Μοντελοποίηση Έργα Μαθήματα Αξιολόγηση Αναστοχασμός Μαθήματα

Μαθήματα Ικανότητες Μοντελοποίηση Έργα Μαθήματα Αξιολόγηση Αναστοχασμός Μαθήματα Ικανότητες

Φάση 2 Φάση 1

Φάση 1η

Στόχοι Πρέπει να σκεφτείτε: Τις υπό-ικανότητες που χρειάζεται να έχουν οι μαθητές κατά τη διάρκεια της μοντελοποίησης. Πώς θα γίνει ο σχεδιασμός των μαθημάτων, τα οποία θ ’ αποβλέπουν στην ενίσχυση της ανάπτυξης συγκεκριμένων ικανοτήτων μοντελοποίησης από μέρους των μαθητών. Πώς θ ’ αναπτυχθούν οι ικανότητες συλλογισμού των μαθητών.

Αποτελέσματα Πρέπει: Ν ’ αναπτύξετε ορισμένες δραστηριότητες για την ενίσχυση και προώθηση συγκεκριμένων ικανοτήτων μοντελοποίησης και να οργανώσετε τη χρήση των δραστηριοτήτων αυτών.

Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Παρουσίαση της εργασίας Κατασκευή του μοντέλου Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα 1 2 3 Έλεγχος εγκυρότητας και αναστοχασμός Δουλεύοντας με ακρίβεια 5 4 Πραγματική λύση Ερμηνεύοντας Μαθηματική λύση 5 “Πραγματικός κόσμος” “Μαθηματικός κόσμος”

Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Η μοντελοποίηση απαιτεί υπό-ικανότητες και ικανότητες που σχετίζονται με την όλη διαδικασία Παρουσίαση της εργασίας Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Κατασκευή μοντέλου 1 2 Μαθηματικό πρόβλημα 3 Έλεγχος εγκυρότητας και αναστοχασμός Δουλεύοντας με ακρίβεια 5 4 Πραγματική λύση Ερμηνεύοντας Μαθηματική λύση 5 Πραγματικός κόσμος Μαθηματικός κόσμος Gives an overview for the participants about working process. Questions may arise in connection with this, but it should not take too much time

Ο κύκλος μοντελοποίησης (PISA, 2003) Από το «πραγματικό πρόβλημα» στο «μαθηματικό πρόβλημα» (1, 2, 3) (Οριζόντια μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) αναγνωρίζοντας τις σχετικές μαθηματικές έννοιες στο πλαίσιο του πραγματικού προβλήματος. αναπαριστώντας το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο, οργανώνοντάς το σύμφωνα με μαθηματικές έννοιες και τη διατύπωση κατάλληλων υποθέσεων. κατανοώντας τις σχέσεις μεταξύ της γλώσσας του προβλήματος και της συμβολικής και τυπικής γλώσσας, ώστε να γίνει μαθηματικά κατανοητό. εντοπίζοντας σχέσεις και μοτίβα. αναγνωρίζοντας πτυχές που το κάνουν να μοιάζει μ ’ άλλα γνωστά προβλήματα. μεταφράζοντας το πρόβλημα σε μαθηματική λύση (π.χ. μαθηματικό μοντέλο). Οικοδομώντας το μοντέλο Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39

Ο κύκλος της μοντελοποίησης (PISA, 2003) Δουλεύοντας στο “μαθηματικό κόσμο” (4) (Κάθετη μαθηματικοποίηση, De Lange, 1987) χρήση και εναλλαγή μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων χρήση συμβολικής, τυπικής και τεχνικής γλώσσας και διαδικασιών βελτίωση και προσαρμογή του μαθηματικού μοντέλου συνδυασμός και ερμηνεία των μοντέλων επιχειρηματολογία γενίκευση Modeling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Δουλεύοντας με ακρίβεια

Έλεγχος της εγκυρότητας και αναστοχασμός Ο κύκλος της μοντελοποίησης(PISA, 2003) Επιστρέφοντας στον πραγματικό κόσμο (5) (ερμηνεύοντας και ελέγχοντας την εγκυρότητα τόσο της λύσης, όσο και του μοντέλου) κατανοώντας την έκταση και τους περιορισμούς των μαθηματικών εννοιών αναστοχασμός για τα μαθηματικά επιχειρήματα, για την επεξήγηση και αιτιολόγηση των αποτελεσμάτων συνδέοντας τη διαδικασία και τη λύση μέσω της επικοινωνίας ασκώντας κριτική στο μοντέλο και τους περιορισμούς του Modelling (mathematization) process – PISA framework 2003 – p. 39 Επιστροφή στην παρουσίαση Ερμηνεύοντας Έλεγχος της εγκυρότητας και αναστοχασμός

