Υλικά και Δραστηριότητες Διδασκαλίας Μαθηματικών ΙΙ Υλικά και Δραστηριότητες Διδασκαλίας Μαθηματικών ΙΙ Υλικά διδασκαλίας μαθηματικών του Ντιένς 4ο μάθημα εαρινού εξάμηνου 2018 Διδάσκων: Αντώνης Ζαγοριανάκος

Zoltan P. Dienes (1916 –11 Ιανουαρίου 2014) Γεννήθηκε στην Ουγγαρία, μεγάλωσε στην Αγγλία και από το 1966 εργάστηκε στον Καναδά. Θεμελίωσε την ψυχολογία της μάθησης των μαθηματικών υπό την επιρροή των θεωριών του Πιαζέ και έγιναν παγκόσμια γνωστές οι δύο σειρές «δομημένων» υλικών, τις οποίες σχεδίασε και εφάρμοσε σε πλήθος διδακτικών πειραμάτων. Παράλληλα, έγραψε ιστορίες και σχεδίασε πολλά παιχνίδια για την ανάπτυξη λογικο-μαθηματικών σχέσεων και τη διδασκαλία μαθηματικών εννοιών. Παιχνίδια και αισθησιο-κινητικές δραστηριότητες περιγράφονται στα βιβλία του «Mathematics Through the Senses, Games, Dance and Art» και «Let’s play math».

Τα στερεά Λογικής (Logic Blocks) Η προσέγγιση των δραστηριοτήτων με τα διδακτικά υλικά ως γενεσιουργού διαδικασίας συγκρότησης μαθηματικών εννοιών Τα στερεά Λογικής (Logic Blocks) Εκπαιδευτικό υλικό για την οργάνωση δραστηριοτήτων συγκρότησης και ανάπτυξης των θεμελιωδών λογικο-μαθηματικών σχέσεων ισοδυναμίας, διάταξης και αντιστοίχισης. Αποτελούνται από 60 ξύλινα στερεά που συνδυάζουν τέσσερα χαρακτηριστικά: Σχήμα: Τετράγωνο, Ορθογώνιο, Τρίγωνο, Κύκλος, Εξάγωνο. Χρώμα: Κίτρινο , Μπλε , Κόκκινο. Πάχος: Παχύ (1 cm), Λεπτό (0,5 cm). Επιφάνεια: Μεγάλη (100 cm 2 ), Μικρή (25 cm 2 ).

Το ίδιο σχήμα λείπει και από τα παραδείγματα που δόθηκαν. Χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη δραστηριοτήτων ομαδοποίησης και ταξινόμησης με βάση σχέσεις ισοδυναμίας ή και διάταξης. Με άμεσο και απώτερο στόχο αυτών των δραστηριοτήτων την (μαθηματική) ένταξη των παιδιών στο μαθηματικοποιημένο περιβάλλον τους—γραμμές, αριθμοί, σχήματα. Τα συγκοινωνούντα δοχεία της γλωσσικής έκφρασης και των Μαθηματικών αποτελούν τη βάση της διδακτικής μας δράσης στα παιδιά της προσχολικής ηλικίας. Παραδείγματα: «Δώστε μου τέσσερα τετράγωνα, τρία λεπτά και ένα παχύ» «Δείξτε μου δύο τρίγωνα.» «Κάντε τριάδες διαφορετικών χρωμάτων.» «Ξεχωρίστε τα μικρά από τα μεγάλα σχήματα που έχετε.» «Κάντε ζευγάρια διαφορετικών μεγεθών [μεγάλο/μικρό]. Είναι του ίδιου ή διαφορετικού σχήματος; Σε τι διαφέρουν;» «Δώστε μου όλα τα τετράγωνα. Πόσα είναι;» «Δώστε μου έναν κύκλο και δύο τρίγωνα.» «Ας παίξουμε το παιγνίδι “ένα μικρό κι ένα μεγάλο”.» «Δώστε μου όλα τα σχήματα που έχουν τρεις πλευρές. Πόσα είναι; Τώρα δώστε μου όλα τα σχήματα με τέσσερις πλευρές. Πόσα είναι;» «Υπάρχουν σχήματα χωρίς πλευρές; Ποια είναι;» «Ανταλλάξτε κύκλους με τρίγωνα. Πόσους κύκλους είχατε πριν και πόσους τώρα;» Με άλλα λόγια μπορούμε να προσαρμόσουμε τις δραστηριότητες που έχουμε προ-σχεδιάσει στα υπάρχοντα υλικά. Το ίδιο σχήμα λείπει και από τα παραδείγματα που δόθηκαν. Ποιο σχήμα λείπει στην εικόνα από όσα προαναφέρθηκαν;

