Mechatronics فصل چهارم سیگنال‎های آنالوگ و دیجیتال mech@jamilnia.ir www.jamilnia.ir/mech سیگنال‎های آنالوگ و دیجیتال

آشنايي با انواع سيگنال‌ها سيگنال زمان پيوسته: سيگنالی که بر روي بازه پيوسته‎ای از زمان تعريف مي‌شود. سيگنال آنالوگ: اندازه سيگنال در بازه پيوسته‌اي از مقادير قابل بيان است. سيگنال مقداردهی‎شده: اندازه سيگنال با تعداد محدودي از مقادير متمايز قابل بيان است. سيگنال آنالوگ سيگنال مقداردهی‎شده زمان پيوسته ـ مقادير پيوسته زمان پيوسته ـ مقادير گسسته

آشنايي با انواع سيگنال‌ها سيگنال زمان گسسته: سيگنالی که در مقاطع مشخصی از زمان تعريف مي‌شود. سيگنال اطلاعات نمونه‌برداري‌شده: اندازه سيگنال در بازه پيوسته‌اي از مقادير قابل بيان است. سيگنال ديجيتال: اندازه سيگنال با تعداد محدودي از مقادير متمايز قابل بيان است. سيگنال اطلاعات نمونه‎برداری‎شده سيگنال دیجیتال زمان گسسته ـ مقادير پيوسته زمان گسسته ـ مقادير گسسته

آشنايي با انواع سيگنال‌ها

افزایش مقاطع زمانی و سطوح مقادیر آشنايي با انواع سيگنال‌ها افزایش مقاطع زمانی افزایش سطوح مقادیر افزایش مقاطع زمانی و سطوح مقادیر

رایانه‎هاي ديجيتال ـ تمامی سامانه‎های جهان فیزیکی، آنالوگ (قیاسی) می‎باشند. یعنی در عالم واقع، تمامی زمان‎ها و تمامی مقادیر پیوسته هستند. مفهوم دیجیتال (رقمی) با پیدایش رایانه‎های دیجیتال به منظور تسریع محاسبات، ایجاد شده است. ـ رایانه‎ها به دلیل ماهیت ساختاری خود، صرفاً با اعداد و ارقام صحیح کار می‎کنند. یعنی برای درک هر پدیده‎ای (دریافت ورودی)، باید آن را به صورت رقمی دریافت کنند و برای بیان نتایج محاسبات خود (ارسال خروجی)، باید آن را به صورت رقمی ارائه نمایند. ـ برای اینکه رایانه‎ها بتوانند ارقام را با استفاده از اجزای الکترونیکی خود، دریافت، پردازش و ارسال کنند، لازم است تا این ارقام در سطوح معینی باشند. همچنین، به دلیل تولید فرکانسی زمان در رایانه‎ها، ارقام باید در مقاطع زمانی مشخصی دارای مقدار باشند.

رایانه‎هاي ديجيتال ـ بنابراین، فرآیند گردش اطلاعات در رایانه‎ها (دریافت، پردازش و ارسال)، به صورت دیجیتال می‎باشد. یعنی در رایانه‎ها، تمامی زمان‎ها و تمامی مقادیر گسسته هستند. ـ اطلاعات از دستگاه‌هاي ورودي (نظير ماوس و صفحه کلید) به رایانه‎ها به صورت ديجيتال منتقل مي‌شوند و اطلاعات از رایانه‎ها به دستگاه‌هاي خروجي (نظير نمایشگر و چاپگر) به صورت ديجيتال منتقل مي‌گردند. ـ رایانه‎ها براساس نیمه‎رساناهای ترانزیستوری ساخته می‎شوند. بنابراین، برمنطق دودویی (خاموش/روشن یا صفر/یک) استوار هستند. در نتیجه، باید تمامی ارقام به صورت دنباله‎ای از صفر و یک‎ها باشند. با بیان ارقام صحیح در مبنای 2، می‎توان به جای یک عدد صحیح، مجموعه‎ای از صفر و یک‎ها را داشت که به سادگی برای رایانه‎ها قابل درک هستند.

