4ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Πρωτοπόρων Δασκάλων 4ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Πρωτοπόρων Δασκάλων Συνεργάτες στη Μάθηση Microsoft Hellas 1

Τίτλος δραστηριότητας: «Εισαγωγή στη Γεωμετρία» Όνομα Εκπαιδευτικού: Ζουρνά Άννα, Μαθηματικός Σχολείο: Αριστοτέλειο Κολλέγιο Θεσ. Email: azourna@gmail.com Τηλ.Επικοιν.: 2310471741

Εισαγωγή στη Γεωμετρία Αντικείμενο: Πρώτη επαφή με το χώρο της Γεωμετρίας Τάξη: Α΄ Γυμνασίου Σκοπός: Αξιώματα Ευκλείδειας Γεωμετρίας, Γνωριμία με άλλες Γεωμετρίες, αρχικές έννοιες Λογισμικό: PowerPoint

Περιγραφή δραστηριότητας Κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού προετοίμασα την χρονιά 2007 -2008 με υλικό για όλες τις παραδόσεις του μαθήματος των Μαθηματικών με τη χρήση PowerPoint. Στο τέλος κάθε παράδοσης οι μαθητές παίρνουν το μάθημα στο σπίτι τους (με αποστολή e-mail). Τις εικόνες τις κατέβασα από διάφορα εκπαιδευτικά site μέσω του Internet. Μέσα στην τάξη έχουμε Η/Υ με μόνιμη σύνδεση στο Internet και video projector. Η παράδοση κάθε μαθήματος γίνεται με προβολή, αλλά ενδεικτικά διάλεξα να στείλω το πρώτο μάθημα της Γεωμετρίας.

Διδασκαλία Τα παιδιά κατ’ αρχήν άνοιξαν λογαριασμούς e-mail. Όσων οι γονείς δε θέλησαν, αγόρασαν memory sticks και αντιγράφουν το μάθημα σε αυτά. Από εκεί και πέρα έγινε ένα εισαγωγικό μάθημα της χρήσης του PowerPoint για να μπορούν να μετακινούνται άνετα στο αρχείο. Η διάρκεια του συγκεκριμένου μαθήματος ήταν μία διδακτική ώρα (45΄). Τα παιδιά είχαν μαζί τους γεωμετρικά όργανα και πρόχειρο τετράδιο όπου σχεδίαζαν τα σχήματα που έβλεπαν.

Παραδείγματα Εδώ ξεκινάει η παρουσίαση του μαθήματος

Εισαγωγή στη Γεωμετρία Ζουρνά Άννας

Χειρόγραφη έκδοση των Στοιχείων του Ευκλείδη 888 μ.Χ.

Λατινική έκδοση με τα Στοιχεία του Ευκλείδη που ξεκινάει με τα αξιώματα (αιτήματα) της Ευκλείδειας γεωμετρίας

Τα πέντε αξιώματα

Τα πέντε αξιώματα 1. Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε σημείο.

Τα πέντε αξιώματα 2. Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτεινόμενο γίνεται ευθεία.

Τα πέντε αξιώματα 3. Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατό να γράψουμε κύκλο.

Τα πέντε αξιώματα 4. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Τα πέντε αξιώματα 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος "εντός και επί τα αυτά " γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Τα πέντε αξιώματα 1. Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε σημείο. 2. Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτεινόμενο γίνεται ευθεία. 3. Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατό να γράψουμε κύκλο. 4. Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος "εντός και επί τα αυτά " γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Το πέμπτο αξίωμα Άρα από αυτή την μεριά τέμνονται οι ευθείες. Ποιες δύο γωνίες έχουν άθροισμα μικρότερο των 180ο ;

Το πέμπτο αξίωμα Με το πέρασμα των αιώνων οι μαθηματικοί καθώς προσπαθούσαν μάταια να αποδείξουν το πέμπτο αξίωμα βάσει των άλλων τεσσάρων, κατέληξαν σε άλλες γεωμετρίες, απλά αλλάζοντας αυτό το επίμαχο αξίωμα.

