Ο κόσμος ως σύνολο αριθμών Κβαντομηχανική

Θεωρία Bohr Η θεωρία θεωρήθηκε πολύ τολμηρή Hevesy: «Τα μάτια του Einstein, φάνηκαν ακόμη μεγαλύτερα και μου είπε “τότε είναι μία από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις”» Η θεωρία άφηνε ανέγγιχτο το ερώτημα: τι καθόριζε τη συχνότητα των φασματικών γραμμών, ο Rutherford είπε: μου φαίνεται ότι πρέπει να υποθέσουμε ότι το e γνωρίζει εκ των προτέρων που θα σταματήσει

Ποια η έλξη της θεωρίας; Ήταν σε πολύ καλή συμφωνία με τα δεδομένα για το φάσμα του Η Έδινε μια “απόδειξη” για έναν εμπειρικό τύπο (Balmer) Ήταν το πρώτο «σκίσιμο» στον τοίχο που κάλυπτε το μυστηριώδες άτομο.

Γιατί η θεωρία είχε τόση επίδραση; Moseley μετά από λίγο δημοσίευσε τα αποτελέσματα των πειραμάτων του με ακτίνες Χ, που έδειξαν τη σημασία του ατομικού αριθμού, μια εξήγηση που υπήρχε μέσα στη θεωρία του Bohr. Τα διαγράμματα του Moseley έδειξαν καθαρά ότι τα στοιχεία που έλειπαν από τον πίνακα Mendeleev ήταν αυτά που είχαν Ζ: 43, 61, 72, 75, 85, και 87 Οι Ζ: ακέραιοι. Έδωσε προώθηση στην ιδέα ότι ο κόσμος αποτελείται από αριθμούς

Αριθμοί Bohr: “ένα σημαντικό βήμα για την επίλυση ενός προβλήματος που για πολύ καιρό ήταν ένα από τα πιο τολμηρά όνειρα της φυσικής επιστήμης, δηλαδή η κατανόηση των κανονικοτήτων της φύσης με θεώρηση καθαρών αριθμών» Ο Sommerfeld προτιμούσε μια άμεση ερμηνεία όσο το δυνατό ανεξάρτητη από μοντέλα των νόμων των φασμάτων με βάση ακέραιους αριθμούς, όπως κάποτε έκανε ο Κέπλερ για την ερμηνεία του πλανητικού συστήματος, μια εσωτερική αίσθηση αρμονίας. (Σύμφωνα με τον Pauli)

Πίσω στον Πυθαγόρα Ένα θαυμαστό κατόρθωμα στη φυσική συνήθως κάνει ένα παλιό πρόβλημα ή γρίφο να φαίνεται πάρα πολύ απλό, όμως ,μπορεί να μας κάνει να ελαχιστοποιήσουμε τις διαστάσεις των προβλημάτων που παραμένουν άλυτα. Η πίστη σε μια μαγική αντιστοιχία μεταξύ των μαθηματικών και της πραγματικότητας ανέβηκε πολύ. Είχαμε μια άνθιση στην αρχαία τάση της σκέψης που πήγαινε πίσω στον Πυθαγόρα και ίσως στην αρχαία Αιγυπτιακή αριθμητική του πάπυρου AHMES που έχει τον τίτλο Οδηγίες για να φθάσεις στη γνώση όλων των μυστικών πραγμάτων. Ο Πλάτων στον Τίμαιο μιλά για το χωρισμό των ουρανών σε έξη μέρη με εφτά άνισους κύκλους που αντιστοιχούν με τα διαστήματα δευτέρας και τρίτης. Προσπαθούσε να δώσει μια Πυθαγόρεια χροιά στη φιλοσοφία του. Η ανακάλυψη των άρρητων προκάλεσε κρίση. Όμως παρ’ όλα αυτά ο Πλάτων έκανε διάφορες εικασίες για τη γεωμετρική δομή των 4 στοιχείων.

