Διασκεδάζοντας με τα μαθηματικά Διασκεδάζοντας με τα μαθηματικά Δρ. Σάλτας Βασίλειος Επιστημονικός Συνεργάτης ΚΤΕ – ΑΜΘ, ΤΕΙ Καβάλας

ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγή ΤΟ ΜΕΓΑΛΕΙΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ιστορία μαθηματικών Λαϊκή παράδοση Παροιμίες Μαθηματικά παιχνίδια Εφαρμογή μαθηματικών 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Ιστορικά μαθηματικά γεγονότα Πέρασμα από τα στάδια γέννησης μιας μαθηματικής έννοιας Ιστορικές ασκήσεις και παροιμίες Κατανόηση του πως μια μαθηματική έννοια γεννήθηκε και αναπτύχθηκε Παράδειγμα: απόδειξη Πυθαγορείου Θεωρήματος από τους μαθητές και η σχέση του με την άλγεβρα - ενός βασικού θεωρήματος που χρειάστηκαν εκατοντάδες χρόνια έως την απόδειξή του από τους Αρχαίους Έλληνες Αύξηση του ενδιαφέροντος των μαθητών για τα μαθηματικά 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Γεωμετρικές αναφορές Υπολογισμός ύψους πυραμίδας Προσδιορισμός απόστασης Η «χρυσή τομής» στην Αρχαία Ελλάδα Θέση αρχαιοελληνικών πόλεων Μυστικό σύμβολο Πυθαγόρειας Σχολής 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Υπολογισμός ύψους πυραμίδας V B A C O D  V΄ O΄ P΄ 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Προσδιορισμός απόστασης  D A B C E    3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Η «χρυσή τομή» στην Αρχαία Ελλάδα «Να διαιρεθεί δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα σε δυο άνισα τμήματα, έτσι ώστε το μήκος ολόκληρου του τμήματος προς το μήκος του μεγαλύτερου να ισούται με το λόγο του μεγαλύτερου προς το μικρότερο τμήμα.» (Εύδοξος 408 – 355 π.Χ.) 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Ειδική περίπτωση «χρυσής τομής» 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Αρχαιολογικός χάρτης Αττικής - Βοιωτίας Ορχομενός Χαλκίδα Δελφοί Θήβα Δαυλιά Αθήνα Χαιρώνεια Ελευσίνα Κόρινθος Πόρτο Ράφτη Επίδαυρος Σούνιο Ναός Αφαία 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Συμβολισμοί αρχαίων πόλεων και ναών 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Γεωμετρική ερμηνεία θέσεων πόλεων, ναών 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Λοιπές γεωμετρικές παρατηρήσεις 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Μυστικό σύμβολο Πυθαγόρειας Σχολής Η σχέση της «χρυσής τομής» με το «μυστικό σύμβολο» της Πυθαγόρειας Σχολής 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Αρχαιοελληνική αρχιτεκτονική Αρχαίο θέατρο Επιδαύρου (5ο αιώνα π.Χ.) Τα σκαλοπάτια χωρίζονται σε δυο ομάδες των M=34 και m=21 σκαλιών, τα οποία επαληθεύουν τη σχέση: 21-σκαλιά 34- σκαλιά 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Γεωμετρική άλγεβρα Υπολογισμός αθροίσματος τετραγώνου Λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης Πυθαγόρειο Θεώρημα Αλγεβρικές αναφορές Ομηρικά μαθηματικά Αρχαιοελληνική αριθμολογία Πυθαγόρειο Θεώρημα και αριθμολογία Διασκεδαστικό ιστορικό πρόβλημα 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Γεωμετρική άλγεβρα – σχόλια α2 α E=α2 α b α.b E=α.b 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 16

Υπολογισμός τετραγώνου αθροίσματος (α+b)2=α2+2α.b+b2 Ανάλογα (α-b)2=α2-2α.b+b2 b α K Λ Μ Ν α B α2 α.b Εμβαδόν: (α+b)2 α+b A m b b2 n (α+b)2=α2+α.b+α.b+b2=α2+2α.b+b2 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης x2+α.x=b2 K Λ Μ Ν Εμβαδόν: 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 18

Παρατηρήσεις στη λύση Λ K Ν Μ Εμβαδόν: 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 19

Τελική Ευκλείδεια κατασκευή A Γ Β 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 20

Σύγχρονη λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 21

Αλγεβρικές αναφορές 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Ομηρικά μαθηματικά Άθροισμα: 3498 Άθροισμα: 3498 (Μετάφραση: «Αλλ’ υποχώρησε (ο Έκτωρ) και σήκωσε με το γερό του χέρι μια πέτρα, η οποία ήταν στο έδαφος, μαύρη και τραχειά και πολύ μεγάλη») 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Ακόμη ένα παράδειγμα 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 24

Αρχαιοελληνική αριθμολογία Ιπόλλυτος (2ος αιώνας μ.Χ.) – πυθμένες αριθμών Ἀχιλλεύς Ἕκτωρ 5+20+300+800+100 1+600+10+30+30+5+400+6 Ἀχιλλεύς νίκησε Ἕκτωρ 5+2+3+8+1 1+6+1+3+3+5+4+6 19 29 1+1=2 > 1=1+0 1+9=10 2+9=11 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 25

