Ορισμός της Απαρίθμησης (Λεμονίδης, 1994) Με τον όρο απαρίθμηση ή καταμέτρηση μιας συλλογής οντοτήτων ονομάζουμε την αντιστοίχιση ένα προς ένα των λέξεων - αριθμών της προφορικής ακολουθίας των φυσικών αριθμών Ν*=Ν-{0} με τα στοιχεία της συλλογής. Η τελευταία λέξη - αριθμός που αντιστοιχεί στο τελευταίο στοιχείο της συλλογής αναπαριστά το πλήθος ή τον πληθάριθμο της συλλογής.

Τα επίπεδα ανάπτυξης της προφορικής ακολουθίας των λέξεων αριθμών (Fuson et al, 1982) Το επίπεδο της αλυσίδας. Οι λέξεις αριθμοί λειτουργούν ως ένα αδιαχώριστο όλο, προς ευθεία κατεύθυνση και αναπαράγονται μόνο με απαγγελία όλης της ακολουθίας. Αποτελούν μία προφορική ολότητα, χωρίς αριθμητική σημασία. Το επίπεδο της αδιαίρετης αλυσίδας. Στο επίπεδο αυτό οι λέξεις-αριθμοί είναι διαχωρισμένες, αλλά η ακολουθία απαγγέλλεται σε ευθεία κατεύθυνση και αναπαράγεται μόνο ξεκινώντας από την αρχή. Το παιδί μπορεί να μετρά μέχρι κάποιο συγκεκριμένο αριθμό. Το επίπεδο της διασπασμένης αλυσίδας. Το παιδί είναι σε θέση να αρχίσει την απαγγελία της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας από οποιοδήποτε όρο της. Το παιδί απαντά στην ερώτηση ΄΄Ποιος αριθμός βρίσκεται πριν ή μετά από ένα δεδομένο αριθμό΄΄ χωρίς να αριθμεί την ακολουθία από την αρχή.

Τα επίπεδα ανάπτυξης της προφορικής ακολουθίας των λέξεων αριθμών (Fuson et al, 1982) Το επίπεδο της αριθμήσιμης αλυσίδας. Οι λέξεις-αριθμοί δεν αναπαράγονται μόνο, αλλά είναι δυνατόν και να αριθμούνται ως διαχωρισμένες ποσότητες. Το παιδί γίνεται ικανό να χρησιμοποιεί τις λέξεις αριθμούς για να αναπαριστά τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης και αναπτύσσεται η ικανότητα να μετρά κατευθείαν ή αντίστροφα ν στοιχεία, αρχίζοντας από ένα στοιχείο α. Το επίπεδο της διπλής κατεύθυνσης. Τα παιδιά είναι σε θέση να μετρούν κατευθείαν ή αντίστροφα από οποιαδήποτε λέξη-αριθμό. Μπορεί να αλλάζουν εύκολα κατεύθυνση, χωρίς τη βοήθεια της αντίθετης κατεύθυνσης.

Θεμελιώδεις Αρχές της Απαρίθμησης (Gelman & Gallistel, 1978) Η αρχή της αντιστοιχίας ένα προς ένα Η αρχή της σταθερής ακολουθίας Η αρχή της πληθικότητας Η αρχή της γενικευμένης χρήσης Η αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς

Παράγοντες που επηρεάζουν τη διαδικασία της Απαρίθμησης στα παιδιά προσχολικής ηλικίας (Λεμονίδης, 1994) Το μέγεθος της συλλογής: όσο περισσότερα στοιχεία έχει η συλλογή τόσο αυξάνεται ο αριθμός των λαθών. Ο τρόπος διάταξης των στοιχείων στο χώρο: η γραμμική διάταξη είναι πιο εύκολη από την τυχαία διάταξη και πολύ πιο εύκολη από τη διάταξη σε κατακόρυφες στήλες. Η δυνατότητα να αγγιχτούν ή να μετακινηθούν τα στοιχεία της συλλογής. Βοηθά να διαχωριστούν τα στοιχεία που έχουν ήδη απαριθμηθεί, από αυτά που πρόκειται να απαριθμηθούν.