Το ίδιο σχήμα λείπει και από τα παραδείγματα που δόθηκαν. Χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη δραστηριοτήτων ομαδοποίησης και ταξινόμησης με βάση σχέσεις ισοδυναμίας ή και διάταξης. Στείλτε μου τις ιδέες σας για περαιτέρω επεξεργασία των ιδεών αυτών. Συζητείστε τις σκέψεις σας με τα υπόλοιπα μέλη της ομάδας σας, προκειμένου να εμπλουτιστούν και να φέρουν και άλλες ιδέες. Τα συγκοινωνούντα δοχεία της γλωσσικής έκφρασης και των Μαθηματικών αποτελούν τη βάση της διδακτικής μας δράσης στα παιδιά της προσχολικής ηλικίας. Παραδείγματα: «Δώστε μου τέσσερα τετράγωνα, τρία λεπτά και ένα παχύ» «Δείξτε μου δύο τρίγωνα.» «Ξεχωρίστε τα μικρά από τα μεγάλα σχήματα που έχετε.» «Κάντε τριάδες διαφορετικών χρωμάτων.» «Κάντε ζευγάρια διαφορετικών μεγεθών [μεγάλο/μικρό]. Είναι του ίδιου ή διαφορετικού σχήματος; Σε τι διαφέρουν;» «Δώστε μου όλα τα τετράγωνα. Πόσα είναι;» «Δώστε μου έναν κύκλο και δύο τρίγωνα.» «Ας παίξουμε το παιγνίδι “ένα μικρό κι ένα μεγάλο”.» «Δώστε μου όλα τα σχήματα που έχουν τρεις πλευρές. Πόσα είναι; Τώρα δώστε μου όλα τα σχήματα με τέσσερις πλευρές. Πόσα είναι;» «Υπάρχουν σχήματα χωρίς πλευρές; Ποια είναι;» «Ανταλλάξτε κύκλους με τρίγωνα. Πόσους κύκλους είχατε πριν και πόσους τώρα;» Ετοιμάστε σετ ερωτήσεων με μαθηματική κατεύθυνση, προσαρμοσμένες στα υλικά που έχετε επιλέξει ή/και σε αυτά που διατίθενται. Το ίδιο σχήμα λείπει και από τα παραδείγματα που δόθηκαν. Ποιο σχήμα λείπει στην εικόνα από όσα προαναφέρθηκαν;

σχέσεις ισοδυναμίας ή και σχέσεις διάταξης. Εξαιρετικά σημαντικές νοητικές λειτουργίες αλλά και μαθηματικές / μαθηματικοποιημένες έννοιες: ομαδοποίηση ταξινόμηση με βάση σχέσεις ισοδυναμίας ή και σχέσεις διάταξης. Ο λεπτός και ο παχύς κύκλος, ο κόκκινος και ο κίτρινος κύκλος, ο μικρός και ο μεγάλος κύκλος θα γίνουν «ο κύκλος». Η ισοδυναμία είναι και—κατ’ εξοχήν—γλωσσική λειτουργία. Ταξινόμηση → αντιστοίχιση → → καταμέτρηση → μέτρηση → → αριθμός Επιτυγχάνεται ενίσχυση όχι μόνο της αριθμητικής και της γεωμετρικής αντίληψης των μαθητών αλλά και οι δυνατότητες τους για ταξινόμηση. Στόχος η εξαντικειμενίκευση (α) γεωμετρικών σχημάτων και (β) της ταξινόμησης γεωμετρικών σχημάτων, με διάφορα κριτήρια, ‘εξωτερικά’/ολιστικά (π.χ. χρώμα, κύκλος, τετράγωνο) και ‘εσωτερικά’ (π.χ. πλήθος πλευρών) των σχημάτων.