Ιάμβλιχος Η Πυθαγόρεια τάση επέζησε μέσα στη γενική οργανισμική τάση. Οι Νεοπλατωνικοί πίστευαν ότι τα μαθηματικά είχαν μια ευρετική αξία στην προσπάθεια του ανθρώπου να βρίσκει σχήματα στον φυσικόκόσμο. Ιάμβλιχος (4ος αιώνας): Στο ψάξιμο για αιτίες ή για μια αιτιακή προσέγγιση στη φύση η προσέγγιση είναι να θέσουμε μαθηματικές οντότητες ως αίτια από τα οποία εμφανίζονται τα πράγματα του αντιληπτού κόσμου. Μόνο ότι ήταν δυνατό στα μαθηματικά θα ήταν δυνατό στη δομή της φύσης, δεν μπορεί να υπάρχει κάτι που υπονοεί μια μαθηματική αδυναμία. “Πιστεύω ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε μαθηματικά το κάθε τι στη φύση και στον κόσμο της αλλαγής”

Kepler Πριν από τον 20ο αιώνα τα μαθηματικά τα έβλεπαν ως το κλειδί για να βάλουν σε τάξη τα συμβάντα (δεδομένα) της φύσης και όχι ως την πηγή των συμβάντων. Σύμφωνα με τη συμβουλή του Bacon “οι έρευνες της φύσης έχουν το καλύτερο αποτέλεσμα όταν αρχίζουν με φυσική και τελειώνουν με μαθηματικά” Η Πυθαγόρεια στάση άρχισε να εμφανίζεται ξανά το 17ο αιώνα. “Η γνώση μας [για μαθηματικά] αντιπροσωπεύουν μια άμεση ματιά στη σκέψη του Θεού, τουλάχιστο όσον αφορά κάτι μέσα στη θνητή μας ζωή” (Kepler) Στο έργο του Harmonice Mundi ο Kepler εξίσωνε το Θεό με τη γεωμετρία. “Η γεωμετρία ήταν το μοντέλο για τη δημιουργία του κόσμου και εμφυτεύθηκε στην ανθρώπινη φύση ταυτόχρονα με την εικόνα (κατ’ εικόνα Θεού πλάστηκε ο άνθρωπος) του Θεού και όχι από τις εμπειρίες του.”

Descartes Έδινε μια θεία αξιοπρέπεια στα μαθηματικά. «Η φυσική μου δεν είναι τίποτε άλλο παρά γεωμετρία». Έλεγε ότι δε δεχόταν κανένα ισχυρισμό τη φυσική που δεν είναι δεκτός στα μαθηματικά. “Για τη φυσική δε θα σκεφτόμουνα τίποτε γι’ αυτή αν το μόνο που θα μπορούσα να κάνω θα ήταν να περιγράψω τα πράγματα χωρίς να αποδείξω ότι δεν μπορούν να είναι αλλιώς. Αφού ανήγαγα τη φυσική σε μαθηματικά γνωρίζω ότι αυτό είναι δυνατό, και πιστεύω ότι μπορώ να το κάνω για όλα ε τη λίγη γνώση που πιστεύω ότι έχω.” Εννοούσε τους βασικούς νόμους της φύσης. Για τα αναρίθμητα μικρά μαθηματικά σχήματα στο φυσικό κόσμο, παραδεχόταν ότι μπορούσαν να τα βεβαιώσουν μόνο με μια μακρά σειρά πειραμάτων.

Γαλιλαίος Εξέφραζε το θαυμασμό του για το πόσο κοντά οι διάφορες φυσικές διαδικασίες ακολουθούν τους γεωμετρικούς νόμους. (π.χ. παραβολή) Απέδιδε τις διαφορές σε «υλικά εμπόδια» που υπάρχουν στα φυσικά φαινόμενα. Υπήρχε γι’αυτόν μια ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των αφηρημένων αριθμών και των πραγματικών οντοτήτων. Θαύμαζε τους Πυθαγόρειους. Πίστευε ότι όλες οι αλήθειες που περιλαμβάνονται στο βιβλίο του σύμπαντος ήταν γραμμένα με τη γλώσσα των μαθηματικών. «Το να προσπαθήσεις να ασχοληθείς με τα φυσικά προβλήματα χωρίς γεωμετρία είναι το να προσπαθείς να κάνεις το αδύνατο». Θεωρούσε ότι οι παρατηρήσεις του Gilbert στο μαγνητισμό δεν έδωσαν αυστηρά αποτελέσματα γιατί ο Gilbert δεν ήταν αρκετά μαθηματικός και δε «στηρίχθηκε σε αναγκαία και αιώνια επιστημονικά συμπεράσματα» δηλαδή σε μαθηματικά. Οι περισσότεροι επιστήμονες της εποχής θεωρούσαν ότι τα μαθηματικά δεν ήταν ελεύθερη δημιουργία του νου αλλά ένα σχήμα που έμαθαν από τη φύση Η οικειότητα με τις προτάσεις της γεωμετρίας τους έδειχνε ό κόσμος είναι μια μηχανή.

