3 Απριλίου 2009 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 1 WAVELETS (ΚΥΜΑΤΙΔΙΑ) Ένα πανίσχυρο μαθηματικό εργαλείο με πολλές εφαρμογές Ινστιτούτο Ωκεανογραφίας ΕΛΚΕΘΕ.

Παρουσίαση με θέμα: "3 Απριλίου 2009 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 1 WAVELETS (ΚΥΜΑΤΙΔΙΑ) Ένα πανίσχυρο μαθηματικό εργαλείο με πολλές εφαρμογές Ινστιτούτο Ωκεανογραφίας ΕΛΚΕΘΕ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 3 Απριλίου 2009 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 1 WAVELETS (ΚΥΜΑΤΙΔΙΑ) Ένα πανίσχυρο μαθηματικό εργαλείο με πολλές εφαρμογές Ινστιτούτο Ωκεανογραφίας ΕΛΚΕΘΕ Αριστείδης Προσπαθόπουλος

2 23 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Η ΙΔΕΑ ΜΕ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΚΑΙ... ΑΠΛΑ

3 33 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ανάλυση με μετασχηματισμό Fourier Το σήμα: > αναλύεται μέσω ημιτονοειδών συναρτήσεων διαφορετικών συχνοτήτων > μετασχηματίζεται από χρονικά μεταβαλλόμενο σε μεταβαλλόμενο με τη συχνότητα ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑ Η χρονική πληροφορία χάνεται: Αν το σήμα περιέχει μη στάσιμα / δυναμικά / μεταβατικά χαρακτηριστικά (μετατόπιση, τάση, απότομη αλλαγή, αρχή και τέλος γεγονότος), η ανάλυση Fourier δεν μπορεί να τα εντοπίσει. ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Όταν η πληροφορία των σημάτων στο πεδίο συχνοτήτων είναι μεγάλης σημασίας

4 43 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ανάλυση με μετασχηματισμό Short-Time Fourier Το σήμα: > αναλύεται σε ένα χρονικό “παράθυρο” κάθε φορά > απεικονίζεται σε μία διδιάστατη συνάρτηση του χρόνου και της συχνότητας ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Παρέχεται κάποια πληροφορία και για το πότε και σε ποιες συχνότητες λαμβάνει χώρα κάποιο γεγονός στο σήμα. ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑ Η ακρίβεια της πληροφορίας καθορίζεται από το μέγεθος του χρονικού “παραθύρου”, το οποίο, μετά την επιλογή του, είναι το ίδιο για όλες τις συχνότητες.

5 53 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ανάλυση με μετασχηματισμό Wavelet Το επόμενο λογικό βήμα: Μία “παραθυρική” τεχνική με περιοχές μεταβλητού μεγέθους, όπου χρησιμοποιούνται μεγάλα χρονικά παράθυρα εκεί όπου απαιτείται ακρίβεια σε πληροφορίες χαμηλής συχνότητας και μικρότερα χρονικά παράθυρα εκεί όπου απαιτείται ακρίβεια σε πληροφορίες υψηλής συχνότητας. Η ανάλυση με wavelets δε χρησιμοποιεί απεικόνιση χρόνου-συχνότητας αλλά απεικόνιση χρόνου-κλίμακας (scale). Η κλίμακα μπορεί με κάποιο τρόπο να συνδεθεί με τη συχνότητα.

6 63 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Σύγκριση των αναλύσεων

7 73 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Τι μπορεί να κάνει η ανάλυση με wavelets; ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Η ικανότητα “τοπικής ανάλυσης”, δηλ. να αναλυθεί μία εντοπισμένη περιοχή ενός μεγαλύτερου σήματος. Η ανάλυση με wavelets μπορεί να > αποκαλύψει όψεις των δεδομένων που χάνονται με άλλες τεχνικές, όπως τάσεις (trends), σημεία κατάρρευσης (breakdown points), ασυνέχειες σε μεγάλες παραγώγους, ομοιότητα σήματος με τον εαυτό του (self-similarity). > Χρησιμοποιηθεί για τη συμπίεση ή αποθορυβοποίηση (de-noising) ενός σήματος με πολύ μικρό εκφυλισμό.