Ερώτηση: Ποιο χαρακτηριστικό έχουν ίδιο όσα είναι μέσα στον δακτύλιο; Απάντηση: απέναντι πλευρές ίσες – είναι ορθογώνια Ερώτηση: Βρείτε όλα όσα είναι κόκκινα ή είναι κύκλοι. Απάντηση: όλα τα κόκκινα ανεξάρτητα από το σχήμα και όλοι οι κύκλοι ανεξάρτητα από το χρώμα Ερώτηση: Βρείτε όλα όσα είναι ορθογώνια και μπλε. Απάντηση: όλα τα μπλε που είναι ορθογώνια

Τα στερεά Λογικής (Logic Blocks) Διδακτικός και ερευνητικός στόχος Εκπαιδευτικό υλικό για την οργάνωση δραστηριοτήτων συγκρότησης και ανάπτυξης των βασικών εννοιών του αριθμού και του συστήματος αρίθμησης. Αποτελούνται από ξύλινα στερεά (κύβους, ράβδους, τετράγωνα, και κύβους) με τις παρακάτω διαστάσεις: Κύβοι διαστάσεων 1 cm x 1 cm x 1 cm, που χρησιμοποιούνται ως Μονάδες Ράβδοι διαστάσεων 10 cm x 1 cm x 1 cm, που χρησιμοποιούνται ως Δεκάδες Τετράγωνα διαστάσεων 10 cm x 10 cm x 1 cm, που χρησιμοποιούνται ως Εκατοντάδες Κύβοι διαστάσεων 10 cm x 10 cm x 10 cm, που χρησιμοποιούνται ως Χιλιάδες

1ο Στάδιο: Ελεύθερο Παιχνίδι 2ο Στάδιο: Παιχνίδι με Κανόνες Η χρήση των στερεών αριθμητικής του Dienes βασίζεται σε μια θεωρητική προσέγγιση της συγκρότησης των μαθηματικών εννοιών, που αναπτύχθηκε στα πρότυπα των θεωριών του Piaget. Σύμφωνα με την προσέγγιση αυτή οι δραστηριότητες συγκρότησης των βασικών μαθηματικών εννοιών θα πρέπει να αναπτύσσονται διαδοχικά ακολουθώντας τα παρακάτω στάδια: 1ο Στάδιο: Ελεύθερο Παιχνίδι 2ο Στάδιο: Παιχνίδι με Κανόνες 3ο Στάδιο: Αφαίρεση και Γενίκευση Σχέσεων και Κανόνων 4ο Στάδιο: Νοητική Αναπαράσταση Σχέσεων και Κανόνων 5ο Στάδιο: Επεξεργασία και Οργάνωση των Νοητικών Αναπαραστάσεων 6ο Στάδιο: Συγκρότηση Τυπικών Νοητικών Συστημάτων (Dienes, Z. P., The Six Stages in the Process of Learning Mathematics, NFER, London, 1973):

1ο Στάδιο: Ελεύθερο Παιγνίδι Παράδειγμα: Το παιδί παίζει με παζλς, τόμπολες και κάρτες αντιστοίχισης χωρίς να ακολουθεί ή να προσπαθεί να εφαρμόσει τους κανόνες των παιγνιδιών. 2ο Στάδιο: Παιγνίδι με Κανόνες Παράδειγμα: Το παιδί παίζοντας με παζλς, τόμπολες και κάρτες αντιστοίχισης εντοπίζει, κατανοεί και εφαρμόζει σταδιακά τους κανόνες των παιγνιδιών. 3ο Στάδιο: Αφαίρεση και Γενίκευση Σχέσεων και Κανόνων Παράδειγμα: Το παιδί μέσα από το παιχνίδι εντοπίζει εφαρμόζοντας τους κανόνες των παιχνιδιών την κοινή δομή οργάνωσης και λειτουργίας τους: την ένα-πρός-ένα αντιστοίχιση των αντικειμένων.