Επιμέρους ικανότητες που συνθέτουν την ικανότητα της απαρίθμησης Διάκριση και κατάδειξη όλων των στοιχείων μιας συλλογής το ένα μετά το άλλο Απόδοση ενός ονόματος αριθμού σε κάθε διακριτό στοιχείο της συλλογής, ένα προς ένα Καλή γνώση και χρησιμοποίηση της σταθερής ακολουθίας των ονομάτων των αριθμών και αντιστοίχισης κάθε ονόματος με ένα διαφορετικό κάθε φορά αντικείμενο απαρίθμησης Αναγνώριση ότι το τελευταίο όνομα από την ακολουθία που χρησιμοποιήθηκε αναπαριστά τον πληθάριθμο της συλλογής

Συνηθέστερα λάθη απαρίθμησης των μικρών παιδιών (Geary, 1994) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 ένα δύο τρί - α

Η ακολουθία των αριθμών Ιδιαίτερη μέριμνα απαιτείται για την απόκτηση από το μαθητή της δεξιότητας για έναρξη της μέτρησης από οποιοδήποτε σημείο της αριθμοσειράς. Ιδιαίτερη μέριμνα και για την απόκτηση της ικανότητας αντίστροφης μέτρησης. Επίσης πρέπει ο μαθητής να γνωρίζεις ποιος αριθμός βρίσκεται πριν ή μετά από ένα οποιοδήποτε αριθμό. Η άσκηση του μαθητή στη μέτρηση ανά 2, 3, 4, 5 μέχρι το 20 ή και μέχρι το 50 διευκολύνει την εκμάθηση των απλών αριθμητικών πράξεων.

Αναγνώριση με μια ματιά ή άμεση εκτίμηση (Subitizing) Οι ερευνητές επισημαίνουν ότι τα μικρά παιδιά είναι σε θέση να αντιληφθούν ότι το πλήθος μιας συλλογής με 1 ή 2 και αργότερα με 3 αντικείμενα, πριν μάθουν να μετρούν και υποστηρίζουν την εισαγωγή της στις προτεινόμενες αριθμητικές δραστηριότητες (Clements, 1999). Η άποψη αυτή έχει αμφισβητηθεί από άλλους ερευνητές που θεωρούν την άμεση εκτίμηση ως γρήγορη πρόσθεση (Gelman & Gallistel, 1978). Τα αποτελέσματα ψυχολογικών ερευνών είναι αντικρουόμενα σχετικά με το κατά πόσον η μέτρηση και η οπτική αναγνώριση αποτελούν δύο ίδιες ή ξεχωριστές νοητικές διαδικασίες. Ο τρόπος που αποκτιέται η ικανότητα αυτή από το αναπτυσσόμενο άτομο δεν έχει αποσαφηνιστεί πλήρως.

Αναγνώριση με μια ματιά ή άμεση εκτίμηση Η αναγνώριση σχηματισμών σε ομάδες με μια ματιά αποτελεί θεμελιώδη ικανότητα στην αριθμητική μάθηση. Κατ’ αυτόν τον τρόπο το παιδί αναλύει και συνθέτει τον κάθε αριθμό, εντοπίζει τις σχέσεις με τους άλλους αριθμούς και κατανοεί το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και την αξία θέσης των ψηφίων (Barrody, 1987). Οι & Bryant (1997) επισημαίνουν ότι η απλή μέτρηση 1-1 δεν αρκεί ούτε για την κατανόηση του αριθμητικού συστήματος ούτε στη συνέχεια των αθροιστικών διαδικασιών. Τα αποτελέσματα από την εφαρμογή προγραμμάτων που στηρίζονται στην ένα προς ένα μέτρηση, έδειξαν δυσκολίες των παιδιών να ανταποκριθούν στα έργα αλλαγής. Τα έργα αλλαγής (change task) είναι έργα της μορφής «πώς μπορώ να κάνω το 8, 4», με τα οποία διερευνώνται οι αντιλήψεις των παιδιών για τις σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς.

Αναγνώριση με μια ματιά ή άμεση εκτίμηση Ερευνητές από το χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης διαχωρίζουν της μορφές αναγνώρισης με μια ματιά για την κατανόηση του αριθμού σε δύο κατηγορίες: την οπτική και την εννοιολογική. Οπτική θεωρείται η γενική ικανότητα αναγνώρισης μιας ποσότητας με μια ματιά. Εννοιολογική αναγνώριση θεωρείται η ικανότητα αντίληψης ποσοτήτων ως μονάδες μονάδων. Εννοιολογική κατανόηση έχουμε όταν οι μαθητές βλέπουν σε ένα σχηματισμό ως τέσσερα σημεία ή δύο δυάδες ή μία τετράδα. Αυτό αποτελεί το υπόβαθρο για να αντιληφθούν το οκτώ ως δυο τετράδες. Η ικανότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, γιατί η κατανόηση μονάδων και μονάδων ανώτερης τάξης επιτρέπει την κατανόηση αθροιστικών και πολλαπλασιαστικών σχέσεων, την ανάλυση και σύνθεση των αριθμών με διαφορετικούς τρόπους και την αντίληψη της δομής του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης (Steffe et al, 1993).

