ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

Ο οικονομικός κύκλος Επιχορηγήσεις Δαπάνες πρόνοιας Κυβέρνηση Φόροι Εταιρικός φόρος Φόροι Προσφορά αγαθών Ζήτηση αγαθών Αγορά αγαθών Αμοιβές Επιχειρήσεις Νοικοκυριά Δαπάνες για αγαθά και υπηρεσίες Ζήτηση εργασίας Προσφορά εργασίας Αγορά εργασίας Επενδύσεις Αποταμιεύσεις Αγορά χρήματος Ο οικονομικός κύκλος

ΜΑΘΗΜΑ 1ο -ΑΠ Αλγεβρικές και γραφικές λύσεις σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: απεικονίζετε μια ευθεία γραμμή, δεδομένων της κλίσης της και της y-τομής της, κατανοείτε τις έννοιες γραμμικής συνάρτησης ζήτησης και προσφοράς, επιλύετε αλγεβρικά και γραφικά σύστημα εξισώσεων (ισορροπία της αγοράς),

Το τμήμα ΑΠ μιας εταιρείας έχει προϋπολογισμό 25000€ για εκπαίδευση και φορητούς ΗΥ. Τα μαθήματα εκπαίδευσης κοστίζουν 700€ και ο φορητός ΗΥ 1200€. Αν το τμήμα εκπαιδεύει Ε εργαζομένους και αγοράζει L φορητούς γράψτε την ανίσωση Αν έχουμε 12 εργαζόμενους για μαθήματα πόσοι ΗΥ μπορούν να αγοραστούν; Το κόστος σχεδιασμού μιας διαφήμισης για ένα περιοδικό είναι 9000€ και το κόστος για κάθε cm2 εκτύπωσης είναι 50€. Πόσο κοστίζει μια διαφήμιση χ cm2 συνολικά; Αν διαθέτουμε από 10800€ μέχρι 12500€ ποια η ελάχιστη και ποια η μέγιστη έκταση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί;

Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας χρεώνει 70€ το μήνα και οι κλήσεις κοστίζουν 0,50€ το λεπτό. Ποιο το συνολικό κόστος αν χρησιμοποιήσω το κινητό μου για x λεπτά το μήνα. Φτιάξτε τη γραφική παράσταση. Σε άλλη εταιρία οι χρεώσεις αντίστοιχα είναι 20€ το μήνα και 1€ το λεπτό. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση. Για ποιο χρόνο κλήσεων το κόστος είναι ίδιο και για τις δύο εταιρείες;

Η τομή της ευθείας με τον άξονα των y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y-τομή = 2 y-τομή = 0 y-τομή = - 3

Μέτρηση της Κλίσης Κλίση B Γ 2 A 4 -6 5 Δ Κλίση ευθείας που ορίζεται από AB B Γ A 2 4 το y αυξάνει κατά 0.5 όταν το x αυξάνει κατά 1. -6 Κλίση ευθείας που ορίζεται από ΓΔ = το y μειώνεται κατά 1.2 όταν το x αυξάνει κατά 1. 5 Δ

Μια ευθεία ορίζεται μοναδικά από την κλίση και την y-τομή Στα μαθηματικά η κλίση μιας ευθείας συμβολίζεται με το γράμμα m Στα μαθηματικά, η y-τομή συμβολίζεται με το γράμμα c 1 2 3 4 5 -1 y-τομή, c = 2 κλίση, m = 1

(b) κατακόρυφα προς τα πάνω κατά μια μονάδα Σχεδιασμός μιας ευθείας, δοθείσης της κλίσης m =1 και της y-τομής c = 2 1. Σχεδιάζουμε ένα σημείο στη y-τομή = 2 2. Από τη y-τομή σχεδιάζουμε μια ευθεία με κλίση = 1 μετακινούμενοι (a) οριζόντια κατά μια μονάδα και (b) κατακόρυφα προς τα πάνω κατά μια μονάδα 3. Προεκτείνουμε την ευθεία απεριόριστα και στις δύο κατευθύνσεις (1, 3) (0, 2) x

Άσκηση 1 Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: PD = -2QD + 50 PS= (1/2)QS + 25 Να προσδιοριστεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας της αγοράς, Τι θα συμβεί αν η κυβέρνηση αποφασίσει να εισάγει φόρο 5€ ανά μονάδα αγαθού

