Τεχνικές υλοποίησης του παγκόσμιου συστήματος αναφοράς μέσω του ITRF (International Terrestrial Reference Frame) αξιοποιώντας παρατηρήσεις VLBI, SLR, DORIS και GPS Α. Δερμάνης

Το διεθνές επίγειο πλαίσιο αναφοράς ITRF (International Terrestrial Reference Frame) Τo ITRF είναι ένας τρόπος υλοποίησης του διεθνούς επίγειου συστήματος αναφοράς ITRS (International Terrestrial Reference System) Αποτελείται από ένα σύνολο αριθμητικών τιμών από τις οποίες μπορούν να υπολογιστούν οι συντεταγμένες σε οποιαδήποτε χρονική τιμή για κάθε ένα σταθμό ενός παγκόσμιου δικτύου ελέγχου Τρέχουσα επιλογή: Οι αριθμητικές παράμετροι είναι οι αρχικές συντεταγμένες x0i = xi(t0) σε μια εποχή αναφοράς t0 και οι σταθερές ταχύτητες vi των σταθμών i του δικτύου. Οι συντεταγμένες για κάθε άλλη στιγμή υπολογίζονται σύμφωνα με το μαθηματικό μοντέλο:

Υπολογισμός των παραμέτρων x0i και vi του ITRF Από την συνόρθωση παρατηρήσεων (μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων) όπου: - Δεδομένα είναι οι «παρατηρήσεις» συντεταγμένων xsi(tk) σταθμών i για τις διάφορες τεχνικές (s = VLBI, SLR, GPS, DORIS) για σειρές χρονικών στιγμών tk (ανά ημέρα, εβδομάδα, VLBI session) - Άγνωστοι είναι οι παράμετροι x0i και vi του ITRF Το μαθηματικό μοντέλο των εξισώσεων παρατήρησης (μετασχηματισμός ομοιότητας):

Το μαθηματικό μοντέλο των παρατηρήσεων

Το μαθηματικό μοντέλο των παρατηρήσεων παρατηρημένες συντεταγμένες κατά τη χρονική στιγμή tk από την διαστημική τεχνική s ως προς το σύστημα αναφοράς της χρονικής στιγμής tk

Το μαθηματικό μοντέλο των παρατηρήσεων συντεταγμένες στο σύστημα αναφοράς του ITRF κατά τη χρονική στιγμή tk της παρατήρησης

λ = παράμετρος κλίμακας θ = γωνίες στροφής Το μαθηματικό μοντέλο των παρατηρήσεων παράμετροι μετασχηματισμού από το σύστημα αναφοράς του ITRF στο σύστημα αναφοράς της διαστημικής τεχνικής s κατά τη χρονική στιγμή tk λ = παράμετρος κλίμακας θ = γωνίες στροφής d = συνιστώσες διανύσματος μετάθεσης

Γραμμικοποίηση του μοντέλου των παρατηρήσεων 1 μικρές παράμετροι μετασχηματισμού 2 διορθώσεις σε προσεγγιστικές συντεταγμένες 3 μοντέλο ITRF (γραμμικό ως προς το χρόνο)

1 Μετασχηματισμός ομοιότητας παράμετροι μετασχηματισμού γωνίες στροφής συνιστώσες παράλληλης μετάθεσης συντελεστής κλίμακας συντεταγμένες πριν και μετά τον μετασχηματισμό

1 Ο προσεγγιστικός μετασχηματισμός ομοιότητας

1 Ο προσεγγιστικός μετασχηματισμός ομοιότητας  0 (όροι 2ης τάξης)

1 Ο προσεγγιστικός μετασχηματισμός ομοιότητας

Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις 2 Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις

Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις 2 Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις

Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις 2 Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις  0 (όροι 2ης τάξης)

Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις 2 Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις  0 (όροι 2ης τάξης)

Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις 2 Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις

Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις 2 Ανάλυση σε προσεγγιστικές συντεταγμένες και διορθώσεις

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF  0 (όροι 2ης τάξης)

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF  0 (όροι 2ης τάξης)

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF

Εφαρμογή του μοντέλου ITRF 3 Εφαρμογή του μοντέλου ITRF

Εξισώσεις παρατηρήσεων για τη δημιουργία του ITRF Τυχαία σφάλματα: Ανηγμένες παρατηρήσεις:

Ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων από όλες τις τεχνικές Για κάθε σταθμό i της τεχνικής s χωριστά: Για κάθε τεχνική s:

Ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων από όλες τις τεχνικές Για όλες τις τεχνικές: Πρόβλημα: Θεωρητικά οι πίνακες συμμεταβλητότητας είναι μη αντιστρέψιμοι λόγω μη ορισμού του συστήματος αναφορας = Κλασσική συνόρθωση με βάρη P = C-1 μη εφαρμόσιμη ! Στην πράξη: Ομαλοί πίνακες συμμεταβλητότητας χρησιμοποιώντας εκ των προτέρων πληροφορία (πρόσθετες μηδενικές ψευδοπαρατηρήσεις)

Ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων από όλες τις τεχνικές Πρόσθετες παρατηρήσεις: Διανύσματα μεταξύ γειτονικών σημείων διαφορετικής τεχνικής στον ίδιο σταθμό (collocation sites), ή διάνυσμα μεταξύ βάθρου αναφοράς και σημείου τεχνικής Παρατηρήσεις wks παραμέτρων περιστροφής της γης (συντεταγμένες πόλου, UT, LOD και παραγώγων των συντεταγμένων πόλου για κάθε τεχνική και εποχή) τελικές τιμές στο σύστημα αναφοράς του ITRF παράμετροι μετασχηματισμού από το σύστημα του ITRF σε εκείνο της τεχνικής s κατά την εποχή tk

tk για την τεχνική s μετατρέπονται μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας με Ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων από όλες τις τεχνικές Κατά τη συνόρθωση οι συντεταγμένες xsi(tk) στο σύστημα αναφοράς της εποχής tk για την τεχνική s μετατρέπονται μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας με Παραμέτρους λsk, θsk, dsk,σε συντεταγμένες xi(t) στο σύστημα αναφοράς του ITRF οι οποίες υπόκεινται στο γραμμικό ως προς το χρόνο μοντέλο Η διαδικασία αυτή ονομάζεται stacking Κατά την ταυτόχρονη (simultaneous) συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων από όλες τις τεχνικές η σχετική διαδικασία μπορεί να χαρακτηριστεί ως simultaneous stacking

Η συνόρθωση όπως εφαρμόζεται από την IERS (International Earth Rotation & Reference Systems Service) Συνόρθωση σε 2 βήματα: (1) stacking για κάθε τεχνική ξεχωριστά  χωριστές εκτιμήσεις παραμέτρων ITRF από κάθε τεχνική (2) συνδυασμός (combination) των χωριστών εκτιμήσεων  τελικές εκτιμήσεις παραμέτρων ITRF

Η συνόρθωση στο βήμα του stacking για κάθε τεχνική χωριστά Με γενική μορφή (για κάθε εποχή tk κάθε σταθμού i μιας τεχνικής s)

Η συνόρθωση στο βήμα του stacking για κάθε τεχνική χωριστά για κάθε εποχή tk κάθε σταθμού i μιας τεχνικής s: για όλους τους σταθμούς κάθε εποχής tk μιας τεχνικής s: για όλους τους σταθμούς και όλες τις εποχές μιας τεχνικής s:

Οι κανονικές εξισώσεις στο βήμα του stacking για κάθε τεχνική χωριστά παρατηρήσεων Κανονικές εξισώσεις Πίνακας κανονικών εξισώσεων μη ομαλός = = άπειρες λύσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς ορισμούς του συστήματος αναφοράς Επειδή οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες του τελικού συστήματος αναφοράς

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Μετασχηματισμός ομοιότητας από συντεταγμένες ITRF σε συντεταγμένες κάθε τεχνικής s: γραμμικοποίηση

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού εφαρμογή μοντέλου ITRF για τη διατήρηση του μοντέλου πρέπει να περιοριστούμε σε παραμέτρους μετασχηματισμού της μορφής = εποχή αναφοράς των δεδομένων από την τεχνική s (VLBI,SLR,GPS,DORIS) = εποχή αναφοράς του ITRF = εποχή αναφοράς των παραμέτρων μετασχηματισμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού εφαρμογή μοντέλου ITRF για τη διατήρηση του μοντέλου πρέπει να περιοριστούμε σε παραμέτρους μετασχηματισμού της μορφής

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού  0 (όροι 2ης τάξης) πρέπει να ισχύει για κάθε t !