Πυθαγόρειο Θεώρημα και αριθμολογία Πυθαγόρας Σάμιος Πυθμένας: 4 Πυθμένας: 3 Πέθανε το 500 π.Χ. Πυθμένας: 5 Πυθαγόρειο Θεώρημα: 52=32+42 Τυχαίο γεγονός; 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 26

Διασκεδαστικό ιστορικό πρόβλημα Νικόμαχος (3ος αιώνας μ.Χ.) Εύρεση αριθμού από 7 έως 105 (για παράδειγμα: 28) 28 3 1 9 28 5 3 28 7 4 1x70=70 3x21=63 0x15=0 70+63+0=133 133 – 105=28 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Σύγχρονα διασκεδαστικά μαθηματικά προβλήματα Η πρακτική αριθμητική: μαθηματικά με ευρεία πρακτική εφαρμογή Κατηγορίες προβλημάτων Προβλήματα, τα οποία ο μαθητής μόνος του μπορεί να λύσει και να χρησιμοποιήσει Προβλήματα, τα οποία ο μαθητής μπορεί να λύσει και να χρησιμοποιήσει με βοήθεια Προβλήματα, τα οποία ο μαθητής δεν μπορεί να λύσει και να χρησιμοποιήσει, στο συγκεκριμένο επίπεδο γνώσης του, ούτε με σχετική βοήθεια 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Εισαγωγή Πλάτωνας (σχετικά με τις μαθηματικές αντιλήψεις των αρχαίων Αιγυπτίων): «Σε ότι αφορά την αριθμητική εκεί, ειδικά για τα παιδιά, έχουν εφευρεθεί τέτοια διδακτικά εγχειρίδια που να κάνουν την εκμάθηση τόσο ευχάριστη, όσο ευχάριστα είναι και τα παιχνίδια» 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Χαρακτηριστικά παραδείγματα Υποδειγματικά λύνονται, με μαθηματικό και μη μαθηματικό τρόπο, 6 προβλήματα μαθηματικού περιεχομένου Πρόβλημα 1 (αριθμητική) Πρόβλημα 2 (γεωμετρία) Πρόβλημα 3 (πρακτική) Πρόβλημα 4 (πρακτική) Πρόβλημα 5 (πρακτική – γεωμετρία) Πρόβλημα 6 (πρακτική) 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 1 Διαθέτουμε 14 σπίρτα. Μόνο με μια κίνηση ενός μόνο σπίρτου να προκύψει αληθής ισότητα Απάντηση 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 2 Να διαιρεθεί το τραπέζιο, το οποίο είναι κατασκευασμένο από 10 σπίρτα, σε 4 ισεμβαδικά τραπέζια, αν χρησιμοποιηθούν ακόμη 5 σπίρτα Απάντηση 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 3 Μαθηματικό μοντέλο Τρεις άντρες πήγαν στον κουρέα. Αφού κουρεύτηκε ο πρώτος, ο κουρέας τους είπε: -Κοίτα πόσα χρήματα υπάρχουν στο ταμείο, βάλλε άλλα τόσα και πάρε 10€ ρέστα. Το ίδιο είπε και στους άλλους δυο. Αφού έφυγαν και οι τρεις άντρες, ο κουρέας διαπίστωσε ότι στο ταμείο δεν υπάρχουν χρήματα. Πόσα είχε στην αρχή μέσα στο ταμείο; Μαθηματικό μοντέλο 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 3 – πρόταση λύσης .2 -10 .2 17,5 7,5 x 15 8,75€ :2 +10 :2 -10 +10 :2 +10 5 10 .2 -10 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 4 Μαθηματικό μοντέλο Σε μια γιορτή χορεύονται δυο χοροί. Αν από τον πρώτο χορό φύγει ένας χορευτής και πάει στο δεύτερο χορό, τότε οι χορευτές των δυο χορών θα είναι ίσοι στον αριθμό. Αν από το δεύτερο χορό φύγει ένας χορευτής και πάει στον πρώτο χορό, τότε οι χορευτές του πρώτου χορού θα είναι 2 φορές περισσότεροι από τους χορευτές του δεύτερου χορού. Πόσοι είναι οι χορευτές σε κάθε χορό; Μαθηματικό μοντέλο 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 4 – πρόταση λύσης -1 +1 7 x y +1 5 -1 -1 +1 +1 :2 -1 .2 Από το σχήμα λαμβάνεται, ότι: και επίσης 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 36

Πρόβλημα 5 Γεωργός έχει ένα κτήμα σχήματος τετραγώνου ΑΒΓΔ, στις τέσσερις άκρες – γωνίες του οποίου έχει τοποθετήσει από ένα δέντρο. Μετά από κάποια χρόνια θέλησε να αυξήσει το κτήμα του κατά το διπλάσιο. Πώς μπορεί να υλοποιηθεί αυτό, υπό την προϋπόθεση, ότι τα τέσσερα δέντρα θα βρίσκονται εκ νέου στην περιφέρεια του κτήματος; 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 5 - λύση Ε Α Β Ε1 Α Β Θ Ζ Γ Δ Γ Δ Η 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 38

