ΑΠΟ ΤΑ FOURIER ΣΤΑ WAVELETS Μια Εισαγωγική Παρουσίαση Για το Β’ Έτος Ν. Δοκίμων - Εκπαιδευτικό Έτος 2005-2006 Δρ. Ι. Κ. Χατζηλάου, Καθηγητής ΣΝΔ Υπ/χος (Μ) Α. Γαραντζιώτης, Απόφοιτος Πανεπιστημίου Monterey ( Ωρομίσθιο μέλος Διδακτικού Προσωπικού Έργαστηρίων Ηλεκτροτεχνίας ) Fourier Wavelets Εφαρμογές ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ C. Sidney Burrus, Ramesh A. Gopinath, Haitao Guo, “Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms,” Edition Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1997. Anastasios Garantziotis,“A Wavelet-based Prediction Technique For Concealment of Loss-Packet Effects In Wireless Channels”, June 2002 James S. Walker, “A Primer on Wavelets and their Scientific Applications”,Chapman & Hall, 1999. Gerald Kaiser, “A Friendly Guide to Wavelets”, Birkhauser, 1994. Raghuveer M. Rao, Ajit S. Bopardikar, “Wavelet Transforms Introduction to Theory and Applications”, Addison Wesley Longman, Inc., 1998.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Fourier STFT Θεωρία των Wavelets Εφαρμογές - Παραδείγματα

FOURIER x(t)=cos(2π20t+π/2)+cos(2π40t+π/4)+cos(2π100t)+cos(2π200t), f1=10 Hz, f2=40Hz, f3=100 Hz, f4=200 Hz,

FOURIER

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM w(t)

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM Προβλήματα κατά την χρήση του STFT Δυσκολία επιλογή της χρονικής διάρκειας της συνάρτησης w(t) Ποιότητα ανάλυσης συνάρτηση του διάρκειας t της συνάρτησης w(t) Σταθερή ανάλυση χρόνου - συχνότητας

WAVELETS Δίνει λύση στο προηγούμενο πρόβλημα χρησιμοποιώντας συναρτήσεις με ολοένα αυξανόμενη συχνότητα Υψηλή ανάλυση συχνότητας στις χαμηλές συχνότητες και υψηλή ανάλυση χρόνου στις υψηλές συχνότητες

WAVELETS Mother Wavelet

WAVELETS

WAVELETS Ανάλυση χρόνου-συχνότητας για τα Wavelets και για τον STFT

WAVELETS Continuous Wavelet Transform (CWT) : H συνάρτηση και ο μετασχηματισμός είναι συνεχείς συναρτήσεις. Χρονικά Διακριτός Μετασχηματισμός Wavelet Συνεχούς Συνάρτησης (Discrete Time Wavelet Transform, DWT) : H συνάρτηση είναι συνεχής αλλά ο wavelet μετασχηματισμός είναι διακριτός. Διακριτός Μετασχηματισμός Wavelet (Discrete Wavelet Transform, DWT) : H συνάρτηση και ο μετασχηματισμός είναι διακριτοί.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ (MULTIRESOLUTION ANALYSIS - MRA)   Η κεντρική ιδέα πίσω από την MRA είναι η διαίρεση του προς ανάλυση σήματος x(t) σε επί μέρους σήματα, κάθε ένα από τα οποία θα περιλαμβάνει μέρος των πληροφοριών και των συχνοτήτων που εμπεριέχονται στο αρχικό σήμα. Για την επίτευξη αυτού του σκοπού εισαγάγεται η έννοια της scaling συνάρτησης φ(t), η οποία ονομάζεται και πατρικό wavelet (father wavelet), και συνδέεται άμεσα με την συνάρτηση wavelet.

Haar’s Wavelet

MULTIRESOLUTION ANALYSIS

MULTIRESOLUTION ANALYSIS

Discrete Wavelet Transform DTWT μπορεί να υπολογιστεί από Η/Υ αλλά είναι χρονοβόρα διαδικασία. Περιέχει πλεονάζουσες πληροφορίες, οι οποίες είναι περιττές για την ανακατασκευή του αρχικού σήματος. DWΤ: ένας πάρα πολύ γρήγορος αλγόριθμος, ο οποίος εκμεταλλευόμενος το γεγονός ότι με την χρήση της ανάλυσης πολλαπλών επιπέδων μπορούμε να παραστήσουμε ένα σήμα x(n), μετατρέπει το σήμα σε σύνολο wavelet συντελεστών.

Discrete Wavelet Transform Ανάλυση Επανασύνθεση

Εφαρμογές - Παραδείγματα

Εφαρμογή σε Επεξεργασία Εικόνας α) Αρχική φωτογραφία b) Ληφθείσα φωτογραφία c) Επανασύνθεση φωτογραφίας με την χρήση Wavelets

Εφαρμογή σε Επεξεργασία Ήχου Αρχικό αρχείο Λαμβανόμενο αρχείο Επανασύνθεση με Wavelets

Αφαίρεση Θορύβου

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM

SHORT TIME FOURIER TRANSFORM w(t2) t1 w(t1) t1<t2

Discrete Wavelet Transform c1 d1 c2 d2 c3 d3 c4 d4

Discrete Wavelet Transform c4 d4 c3 d3 c2 d2 c1 d1

Χρήση Φίλτρου

Δυαδική Υποδειγματοληψία