Αμφιβολίες για τα μαθηματικά Η γεωμετρική αρμονία του κόσμου δε φανερωνόταν στις μαθηματικές τεχνικές Ο Γαλιλαίος πίστευε στους κύκλους: δε δέχτηκε τις ελλείψεις του Κέπλερ. Τα φυσικά φαινόμενα έδωσαν αφορμή στο να αναπτυχθεί ο διαφορικός λογισμός. Η έννοια του ορίου είχε δυσκολίες. Berkeley: “Δεν υποτάσσονται οι μαθηματικοί στης εξουσία, παίρνουν τα πράγματα δια πίστεως και πιστεύουν σε πράγματα που είναι απίστευτα; Δεν έχουν τα μυστήρια τους, και μάλιστα πράγματα που απεχθάνονται και αντιφάσεις;» Ο Berkeley έβλεπε τάσεις αυταρχισμού στα μαθηματικά και τον απέδιδε στον άκρατο ενθουσιασμό για το Newton. Έβλεπε ως ανόητο το ρυθμό στιγμιαίας μεταβολής Rolle (ανεκάλυψε το θεώρημα του μέσου): έλεγε ότι ο διαφορικός λογισμός είναι μια συλλογής από έξυπνες αποτυχίες. Lagrange: Η επιτυχία του λογισμού οφείλεται ότι το ένα λάθος εξουδετερώνει το άλλο

ΚΑΝΤ-EULER-FOURIER-JACOBI Καντ: Μπορούμε να συλλογιστούμε για τη φύση χωρίς μαθηματικά, όμως η γνήσια φυσική φιλοσοφία που ασχολείται με συγκεκριμένα αντικείμενα, μπορεί να το κάνει μόνο με μαθηματικά. Η φυσική φιλοσοφία μπορεί να περιέχει γνήσια επιστήμη μόνο στην έκταση που τα μαθηματικά μπορούν να εφαρμοστούν σ’ αυτήν. Ο Καντ δεν ήξερε μαθηματικά πέρα από στοιχειώδη. Όμως παρά τον ενθουσιασμό του δεν έδωσε μια ευρετική αξία όπως οι Πυθαγόρειοι. Και οι σύγχρονοι του δεν υποστήριζαν την Πυθαγόρεια άποψη, με μόνη εξαίρεση τον Euler που εμφάνιζε μια “τυφλή” πίστη στα αποτελέσματα της μαθηματικής του ανάλυσης Ο Fourier είπε ότι τα μαθηματικά είναι μία γλώσσα που δεν έχει σφάλματα, αλλά ήταν αντίθετος με “καθαρά” μαθηματικά προβλήματα, και επέκρινε άλλους μαθηματικούς όπως τον Jacobi ότι δεν καταπιάνονται με πραγματικά προβλήματα της φυσικής, όπως την αγωγή θερμότητας. Jacobi: (1830) “... Ο μόνος σκοπός των επιστημών είναι η τιμή της ανθρώπινης διανόησης και κάτω απ’ αυτή την επικεφαλίδα ένα πρόβλημα αριθμών είναι τόσο σημαντικό όσο ένα πρόβλημα για το σύστημα του κόσμου.” Μ’ αυτήν την άποψη δε συμφωνούσαν οι σύγχρονοι του.