Υπολογίζοντας την τιμή και ποσότητα ισορροπίας αλγεβρικά Συνάρτηση ζήτησης: P D= -2QD + 50 …(1) και Συνάρτηση προσφοράς: PS= (1/2)QS + 25 …(2)

Ισορροπία στην Αγορά Αγαθών όταν QD = QS = Q και PD = PS =P Ζητούμενη Ποσότητα από τους Καταναλωτές = Προσφερόμενη Ποσότητα από τους Προμηθευτές Τιμή καταβαλλόμενη από τους Καταναλωτές = Τιμή αποδεκτή από τους Προμηθευτές

Εύρεση της τιμής και ποσότητας ισορροπίας αλγεβρικά Ζήτηση: PD = -2QD + 50 Προσφορά: PS= (1/2)QS + 25 Εξισώνοντας τις τιμές PD = PS – 2Q + 50 = 0.5Q + 25 50 – 25 = 0.5Q + 2Q … 25 = 2.5Q …. Στην ισορροπία: QD = QS PD = PS Στο παράδειγμα αυτό είναι ευκολότερο να εξισώσουμε τις τιμές, διότι η ζήτηση και η προσφορά δίνονται στη μορφή P = f(Q)

P = 30 Ισορροπία Αγοράς Q = 10 P = 50 - 2Q …(1) Συνάρτηση ζήτησης Τώρα γνωρίζουμε την ποσότητα ισορροπίας Αντικαθιστώντας Q = 10 στην (1) ή (2) και λύνουμε ως προς Q. P = 50 - 2Q …(1) Συνάρτηση ζήτησης P = 50 - 2(10) = 50 - 20 = 30 Q = 10 Ισορροπία Q = 10 P = 30 P = 30

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ Συνάρτηση ζήτησης: P = -2(10) + 50 =50-20=30 …(1) και Συνάρτηση προσφοράς: P= (1/2)(10) + 25 = 25+5=30 …(2)

Εύρεση της τιμής και ποσότητας ισορροπίας γραφικά Περιγραφή της Μεθόδου: 1. Σχεδιάζουμε τη συνάρτηση ζήτησης: P = 50 - 2Q 2. Σχεδιάζουμε τη συνάρτηση προσφοράς: P = 25 + 0.5Q 3. Βρίσκουμε το σημείο τομής Pe Q e Ζήτηση Ισορροπία Αγοράς E P Q Προσφορά Ισορροπία αγοράς αγαθών

Εύρεση της τιμής και ποσότητας ισορροπίας γραφικά 1. Σχεδιάζουμε τη συνάρτηση ζήτησης: P = 50 - 2Q 2. Σχεδιάζουμε τη συνάρτηση προσφοράς: P = 25 + 0.5Q 3. Βρίσκουμε το σημείο τομής Pe Q e Ζήτηση Ισορροπία Αγοράς E P Q Προσφορά

Σχεδιασμός της συνάρτησης ζήτησης: P = 50 - 2Q Κατακόρυφη τομή (όταν Q=0) στο P = 50 : Σχεδιάζουμε αυτό το σημείο P 50 Q

Σχεδιασμός της συνάρτησης ζήτησης: P = 50 - 2Q Σχεδιάζουμε αυτό το σημείο P 50 Q 25

Σχεδιασμός της συνάρτησης ζήτησης: P = 50 - 2Q Q 25

Σχεδιασμός της συνάρτησης προσφοράς: P = 25 + 0.5Q Συνάρτηση προσφοράς: P = 25 + 0.5Q Κατακόρυφη τομή P = 25: Σχεδιάζουμε αυτό το σημείο P 50 25 P = 50 – 2Q Q 25

Σχεδιασμός της συνάρτησης προσφοράς: P = 25 + 0.5Q = -50 Σχεδιάζουμε αυτό το σημείο P 50 25 P = 50 – 2Q Q 25 - 50

Σχεδιασμός της συνάρτησης προσφοράς: P = 25 + 0.5Q Ενώνουμε την οριζόντια τομή Q = -50 και την κατακόρυφη τομή P = 25. Επεκτείνουμε την ευθεία. P 50 25 P = 25 + 0.5Q P = 50 – 2Q Q 25 - 50