4ο Στάδιο: Νοητική Αναπαράσταση Σχέσεων και Κανόνων Παράδειγμα: Το παιδί συγκροτεί παραστάσεις της ένα-πρός-ένα αντιστοίχισης των αντικειμένων και κατακτάει τη δυνατότητα να περιγράφει με κάποιο τρόπο το γενικό κανόνα οργάνωσης και λειτουργίας των συγκεκριμένων παιγνιδιών. 5ο Στάδιο: Επεξεργασία και Οργάνωση των Νοητικών Αναπαραστάσεων Παράδειγμα: Το παιδί κατακτάει τη δυνατότητα να διατυπώνει λεκτικά και να επεξηγεί το γενικό κανόνα οργάνωσης και λειτουργίας των συγκεκριμένων παιχνιδιών (την ένα-προς-ένα αντιστοίχιση) αλλά και να τον εφαρμόζει με ευχέρεια σε νέα ισόμορφα παιγνίδια. 6ο Στάδιο: Συγκρότηση Τυπικών Νοητικών Συστημάτων Παράδειγμα: Το παιδί συγκροτεί ένα αρχικό τυπικό σύστημα με αφετηρία ("αξίωμα") τη σχέση της ένα -προς-ένα αντιστοίχισης, από το οποίο προκύπτουν με αντίστοιχες διαδικασίες αντιστοίχισης ("απόδειξη") οι σχέσεις ισοδυναμίας τάξεων αντικειμένων και σε ένα επόμενο στάδιο η αρίθμηση και η έννοια του αριθμού ("θεωρήματα").

Ο Dienes πρότεινε η διδασκαλία των μαθηματικών να αρχίζει με παιχνίδια Το πρωτογενές παιχνίδι σχετίζεται με την επαφή του παιδιού με αντικείμενα και με υλικά, με σκοπό την άμεση ικανοποίηση των βασικών αναγκών του. Στον πρωτογενή τύπο του μαθηματικού παιγνιδιού περιλαμβάνεται ο χειρισμός και η εξερεύνηση διάφορων υλικών, χωρίς απώτερο σκοπό. Το δευτερογενές παιχνίδι είναι η συνειδητή δραστηριότητα του παιδιού, η οποία έχει κάποιο συγκεκριμένο σκοπό. Στον δευτερογενή τύπο μαθηματικού παιγνιδιού περιλαμβάνεται η προσπάθεια του παιδιού να κατασκευάσει κάτι με τα υλικά που έχει χειριστεί και εξερευνήσει, να ανακαλύψει ιδιότητες και χαρακτηριστικά και να διαμορφώσει αφηρημένες έννοιες και κατηγορίες ή κανόνες. Το δευτερογενές παιχνίδι οδηγεί συνήθως σε διαδικασίες πολύ χρήσιμες για τη μάθηση [μαθηματικών εργαλείων], όπως η αφαίρεση, ο συμβολισμός και η κατηγοριοποίηση. (Σκουμπουρδή, 2015)