Προβλεπτική αξία μαθηματικών Ο Hamilton έκανε μαθηματική ανάλυση του φαινομένου της διπλής διάθλασης και ανακάλυψε μαθηματικά ότι θα υπάρχει κωνική διάθλαση. Σε μια κατάλληλη γωνία πρόσπτωσης όταν προσπίπτει η ακτίνα θα αναλύεται σε ένα κώνο. Poisson: Με βάση την κυματική θεωρία του Fresnel για τη συμβολή του φωτός προέβλεψε ότι στη σκιά ενός κυκλικού δίσκου θα υπάρχει ένα φωτεινό σημείο. Maxwell: Με μαθηματικά προέβλεψε ότι το ιξώδες ενός αερίου σε μια δεδομένη θερμοκρασία είναι ανεξάρτητο από την πίεση του

Αμφιβολία για ακέραιους αριθμούς Όποια θεωρία προέβλεπε ακέραιους αριθμούς, όπως η θεωρία Prout για το ότι τα ατομικά βάρη είναι ακέραια πολλαπλάσια του ατομικού βάρους του Η, έμπαινε σε αμφιβολία με βάση πιο ακριβείς μετρήσεις. Έγινε προσπάθεια να βρεθεί ένας ρόλος για τους ακέραιους αριθμούς όπως αυτός που παίζουν στις ταλαντώσεις μιας χορδής (ότι οι συχνότητες της είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας).

Αμφιβολία για ακέραιους αριθμούς Μια τέτοια ήταν ο νόμος Bode – Titius που έδινε τις σχετικές αποστάσεις των πλανητών: d = 4+3X2n-2 που για n=1 είναι η απόσταση Ερμή =4+3/2=5,5, και είχε δώσει με εκπληκτική ακρίβεια το 1772 τις αποστάσεις όλων των τότε γνωστών πλανητών και προέβλεψε τη μέση απόσταση των αστεροειδών, και την απόσταση του Ουρανού, όμως αποτυγχάνει πλήρως για την απόσταση του Ποσειδώνα και του Πλούτωνα. Οι ακέραιοι δεν μπόρεσαν να βοηθήσουν και στον Περιοδικό πίνακα, καθώς θεωρούσαν ότι αυτό που είχε σημασία ήταν το ατομικό βάρος και όχι ο ατομικός αριθμός που για δεκαετίες δεν είχε καμία σημασία. Όταν έβρισκαν σχέσεις, αυτές ήταν πιο πολύ «μαγικές» σχέσεις χωρίς προβλεπτική αξία. Παράδειγμα ήταν ο νόμος Balmer για τις γραμμές του υδρογόνου.

Balmer ήταν δάσκαλος και μαθηματικός, μελετούσε αρχιτεκτονική και έβλεπε παντού αριθμητικές σχέσεις. 1865: Παρουσίασε στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας τη θέση του (Habilitationschrift) με θέμα “Το όραμα του προφήτη Ιεζεκιήλ, γενική του περιγραφή και αρχιτεκτονική του εξήγηση”. Έκανε παρόμοιες μελέτες για διάφορα κτίρια. Όταν έμαθε από τον φυσικό Hagenbach για τις μυστηριώδεις σειρές των φασματικών γραμμών του υδρογόνου, το πρόβλημα του φάνηκε ότι ήταν πρόβλημα αρχιτεκτονικής ή πρόβλημα αριθμητικών σχέσεων. Σιγά – σιγά το μαθηματικό σχήμα του “οίκου” του Η ανακαλύφθηκε και το 1884 ανακοίνωσε στον Hagenbach ότι τα μήκη των γραμμών Hα, Ηβ, Ηγ μπορούσαν να εκφραστούν σε σχετικά κλάσματα με βάση τον τύπο Αυτός ο τύπος έγινε αφορμή να δουλέψουν και να παρατηρήσουν νέες φασματικές γραμμές διάφοροι φυσικοί. Για πάνω από 30 χρόνια όμως ο τύπος αυτός δεν ήταν φυσική, δεν υπήρχε καμία σύνδεση με έννοιες της φυσικής.

Ακέραιοι Kronecker: “Ο Θεός έκανε τους ακέραιους, όλα τα άλλα είναι έργα του ανθρώπου” Είχε την άποψη ότι όλα τα αποτελέσματα θα πρέπει να εκφραστούν με τις ιδιότητες των ακέραιων. Αυτό πλήγωσε τους τότε μαθηματικούς Οι φυσικοί έκαναν διάφορες υποδείξεις.