Ισορροπία Καταγράφουμε την τιμή του P στο σημείο τομής Καταγράφουμε την τιμή του Q στο σημείο τομής Στην ισορροπία: Qd = Qs Pd = Ps P 50 P = 25 + 0.5Q P = 30 25 P = 50 - 2Q Q Q =10 25 - 50

Ισορροπία στο P = 30, Q = 10 χωρίς φόρους 50 P = 25 + 0.5Q 30 Ισορροπία αγοράς 25 P = 50 – 2Q Q 10 25

Οι φόροι και η κατανομή τους Όταν ένας φόρος 5€ ανά μονάδα επιβάλλεται στον παραγωγό αυτός εισπράττει (P - 5) ανά μονάδα: Η εξίσωση της αρχικής συνάρτησης προσφοράς είναι P = 25 + 0.5Q Για να προσαρμόσουμε για το φόρο, αντικαθιστούμε το P στην αρχική συνάρτηση προσφοράς με (P - 5) Η εξίσωση της νέας συνάρτησης προσφοράς είναι (P - 5) = 25 + 0.5Q Η συνάρτηση προσφοράς προσαρμοσμένη για το φόρο είναι P =30 + 0.5Q

… παράλληλη της αρχικής Σχεδιασμός της αρχικής συνάρτησης προσφοράς και της προσαρμοσμένης για το φόρο Η εξίσωση της συνάρτησης προσφοράς προσαρμοσμένης για το φόρο είναι: P =30 + 0.5Q Το γράφημα της συνάρτησης προσφοράς προσαρμοσμένης για το φόρο είναι … προσαρμοσμένη για το φόρο P = 30 + 0.5Q … παράλληλη της αρχικής P P = 25 + 0.5Q … μετατοπισμένη κατακόρυφα προς τα πάνω κατά 5 μονάδες 30 25 Q

Εύρεση της νέας τιμής και ποσότητας ισορροπίας Ζήτηση: P = 50 - 2QD Προσφορά: P = 30 + 0.5Q προσαρμοσμένη για το φόρο Εξισώνοντας τις τιμές PD = PS 50 – 2Q = 30 + 0.5Q 50 – 30 = 0.5Q + 2Q … λύνουμε ως προς Q 8 = Q … αυτή είναι η νέα ποσότητα ισορροπίας Κατόπιν λύνουμε ως προς P, τη νέα τιμή ισορροπίας Equilibrium: QD = QS PD = PS

Ισορροπία Αγοράς με Φόρους Τώρα γνωρίζουμε τη νέα ποσότητα ισορροπίας Αντικαθιστώντας Q = 8 στην (1) ή (3) και λύνοντας ως προς Q P = 50 - 2Q … (1) Συνάρτηση Ζήτησης P = 50 - 2(8) = 50 - 16 = 34 Qe = 8 Ισορροπία μετά το φόρο Q = 8 P = 34 Pe = 34

Υπόδειγμα προσφοράς - ζήτησης Η ποσότητα (σε μονάδες) που ζητά η αγορά ενός αγαθού (quantity demand) Q είναι άμεσα εξαρτώμενη από την τιμή διάθεσης του αγαθού στην αγορά P (market price). Επομένως, η σχέση αυτή μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια μιας συνάρτησης Q=f(P). Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση ζήτησης. Ας δούμε τώρα από την πλευρά των παραγωγών το πρόβλημα. Η ποσότητα Q την οποία επιθυμούν να παράγουν και να διαθέσουν στην αγορά εξαρτάται από την τιμή P στην οποία μπορεί να πωληθεί το αγαθό. Επομένως η συνάρτηση προσφοράς θα έχει τη γενική μορφή P = aQ +b, όπου a και b θετικοί αριθμοί. Υποθέτουμε ότι η αγορά είναι σε ισορροπία όταν η ποσότητα που ζητά η αγορά είναι ακριβώς ίση με την ποσότητα που διαθέτουν στην αγορά οι παραγωγοί. Στο σημείο ισορροπίας, εκεί δηλαδή που τέμνονται η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς, (Q0,P0) επιτυγχάνεται η ποσότητα ισορροπίας Q0 και η τιμή ισορροπίας αγοράς P0.