Αναγνώριση με μια ματιά ή άμεση εκτίμηση Η ανάπτυξη της ικανότητας αυτής δεν είναι σημαντική μόνο για την προσέγγιση των σχέσεων των αριθμών, αλλά και για την ευελιξία στην αναγνώριση επαναλαμβανόμενων μορφών και προτύπων ή στην απεικόνιση και αναγνώριση χωρικών ιδιοτήτων (π.χ. η συμμετρία) και τη δημιουργία δυναμικών νοερών αναπαραστάσεων. Οι οργανώσεις ποσοτήτων που γίνονται αντιληπτές με μια ματιά αφορούν ποικίλους σχηματισμούς, οπτικούς ή κιναισθητικούς (π.χ. τα δάκτυλα). Η μη απόκτηση της ικανότητας αυτής επηρεάζει σημαντικά την κατανόηση της λειτουργίας των μονάδων. Αν και τα μικρά παιδιά διακρίνουν μόνο μικρά σύνολα και καταμετρούν μεγαλύτερες ποσότητες, αναπτύσσουν γρήγορα την εννοιολογική κατανόηση και αρκετά συχνά την αναπτύσσουν και μόνα τους (Ginsburg, 1977).

Αναγνώριση με μια ματιά ή άμεση εκτίμηση Η «μέτρηση», με την έννοια της 1-1 καταμέτρησης μιας συλλογής αντικειμένων με τη βοήθεια της αριθμητικής ακολουθίας έχει κεντρικό ρόλο στις αριθμητικές δραστηριότητες του σχολείου. Οι ερευνητές προβληματίζονται ως προς τους τρόπους που μπορεί να ενθαρρυνθούν διδακτικές προσεγγίσεις που αναπτύσσουν συνθέσεις και αναλύσεις ποσοτήτων χωρίς μέτρηση, σύνδεση αριθμών με σχηματισμούς (π.χ. ζαριού ή άλλες) και δραστηριότητες αναγνώρισης των σχηματισμών αυτών με μια ματιά. Δηλαδή διαφορετικές από τη μέτρηση.

Αναγνώριση με μια ματιά ή άμεση εκτίμηση Εφόσον οι μικροί μαθητές δεν αποκτήσουν την ικανότητα να αντιλαμβάνονται τις ποσότητες ως ομάδες και να τις αναλύουν ή να τις συνθέτουν, εμποδίζεται η ολοκλήρωση της πρώτης αρίθμησης με την εισαγωγή των δεκάδων. Οι ερευνητές συνδέουν την πρώτη γνώση των αριθμών και των μεταξύ τους σχέσεων με την κατανόηση των πολυψήφιων αριθμών και της θεσιακής αξίας των ψηφίων. Επισημαίνεται η ανάγκη οι μαθητές να ομαδοποιούν και να αντιμετωπίζουν τις ομάδες ως νέες μονάδες για να προσεγγίσουν την έννοια μονάδων ανώτερης τάξης, με πρώτη τη δεκάδα (Fuson,1988· Steffe & Cobb, 1988). Προτείνουν τέσσερις δράσεις που είναι απαραίτητες που θεωρούν απαραίτητες για να αντιληφθούν οι μαθητές το νόημα των μονάδων: Τη μέτρηση των μονάδων Τη σύνθεση των μονάδων (ομαδοποίηση) Τη δημιουργία μονάδων/μονάδων (επανομαδοποίηση) και Την αντίληψη της μονάδας μέτρησης (π.χ. η μονάδα των εκατοντάδων)

Αναγνώριση με μια ματιά ή άμεση εκτίμηση Με βάση την εννοιολογική κατανόηση οι μαθητές μπορούν να εντοπίσουν μετρώντας το 5. Στη συνέχεια θα χρειαστεί να μπορούν να το χρησιμοποιήσουν ως μονάδα για να εντοπίσουν το 10 ή το 15, όπως και να αντιληφθούν ότι δύο 5 κάνουν 10 που αποτελεί μια νέα μονάδα. Η απόκτηση της ικανότητας αυτής οδηγεί τους μαθητές στη μη κατανόηση του νοήματος του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Η μη κατανόηση της αξίας θέσης των ψηφίων έχει επισημανθεί από πολλές έρευνες σε μεγαλύτερα παιδιά με ποσοστά αποτυχίας που αγγίζουν το 50% (Fuson, 1988· Baturo, 2002, 2003).