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Διαχωρισμός όρων:

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Διαχωρισμός όρων:

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Διαχωρισμός όρων:

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Διαχωρισμός όρων:

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Διαχωρισμός όρων:

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Διαχωρισμός όρων:

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού Απλοποίηση επιλέγοντας Επιπλέον απλοποίηση επιλέγοντας και

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού

Το μαθηματικό μοντέλο για το βήμα του συνδυασμού με διορθώσεις σε προσεγγιστικές συντεταγμένες Απλοποίηση επιλέγοντας και

Οι εξισώσεις παρατηρήσεων για τη συνόρθωση στο βήμα του συνδυασμού Απλοποίηση επιλέγοντας και Γενική μορφή:

Η συνόρθωση στο βήμα του συνδυασμού Για κάθε σταθμό i και κάθε τεχνική s = V, L, G, D: Για όλους τους σταθμούς κάθε τεχνικής s = V, L, G, D:

Η συνόρθωση στο βήμα του συνδυασμού Για κάθε σταθμό i και κάθε τεχνική s = V, L, G, D: Για όλους τους σταθμούς κάθε τεχνικής s = V, L, G, D: Για όλες τις τεχνικές s = V, L, G, D: + πρόσθετες παρατηρήσεις (παράμετροι περιστρoφής και collocation sites)

Οι κανονικές εξισώσεις στο βήμα του συνδυασμού παρατηρήσεων Κανονικές εξισώσεις Πίνακας κανονικών εξισώσεων μη ομαλός = = άπειρες λύσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς ορισμούς του συστήματος αναφοράς Επειδή οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες του τελικού συστήματος αναφοράς

Ορισμός του συστήματος αναφοράς - Στο ταυτόχρονο stacking όλων των τεχνικών (λύση σε ένα βήμα) - Στο stacking ανά τεχνική - Στο συνδυασμό (λύση σε δύο βήματα) Κανονικές εξισώσεις + ελάχιστες δεσμεύσεις

Ορισμός του συστήματος αναφοράς - Στο ταυτόχρονο stacking όλων των τεχνικών (λύση σε ένα βήμα) - Στο stacking ανά τεχνική - Στο συνδυασμό (λύση σε δύο βήματα) Κανονικές εξισώσεις + ελάχιστες δεσμεύσεις Ειδικές περιπτώσεις ελαχίστων δεσμεύσεων: Εσωτερικές δεσμεύσεις: όπου (αλλαγή συστήματος αναφοράς) Μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις:

Ορισμός του συστήματος αναφοράς Αλγεβρικές ελάχιστες δεσμεύσεις (εσωτερικές ή μερικές εσωτερικές) μελέτη μεταβολής παραμέτρων για αλλαγή του συστήματος αναφοράς: ( προσδιορισμός του πίνακα Ε ) ή

Ορισμός του συστήματος αναφοράς Αλγεβρικές ελάχιστες δεσμεύσεις (εσωτερικές ή μερικές εσωτερικές) Κινηματικές ελάχιστες δεσμεύσεις μελέτη μεταβολής παραμέτρων για αλλαγή του συστήματος αναφοράς: αρχή: (διατήρηση του κέντρου βάρους) ( προσδιορισμός του πίνακα Ε ) αξόνες: (μηδενική στροφορμή = ελάχιστη κινητική ενέργεια) ή κλίμακα: (διατήρηση της μέσης τετραγωνικής κλίμακας)

Ορισμός του συστήματος αναφοράς Λεπτομέρειες για τις αλγεβρικές και τις κινηματικές δεσμεύσεις στις εργασίες: Altamimi, Z. & A. Dermanis (2009): The Choice of Reference System in ITRF Formulation. In: N. Sneeuw et al. (eds.), VII Hotine-Marussi Symposium on Mathematical Geodesy, International Association of Geodesy, Symposia 137, pp. 329-334, Springer, Berlin. Altamimi, Z. & A. Dermanis (2011): Theoretical foundations of ITRF determination. The algebraic and the kinematic approach. Volume in honor of Prof. D. Vlachos. Publication of the School of Rural & Surveying Engineering, Aristotle University of Thessaloniki (in print). Για τη σύγκριση μεταξύ των μεθόδων σε ένα βήμα και σε δύο βήματα: Dermanis, A. (2011): On the alternative approaches to IITRF formulation. A theoretical comparison. Proceeding IUGG General Assembly, Melbourne.