8 83 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Τι είναι ένα wavelet; Κυματίδια είναι κυματομορφές “αποτελεσματικά” περιορισμένης διάρκειας με μέση τιμή μηδέν, οι οποίες τείνουν να είναι “ανώμαλες” και ασύμμετρες Ανάλυση Fourier: Αποσυνθέτει το σήμα σε ημιτονοειδή κύματα διαφορετικών συχνοτήτων Ανάλυση με Wavelets: Αποσυνθέτει το σήμα σε χρονικά μετατοπισμένες (shifted / translated) και κλιμακωμένες (scaled) εκδοχές του αρχικού ή μητρικού (mother) κυματιδίου

9 93 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Κλιμάκωση (scaling) και μετατόπιση (shifting)

10 103 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Σχέση κλίμακας και συχνότητας Χαμηλή κλίμακα α  συμπιεσμένο κυματίδιο  γρήγορα μεταβαλλόμενες λεπτομέρειες  υψηλή συχνότητα Υψηλή κλίμακα α  τεντωμένο κυματίδιο  αργά μεταβαλλόμενα χαρακτηριστικά  χαμηλή συχνότητα F a : ψευδοσυχνότητα, F c : κεντρική συχνότητα, Δ: περίοδος δειγματοληψίας

11 113 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Wavelet (CWT)

12 123 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Η διαδικασία του μετασχηματισμού CWT 1.Παίρνω ένα κυματίδιο και το συγκρίνω με ένα τμήμα στην αρχή του σήματος 2.Υπολογίζω έναν αριθμό C που αναπαριστά το βαθμό συσχέτισης του κυματιδίου με το αυτό το τμήμα του σήματος 3.Μετακινώ το κυματίδιο προς τα δεξιά και επαναλαμβάνω τα βήματα 1 και 2 μέχρι να καλύψω όλο το σήμα 4.Τεντώνω το κυματίδιο και επαναλαμβάνω τα βήματα 1-3 5.Επαναλαμβάνω τα βήματα 1-4 για όλες τις κλίμακες

13 133 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Οι συντελεστές του μετασχηματισμού CWT

14 143 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Οι κλίμακες της φύσης Ανάλυση σε σχέση με τη συχνότητα Ανάλυση σε σχέση με την κλίμακα

15 153 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ο Διακριτός Mετασχηματισμός Wavelet (DWT) Approximations and details Fast Wavelet Transform (DWT χρησιμοποιώντας φίλτρα) DWT: Επιλέγω δυαδικές κλίμακες και θέσεις  ανάλυση γρήγορη αποτελεσματική ακριβής downsampling

16 163 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Πολυπεπίπεδη αποσύνθεση Δέντρο κυματιδιακής αποσύνθεσης σήματος Μέγιστος αριθμός επιπέδων αποσύνθεσης, Ν : μήκος σήματος

17 173 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Πολυπεπίπεδη ανασύνθεση upsampling Τα φίλτρα ανασύνθεσης καθορίζουν αν > η τέλεια ανασύνθεση του σήματος είναι δυνατή > τη μορφή του κυματιδίου με το οποίο θα κάνουμε την ανάλυση

18 183 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Οικογένειες Wavelets Haar Mexican hat Morlet Meyer Daubechies Symlets Coiflets

19 193 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

20 203 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ανιxνεύοντας ασυνέχειες / σημεία κατάρρευσης Wavelet: db5, Επίπεδο: 5 Σήμα: Αργά μεταβαλλόμενο ημίτονο που ακολουθείται απότομα από γρήγορα μεταβαλλόμενο ημίτονο Breakdown συχνότητας Wavelet: db4, Επίπεδο: 2 Breakdown 2ης παραγώγου Σήμα: Δύο διαφορετικές εκθετικές συναρτήσεις ενωμένες στο t=500