Σε ποια συγκεκριμένα μαθηματικά αντικείμενα και έννοιες στοχεύετε; Τι σκοπεύετε να πετύχετε σχετικά με τις κατανοήσεις των μαθητών; Πρέπει αυτά να αναφέρονται με σαφήνεια στην εργασία σας. Τι παρατηρήσατε (σχετικά με αυτούς τους στόχους) κατά την πρακτική σας άσκηση; Ο Dienes πρότεινε η διδασκαλία των μαθηματικών να αρχίζει με παιχνίδια. Κατά την άποψή του, η μάθηση των μικρών παιδιών επιτυγχάνεται κυρίως μέσω του παιχνιδιού. Τα παιδιά περνούν, από τη διαισθητική κατανόηση των κανόνων, στη μαθηματική γνώση (Κόμπος, 1996, σ. 60), μέσω της επίδρασης των καταστάσεων ενός δομημένου παιχνιδιού. Σκεφτείτε διαλόγους, σκεφτείτε επεισόδια μαθησιακά όπου κάνετε κατευθυνόμενες ερωτήσεις και κινείστε σύμφωνα με τη ροή της κατανόησης των παιδιών. Κάνετε κατευθυνόμενες ερωτήσεις ώστε να ανασύρετε μαθηματικά αντικείμενα και έννοιες στη συνειδητή δράση των παιδιών. Το κλειδί κατανόησης του 2ο-γενούς παιγνιδιού Ο Dienes διαχώρισε δύο τύπους παιχνιδιού, το πρωτογενές και το δευτερογενές: Το πρωτογενές παιχνίδι σχετίζεται με την επαφή του παιδιού με αντικείμενα και με υλικά, με σκοπό την άμεση ικανοποίηση των βασικών αναγκών του. Στον πρωτογενή τύπο του μαθηματικού παιγνιδιού περιλαμβάνεται ο χειρισμός και η εξερεύνηση διάφορων υλικών, χωρίς απώτερο σκοπό. Το δευτερογενές παιχνίδι είναι η συνειδητή δραστηριότητα του παιδιού, η οποία έχει κάποιο συγκεκριμένο σκοπό. Στον δευτερογενή τύπο μαθηματικού παιγνιδιού περιλαμβάνεται η προσπάθεια του παιδιού να κατασκευάσει κάτι με τα υλικά που έχει χειριστεί και εξερευνήσει, να ανακαλύψει ιδιότητες και χαρακτηριστικά και να διαμορφώσει αφηρημένες έννοιες και κατηγορίες ή κανόνες. Το δευτερογενές παιχνίδι οδηγεί συνήθως σε διαδικασίες πολύ χρήσιμες για τη μάθηση, όπως η αφαίρεση, ο συμβολισμός και η κατηγοριοποίηση. (Σκουμπουρδή, 2015) Τι θα αλλάζατε/λαμβάνατε υπ’ όψη σας αν επιθυμούσατε να επαναλάβετε την ίδια διδακτική δράση;

Οτιδήποτε καταγραφεί σχετικά με αυτές τις κινήσεις είναι άξιο λόγου. Ο Dienes πρότεινε η διδασκαλία των μαθηματικών να αρχίζει με παιχνίδια. Κατά την άποψή του, η μάθηση των μικρών παιδιών επιτυγχάνεται κυρίως μέσω του παιχνιδιού. Τα παιδιά περνούν, από τη διαισθητική κατανόηση των κανόνων, στη μαθηματική γνώση (Κόμπος, 1996, σ. 60), μέσω της επίδρασης των καταστάσεων ενός δομημένου παιχνιδιού. Οι κινήσεις από τον πρωτογενή στον δευτερογενή τύπο και το αντίστροφο παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον Οτιδήποτε καταγραφεί σχετικά με αυτές τις κινήσεις είναι άξιο λόγου. Ο Dienes διαχώρισε δύο τύπους παιχνιδιού, το πρωτογενές και το δευτερογενές: Οι δύο αυτοί τύποι παιχνιδιού δεν είναι πάντα απόλυτα διακριτοί μεταξύ τους. Μπορεί δηλαδή ένα παιδί να παίζει σε πρωτογενές επίπεδο, ύστερα να συνεχίσει στο δευτερογενές, να επιστρέψει κατόπιν σε ένα πρωτογενές κοκ.

Ευχαριστώ για την προσοχή σας