεις Μια ή πολλές; Η φύση της αναμενόμενης λύσης Σχέση μεταξύ της λύσης και του αρχικού πλαισίου Έργο 1 Πολλές Αριθμός, διάστημα, μια δήλωση Σχετικό Έργο 2 Μια Ένας αριθμός Έργο 3 Μετρήσεις, διαστήματα Έργο 4 Αριθμοί, διαστήματα, δηλώσεις, συναρτήσεις, μοτίβα Έργο 5 Καθόλου σχετικό Έργο 6 Αριθμοί, διαστήματα Πίσω στα συμπεράσματα

Απαιτείται μια «καλύτερη και μοναδική» διαδικασία; Λαμβάνοντας υπόψη τις ενέργειες του μαθητή Απαιτείται μια «καλύτερη και μοναδική» διαδικασία; Διερευνά, κάνει υποθέσεις, ψάχνει για διαφορετικούς τρόπους εργασίας, ερμηνεύει και ελέγχει την εγκυρότητα των λύσεων του/ της…; Έργο 1 Όχι Ναι Έργο 2 Έργο 3 Έργο 4 Έργο 5 Έργο 6 Πίσω στα συμπεράσματα

Φάση 2η: Περιγράφοντας τη διαδικασία μοντελοποίησης Επιπλέον διαφάνειες Φάση 2η: Περιγράφοντας τη διαδικασία μοντελοποίησης 33

Ο κύκλος μοντελοποίησης(PISA, 2003) Από το «πραγματικό πρόβλημα» στο «μαθηματικό πρόβλημα» (1, 2, 3) (Οριζόντια μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) αναγνωρίζοντας τα σχετικά μαθηματικά στο πλαίσιο του πραγματικού προβλήματος αναπαριστώντας το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο και παράλληλα οργανώντάς το σύμφωνα με μαθηματικές έννοιες και τη διατύπωση κατάλληλων υποθέσεων κατανοώντας τις σχέσεις μεταξύ της γλώσσας του προβλήματος και της συμβολικής και τυπικής γλώσσας για τη μαθηματική κατανόηση του εντοπίζοντας σχέσεις και μοτίβα. αναγνωρίζοντας πτυχές οι οποίες είναι ανάλογες με αυτές άλλων γνωστών προβλημάτων μεταφράζοντας το πρόβλημα σε μαθηματική λύση, (π.χ. μαθηματικό μοντέλο) Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39

Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003) Δουλεύοντας στον “μαθηματικό κόσμο” (4) (κάθετη μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) χρήση και εναλλαγή μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων χρήση συμβολικής, τυπικής και τεχνικής γλώσσας και διαδικασιών βελτίωση και προσαρμογή του μαθηματικού μοντέλου συνδυασμός και ερμηνεία των μοντέλων επιχειρηματολογία γενίκευση Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39

Ο κύκλος της μοντελοποίησης(PISA, 2003) Επιστρέφοντας στον πραγματικό κόσμο (5) (ερμηνεύοντας και ελέγχοντας την εγκυρότητα τόσο της λύσης, όσο και του μοντέλου) κατανοώντας την έκταση και τους περιορισμούς των μαθηματικών εννοιών αναστοχασμός για τα μαθηματικά επιχειρήματα, για την επεξήγηση και αιτιολόγηση των αποτελεσμάτων συνδέοντας τη διαδικασία και τη λύση μέσω της επικοινωνίας ασκώντας κριτική στο μοντέλο και τους περιορισμούς του Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Πίσω στην παρουσίαση

Παραδείγματα Έργο 1: Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου Έργο 2: Καρδιακοί παλμοί

Παράδειγμα 1: Υπογράφοντας εναντίον… Real - world problem Collecting signatures Carrying them to the Congress Are 11 vans really needed? Συλλέγοντας υπογραφές Μεταφέροντας τις στο κογκρέσο Χρειάζονται πραγματικά 10 φορτηγά; Mathematical Problem How may sheets of paper? What is the volume occupied by n sheets of paper? Πόσα φύλλα χαρτιού; Πόσο όγκο καταλαμβάνουν ν φύλλα χαρτιού; 1 2 3 5 4 Real solution Comparing volumes ( n sheets of paper vs. 11 vans) Arguing about the situation Συγκρίνοντας όγκους ( ν φύλλα χαρτιού και 10 φορτηγών Συζητώντας για την κατάσταση Mathematical solution Arithmetic calculations Calculating a volume Αριθμητικοί υπολογισμοί Υπολογίζοντας τον όγκο 5 «Πραγματικός κόσμος» «Μαθηματικός κόσμος» “ Mathematical world ” “ Real world ” Tasks 1 Έργο 1 Tasks 1 Tasks 1 à à à à Έργο μοντελοποίησης (όλοι οι κύκλοι και τα βήματα πρέπει να ληφθούν υπόψη). Modelling task (all the cycle and steps have to Modelling task (all the cycle and steps have to Modelling task (all the cycle and steps have to be considered) be considered) Το κείμενο-εκφώνηση του έργου Πίσω στην παρουσίαση