مبنای 2 (صفر و یک) ـ برای تبدیل یک عدد صحیح به مبنای 2، باید آن عدد را به صورت متوالی بر 2 تقسیم نمود و باقیمانده‎ها را از انتها به ابتدا و از چپ به راست درکنارهم قرار داد: 35 34 1 2 17 16 1 2 8 2 4 2 مبنای 2 35 100011 2 1 ـ برای انجام عکس این عمل، لازم است تا مقادیر صفر و یک را در 2 به توان تعداد ارقام سمت راست آنها ضرب نمود و سپس حاصلضرب‎ها را باهم جمع کرد: 35 = 1 + 2 + 32 = 20×1 + 21×1 + 22×0 + 23×0 + 24×0 + 25×1

مبنای 2 (صفر و یک) ـ همانگونه که مشاهده گردید، عدد 35 درمبنای 2، دارای 6 رقم است. با توجه به صفر و یک بودن ارقام در مبنای 2، با هر تعداد رقم، صرفاً می‎توان تا محدوده مشخصی از اعداد صحیح (یا سطوح مقادیر) را تعریف نمود. ـ به هر رقم در مبنای 2، یک بیت (bit) گفته می‎شود. اگر تعداد بیت‎های یک عدد در مبنای 2 را با n نشان دهیم، تعداد مقادیر صحیح قابل تعریف (N)، برابر است با: N = 2n ـ مثلاً با 8 بیت (صفر و یک)، می‎توان 256 عدد صحیح تعریف نمود. اگر همه 8 بیت، صفر باشند، عدد صفر و اگر همه 8 بیت، یک باشند، عدد 255 تولید می‎شود. بنابراین، با 8 بیت می‎توان اعداد صحیح از صفر تا 255 را در مبنای 2 بیان نمود: صفر 255 1

مبنای 2 (صفر و یک) ـ برای تعریف یک عدد 8 بیتی در رایانه، می‎توان از یک قطعه الکترونیکی با 8 پایه (pin) استفاده نمود و با اعمال یا عدم اعمال جریان (یا ولتاژ) به پایه‎ها، یک یا صفر بودن هر بیت را مشخص نمود: 35 ـ در حوزه الکترونیک، عموماً از ارقام و تجهیزات 8 ، 10 ، 12 و 16 بیتی استفاده می‎شود. ـ باید توجه داشت‎که با n بیت، فقط 2n عدد صحیح تعریف نمی‎شود، بلکه 2n سطح دیجیتال تعریف می‎شود. یعنی ما می‎توانیم مثلاً تغییرات یک متغیر را در بازه اعداد حقیقی 1000- تا 1000+، با 8 بیت در قالب 256 سطح دیجیتال بیان کنیم. در این حالت، صفر بودن همه 8 بیت به معنی عدد 1000- و یک بودن همه 8 بیت به معنی عدد 1000+ است. 1

مبنای 2 (صفر و یک) ـ اگر بخواهیم برای بازه حقیقی بیان‎شده، سطح تغییر هر مقدار دیجیتال را بدست آوریم، به صورت زیر عمل می‎کنیم: Q = [(+1000)-(-1000)] / (28-1) = 2000 / 255 ≈ 7.843 ـ یعنی اگر مقدار حقیقی، 7.843 واحد افزوده شود، سطح دیجیتال، یک واحد بالا می‎رود. ـ برای مثال، اگربخواهیم بدانیم که عدد حقیقی +345.67 در بازه مذکور، معادل چه سطح دیجیتالی است، به صورت زیر عمل می‎کنیم: [(+345.67)-(-1000)] / Q = 1345.67 / 7.843 = 179.830 ـ حاصل رابطه بالا نشان می‎دهد که عدد حقیقی +345.67 ، بین دو سطح دیجیتال 179 و 180 قرار دارد که چون به سطح 180 نزدیک‎تر است، سطح دیجیتال 180 را برمی‎گزینیم.