Convay και Nicholson 1907 Convay: για να λυθεί το προβλημα θα έπρεπε να εγκαταλειφθεί η αναλογία με τη παραγωγή του ήχου από ταλαντώσεις. Θεώρησε ότι μόνο ένα από τα πολλά e του ατόμου εμπλέκεται στις φασματικές γραμμές. Αυτό σε αντίθεση με την παραγωγή του ήχου που γίνεται από ολόκληρο το ταλαντούμενο σώμα. 1911: Nicholson πρώτος πρότεινε την παραγωγή των φασματικών γραμμών ως κβαντικό φαινόμενο με τη βάση του μοντέλου Rutherford που είχε δημοσιευτεί μερικούς μήνες πιο πριν. Πρότεινε επίσης ότι το άτομο μπορούσε να υπάρχει σε διάφορες καταστάσεις και ότι η στροφορμή του θα είχε ορισμένες τιμές

Τι ανακάλυψε ο Bohr Αναγνώρισε ότι αυτές οι υποδείξεις είχαν θεμελιακή αξία. Είδε 3 ενοράσεις: Α) Στροφορμή ακέραια πολλαπλάσια του h/2π (ħ) Β) Κατάλαβε καθαρά ότι για την παραγωγή μια φασματικής γραμμής εμπλέκονται 2 ενεργειακές στάθμες Γ) Ήρθε στην τολμηρή ιδέα ότι δεν πρέπει να γίνει καμιά προσπάθεια να κάνουμε μια εικόνα ή να εξηγήσουμε τι συμβαίνει σε ένα e όταν μεταπηδά από μια στάθμη σε μια άλλη.

Καλυτερεύσεις και αρχή Pauli Νέα στοιχεία: περιείχαν διάφορους κανόνες επιλογής που υπογράμμιζαν το ρόλο των ακεραίων ή των σειρών των αριθμών στη φυσική θεωρία. Στη νέα φυσική ο ρόλος τους ήταν μεγάλος σε αντίθεση με την κλασική φυσική όπου ο ρόλος των ακέραιων ήταν περιθωριακός. Η ευρετική τους αξία ήταν “θαυματουργική” και αυτό φάνηκε από την απαγορευτική αρχή του Pauli. Η αρχή αυτή έδωσε ένα οριστικό σύστημα που τακτοποίησε όλα τα γνωστά στοιχεία, αλλά και επιπλέον έδωσε και τη θέση και των υπερουράνιων στοιχειων. Πρόβλεψε την ύπαρξη ποικιλιών (ισοτόπων) στο Η ΠΑΡΑΥΔΡΟΓΟΝΟ, ΟΡΘΟΥΔΡΟΓΟΝΟ. Έδωσε τη βάση για τη στατιστική FERMI – DIRAC

ΠΥΡΗΝΑΣ Η προσπάθεια να συστηματοποιηθούν τα πειραματικά δεδομένα για τους πυρήνες έδωσε διάφορα μοντέλα. Το πιο γνωστό είναι το μοντέλο φλοιών που χρωστά πολλά στο παρόμοιο μοντέλο φλοιών για τα ηλεκτρόνια του ατόμου. Φάνηκε ότι υπάρχουν «κλειστοί (συμπληρωμένοι)» φλοιοί όταν ο αριθμός των πρωτονίων ή των νετρονίων ήταν ίσος με ένα από τους «μαγικούς» αριθμούς: 2, 8, 20, 50, 82, 126. Ήταν τόσο εκπληκτικά τα αποτελέσματα που οι εκδότες ενός περιοδικού αρνήθηκαν να το δημοσιεύσουν όταν αυτοί που τα ανακάλυψαν τα παρουσίασαν Οι αριθμοί αυτοί κατέγραψαν την πεποίθηση των φυσικών στην δύναμη των ακεραίων. Οι ακέραιοι και οι διάφοροι κανόνες επιλογής έδειξαν την ευρετική τους αξία με την πρόβλεψη πολλών στοιχειωδών σωματιδίων.

