διαφορική εξίσωση Riccati
η δ.ε Riccati λύνεται εύκολα αν γνωρίζουμε μια μερική λύση της υποθέτουμε ότι η y1=y1(x) είναι μια μερική λύση της (Ι), τότε: επίλυση της δ.ε.του Riccati Θέτουμε: y = y1(x)+z(x), όπου z(x) είναι μια άγνωστη συνάρτηση του x τότε, και η (Ι) γίνεται:
όπου S(x)=2P(x)y1+Q(x), F(x)=-P(x), n=2 από την σχέση (ΙΙ) άρα, δηλαδή, δ.ε.τουBernoulli z΄+S(x)z = F(x)zn όπου S(x)=2P(x)y1+Q(x), F(x)=-P(x), n=2
επίλυση της δ.ε Bernoulli z-2 z΄+ [2P(x)y1+Q(x)]z = -P(x)z2 z-2 z-2z΄+ [2P(x)y1+Q(x)]z-1=-P(x) (IV) θέτουμε: z-1 = u u΄=-z-2z΄ z-2z΄=-u τότε η (IV) γίνεται: -u΄+ [2P(x)y1+Q(x)]u+P(x)=0 γραμμική 1ης τάξης u΄- [2P(x)y1+Q(x)]z-1-P(x)=0 όπου w(x)=-[2P(x)y1+Q(x)] λύση: υπολογίζουμε την u, υπολογίζουμε την z=1/u, προσδιορίζουμε την γενική λύση y=y1+z
Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. (1-x3)y΄= y2-x2y-2x όταν είναι γνωστό ότι δέχεται μια μερική λύση την y1=-x2. Λύση: για 1-x30 x31, έχουμε διότι έχει την μορφή y΄+P(x)y2+Q(x)y+R(x) = 0 όπου P(x)=-1/1-x, Q(x)=x2/1-x3, R(x)=2x/1-x3 Riccati Επειδή η y1=-x2 είναι μια μερική λύση της (Ι) έχουμε: Θέτουμε y=y1+z, όπου z=z(x) και y1=-x2 τότε:
Bernoulli και επειδή y1=-x2 έχουμε: και η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται : από την(ΙΙ) και επειδή y1=-x2 έχουμε: Bernoulli
z2 z2 γραμμική 1ης τάξης θέτουμε: z-1 = u u΄= -z-2z΄ z-2z΄= -u΄ και η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται : γραμμική 1ης τάξης u΄+S(x)u = F(x), όπου
αντίστροφα: άρα, γενική λύση της δ.ε.
διάλειμμα - interval