21 213 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ανιχνεύοντας μακρόχρονες εξελίξεις Γενική τάση σήματος Σήμα: Ράμπα + θόρυβος περιορισμένου φάσματος (“colored” noise) Wavelet: db3, Επίπεδο: 6

22 223 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Ανιχνεύοντας oμοιότητες ή fractals Καμπύλη Koch Σήμα: Συνθετικό, που κατασκευάζεται με περιοδική επανάληψη Wavelet: coif3, CWT (κλίμακα 2:2:128)

23 233 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Προσδιορισμός καθαρών συχνοτήτων Προσδιορισμός συχνοτήτων σε ημιτονοειδές σήμα Σήμα: Άθροισμα ημιτόνων τριών διαφορετικών συχνοτήτων Wavelet: db3, Επίπεδο: 5

24 243 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) “Εξαφανίζοντας” το σήμα Wavelet: db3, Επίπεδο: 4 Σήμα: Πολυώνυμο 2ου βαθμού με λίγο λευκό θόρυβο (white noise) Wavelet: db2, Επίπεδο: 3 Ο ρόλος των μηδενιζόμενων ροπών στην εξαφάνιση ενός πολυωνύμου Μέση τιμή x k ψ(x) = 0, k = 0,…,n “Εξαφάνιση” πολυωνύμου βαθμού n

25 253 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Αποθορυβοποιώντας ένα σήμα Δυνατότητα αυτόματου κατωφλίου αποθορυβοποίησης Σήμα: Ημιτονοειδές με φαινόμενο Doppler και θόρυβο Wavelet: sym4, Επίπεδο: 5 Απώλεια υψηλόσυχνης πληροφορίας

26 263 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Αποθορυβοποιώντας εικόνες DWT (Haar, Level: 4)  Blocking effects DWT (sym6, Level: 4)  Ringing effects SWT (sym6, Level: 4)  Best de-noising V coef. D coef. H coef.

27 273 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Συμπιέζοντας εικόνες Wavelet: Haar, Επίπεδο: 3 Γενικό κατώφλι: 3.5 (Συντελεστές < 3.5) = 0  Μηδενικά: 42% Ενέργεια: 99.96% Γενικό κατώφλι: 30 (Συντελεστές < 30) = 0  Μηδενικά: 92% Ενέργεια: 97.7% Συμπίεση δακτυλικού αποτυπώματος

28 283 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Η δική μας εφαρμογή Αποθορυβοποίηση φάσματος ραδιενέργειας από τον υποθαλάσσιο αισθητήρα Ιωδιούχου Νατρίου «ΚΑΤΕΡΙΝΑ»

29 293 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Τo φάσμα και η επιλογή κυματιδίου DWT με κυματίδιο sym15 Τυπικά φάσματα από την ΚΑΤΕΡΙΝΑ

30 303 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Αποθορυβοποίηση φάσματος με symlet15 Επίπεδο: 4Επίπεδο: 5Επίπεδο: 3

31 313 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Προσδιορισμός φωτοκορυφής 137 Cs (24ωρη μέτρηση σε δεξαμενή )

32 323 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Φάσμα από 36ωρη μέτρηση στο πεδίο

33 333 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Προσδιορισμός φωτοκορυφών φάσματος από μετρήσεις στο πεδίο 214 Bi (609 keV) 40 K (1461 keV) 214 Bi (1764 keV) 208 Tl (2615 keV)

34 343 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια) Continuous High-performance (CH) (TOS) Towards Operational Sustainability Auto- nomous mated (A) CHRISTOS ARIS & Πόσο θα βοηθήσουν τα κυματίδια στην εξέλιξη του συστήματος ΚΑΤΕΡΙΝΑ; RadioactivitySystem(R S) InformationII

35 353 Απριλίου 2009Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)