مبنای 2 (صفر و یک) ـ اگر مقداری مابین دو سطح دیجیتال بدست آید، باید سطح دیجیتال نزدیک‎تر را برگزید. ـ در نتیجه، اگر برای هر سطح دیجیتال مابه‎ازای حقیقی آن را بیابیم، ممکن است، مقدار واقعی ما ±Q/2 بیشتر یا کمتر باشد. برای مثال، اگر برای سطح دیجیتال 100 بخواهیم مقدار حقیقی مربوطه را بیابیم، خواهیم داشت: 100 × Q + (-1000) = 100 × 7.843 – 1000 = -215.7 ـ یعنی عدد حقیقی متناظر با سطح دیجیتال 100، -215.7 ± (7.843/2) خواهد بود. ـ با درنظرگرفتن بیت‎های بیشتر، می‎توان سطح تغییر دیجیتال را کاهش و قدرت تفکیک مقادیر حقیقی را افزایش داد. برای مثال، بادرنظرگرفتن 10 بیت، تلرانس عدد حقیقی متناظر به ±1.955/2 کاهش می‎یابد: Q = [(+1000)-(-1000)] / (210-1) ≈ 1.955

مبنای 2 (صفر و یک) مثال: خروجی یک پتانسیومتر نیم دور به صورت زیر قرائت شده است. مقدار زاویه آن را بدست آورید: 1×27 + 1×25 + 1×23 + 1×21 + 1×20 = 128 + 32 + 8 + 2 + 1 = 171 Q = (180º- 0º) / (28-1) = 180º / 255 ≈ 0.706º 171×Q = 171×0.706º = 120.726º θ = 120.726º ± (0.706º/2) 120.373º ≤ θ ≤ 121.079º 1

مبدل آنالوگ به دیجیتال (A/D) ـ برای تبدیل سیگنال آنالوگ به دیجیتال، از مبدل‎های A/D (یا ADC) استفاده می‎شود. این مبدل‎ها هم زمان و هم مقدار سیگنال را گسسته می‎کنند. ـ برای گسسته‎سازی زمان، لازم است تا مقادیر آنالوگ، در مقاطع زمانی مشخص قرائت شوند که به اصطلاح به این فرآیند، نمونه‎برداری (sampling) می‎گویند. ـ برای تولید زمان در مدارات الکترونیکی، از نوسان‎سازهای کریستال استفاده می‎شود. ـ یک کریستال پیزوالکتریک نظیر کوارتز می‎تواند سیگنال‎هایی با فرکانس ثابت و پایدار (نسبت به دما و زمان) تولید کند. ـ با توجه به مشخص و ثابت بودن فرکانس، می‎توان زمان را از شمارش سیگنال‎های تولیدی محاسبه نمود. قابلیت تفکیک زمان، به فرکانس نوسان‎ساز کریستال مربوط است.

مبدل آنالوگ به دیجیتال (A/D) ـ فرکانس نوسان‎سازهای کریستال متعارف از 4 تا 32 مگاهرتز می‎باشد. ـ یک نوسان‎ساز کریستال 16 مگاهرتز، در هر ثانیه، 16 میلیون بار سیگنال تولید می‎کند. یعنی در هر 6-10×1/16 ثانیه، یک سیگنال می‎فرستد: ـ اگر از چنین کریستالی برای تولید زمان استفاده شود، می‎توان فرآیند نمونه‎برداری و پردازش سیگنال را در میکرو ثانیه انجام داد. کوارتز نشانه مدار معادل

مبدل آنالوگ به دیجیتال (A/D) ـ مبدل‎های آنالوگ به دیجیتال عموماً به شکل مدار مجتمع (IC) دردسترس می‎باشند. ـ مدار مجتمع، به مجموعه‎ای از مدارات الکترونیکی می‎گویند که با مواد نیمه‎رسانا و در ابعاد بسیار کوچک ساخته شده و دربرگیرنده اجزای فعال و غیرفعال الکترونیکی است. ـ با توجه به اینکه فرآیند ساخت ترانزیستور در مدار مجتمع راحت‎تر از سایر اجزا است، طراحان ترجیح می‎دهند که سایر اجزای الکترونیکی را توسط ترانزیستورها پیاده‎سازی کنند و تا حد ممکن تمامی آنها را به ترانزیستور تبدیل نمایند.

