Αλγόριθμος κατασκευής ψηφιακών IIR φίλτρων από αντίστοιχα αναλογικά Περιεχόμενα Αναλογικά συστήματα Ευστάθεια αναλογικών και ψηφιακών συστημάτων Μετασχηματισμός αποΑναλογικό σε Ψηφιακό Πεδίο Διγραμμικός μετασχηματισμός

Αναλογικό φίλτρο RC κυκλώματος Συνάρτηση μεταφοράς Η(s) γραμμικού αναλογικού συστήματος Κρουστική απόκριση h(t) γραμμικού αναλογικού συστήματος Κρουστική απόκριση h(t) παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό της H(s) Απόκριση συχνότητας H(jΩ) ή Η(j2πf) Έξοδο για είσοδο μία συχνότητα f0 R + - x(t) C y(t) Α

Συνάρτηση μεταφοράς RC κυκλώματος Εφαρμόζοντας το νόμο Kirchhoff για το ρεύμα στο σημείο Α του παρακάτω σχήματος έχουμε:   Παίρνοντας Μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέρη, έχουμε R + - x(t) C y(t) Α

Συνάρτηση μεταφοράς RC κυκλώματος Θεωρώντας αρχικές συνθήκες ίσες με το μηδέν, έχουμε και επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του γραμμικού συστήματος (φίλτρου) είναι

Κρουστική απόκριση RC κυκλώματος Στο πεδίο χρόνου, εξ ορισμού η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι η έξοδος όταν η είσοδος είναι x(t) = δ(t). Επομένως στο t = 0 το ρεύμα που θα περάσει από την αντίσταση είναι: Θεωρώντας ότι η αρχική τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι μηδέν (όπως και πριν ), η παραπάνω σχέση για το ρεύμα γίνεται Δηλαδή το ρεύμα υπάρχει μόνο για t = 0. Η σχέση μεταξύ ρεύματος και τάσης στα άκρα του πυκνωτή, δίνει

Κρουστική απόκριση RC κυκλώματος Επειδή το ρεύμα υπάρχει μόνο τη χρονική στιγμή 0, είναι αρκετό να ολοκληρώσουμε το dy μεταξύ 0- και 0+ για να βρούμε την τάση στον πυκνωτή τη χρονική στιγμή 0+ που προέρχεται από το στιγμιαίο ρεύμα: Μετά το t = 0, η είσοδος x(t) = 0. Εφαρμόζοντας το νόμο Kirchhoff για το ρεύμα στο σημείο Α, με αρχικές συνθήκες . Η λύση είναι Η οποία είναι και η κρουστική απόκριση του φίλτρου h(t).

Κρουστική απόκριση RC κυκλώματος x(t)=δ(t) Γραμμικό Σύστημα ΙΝ OUT y(t)=h(t) t

Κρουστική απόκριση RC κυκλώματος Laplace domain. Ας υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της H(s) που υπολογίσαμε στο πρώτο ερώτημα που μας δίνει πάλι την κρουστική απόκριση του συστήματος.

Απόκριση συχνότητας RC κυκλώματος Η απόκριση συχνότητας δίνεται από τη συνάτηση του μετασχηματισμού Laplace αντικαθιστώντας s = jΩ δηλαδή υπολογίζουμε την H(s) μόνο για μιγαδικούς πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθμών: ή ισοδύναμα s = j2πf όπου f is any frequency.

Απόκριση συχνότητας RC κυκλώματος Η απόκριση συχνότητας μπορεί να σχεδιαστεί σε συνάρτηση με την κυκλική συχνότητα Ω ή συχνότητα f. Επειδή συνήθως το αποτέλεσμα (για κάθε μία Ω ή f) είναι μιγαδικός αριθμός, σχεδιάζουμε χωριστά το μέτρο (magnitude) και τη φάση (phase or angle) Για το συγκεκριμένο παράδειγμα:

Απόκριση συχνότητας RC κυκλώματος

Αναλογικά Συστήματα (Φίλτρα) Τα φίλτρα είναι γραμμικά συστήματα που αλλάζουν το φασματικό περιεχόμενο του σήματος εισόδου, επομένως κατ’επέκταση αλλάζουν και την κυματομορφή του στο χρονικό πεδίο. Στο αναλογικό πεδίο τα φίλτρα εκφράζονται με την αναλογική συνάρτηση μεταφοράς, με γενική μορφή:

Αναλογικά Φίλτρα (συν.) Η απόκριση συχνότητας του Η(s) καθορίζεται από τη θέση στο s-επίπεδο των ριζών (roots) του D(s) και C(s). Για να είναι ένα σύστημα stable (ευσταθές, δηλαδή η έξοδος να μην μεγαλώνει στο άπειρο) πρέπει οι ρίζες του C(s) (πόλοι του Η(s)) να βρίσκονται στα αριστερά του άξονα jΩ s=σ + jΩ σ<0 σύστημα stable σ=0 δίνει ημίτονο με συχνότητα jΩ σ>0 σύστημα unstable

Αναλογικά Φίλτρα (συν.) Έστω ένα σύστημα H(s)=1/(s-σ), με πόλο στο s=σ Η απόκριση σε κρουστική διέγερση δ(t), (δηλαδή είσοδος είναι 1 και όλα τα υπόλοιπα 0) είναι h(t) = eσt από όπου φαίνεται ότι μόνο για σ<0 η κυματομορφή δεν θα μεγαλώσει με το χρόνο στο άπειρο

Κρουστική απόκριση - Συνέλιξη y(t)=h(t) x(t)=δ(t) Γραμμικό Σύστημα ΙΝ OUT t Έξοδος του συστήματος όταν είσοδος είναι δ(t) λέγεται κρουστική απόκριση h(t) (impulse response) Stable σύστημα σημαίνει ότι Πόλοι Η(s) αριστερά του jΩ!!!