Τρεις γεωμετρίες Ευκλείδεια γεωμετρία 1 παράλληλη Μηδενική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου 180 μοίρες Υπερβολική γεωμετρία (Lobachevski – Bolyai) Άπειρες παράλληλες Αρνητική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου <180 μοίρες Ελλειπτική γεωμετρία (Riemann) Καμία παράλληλη Θετική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου >180 μοίρες. Άλλες υπάρχουν;

Φυσικά, όπως η Προβολική Γεωμετρία Τρεις γεωμετρίες Ευκλείδεια γεωμετρία 1 παράλληλη Μηδενική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου 180 μοίρες Υπερβολική γεωμετρία (Lobachevski – Bolyai) Άπειρες παράλληλες Αρνητική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου <180 μοίρες Ελλειπτική γεωμετρία (Riemann) Καμία παράλληλη Θετική καμπυλότητα Άθροισμα γωνιών τριγώνου >180 μοίρες. Φυσικά, όπως η Προβολική Γεωμετρία

Ας δούμε τα τρίγωνα Τρίγωνο στην Ευκλείδεια Τρίγωνο στην Υπερβολική Τρίγωνο στην Ελλειπτική

Και ποια από όλες εφαρμόζεται; Σύμφωνα με τον Poincaré: «Μία γεωμετρία δε μπορεί να είναι πιο αληθινή από την άλλη, μπορεί να είναι πιο βολική»

Εμείς βολευόμαστε μια χαρά με την Ευκλείδεια γεωμετρία Αν και ο Μ. C. Escher έχει μία δική του άποψη…

Ας προχωρήσουμε …

Το πιο απλό σχήμα Το πιο απλό «σχήμα» που μελετάμε στη Γεωμετρία είναι το σημείο. Όλα τα υπόλοιπα σχήματα αποτελούνται από σημεία.

«σημειον εστιν, ου μερος ουθεν», Το σημείο Ένα σημείο στον χώρο ονομάζεται «το σχήμα» που έχει θέση αλλά δεν έχει διαστάσεις (μήκος, πλάτος ή ύψος). Το σημείο αποδίδει την έννοια της θέσης χωρίς να παρέχει άλλες πληροφορίες. O ορισμός του σημείου που περιέχεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι «σημειον εστιν, ου μερος ουθεν», δηλαδή σημείο είναι αυτό που δεν αποτελείται από μέρη.

Το σημείο Στην Αναλυτική Γεωμετρία (την οποία θεμελίωσε ο Descartes) το σημείο ταυτίζεται με τις συντεταγμένες του. Έτσι: Στο Καρτεσιανό επίπεδο το σημείο ορίζεται ως το διατεταγμένο ζεύγος (α, β). Στον Ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων το σημείο ορίζεται ως η διατεταγμένη τριάδα (α, β, γ). Γενικότερα για ένα χώρο n διαστάσεων το σημείο ορίζεται από τις n συντεταγμένες του.

Με τη μύτη του μολυβιού σημειώνουμε ένα σημείο

Με τη μύτη του μολυβιού σημειώνουμε ένα σημείο Τα σημεία τα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα Α

Καμπύλη Μετακινώντας το μολύβι χωρίς να σηκώνουμε τη μύτη του από το χαρτί φτιάχνουμε μία συνεχή καμπύλη.

Χώρος το σύνολο όλων των σημείων Γεωμετρικά Στερεά είναι τρισδιάστατα. Γεωμετρικά Σχήματα είναι δισδιάστατα.

Ας μιλήσουμε για ευθείες Στο σύμπαν πότε έχουμε ευθυγράμμιση πλανητών;

Ευθυγράμμιση στο σύμπαν Ευθυγράμμιση πλανητών έχουμε όταν τρεις ή και περισσότεροι πλανήτες βρεθούν στην ίδια ευθεία. Στις εκλείψεις και του Ήλιου και της Σελήνης έχουμε ευθυγράμμιση του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης.