مبدل آنالوگ به دیجیتال (A/D) ـ در شکل زیر، یک مدار مجتمع ADC0804 نشان داده شده که دارای 20 پین است: ـ سیگنال آنالوگ به صورت ولتاژ متغیر به مدار مجتمع وارد می‎شود. ـ در ریزکنترل‎گرها، معمولاً چندین پین آنالوگ به دیجیتال موجود است و نیازی به استفاده از مبدل‎های جداگانه نیست. 5 ولتاژ متغیر

مبدل دیجیتال به آنالوگ (D/A) ـ برای تبدیل سیگنال دیجیتال به آنالوگ، از مبدل‎های D/A (یا DAC) استفاده می‎شود. این مبدل‎ها هم زمان و هم مقدار سیگنال را پیوسته می‎کنند. ـ در این مبدل‎ها، باید پس از پیوسته‎سازی مقادیر، پیوسته‎سازی زمان نیز انجام پذیرد. یعنی باید مقادیر سیگنال در بین مقاطع زمانی نیز تعریف شوند تا سیگنال آنالوگ بدست آید. به اصطلاح به این فرآیند، نگهداری (holding) و به بخشی که مسئولیت انجام این فرآیند را برعهده دارد، نگهدارنده می‎گویند. ـ برای پُرکردن فاصله میان دو مقدار گسسته، می‎توان از بینهایت منحنی استفاده کرد. اما در فرآیند نگهداری، معمولاً از خطوط افقی و شیبدار استفاده می‎شود. درصورت تقریب افقی، نگهدارنده را مرتبه صفر و درصورت تقریب شیبدار، نگهدارنده را مرتبه یک می‎نامند.

مبدل دیجیتال به آنالوگ (D/A) نگهدارنده مرتبه صفر

مبدل دیجیتال به آنالوگ (D/A) نگهدارنده مرتبه یک

مبدل دیجیتال به آنالوگ (D/A) نگهدارنده مرتبه صفر نگهدارنده مرتبه یک ـ نگهدارنده مرتبه صفر، ساده‎ترین و پرکاربردترین نوع نگهدارنده می‎باشد. ـ نگهدارنده مرتبه یک، تقریبی بهتر و دقیق‎تر نسبت به نگهدارنده مرتبه صفر است. ـ نگهدارنده مرتبه یک، تقریب مناسبی برای مقادیر نوسانی پُر اُفت و خیز ارائه نمی‎دهد.

مبدل دیجیتال به آنالوگ (D/A) ـ در شکل زیر، یک مدار مجتمع DAC0800 نشان داده شده که دارای 16 پین است: ـ سیگنال آنالوگ به صورت ولتاژ متغیر از مدار مجتمع خارج می‎شود. ـ در ریزکنترل‎گرها، معمولاً چندین پین خروجی آنالوگ موجود است و نیازی به استفاده از مبدل‎های جداگانه نیست.

سامانه مکاترونیکی analog digital digital analog Sensor ADC Computer DAC Actuator ـ اطلاعات ارسالی از حسگر و نیز اطلاعات ارسالی به عملگر، به صورت آنالوگ می‎باشند، چون حسگر و عملگر با جهان فیزیکی در ارتباط هستند. البته برخی حسگرها قادر به ارسال اطلاعات دیجیتال هستند و برخی عملگرها نیز قادر به دریافت اطلاعات دیجیتال می‎باشند. ـ اطلاعات ورودی به رایانه و خروجی از آن، به صورت دیجیتال هستند، چون رایانه تنها قادر به پردازش سیگنال‎های دیجیتال می‎باشد. ـ در ریزکنترل‎گرها، رایانه و مبدل‎های ADC و DAC در یک مدار مجتمع قرار دارند.

