Εξισώσεις Παρατηρήσεων στα Τοπογραφικά Δίκτυα

Παρουσίαση με θέμα: "Εξισώσεις Παρατηρήσεων στα Τοπογραφικά Δίκτυα"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εξισώσεις Παρατηρήσεων στα Τοπογραφικά Δίκτυα

2 Γενικό μαθηματικό μοντέλο
Μη-γραμμική εξίσωση πρόσθετες (“αδιάφορες”) παράμετροι : παρατηρούμενο μέγεθος : βασικές άγνωστες παράμετροι (συντεταγμένες σημείων)

3 Γενικό μαθηματικό μοντέλο
Μη-γραμμική εξίσωση πρόσθετες (“αδιάφορες”) παράμετροι : παρατηρούμενο μέγεθος : βασικές άγνωστες παράμετροι (υψόμετρα σημείων)

4 Γενική εξίσωση παρατήρησης
: αριθμητική τιμή πρωτογενούς ή συνθετικής παρατήρησης (γνωστό) : σφάλμα παρατήρησης (άγνωστο)

5 Παρατηρούμενα μεγέθη Οριζόντια δίκτυα Κατακόρυφα δίκτυα Αζιμούθιο
Οριζόντια διεύθυνση Οριζόντια γωνία Οριζόντια απόσταση Οριζόντια δίκτυα Κατακόρυφα δίκτυα Υψομετρικές διαφορές

6 Μη-γραμμικές μορφές των εξισώσεων του μαθηματικού μοντέλου

7 Αζιμούθιο διεύθυνσης y //y Pj yj aij yi Pi xi xj x
 Δεν περιλαμβάνεται στις κλασσικές τοπογραφικές παρατηρήσεις y //y xj - xi yj Pj yj - yi aij yi  “Αισθάνεται” το σύστημα αναφοράς Pi xi xj x

8 Οριζόντια διεύθυνση y //y Pj yj θk ij aij yi Pi xi xj x
Μηδενική διεύθυνση θεοδολίχου  Δεν “αισθάνεται” το σύστημα αναφοράς //y yj Pj θk ij aij  Ύπαρξη σταθεράς προσανατολισμού θk (αδιάφορη παράμετρος) yi Pi xi xj x

9 Οριζόντια διεύθυνση y //y Pj yj θk ij aij yi Pi xi xj x
Μηδενική διεύθυνση θεοδολίχου //y yj Pj θk ij  Είναι δυνατόν να έχουμε πάνω από μία σειρά μετρήσεων οριζοντίων διευθύνσεων από το ίδιο σημείο στάσης του δικτύου aij yi Pi xi xj x

10 Η σταθερά προσανατολισμού
Είναι η γωνία προσανατολισμού της μηδενικής διεύθυνσης του θεοδολίχου

11 Η σταθερά προσανατολισμού
Ο αριθμός των αγνώστων σταθερών προσανατολισμού θk σε μία συνόρθωση δικτύου είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών μετρήσεων οριζοντίων διευθύνσεων που έγιναν από τα διάφορα σημεία στάσης...

12 Οριζόντια γωνία y Pj //y Pk aij ijk aik Pi x
 Δεν “αισθάνεται” το σύστημα αναφοράς y Pj //y  Εμπλέκει 3 σημεία aij Pk ijk  Προσοχή στο διαχωρισμό αριστερού & δεξιού σημείου σκόπευσης aik Pi x

13 Οριζόντια απόσταση y Pj yj Sij yi Pi xi xj x
 “Άμεση” ή “έμμεση” μέτρηση yj Pj Sij yj - yi  Ορίζει την κλίμακα του συστήματος αναφοράς του δικτύου yi Pi xj - xi xi xj x

14 Υψομετρική διαφορά Η Pj Ηj Ηi Pi Η = 0  Ήδη σε γραμμική μορφή !
 Ήδη σε γραμμική μορφή ! Η  Δεν “αισθάνεται” την αρχή (δηλ. την μηδενική επιφάνεια αναφοράς) του ΣΑ Pj Ηj Ηj - Ηi Ηi Pi  Ορίζει την κλίμακα του ΣΑ του κατακόρυφου δικτύου Η = 0

15 Γραμμικοποιημένες μορφές των εξισώσεων του μαθηματικού μοντέλου

16 Γραμμικοποίηση κατά Taylor
Ιακωβιανό διάνυσμα Ιακωβιανός πίνακας

17 Αζιμούθιο διεύθυνσης Μαθηματικό μοντέλο (μη-γραμμικό):
Μαθηματικό μοντέλο (γραμμικοποιημένο):

18 Αζιμούθιο διεύθυνσης Μερικές παράγωγοι
Υπολογισμός με την χρήση προσεγγιστικών συντεταγμένων για τα σημεία του δικτύου...