Παράδειγμα 2: «Καρδιακοί παλμοί» Real - world problem Two math. models (linear) and a qualitative statement are given. Which age onwards does the new model increase the recommended frequency given by the old one? Δίνονται δύο μαθηματικά μοντέλα (γραμμικά) και μια ποιοτική δήλωση (λεκτική) Από ποια ηλικία και μετά το μοντέλο αυξάνει το μέγιστο επιτρεπτό αριθμό καρδιακών παλμών; Mathematical Problem Comparison of two functions: x / 220 – x < 208 0,7x? Σύγκριση των δύο συναρτήσεων 0,7x; 1 2 3 5 4 Interpreting this inequality in Ερμηνεύοντας αυτή την ανίσωση υπό Mathematical solution Solving a linear inequality: x > 40 Λύνοντας την ανίσωση: Real Real solution solution τους όρους της ηλικίας και του terms of age and 5 μέγιστου επιτρεπτού αριθμού καρδιακών παλμών. recommended max. heart rate. «Πραγματικός κόσμος» «Μαθηματικός κόσμος» “ Mathematical world ” “ Real world ” Εφαρμογή του έργου(τα βήματα 2 και 3 δεν είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη: το μαθηματικό μοντέλο δίνεται Έργα 2 à à à Application task (steps 2 and 3 do not have to be Application task (steps 2 and 3 do not have to be considered: the mathematical model is provided) considered: the mathematical model is provided) Κείμενο-εκφώνηση του έργου Πίσω στην παρουσίαση

Επιπλέον έργα Έργα 40

Έργο 1: «Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου» Πρόσφατα, στις 25 Απριλίου 2006, οι Ισπανοί τάχθηκαν εναντίον ενός νέου νόμου που προώθησε η κυβέρνηση και παρουσίασαν στο κογκρέσο 4.000.000 υπογραφές Όλες οι ισπανικές εφημερίδες δημοσίευσαν φωτογραφίες με τα μεγάλα κουτιά και τα 10 φορτηγά που χρειάζονταν για την μεταφορά των χαρτιών στο κογκρέσο. Πιστεύετε ότι υπήρχε πολιτική πρόθεση πίσω απ ’ όλα αυτά ή ήταν όλα τα κουτιά και με τα φορτηγά πράγματι απαραίτητα για την μεταφορά των 4.000.000 υπογραφών;

Έργο 2: «Καρδιακοί παλμοί» Για λόγους υγείας οι άνθρωποι πρέπει να περιορίσουν τις προσπάθειες τους, για παράδειγμα, στην άθληση τους, ώστε να μην υπερβαίνουν ένας συγκεκριμένος αριθμός καρδιακών παλμών. Για χρόνια, η σχέση μεταξύ του μέγιστου επιτρεπτού αριθμού καρδιακών παλμών ενός ατόμου και της ηλικίας του περιγραφόταν με τον ακόλουθο τύπο: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 220 – ηλικία Πρόσφατη έρευνα έδειξε ότι αυτός ο τύπος πρέπει να τροποποιηθεί κάπως. Ο νέος τύπος είναι ο ακόλουθος: Μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών = 208 – (0.7 x ηλικία) Ένα άρθρο στην εφημερίδα αναφέρει: «Η χρήση του νέου τύπου αντί του παλιού, έχει ως αποτέλεσμα ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός παλμών της καρδιάς ανά λεπτό να είναι ελαφρώς μειωμένος για τα νέα άτομα και ελαφρώς αυξημένος για τους πιο ηλικιωμένους». Από ποια ηλικία και μετά ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός καρδιακών παλμών να αυξάνεται ως αποτέλεσμα της εισαγωγής του νέου τύπου; Να δείξετε πώς εργαστήκατε. Ανάκληση από: www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf

Έργο 3: «Φεστιβάλ μουσικής» Το φεστιβάλ Glastonbury των σύγχρονων εφαρμοσμένων τεχνών είναι το μεγαλύτερο φεστιβάλ μουσικής και φεστιβάλ καλών τεχνών στον κόσμο. Το 2005, το εμβαδόν του ήταν μεγαλύτερο από 3,6 km² και είχε περισσότερες από 385 ζωντανές παραστάσεις. Πολλοί απ ’ τους επισκέπτες του φεστιβάλ μεταφέρουν τα αντίσκηνά τους ώστε να κοιμηθούν στον χώρο του φεστιβάλ. Οι διοργανωτές πρέπει να περιορίσουν τον αριθμό των εισιτηρίων και τον αριθμό των αντίσκηνων, που επιτρέπονται, ώστε να μπορούν να εγγυηθούν την ασφάλεια των επισκεπτών. Τι θα τους συμβουλεύατε να κάνουν; 43

Έργο 4: Φυσικό αέριο Το 1993, τα παγκόσμια αποθέματα φυσικού αερίου υπολογίστηκαν στα 141,8 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα. Από τότε, χρησιμοποιούνται 2,5 δισεκατομμύρια κυβικά μέτρα κατά μέσο όρο κάθε χρόνο. Να υπολογίσετε πότε θα εξαντληθούν τα αποθέματα του φυσικού αερίου. Να κάνετε διαφορετικές υποθέσεις και μοντέλα. Να εξηγήσετε όλα τα βήματά σας. © Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren im Unterricht. Cornelsen Verlag, Berlin 44

Έργο 5: Πασχαλινά αυγά Η Ντανιέλλα βρήκε 23 αυγά. Χάρηκε, επειδή είχε βρει εννιά αυγά περισσότερα απ ’ το Χρήστο. Η Ευγενία χάρηκε ακόμη περισσότερο. Βρήκε ακριβώς τόσα αυγά, όσα η Ντανιέλλα και ο Χρήστος μαζί. Πόσα αυγά βρήκε η Ευγενία; 45

Έργο 6: Γείτονες Κατά τη γνώμη σας, πόσοι άνθρωποι μένουν σ ’ αυτήν την πολυκατοικία; Τα κουδούνια με τα ονόματα των κατοίκων στην είσοδο της πολυκατοικίας © Maaß, Katja (2009): Mathematisches Modellieren im Grundschulunterricht. Cornelsen Verlag, Berlin 46