معادلات تفاضلی ـ رفتار دینامیکی سامانه‎های زمان پیوسته در قالب معادلات دیفرانسیلی بیان می‎گردد. ـ معادلات دیفرانسیلی، متغیرهای مختلف یک سامانه را در طول زمان به هم پیوند می‎دهند. ـ برای سامانه‎های زمان گسسته، ایجاد ارتباط میان متغیرها در مقاطع زمانی مختلف و بیان رفتار دینامیکی، توسط معادلات تفاضلی (Difference Equations) صورت می‎پذیرد: ـ در معادله فوق، x(k) ها بیانگر مقادیر متغیرها در مقاطع زمانی مختلف هستند. سيگنال‌هاي زمان گسسته معمولاً به صورت دنباله‌اي از اعداد در مقاطع متناوب زماني بيان مي‌شوند: T زمان نمونه‌برداري x(0), x(T), x(2T), x(3T),…, x(kT) k شماره مقطع زمانی x(0), x(1), x(2), x(3),…, x(k)

معادلات تفاضلی ـ حل معادلات تفاضلی (همانند معادلات دیفرانسیلی) نیازمند دانستن شرایط اولیه است. ـ معادلات تفاضلی را می‎توان با رایانه‎های دیجیتال به سادگی حل نمود، اما بدست آوردن حل بسته برای آنها بسیار دشوار است. مثال: معادله تفاضلی زیر را حل کنید:

تبدیل z ـ تبديل z يك عملگر رياضي است كه معادلات تفاضلي را به معادلات جبري ساده تبديل مي‌كند. این تبديل كمك مي‌كند تا بتوانيم بدون حل معادلات تفاضلي، رفتار سامانه‌هاي زمان گسسته را پيش‌بيني كنيم. ـ تبديل z همان نقش تبديل لاپلاس را در سامانه‎هاي كنترل زمان پيوسته ايفا مي‌كند. ـ در كنترل زمان گسسته از تبديل z يك‌طرفه (زمان‌هاي مثبت) استفاده مي‌شود. ـ توان‌هاي z-k موقعيت زماني وقوع x(kT) را نشان مي‌دهند.

تبدیل z تبديل z توابع اصلی:

تبدیل z تبديل z عبارات تفاضلی:

نمونه‎برداری و نگهداری ـ برای فرآیند نمونه‎برداری (گسسته‎سازی زمان)، باید سیگنال زمان پیوسته را در دنباله‎ای از سیگنال‌های ضربه واحد ضرب نمود: ـ این کار، معادل ریاضی فرآیندی است که در مبدل‎های آنالوگ به دیجیتال روی می‎دهد و سیگنال زمان پیوسته به سیگنال زمان گسسته تبدیل می‎شود. X(s) X(z)

نمونه‎برداری و نگهداری ـ برای فرآیند نگهداری (پیوسته‎سازی زمان)، باید سیگنال زمان گسسته را در تابع تبدیل نگهدارنده ضرب نمود: ـ این کار، معادل ریاضی فرآیندی است که در مبدل‎های دیجیتال به آنالوگ روی می‎دهد و سیگنال زمان گسسته به سیگنال زمان پیوسته تبدیل می‎شود. X(s) X(z) H(s) Gh(s) نگهدارنده نمونه‎بردار

نمونه‎برداری و نگهداری Gh0(s) Gh1(s)

تابع تبدیل پالسی ـ تابع تبدیل پالسی معادل با تابع تبدیل در سامانه‎های زمان پیوسته می‎باشد و برابر با نسبت تبديل z خروجی به تبدیل z ورودی یک سامانه زمان گسسته است: ـ توابع تبدیل حلقه باز و حلقه بسته در سامانه‎های زمان گسسته، همانند سامانه‎های زمان پیوسته بدست می‎آیند. با این تفاوت که اگر مابین دو تابع تبدیل زمان پیوسته، نمونه‎برداری وجود نداشت، باید ابتدا دو تابع تبدیل را درهم ضرب نمود و بعد تبديل z گرفت. X (z) Y (z) G (z)

تابع تبدیل پالسی مثال: براي سامانه حلقه بسته زير، تابع تبدیل پالسی خروجی (C(z)) را به ازاي ورودي ضربه واحد بدست آوريد. زمان نمونه‎برداری را 1 ثانیه درنظربگیرید. Gh0(s) Gp(s)