Συζήτηση Η παρακάτω παρατήρηση αποτελεί σχόλιο εκπαιδευτικών, οι οποίοι είχαν ασχοληθεί με τη μοντελοποίηση στα μαθήματα τους: «Για να υποστηριχθεί η ανάπτυξη των ικανοτήτων μοντελοποίησης, οι μαθητές πρέπει πρώτα ν ’ ασχοληθούν και να εργαστούν σε κάθε στάδιο της μοντελοποίησης ξεχωριστά. Μόνο όταν μπορέσουν να εκτελέσουν ξεχωριστά το κάθε βήμα, θα είναι η κατάλληλη στιγμή να τους δοθούν έργα που θ ’ απαιτούν την εκτέλεση όλης της διαδικασίας της μοντελοποίησης».

Δραστηριότητα 1 Φανταστείτε ότι εκτελείτε τη δραστηριότητα «Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου» που συναντήσατε στην ενότητα «Τι είναι μοντελοποίηση;» με μια ομάδα μαθητών. Θέλετε να βοηθήσετε τους μαθητές σας στην «Καστασκευή του μοντέλου». Τώρα θα εργαστείτε ως μαθητές. Θα σας δοθεί μια σειρά από κάρτες. Συνδυάστε κάθε κάρτα με μια απ ’ τις τρεις ομάδες που παρουσιάζονται πιο κάτω. Οι ομάδες περιλαμβάνουν: γεγονότα που πρέπει να χρησιμοποιήσετε γεγονότα που δεν χρειάζεστε υποθέσεις που πρέπει να κάνετε

Έργο 1: «Υπογράφοντας εναντίον ενός νέου νόμου» Πρόσφατα, στις 25 Απριλίου 2006, οι Ισπανοί τάχθηκαν εναντίον ενός νέου νόμου που προώθησε η κυβέρνηση και παρουσίασαν στο κογκρέσο 4.000.000 υπογραφές. Όλες οι ισπανικές εφημερίδες δημοσίευσαν φωτογραφίες με τα μεγάλα κουτιά και τα 10 φορτηγά που χρειάζονταν για τη μεταφορά των υπογραφών στο κογκρέσο. Πιστεύετε ότι υπήρχε πολιτική πρόθεση πίσω απ ’ αυτό το γεγονός ή ήταν όλα τα κουτιά και με τα φορτηγά πράγματι απαραίτητα για τη μεταφορά των 4.000.000 υπογραφών;

Δραστηριότητα 2 Να εργαστείτε μ ’ ένα συνάδελφό σας στο ακόλουθο έργο. Διαδρομή Πόση απόσταση υπάρχει μεταξύ δύο πόλεων; Αν ταξιδέψετε με αυτοκίνητο; Σε ευθεία γραμμή; Αν γνωρίζεις τη μια απόσταση μπορείς να προβλέψεις την άλλη;

Δραστηριότητα 2 (συνέχεια…) Τώρα συμβουλευτείτε και συζητείστε μ ’ ένα άλλο ζευγάρι, το οποίο εργάστηκε με διαφορετικά δεδομένα. Σκεφτείτε την εγκυρότητα των λύσεων σας. Κάποιες ερωτήσεις για προβληματισμό: Υπάρχει κάποια λύση που είναι καλύτερη για μεγαλύτερες αποστάσεις; Υπάρχει κάποια λύση που είναι καλύτερη για μικρότερες αποστάσεις; Αν έπρεπε να προτείνετε μόνο μια λύση, ποιά θα ήταν αυτή;

Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Έλεγχος εγκυρότητας και αναστοχασμός Δραστηριότητα 3 (προαιρετική) Προσπαθήστε να αναπτύξετε / χρησιμοποιήσετε ένα έργο, για να επικεντρωθείτε σε μια συγκεκριμένη υπό-ικανότητα της διαδικασίας μοντελοποίησης Παρουσίαση της εργασίας Πραγματικός κόσμος Μαθηματικός κόσμος 1 2 3 4 5 Πρόβλημα πραγματικού κόσμου Μαθηματικό πρόβλημα Μαθηματική λύση Πραγματική λύση Έλεγχος εγκυρότητας και αναστοχασμός Κατασκευή του μοντέλου Δουλεύοντας με ακρίβεια Ερμηνεύοντας

Ικανότητες μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης των επιμέρους βημάτων της μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης ολόκληρης της διαδικασίας της μοντελοποίησης Ικανότητες αιτιολόγησης αποφάσεων των σχετικών με τη διαδικασία της μοντελοποίησης Μεταγνωστικές ικανότητες μοντελοποίησης