Έκλειψη Ηλίου

Έκλειψη Σελήνης

Συζυγία Κρόνου, Δία, Αφροδίτης και Ερμή Συζυγία Κρόνου, Δία, Αφροδίτης και Ερμή

Ας μιλήσουμε για ευθείες Τι είναι η ευθυγράμμιση στα αυτοκίνητα; Περιμένω τις απαντήσεις σας την άλλη φορά.

Η ευθεία είναι ένα σύνολο σημείων. (ε) Η ευθεία είναι ένα σύνολο σημείων.

Προεκτείνεται ασταμάτητα. Η ευθεία (ε) Προεκτείνεται ασταμάτητα.

Δεν έχει ούτε τέλος, ούτε αρχή. Η ευθεία (ε) Δεν έχει ούτε τέλος, ούτε αρχή.

είναι πιο λεπτή και από μία τρίχα Η ευθεία (ε) Δεν έχει πάχος, είναι πιο λεπτή και από μία τρίχα

Περιέχει άπειρα σημεία Η ευθεία (ε) Περιέχει άπειρα σημεία

Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες Η ευθεία Α Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες

Από δύο σημεία Α και Β διέρχεται Η ευθεία (ε) ή (εΑΒ) Β Α Από δύο σημεία Α και Β διέρχεται μόνο μία ευθεία.

Α και Β ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Ευθύγραμμο τμήμα (ε) Β Α Το σύνολο των σημείων μιας ευθείας που περιέχονται μεταξύ δύο σημείων αυτής Α και Β ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

Τα Α και Β ονομάζονται άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Ευθύγραμμο τμήμα Β Α Τα Α και Β ονομάζονται άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Ευθύγραμμο τμήμα Β Α Παρόλο που το ευθύγραμμο τμήμα έχει μία διάσταση (δεν έχει πάχος), περιέχει άπειρα σημεία.

Τα σημεία αυτά ονομάζονται εσωτερικά σημεία του ευθυγράμμου τμήματος. Ευθύγραμμο τμήμα Β Α Τα σημεία αυτά ονομάζονται εσωτερικά σημεία του ευθυγράμμου τμήματος.

Ευθύγραμμο τμήμα Β Α Το ευθύγραμμο τμήμα δεν έχει φορά. Δηλαδή μπορούμε να γράφουμε τα γράμματα με όποια σειρά θέλουμε.

Ευθύγραμμο τμήμα Β Α ΑΒ = ΒΑ

Ευθύγραμμο τμήμα Β Α Μέτρο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ λέγεται το μήκος της απόστασης του Α από το Β.

Ευθύγραμμο τμήμα (ε) Β Α Αν προεκτείνουμε το ευθύγραμμο τμήμα και προς τα δύο άκρα αυτού, τότε θα προκύψει μία ευθεία.

Ευθύγραμμο τμήμα (ε) Β Α Η ευθεία αυτή λέγεται και φορέας του ΑΒ. Φέρει το ευθύγραμμο τμήμα (το κουβαλάει).

Ημιευθεία x Β Α Αν προεκτείνουμε το ευθύγραμμο τμήμα μόνο προς το ένα του άκρο, τότε θα προκύψει μία ημιευθεία η (Αx).

Ημιευθεία Β Α y Αν προεκτείνουμε το ευθύγραμμο τμήμα μόνο προς το ένα του άκρο, τότε θα προκύψει μία ημιευθεία η (Βy). y

H ημιευθεία (Αx) δεν έχει τέλος αλλά έχει αρχή το σημείο Α. Ημιευθεία x Α H ημιευθεία (Αx) δεν έχει τέλος αλλά έχει αρχή το σημείο Α.

Αντικείμενες Ημιευθείες Δύο ημιευθείες με κοινή αρχή 180ο x΄ x Ο Σχηματίζουν μία ευθεία

Αντικείμενες Ημιευθείες x Ο x΄ Το Ο χωρίζει την ευθεία x΄x σε δύο αντικείμενες ημιευθείες, στην Οx και στην Οx΄.