تابع تبدیل پالسی

تابع تبدیل پالسی ـ توابع تبدیل کنترل‎گر در سامانه‎های کنترلی زمان پیوسته، بیانگر یک دسته معادلات دیفرانسیلی هستند که حل و پیاده‎سازی آنها در قالب رایانه‎های دیجیتال دشوار می‎باشد. ـ اما در مقابل، توابع تبدیل پالسی کنترل‎گر در سامانه‎های کنترلی زمان گسسته، بیانگر یک دسته معادلات تفاضلی هستند که حل و پیاده‎سازی آنها در قالب رایانه‎های دیجیتال آسان می‎باشد. زیرا این توابع تبدیل پالسی برمبنای مقاطع زمانی گسسته بدست آمده‎اند. ـ در نتیجه، بهتر است تا کل فرآیند طراحی و تحلیل سامانه کنترلی، در فضای زمان گسسته صورت پذیرد تا کدنویسی و پیاده‎سازی آسان‎تر و عملیاتی‎تری داشته باشد.

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z ـ سیگنال زمان پیوسته پس از نمونه‎برداری ضربه‎ای به صورت زیر درمی‎آید: ـ تبدیل لاپلاس این سیگنال، تحت عنوان تبدیل لاپلاس ستاره‎دار شناخته می‎شود: ـ اگر z = eTs باشد، این تبدیل، همان تبدیل z خواهد بود: ـ بنابراین، رابطه میان تبدیل لاپلاس و تبدیل z در فضای زمان گسسته به صورت زیر است:

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z ـ قطب‌هاي مختلط در سمت چپ صفحه s و نزديك به محور موهومي، رفتار نوساني و قطب‌هاي حقيقي در سمت چپ صفحه s، نزول نمايي را نشان مي‌دهند. ـ با توجه به رابطه ميان متغيرهاي مختلط s و z، موقعيت قطب و صفر در صفحه z با موقعيت قطب و صفر در صفحه s مرتبط مي‌باشد. بنابراين، پايداري سامانه‌هاي كنترل حلقه بسته زمان گسسته نيز با توجه به موقعيت قطب‌هاي تابع تبديل پالسي حلقه بسته تعيين مي‌شود. ـ بايد توجه داشت كه موقعيت صفر و قطب‌ها در صفحه z به زمان نمونه‌برداري (T) مربوط مي‌باشد. به بيان ديگر، تغيير در زمان نمونه‌برداري سبب تغيير رفتار پاسخ مي‌شود.

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z بنابراين، محور موهومي (jω) درصفحه s، معادل با دايره واحد درصفحه z مي‌باشد.

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z فرکانس نمونه‎برداری ـ باريكه اوليه (از -jωs/2 تا jωs/2) برابر با يكبارگردش (از -π تا π) در داخل دايره مي‌باشد. ـ باريكه مکمل (از jωs/2 تا jωs3/2) برابر با يكبارگردش (از π تا 3π) در داخل دايره مي‌باشد. ـ بنابراين، پوشش كليه فركانس‌ها، معادل با بينهايت گردش در داخل دايره مي‌باشد.

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z مكان هندسي σثابت:

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z مكان هندسي ωثابت:

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z مكان هندسي ζثابت:

نگاشت ميان صفحه s و صفحه z مكان هندسي ωnثابت:

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ اگر بخواهیم موقعیت قطب‎های حلقه بسته مطلوب را براساس ضریب میرایی و فرکانس طبیعی در صفحه s تعیین کنیم، داریم: ـ با توجه به روابط مربوط به نگاشت میان صفحات s و z خواهیم داشت: ـ با داشتن اندازه و زاویه قطب مطلوب می‎توان موقعیت آن را در صفحه z مشخص نمود. ـ در طراحی با روش مکان هندسی ریشه‎ها، با افزودن یک جبران‎ساز به سامانه، قطب‎های مطلوب را بر روی منحنی مکان هندسی ریشه‎ها قرار می‎دهیم:

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها مثال: برای سامانه حلقه بسته زیر، كنترل‎گر ديجيتال (GD(z)) را با استفاده از روش مکان هندسی ریشه‎ها بگونه‌اي طراحي كنيد كه قطب‌هاي حلقه بسته داراي ضريب ميرايي 0/5 و زمان نشست (معيار 2%) 2 ثانيه گردند. زمان نمونه‌برداري 0/2 ثانيه فرض شود.