Θεωρία De Broglie Η κβάντωση της ενέργειας ήταν μια από τις βασικές στήλες της θεωρίας του De Broglie για το άτομο. Ένα χρόνο μετά (1924) ο Elsasser επέστησε την προσοχή στη δυνατότητα ύπαρξης ενός φαινόμενου περίθλασης από την αλληλεπίδραση των ηλεκτρονίων με το μεταλλικό πλέγμα, πράγμα που επιβεβαιώθηκε καθώς οι Davisson και Germer το παρετήρησαν

Σχετικότητα Και η θεωρία σχετικότητας μας δίνει μια μαρτυρία για την ευρετική αξία των μαθηματικών. Π.χ. η ισοδυναμία της μάζας και ενέργειας στην ειδική θεωρία σχετικότητας, ο γεωμετρικός φορμαλισμός της γενικής θεωρίας της σχετικότητας που οδήγησαν σε μια έντονη προσπάθεια να ανακαλυφθεί η μετατόπιση προς το ερυθρό του φάσματος των μακρινών γαλαξιών.

Εξίσωση Dirac Ο Dirac είχε καθαρά μαθηματικούς σκοπούς όταν άρχισε την ιστορική του έρευνα για μια ικανοποιητική μορφή της εξίσωσης Schrödinger από την άποψη της σχετικότητας. Το τελικό του αποτέλεσμα που ήταν η εξίσωση του Dirac για το ηλεκτρόνιο έδωσε την πρώτη υπόδειξη ότι υπάρχει αντιύλη.

Eddington Βρήκε έναν αριθμό: 137 που περιέχεται στο έργο του που δημοσιεύτηκε μετά θάνατο: Fundamental Theory. Μοιάζει σε πολλά σημεία με τον Kepler και τον Descartes. Ο Descartes πίστευε: «Δώσε μου ύλη και κίνηση και θα δομήσω το σύμπαν» Eddington: Αντίστροφη πρόταση «Δώσε μου έναν κόσμο με σχέσεις και εγώ θα δομήσω ύλη και κίνηση»

Νέοι αριθμοί Νέα δεδομένα: από πυρήνα Έδειξε ότι η σταθερά του Sommerfeld έπρεπε να είναι ακριβώς 137 και όχι 137,08 από τις μετρήσεις. Γιατί αν η ταχύτητα του φωτός και η σταθερά του Planck εκφραστούν σε μονάδες που τους κάνουν μονάδα τότε η άπωση μεταξύ δύο e θα αποκτήσει τη μορφή α/r² όπου α αριθμός χωρίς διαστάσεις με αντίστροφο 137. Μια θεωρία θα έπρεπε να το εξηγεί όπως η γεωμετρία εξηγεί το π. Ομάδες αριθμών από συνδυασμούς διαφόρων σταθερών. Π.χ. ο λόγος μάζας p και μάζας e είναι περίπου 1900. Ο λόγος της σταθεράς ηλεκτρικών και βαρυτικών δυνάμεων είναι 1039. Η μάζα του σύμπαντος δια της μάζας ενός p είναι ίση με 1079 Τι κρύβεται πίσω από τους αριθμούς αυτούς; Weyl 1940: η δομή του σύμπαντος στηρίζεται σε δύο καθαρούς αριθμούς τον α και ε στο μυστήριο των οποίων δεν έχουμε διεισδύσει ακόμη.

Οι έξη σταθερές c: η ταχύτητα του φωτός G: Η σταθερή της παγκόσμιας έλξης t: η ηλικία του σύμπαντος ρ: η μέση πυκνότητα του σύμπαντος R: η ακτίνα καμπυλότητας k: η σταθερά του Hubble για την απομάκρυνση

Συνδυασμοί των σταθερών Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε για να έχουμε ένα αδιάστατο αριθμό: Η τιμή των 3 τύπων είναι πολύ κοντά στη μονάδα. Από αυτό εξάγεται ότι αν c= σταθερά, η διάμετρος των στοιχειωδών σωματιδίων είναι σταθερή, τότε η σταθερά G για τη βαρύτητα ελαττώνεται. Η G θα πρέπει να ήταν ίση με τη μονάδα για t = 10-23s. Ο χρόνος δεν είναι συνεχής αλλά αποτελείται από θεμελιώδεις μονάδες ή κβάντα χρόνονς.