Αναλογικό φίλτρο Butterworth 1ου Βαθμού Έστω το απλούστερο Low Pass φίλτρο που υλοποιείται από μία αντίσταση R και πυκνωτή C.

Butterworth 1ου Βαθμού (συν.) Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί εύκολο να βρεθεί εύκολα ως: Η απόκριση συχνότητας προκύπτει θέτοντας s=jΩ=j2πf Η οποία μπορεί να γραφεί ως: Ο σχεδιασμός του μέτρου |Η(f)| φαίνεται στα δεξιά του κυκλώματος, ενώ η φάση απεικονίζεται από κάτω (προηγούμενο σχήμα)

Butterworth 1ου Βαθμού (συν.) Από το σχήμα του |Η(f)| έχουμε ότι η συχνότητα για την οποία |Η(f)| =0.707 που είναι η f0=1/(2πRC) λέγεται συχνότητα αποκοπής ή half power point ή 3-dB cutoff frequency (βλέπε παρακάτω) Είναι η συχνότητα που καθορίζει το filter bandwidth (εύρος φάσματος που το φίλτρο «περνάει») αφού σε αυτή τη συχνότητα η είσοδος έχει μειωθεί στο 0.707 του πλάτους εισόδου Ισοδύναμα, επειδή οι μετρήσεις γίνονται σε ισχύ (και σε dB), έχουμε το λόγο ισχύος εξόδου προς την ισχύ εισόδου ως: υποθέτωντας ότι η ισχύς μετράται σε αντίσταση 1Ω. Επομένως η απόκριση συχνότητας σε dB είναι:

Butterworth 1ου Βαθμού (συν.) Επομένως ισοδύναμα έχουμε στη f0=1/(2πRC): Γενικά τα φίλτρα Butterworth έχουν απόκριση συχνότητας: Ο βαθμός n δίνει το πόσο γρήγορα το φίλτρο «κόβει» συχνότητες μετά την f0

Απόκριση συχνότητας RC filter clear all; clc; R = 500; C = 5*10^(-7); f = [0:1:5000]; % Hz H = 1./sqrt(1+(2*pi*f*R*C).^2); plot(f, H) xlabel('f (Hz)') ylabel('|H|') f0=1/(2*pi*R*C) f0 = 636.6198

Ω Ω Ω Ω Ω Στο μάθημα όπως και στο βιβλίο χρησιμοποιούμε Ω για αναλογικές συχνότητες. jΩ απεικονίζει τον άξονα συχνοτήτων.

Ψηφιακά Συστήματα (Φίλτρα) Δειγματοληπτώντας περνάμε στο ψηφιακό (διακριτό) z-πεδίο. Κάνοντας το μετασχηματισμό z = esT= e(σ+jΩ)Τ όπου Τ ο χρόνος μεταξύ δειγμάτων σε δευτερόλεπτα έχουμε την αντιστοιχία: Οι συχνότητες γίνονται fdigital= fT = f/Fs (ή ω=ΩΤ) και το φάσμα του διακριτού χρόνου σήματος είναι περιοδικό με περίοδο fdigital=1 (f = Fs or ω = 2π) Χ(s) Y(s) Χ(s) Y(z) G(s) G(z) T

Ω Ω Ω Ω Η ψηφιακή ω = ΩΤ όπου Τ ο χρόνος μεταξύ δειγμάτων: Τ = 1/Fs, όπου Fs είναι η συχνότητα δειγματοληψίας.

Ευστάθεια Ψηφιακών Φίλτρων Ευσταθές (Stable) Πόλοι (Ρίζες παρονομαστή) μέσα στο unit circle Δίνει κρουστική απόκριση που μειώνεται (επόμενο σχήμα) Ασταθές Πόλοι (Ρίζες παρονομαστή) εκτός του unit circle Δίνει κρουστική απόκριση που αυξάνεται (επόμενο σχήμα) Για FIR filter, δηλαδή που δίνει: δεν έχει πόλους άρα πάντα stable!!!

Με τη δειγματοληψία Ω

Διγραμμικός Μετασχηματισμός Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε ένα αναλογικό φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς Η συνάρτηση μεταφοράς του ισοδύναμου ψηφιακού φίλτρου είναι με το διγραμμικό μετασχηματισμό είναι:

Παράδειγμα: αναλογικό παθητικό RC Lowpass Filter VIN : Τάση εισόδου στο κύκλωμα VOUT : Τάση εξόδου από κύκλωμα VIN VOUT C Αναλογική συνάρτηση μεταφοράς: Έχει ένα πόλο στο -1/RC !!! Ψηφιακή συνάρτηση μεταφοράς: Επομένως:

LP digital filter Fs=5000 Hz

Digital Filter Implementation

FIR implementation