19 Αζιμούθιο διεύθυνσης Υπολογισμός προσεγγιστικής τιμής της παρατήρησης αζιμουθίου με διερεύνηση τεταρτημορίου...

20 Αζιμούθιο διεύθυνσης Γραμμικοποιημένη εξίσωση παρατήρησης
προσοχή στις μονάδες... rad/m → cc/cm (πολλαπλασιασμός με 20000/)

21 Οριζόντια διεύθυνση Μαθηματικό μοντέλο (μη-γραμμικό):
Μαθηματικό μοντέλο (γραμμικοποιημένο):

22 Οριζόντια διεύθυνση Μερικές παράγωγοι
Υπολογισμός με την χρήση προσεγγιστικών συντεταγμένων για τα σημεία του δικτύου...

23 Οριζόντια διεύθυνση Υπολογισμός προσεγγιστικής τιμής του αζιμουθίου
με διερεύνηση τεταρτημορίου... Υπολογισμός προσεγγιστικής τιμής της σταθεράς προσανατολισμού και της παρατήρησης οριζόντιας διεύθυνσης

24 Οριζόντια διεύθυνση Γραμμικοποιημένη εξίσωση παρατήρησης
προσοχή στις μονάδες... rad/m → cc/cm (πολλαπλασιασμός με 20000/)

25 Οριζόντια γωνία Ομοίως με τα προηγούμενα...

26 Οριζόντια απόσταση Μαθηματικό μοντέλο (μη-γραμμικό):
Μαθηματικό μοντέλο (γραμμικοποιημένο):

27 Οριζόντια απόσταση Μερικές παράγωγοι
Υπολογισμός με την χρήση προσεγγιστικών συντεταγμένων για τα σημεία του δικτύου...

28 Οριζόντια απόσταση Υπολογισμός προσεγγιστικής τιμής της παρατήρησης της απόστασης

29 Οριζόντια απόσταση Γραμμικοποιημένη εξίσωση παρατήρησης
προσοχή στις μονάδες... καθαροί αριθμοί

30 Υψομετρική διαφορά Εξίσωση μαθηματικού μοντέλου:
Βασική εξίσωση παρατήρησης: Εναλλακτική μορφή εξίσωσης παρατήρησης (χωρίς τη χρήση προσεγγιστικών υψομέτρων) ήδη σε γραμμική μορφή

31 Υψομετρική διαφορά Εξίσωση μαθηματικού μοντέλου:
Βασική εξίσωση παρατήρησης: Εναλλακτική μορφή εξίσωσης παρατήρησης (με τη χρήση προσεγγιστικών υψομέτρων) ήδη σε γραμμική μορφή

32 Προετοιμασία για τη συνόρθωση...
Προ-επεξεργασία παρατηρήσεων... Υπολογισμός προσεγγιστικών συντεταγμένων Υπολογισμός προσεγγιστικών τιμών για τις υπόλοιπες άγνωστες παραμέτρους Υπολογισμός προσεγγιστικών τιμών για τα παρατηρούμενα μεγέθη Δημιουργία του πίνακα σχεδιασμού Α Δημιουργία του διανύσματος των ανηγμένων παρατηρήσεων b Δημιουργία του πίνακα βάρους των παρατηρήσεων P

33 Δημιουργία του συστήματος των γραμμικοποιημένων εξισώσεων παρατήρησης σε ένα δίκτυο

34 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Τοπογραφικό δίκτυο Ν σημείων στο οποίο θα χρησιμοποιηθούν n παρατη-ρήσεις για την τελική του συνόρθωση... * έχει προηγηθεί η διαδικασία της προ-επεξεργασίας των πρωτογενών μετρήσεων που εκτελέστηκαν στο δίκτυο

35 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Διανύσματα παρατηρούμενων μεγεθών, παρατηρήσεων και σφαλμάτων των παρατήρησεων Γνωστές τιμές παρατηρήσεων...