Πρόβλημα 5 – σχόλια Κατασκευάζονται ευθύγραμμα τμήματα: ΗΖ//ΒΓ και ΕΘ//ΒΓ Κατασκευάζονται ευθύγραμμα τμήματα: ΖΕ//ΑΔ και ΘΗ//ΑΔ Σημεία τομής: Ε, Ζ, Η, Θ ΕΕΖΗΘ=8.Ε1 ΕΑΒΓΔ=4.Ε1 Οπότε: ΕΕΖΗΘ=2.ΕΑΒΓΔ 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 39

Πρόβλημα 6 Σε ένα πακέτο υπάρχουν 9 κιλά ζάχαρη, την οποία θέλουμε να μοιράσουμε σε δυο συσκευασίες, μια των 7 κιλών και μια των 2 κιλών. Πώς δύναται να υλοποιηθεί αυτό, αν διαθέτουμε μια ζυγαριά, σταθμά συνολικού βάρους 0,250 κιλών και υπό την προϋπόθεση ότι θα ζυγίζουμε μόνο 3 φορές; 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 6 - λύση 9 κιλά 1ο ζύγισμα: 4,5 κιλά 4,5 κιλά 2ο ζύγισμα: 2,250 κιλά 2,250 κιλά 3ο ζύγισμα: 2,250 κιλά 2+0,250 κιλά 4,5 κιλά+2,250 κιλά+0,250 κιλά=7 κιλά 2 κιλά 1η συσκευασία 2η συσκευασία 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Με τον τρόπο αυτό απομένουν: Πρόβλημα 6 - σχόλια Αρχικά χωρίζουμε τα 9 κιλά, με τη βοήθεια της ζυγαριάς, στη μέση, σε 4,5 κιλά και 4,5 κιλά. Τα δεύτερα 4,5 κιλά τα κρατάμε στην άκρη. Εν συνεχεία χωρίζουμε στη μέση τα 4,5 κιλά, σε 2,250 κιλά και 2,250 κιλά. Τα πρώτα 2,250 κιλά τα κρατάμε στην άκρη. Με τη βοήθεια της ζυγαριάς και των σταθμών που διαθέτουμε, χωρίζουμε τα δεύτερα 2,250 κιλά σε 2 κιλά και 0,250 κιλά. Με τον τρόπο αυτό απομένουν: 4,5 κιλά + 2,250 κιλά + 0,250 κιλά = 7 κιλά. 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 42

Προτεινόμενα προβλήματα Προτείνονται τρία προβλήματα πρακτικού – μαθηματικού περιεχομένου Πρόβλημα 7 (πρακτική) Πρόβλημα 8 (πρακτική) Πρόβλημα 9 (πρακτική) 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Από πόσα καρύδια έχουν τα δυο παιδιά; Πρόβλημα 7 Δυο παιδιά έχουν καρύδια. Το ένα είπε στο άλλο: - Δώσε μου δυο από τα δικά σου καρύδια και τα δικά μου θα γίνουν όσα και τα δικά σου. Το δεύτερο παιδί είπε στο πρώτο: - Δώσε μου τρία από τα δικά σου καρύδια και τα δικά μου θα γίνουν δυο φορές όσα και τα δικά σου. Από πόσα καρύδια έχουν τα δυο παιδιά; 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πόσα χρήματα πήρε ο καθ’ ένας; Πρόβλημα 8 Τέσσερα αδέλφια χωρίζουν μεταξύ τους 450€. Αν στον 1ο δώσουμε ακόμη 20€, ενώ από τον 2ο πάρουμε 20€, τα χρήματα του 3ου τα διπλασιάσουμε και τα χρήματα του 4ου τα υποδιπλασιάσουμε, τότε τα 4 αδέλφια θα έχουν τα ίδια χρήματα. Πόσα χρήματα πήρε ο καθ’ ένας; 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Πρόβλημα 9 Σε ένα χωράφι βόσκουν αρκετά άλογα και ήρθαν και κάποια παιδιά. Το μεγαλύτερο απ’ αυτά είπε: -Ανεβείτε από ένας σε κάθε άλογο. Ένα όμως από τα παιδιά δεν μπόρεσε ν’ ανέβει, γιατί δεν υπήρχε άλλο ελεύθερο άλογο. Τότε το μεγαλύτερο παιδί είπε: -Κατεβείτε και ξανανεβείτε από δυο σε κάθε άλογο. Τότε ένα από τ’ άλογα έμεινε χωρίς αναβάτη. Πόσα άλογα και πόσα παιδιά ήταν; 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.) 46

Συμπεράσματα 3/4/2017 Δρ. Σάλτας Β. (Κ.Τ.Ε. - Α.Μ.Θ.)

Σας Ευχαριστούμε! Δρ. Σάλτας Βασίλειος Κέντρο Τεχνολογικής Έρευνας ΑΜΘ, ΤΕΙ Καβάλας E-mail: coin_kav@otenet.gr