Δραστηριότητα 4 Είστε στο «Europa park» και θέλετε να επισκεφτείτε ένα συγκεκριμένο αξιοθέατο του πάρκου, όπου υπάρχει σειρά αναμονής 70 μέτρων. Πόσο χρόνο πρέπει να περιμένετε;

Δραστηριότητα 4 Κάντε μια αφίσα με τη λύση σας. Σε κάθε βήμα, παρουσιάστε τους λόγους που σας οδήγησαν στις αποφάσεις, που έχετε λάβει. Αιτιολογείστε τις επιλογές σας! Ρωτήστε «Γιατί;»

Συζήτηση στην ολομέλεια Πώς μπορούν οι μαθητές να μάθουν να σκέφτονται στα μαθηματικά; «Ο συλλογισμός είναι σημαντικό θέμα σ ’ άλλα μαθήματα, όχι, όμως, στα μαθηματικά». «Είτε οι μαθητές ξέρουν ν ’ αιτιολογούν είτε όχι, δεν υπάρχει κανένας τρόπος να υποστηρίξουμε αυτή την ικανότητα στα μαθήματα των μαθηματικών».

Συζήτηση στην ολομέλεια «Προσπάθησα να κάνω τους μαθητές να γράψουν τους λόγους για τους οποίους έλαβαν κάποιες αποφάσεις, όμως, απλά δεν μπορούν να το κάνουν. Γι΄αυτό τα παρατάω». «Οι μαθητές μπορούν να ελέγχουν την εγκυρότητα των έργων, όταν τους ζητηθεί να το κάνουν στα «έργα ελέγχου εγκυρότητας». Όμως, πάντοτε το ξεχνούν, όταν εκτελούν όλη τη διαδικασία της μοντελοποίησης, γι΄αυτό και δεν υπάρχει καμιά χρησιμότητα σ ’ αυτά τα έργα». «Αν οι μαθητές παρουσιάζουν τις μεθόδους τους στους συμμαθητές τους στην ολομέλεια της τάξης και τα αποτελέσματα συζητιούνται και κρίνονται, τότε μαθαίνουν να συλλογίζονται και να δικαιολογούν τις μεθόδους τους».

Στόχοι Πρέπει να σκεφτείτε: Τις υπό-ικανότητες που απαιτούνται απ ’ τους μαθητές κατά τη διάρκεια της μοντελοποίησης. Πώς θα γίνει ο σχεδιασμός μαθημάτων, που θ ’ αποβλέπουν στην ενίσχυση της ανάπτυξης συγκεκριμένων ικανοτήτων μοντελοποίησης από μέρους των μαθητών. Πώς θα υποστηριχθούν οι ικανότητες συλλογισμού των μαθητών.

Αποτελέσματα Πρέπει: Ν ’ αναπτύξετε ορισμένα έργα για την ενίσχυση και προώθηση συγκεκριμένων ικανοτήτων μοντελοποίησης και να οργανώσετε την χρήση των δραστηριοτήτων αυτών.

Φάση 2 Μετάγνωση

Ικανότητες μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης των επιμέρους βημάτων της μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης ολόκληρης της διαδικασίας της μοντελοποίησης Ικανότητες δικαιολόγησης αποφάσεων των σχετικών με τη διαδικασία της μοντελοποίησης Μεταγνωστικές ικανότητες μοντελοποίησης

Στόχοι Σ ’ αυτήν την περίπτωση πρέπει να σκεφτείτε τα εξής: Γιατί είναι σημαντική μια γενική ιδέα του κύκλου μοντελοποίησης για τους μαθητές. Πώς θα υποστηριχθούν οι μαθητές στην ανάπτυξη μεταγνωστικών στρατηγικών.

Αποτελέσματα Θα σχεδιάσετε σχήματα για τον κύκλο μοντελοποίησης ή θα υιοθετήσετε κάποια στοιχεία για τη μοντελοποίηση, σ’ ένα μετά-επίπεδο για μαθητές διαφορετικών ηλικιών. Θ ’ αναπτύξετε ιδέες (κατευθυντήριες γραμμές) στα μαθήματα σας για την προσφορά της μεταγνώσης για στη μοντελοποίηση.