Σημεία Β Α Από δύο σημεία Α και Β διέρχεται μόνο μία ευθεία. Όταν έχουμε τρία σημεία τι γίνεται; Β Α

Συνευθειακά ή συγγραμμικά σημεία (ε) Δ Γ Β Α Τρία ή και περισσότερα σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία ονομάζονται συνευθειακά ή συγγραμμικά σημεία.

Μη συνευθειακά σημεία Γ Β Α Τρία σημεία που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία ονομάζονται μη συνευθειακά σημεία.

Τρία μη συνευθειακά σημεία Επίπεδο Γ Β Α Τρία μη συνευθειακά σημεία ορίζουν ένα επίπεδο.

Τα επίπεδα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Π, Ν, Ρ, Σ,… Επίπεδο Γ Π Β Α Τα επίπεδα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Π, Ν, Ρ, Σ,…

Από δύο σημεία διέρχονται άπειρα επίπεδα. Επίπεδο Β Α Από δύο σημεία διέρχονται άπειρα επίπεδα.

Τομή επιπέδου και ευθείας σε τρισδιάστατη απεικόνιση Το επίπεδο χωρίζει το χώρο σε δύο μέρη

Συνεπίπεδα λέγονται τα σημεία που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο Συνεπίπεδα Σημεία Γ Π Β Ε Δ Α Συνεπίπεδα λέγονται τα σημεία που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο

Μία ευθεία χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Ημιεπίπεδα Π (ε) Μία ευθεία χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα.

Μία ευθεία χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Ημιεπίπεδα Π1 (ε) Π2 Μία ευθεία χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα.

Παράδειγμα Να ονομάσετε τις κορυφές και να βρείτε τα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν: Α Ζ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑΖ ΒΓ ΒΔ ΒΕ ΒΖ ΓΔ ΓΕ ΓΖ Β Ε ΔΕ ΔΖ ΕΖ Γ Δ

Στις μεγαλύτερες τάξεις θα ασχοληθούμε πολύ με τις …

Κωνικές τομές Παράλληλες

Εργασία για το Σπίτι Θεωρία Σελ. 148 – 151 Ασκήσεις 1, 4 σελ. 152 πάνω στο βιβλίο 2,3,5 σελ.152 στο τετράδιο

Σύγκριση Με τα συμβατικά μέσα δεν θα ήταν αρκετός ο χρόνος μιας διδακτικής ώρας. Η διαθεματικότητα στη διδασκαλία είναι το ζητούμενο. Μπορείς να συνδέεις το μάθημα των Μαθηματικών με άλλες επιστήμες (όπως εδώ με την Αστρονομία, σε άλλα μαθήματα με τη Φυσική, τη Χημεία, την Αρχιτεκτονική, τη Μηχανολογία) και με τη Τέχνη (εδώ με τον Escher, αλλού με τον κυβισμό κλπ) Οι μαθητές το Σαββατοκύριακο, όποτε θέλουν βλέπουν ξανά τις παραδόσεις και θα τις έχουν και για τις επόμενες τάξεις.

Αξιολόγηση Τα παιδιά ενδιαφέρονται πολύ για τα μαθήματα. Μέχρι και οι γονείς τους βλέπουν τις παρουσιάσεις και φρεσκάρουν τις γνώσεις τους. Στο σχολείο μας, μόνο εγώ διδάσκω στην α΄ γυμνασίου, αλλά τα αρχεία μου αυτά τα στέλνω και σε άλλους συναδέλφους εκτός Θεσσαλονίκης για χρήση καθώς επίσης τα στέλνω στον Σύμβουλο της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης κ. Δ. Κατσιάρη για ελεύθερη χρήση στα σχολεία της Θεσσαλονίκης, σύμφωνα με τη κρίση του.

Επιπλέoν Σχόλια Θα πρέπει όλες οι σχολικές αίθουσες να έχουν: H/Y στην έδρα Μόνιμη σύνδεση στο Internet Μόνιμη εγκατάσταση Video projector. Η γνώση πρέπει να μοιράζεται και το Internet πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την διάδοση όλων των εργασιών των πρωτοπόρων δασκάλων.