36 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Διανύσματα αγνώστων παραμέτρων, προσεγγιστικών τιμών των παραμέτρων και διορθώσεων των προσεγγιστικών τιμών των παραμέτρων γνωστό..

37 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Διανύσματα αγνώστων παραμέτρων, προσεγγιστικών τιμών των παραμέτρων και διορθώσεων των προσεγγιστικών τιμών των παραμέτρων γνωστό..

38 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Διανύσματα προσεγγιστικών τιμών των παρατηρού-μενων μεγεθών, και ανηγμένων παρατηρήσεων Οι μονάδες όλων των γραμμικών μεγεθών σε cm Οι μονάδες όλων των γωνιακών μεγεθών σε cc Οριζόντιο δίκτυο

39 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Διανύσματα προσεγγιστικών τιμών των παρατηρού-μενων μεγεθών, και ανηγμένων παρατηρήσεων Οι μονάδες όλων των μεγεθών σε cm Κατακόρυφο δίκτυο

40 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Συνολικός πίνακας σχεδιασμού του δικτύου συντεταγμένες σημείων “αδιάφορες” παράμετροι * όλα τα στοιχεία του Α που αντιστοιχούν σε μερικές παραγώγους γωνιακών παρατηρήσεων ως προς τις συντεταγμένες σημείων, πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τον σταθερό συντελεστή 20000/...

41 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Συνολικός πίνακας σχεδιασμού του δικτύου Υψόμετρα σημείων * Στην περίπτωση συνόρθωσης κατακόρυφου δικτύου, οι τιμές των στοιχείων του πίνακα Α είναι πάντα 1, -1 ή 0...

42 Σύστημα εξισώσεων παρατήρησης
Έτσι τελικά, φτάνουμε στο γραμμικοποιημένο σύστημα των εξισώσεων παρατήρησης στο δίκτυο το οποίο πρέπει να επιλυθεί (συνορθωθεί), οδηγώντας σε μία μοναδική και βέλτιστη λύση για τα άγνωστα μεγέθη

43 Δημιουργία του πίνακα βάρους των παρατηρήσεων για την συνόρθωση του δικτύου

44 Γενικό μοντέλο Gauss-Markov
Στοχαστικό μοντέλο Γενικό μοντέλο Gauss-Markov Τα σφάλματα μοντελοποιούνται ως τυχαίες μεταβλητές με μηδενική προσδοκία και γνωστό πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων. Σύμφωνα με τα παραπάνω, έχουμε ...δεν υπάρχουν συστηματικά/χονδροειδή σφάλματα στις μετρήσεις του δικτύου, ή άλλα σφάλματα μοντελοποίησης

45 Γενικό μοντέλο Gauss-Markov
Στοχαστικό μοντέλο Γενικό μοντέλο Gauss-Markov Τα σφάλματα μοντελοποιούνται ως τυχαίες μεταβλητές με μηδενική προσδοκία και “παραγοντοποιημένο” πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων. α-priori μεταβλητότητα αναφοράς (αδιάστατος “συντελεστής κλίμακας” που ρυθμίζει την απόλυτη ακρίβεια όλων των παρατηρήσεων στο δίκτυο συνολικά)

46 Στοχαστικό μοντέλο Γενική επιλογή του πίνακα βάρους των παρατηρήσεων
Αν η τιμή της α-priori μεταβλητότητας αναφοράς είναι άγνωστη (τι σημαίνει αυτό στην πράξη;), τότε έχουμε την εναλλακτική επιλογή του πίνακα βάρους

47 Γενική διατύπωση προβλήματος
Γενικό μοντέλο Gauss-Markov Τα σφάλματα μοντελοποιούνται ως τυχαίες μεταβλητές με μηδενική προσδοκία και “παραγοντοποιημένο” πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων. Εκτιμήσεις των αγνώστων ποσοτήτων Γνωστά Συνόρθωση δικτύου