Ικανότητες μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης των επιμέρους βημάτων της μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης ολόκληρης της διαδικασίας της μοντελοποίησης Ικανότητες δικαιολόγησης αποφάσεων των σχετικών με τη διαδικασία της μοντελοποίησης Μεταγνωστικές ικανότητες μοντελοποίησης

Μετάγνωση Μετάγνωση είναι η σκέψη ενός ατόμου για το πώς σκέφτεται και γενικότερα για το πώς διαχειρίζεται τη σκέψη του. Εμπλέκει: διαγνωστικές ικανότητες ενός ατόμου για τη σκέψη του κριτική σκέψη για τα έργα και στρατηγική γνώση για τους τρόπους επίλυσης προβλημάτων σχεδιασμό, έρευνα και κρίση τα οποία προϋποθέτουν την παρακολούθηση των ενεργειών του ατόμου απ ’ το ίδιο το άτομο κίνητρα και θέληση για τη χρήση της μετάγνωσης. (Sjuts 2003, σ. 18)

Δραστηριότητα 1 Να προσπαθήσετε να λύσετε τα πιο κάτω έργα. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο και να σημειώσετε τα μέσα των πλευρών. Να ενώσετε τα μέσα, για να κατασκευάσετε ένα νέο τετράπλευρο. Ποια είναι η σχέση μεταξύ των εμβαδών των δύο τετράπλευρων; Θέλετε να επισκεφτείτε ένα αξιοθέατο στο «Europa Park», όπου υπάρχει σειρά αναμονής 70 μέτρων. Πόσο χρόνο χρειάζεται να περιμένετε;

Να κάνετε μια μικρή αφίσα Δραστηριότητα 1 (συνέχεια…) Σε ομάδες: Να σκεφτείτε τις διαδικασίες τις οποίες ακολουθήσατε για την επίλυση των δύο προβλημάτων (ίσως, να επιθυμείτε πρώτα απ ’ όλα να επιβεβαιώσετε ότι το σχήμα του κύκλου μοντελοποίησης εφαρμόζεται στο έργο μοντελοποίησης και επιπροσθέτως να σκεφτείτε πώς θα το υιοθετούσατε αυτό για ένα έργο που δεν είναι έργο μοντελοποίησης) Ποιες είναι οι σημαντικές και χαρακτηριστικές πτυχές της μοντελοποίησης; Να κάνετε μια μικρή αφίσα

Δραστηριότητα 2 Ν ’ αναπτύξετε ένα διάγραμμα του κύκλου μοντελοποίησης ή των πληροφοριών των μαθητών για τη μοντελοποίηση σ ’ ένα μετά-επίπεδο (meta-level) για μαθητές διαφορετικών ηλικιών. 7 / 8 13 / 14 17 / 18

Συζήτηση Πόσο σημαντικό είναι να έχουν οι μαθητές τη γνώση της διαδικασίας μοντελοποίησης σ ’ ένα μετά-επίπεδο; Δώστε επιχειρήματα «υπέρ και κατά» της εισαγωγής της γνώσης για τη διαδικασία μοντελοποίησης.

Μετάγνωση: Επιχειρήματα «υπέρ» Οι μαθητές έχουν κατευθυντήριες γραμμές για το πώς να προχωρήσουν στη μοντελοποίηση. Η μετάγνωση έχει τη δυνατότητα να μειώσει το άγχος των μαθητών κατά τη διάρκεια της μοντελοποίησης. Η μετάγνωση βοηθά τους μαθητές να δουν τον κόσμο μέσα από ένα μαθηματικό φακό.

Μετάγνωση: Επιχειρήματα «κατά» Πιθανόν, να είναι δύσκολο για τους μαθητές να κατανοήσουν την όλη διαδικασία. Αυτό δεν αποτελεί «πραγματικά μαθηματικά». Δεν υπάρχει χρόνος για εξάσκηση των μεταγνωστικών στρατηγικών (εξαιτίας της πίεσης του αναλυτικού προγράμματος).

Συζήτηση (συνέχεια..) Μπορείτε να προτείνετε τρόπους στο μάθημά σας με τους οποίους θα μπορείτε να ενθαρρύνετε τους μαθητές να σκεφτούν για τη μοντελοποίηση σ ’ ένα μετά-επίπεδο;

Ικανότητες μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης των επιμέρους βημάτων της μοντελοποίησης Ικανότητες εκτέλεσης ολόκληρης της διαδικασίας της μοντελοποίησης Ικανότητες δικαιολόγησης αποφάσεων των σχετικών με τη διαδικασία της μοντελοποίησης Μεταγνωστικές ικανότητες μοντελοποίησης

Στόχοι: Σ ’ αυτήν την περίπτωση πρέπει να σκεφτείτε τα εξής: Γιατί είναι σημαντική μια γενική ιδέα του κύκλου μοντελοποίησης για τους μαθητές. Πώς θα υποστηριχθούν οι μαθητές στην ανάπτυξη μεταγνωστικών στρατηγικών.

Αποτελέσματα Πρέπει: Ν ’ αναπτύξετε ορισμένα έργα για την προώθηση συγκεκριμένων ικανοτήτων μοντελοποίησης και να οργανώσετε την χρήση τους. Αυτό μπορείτε να το κάνετε στο ημερολόγιο εκπαιδευτικού