Αριθμοί και αναζήτηση στοιχειωδών σωματιδίων. Ποιο είναι το αλγεβρικό σχήμα που υπόκειται στην υποατομική δομή; Ο Nambu παρατήρησε ότι οι μάζες των στοιχειωδών σωματιδίων όταν εκφραστούν σε μονάδες των 137 ηλεκτρονικών μαζών σχηματίζουν μια σειρά από κατά προσέγγιση ακεραίους και ημι- ακέραιους. Με βάση το λόγο των μαζών των μ και π μεσονίων και τη μάζα του πρωτονίου και Υ υπερονίου βρέθηκε ότι ο κάθε λόγος ήταν π/4. Μπόρεσαν να βρούν μια καινούρια σταθερά ίση με την τετραγωνική ρίζα του π/4=1,12888 που της έδωσαν το όνομα g που οι διαδοχικές της δυνάμεις μας δίνουν τις μάζες 28 στοιχειωδών σωματιδίων.

Γενική Σχετικότητα Δίνει γεωμετροποίηση της φυσικής. Ο Jeans έγραψε: «Ο μεγάλος Αρχιτέκτονας του Σύμπαντος, τώρα αρχίζει να εμφανίζεται ως καθαρός μαθηματικός.» Η λέξη καθαρός έχει διαλεχτεί: δεν έχουμε πια την κλασική φυσική που ανέπτυξε τα μαθηματικά ανάλογα με τις ανάγκες (π.χ. διαφορικό λογισμό, λογαρίθμους).

Εγκατάλειψη της εικόνας 1925: Ο Bohr παρατήρησε ότι η κβαντομηχανική δεν ήταν μια απλή τροποποίηση της μηχανικής και ηλεκτροδυναμικής. Σ’ αυτή έχουμε «μια ουσιαστική αποτυχία των εικόνων στο χώρο και στο χρόνο πάνω στις οποίες στηριζόταν μέχρι τώρα η περιγραφή των φυσικών φαινομένων.» Heisenberg: στη σύγχρονη φυσική φτάσαμε στα όρια της οπτικοποίησης. Π.χ. οι εικόνες του ηλεκτρονίων ως μιας περιστρεφόμενης σφαίρας δε θα έπρεπε να λαμβάνονται κατά γράμμα.

Ραγίσματα στη δομή των μαθηματικών Μέχρι το 1901 πίστευαν ότι τα μαθηματικά ήταν αυτοσυνεπή, ίσχυαν παντού και πάντα. Το 1930 o Gödel έδωσε το ιστορικό του άρθρο όπου απεδείκνυε ότι δεν μπορεί μια απόδειξη συνέπειας για τα μαθηματικά συστήματα. Απέδειξε ότι διάφορες μαθηματικές προτάσεις δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν, ούτε και να απορριφθούν.

Einstein Θεωρούσε ότι τα μαθηματικά είναι δημιουργική αρχή για τις φυσικές επιστήμες. Πίστευε ότι η καθαρή σκέψη μπορεί να αδράξει την πραγματικότητα, όπως ονειρευόταν οι αρχαίο (δηλ. οι Πυθαγόρειοι). Όμως οι ιδέες για τη φύση ποτέ δε θα μπορούσαν να είναι τελειωτικές. «Πρέπει να είμαστε πάντα έτοιμοι να αλλάξουμε αυτές τις ιδέες – δηλαδή την αξιωματική υποδομή της φυσικής- για να είμαστε δίκαιοι στα γεγονότα που αντιλαμβανόμαστε, με τον πιο τέλειο τρόπο.»

Minkowski: Στο χωρόχρονο έπαψε ο χώρος και ο χρόνος να είναι ανεξάρτητες οντότητες. Προ Gödel ο Einstein πίστευε ότι τα μαθηματικά ήταν απόλυτα. Γεωμετροδυναμική: προσπαθεί να “δημιουργήσει” ύλη και ηλεκτρισμό από τον καμπύλο χώρο.