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ برای طراحی کنترل‎گر، مراحل زیر را به ترتیب به انجام می‎رسانیم: ـ اندازه و زاویه قطب مطلوب را براساس ضریب میرایی و فرکانس طبیعی بدست می‎آوریم: ـ صفر و قطب‎های حلقه باز را از روی تابع تبدیل پالسی حلقه باز مشخص می‎کنیم: صفر: قطب‎ها:

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ موقعیت صفر و قطب‎های حلقه باز و قطب مطلوب را در صفحه z رسم می‎کنیم. برای تعیین موقعیت قطب مطلوب، کمانی به شعاع و خطی با زاویه رسم می‎کنیم: × × × O

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ از قطب مطلوب به صفر و قطب‎های حلقه باز، خطوطی رسم می‎کنیم و زوایای آن خطوط را با نقاله اندازه‎گیری می‎کنیم (زوایا باید برمبنای دایره مثلثاتی بدست آیند): × × × O

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ برای محاسبه زاویه تابع تبدیل پالسی حلقه باز در قطب مطلوب، باید زوایای خطوط صفرها را از زوایای خطوط قطب‎ها کم کنیم: ـ برای اینکه قطب مطلوب بر روی منحنی مکان هندسی ریشه‎ها قرارگیرد، باید شرط زاویه محقق شود. براین‎اساس، می‎توانیم زاویه‎ای را که کنترل‎گر باید تأمین کند، محاسبه نماییم: ـ صفر کنترل‎گر را برابر با یکی از قطب‎های حلقه باز درنظرمی‎گیریم:

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ از قطب مطلوب به صفر جبران‎ساز خطی رسم می‎کنیم و آن را به میزان زاویه کنترل‎گر در جهت ساعت‎گرد حول قطب مطلوب می‎چرخانیم. محل برخورد خط چرخانده شده با محور حقیقی، قطب کنترل‎گر خواهد بود: × × × × O O

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ از قطب مطلوب به صفر و قطب‎های حلقه باز و کنترل‎گر، خطوطی رسم می‎کنیم و طول آن خطوط را با خط‎کش اندازه‎گیری می‎کنیم: × × × × O O

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها ـ برای اینکه قطب مطلوب بر روی منحنی مکان هندسی ریشه‎ها قرارگیرد، باید شرط اندازه هم محقق شود: ـ به جای اندازه هرکدام از صفر و قطب‎ها در عبارت فوق، می‎توان فاصله آنها از قطب مطلوب را که پیشتر اندازه‎گیری گردید، جایگزین‎کرد:

طراحي کنترل‎گر با روش مكان هندسي ريشه‌ها

طراحي براساس روش پاسخ فركانسي ـ براي استفاده از روش پاسخ فركانسي در حالت زمان گسسته، بايد از يك نگاشت دوخطي استفاده نمود تا فضاي داخل دايره واحد را به فضاي سمت چپ صفحه مختلط منتقل كرد:

طراحي براساس روش پاسخ فركانسي مثال: برای سامانه حلقه بسته زیر، كنترل‎گر ديجيتال (GD(z)) را با استفاده از روش پاسخ فركانسي بگونه‌اي طراحي كنيد كه حاشيه فاز 50 درجه گردد. زمان نمونه‎برداری 0/2 ثانیه فرض شود.

طراحي براساس روش پاسخ فركانسي حاشیه فاز فعلی سیستم: 31/6 درجه حاشیه فاز مطلوب سیستم: 50 درجه حاشیه اطمینان (5 تا 12 درجه) حاشیه فاز جبران‎ساز: 28 درجه

طراحي براساس روش پاسخ فركانسي 1.7

طراحي براساس روش پاسخ فركانسي حاشیه فاز فعلی سیستم: 49 درجه

طراحي براساس روش پاسخ فركانسي