PRIMJENJENA SATELITSKA NAVIGACIJA Digitalna obrada signala Modeli temeljeni na statistici Čestični filtar i mreže PRECIZNO POZICIONIRANJE S CARRIER PHASE MJERENJEM

Precizno pozicioniranje s Carrier Phase mjerenjem - GPS sustav za pozicioniranje koristi cod-e fazna mjerenja. Općenito Cod-e fazno mjerenje može se izvoditi s točnošću od približno 1 m. Općenito Carrier phase mjerenja mogu se izvoditi s točnošću od 0,01 – 0,05 cikla ( 2mm – 1 cm ). Relativno pozicioniranje (DGPS) se može izvoditi s točnošću do milimetarske odnosno centimetarske razine. - Tehnike preciznog relativnog pozicioniranja s GPS Carrier Phase mjerenjima se baziraju na radio astronomiji odnosno na vrlo dugoj bazičnoj liniji interferometrije (VLBI) koja se koristi za mjerenje relativnih položaja dviju antena koje osmatraju radio signale koji dolaze izvan galaktičkih svemirskih izvora. Precizno pozicioniranje pomoću GPS-a prvi put je demonstrirano (Counselman i kolege) na MIT i Draper laboratoriju 1979. godine.

CARRIER PHASE I RAZLUČIVOST DVOSTRUKE INTEGRACIJE – JEDNOSTAVNI MODEL Pretpostavlja se idealizirani slučaj preciznog pozicioniranja u jednoj dimenziji. Postavljena su dva prijamnika s antenama označenim slovima A i B , oboje prate val nosioc jednog satelita Zadatak-funkcija cilja je što točnije izmjeriti udaljenost d između dva prijamnika (A i B) odnosno preciznije d je udaljenost između faznih centara dviju antena prijamnika . Kut ϴo je poznat . Iz pravokutnog trokuta ANB : cosϴo = (λ(N + Δo)/d) d = λ (N + Δo )/ cosϴo N – broj punih cikla ( 1, 2, …) Δo – parcijalni dio cikla Δo ϴo ϴo ϴo – kut elevacije satelita Δo

CARRIER PHASE I RAZLUČIVOST CJELOBROJNE DVOZNAČNOSTI – JEDNOSTAVNI MODEL Ravna fronta vala nosioca koja predstavlja točke konstantnosti carrier phase-a stiže prva u antenu B. Za antenu A potrebno je nekoliko cikla i parcijalni dio cikla Δo. Slika se zamrzne na trenutak to kada započinju mjerenja. Uočljivo je da razlika između carrrier- phase mjerenja na dvjema antenama je određen broj cijelih cikla (N) i parcijalni dio preostalog cikla (Δo). Kako se radi o sinusoidalnom signalu , kad se prvo usporede fazna mjerenja u A i B , može se samo razlučiti parcijalni dio cikla Δo . Označivši fazna mjerenja u A i B sa φA i φB razlika je: Mjerenja imaju cjelobrojnu dvoznačnost. Ako se može odrediti veličina N , tada se precizno može odrediti veličina d na temelju trigonometrijskih odnosa : d cosϴo = λ(Δo + N). Uočava se da se u jednadžbi pojavljuje cjelobrojna dvoznačnost . Ako relativni položaji dva prijamnika ostaju fiksni opažena carrier-phase razlika (Δo) se neće promijeniti , pa samo treba odrediti veličinu N. Kako se sateliti pomiču , geometrija satelit-prijamnici se mijenja , mijenja se dužina puta signala i opažena carrier phase razlika.

CARRIER PHASE I RAZLUČIVOST CJELOBROJNE DVOZNAČNOSTI – JEDNOSTAVNI MODEL Analizira se carrier-phase razlika(Δo) u trenutku t1 dok oba prijamnika prate isti satelit neprekidno. Satelit se pomakne s elevacije φo na kut φ1.Opažena carrier phase razlika mijenja se od Δo na Δ1. Nova opažena carrier-phase razlika je (N+Δ1). Kako se antena nije pomaknula vrijedi : d cosφ1=λ(Δ1+N)- jedinice cikli i dijelovi cikla. Uvodi se nova varijabla : d’=d/λ i definiraju dvije jednadžbe s dvije nepoznanice N i d’ oboje izražene u jedinicama cikla. d’cosφo – N = Δo ; d’cosϴ1 – N = Δ1 . Navedeni problem izražava se u matričnom obliku : (1) Iz matrice je vidljivo da male pogreške u mjerenjima će se značajno uvećati u velike pogreške u procjenama množitelja . Ako se satelit pomakne “primjetno” iz izraza (1) dobit će se prihvatljive procijenjene vrijednosti-geometrijska razdioba.

CARRIER PHASE I RAZLUČIVOST CJELOBROJNE DVOZNAČNOSTI – JEDNOSTAVNI MODEL Na temelju prethodnih analiza može se ustanoviti pojam “Raspršenje položajne točnosti- Dilution of Precison – DOP” – parametar povezan s procjenom veličine d’ i N. DOP pridružen s procjenom veličine N , označava se kao Razlučivost cjelobrojne dvoznačnosti ili Integer-ambiguity –resolution DOP (IDOP): ϴo , ϴ1 - elevacije satelita Standardna devijacija veličine N povezana je s izvršenim mjerenjima na sljedeći način :

CARRIER PHASE I RAZLUČIVOST CJELOBROJNE DVOZNAČNOSTI – JEDNOSTAVNI MODEL Ako se satelit ne pomiče značajno a dođe do zamjene antena, tada se putu signala koji stiže u antenu B dodaje veličina d’ cosφo , a istovremeno se reducira put signala koji stiže u antenu A za istu vrijednost. Pretpostavlja se da se izmjerena carrier phase razlika mijenja od parcijalnog dijela cikla Δo prije zamjene u Δo’ nakon zamjene. Neto promjena u carrier phase mjerenju je : Δo’ – Δo = - 2 d’ cosϴo , što daje : ϴo – početna elevacija satelita Integer ambiguity (N) može se izračunati na sljedeći način:

CARRIER PHASE I RAZLUČIVOST CJELOBROJNE DVOZNAČNOSTI – JEDNOSTAVNI MODEL Kad je N riješen po jednadžbi poznata je fazna razlika vala nosioca (Carrier phase difference) između dva prijamnika sve dok oba prijamnika prate signal satelita neprekidno. Udaljenost između dviju antena prijamnika može se tada neprekidno precizno odrediti. Ukoliko dođe do gubitka signala : niski kut elevacije , trenutka blokada signala, … tada se ne može odrediti točna udaljenost između dva prijamnika. U daljnjoj analizi koristi se idealizirani model : 1-D pozicioniranje , čeka se promjena geometrije satelita da te mogućnost zamjene antene. Prelaz iz 1-D u 3-D pozicioniranje nije problem , potrebni su dodatni sateliti s dodatnim nepoznanicama. U korištenom modelu direktno se uspoređuju faze signala između dviju antena prijamnika. U praksi carrier phase mjerenja na svakom prijamniku izvode se u odnosu na signal generiran satom prijamnika , uvođenjem vremenski promjenjivog prednapona u mjerenje. Ako su dvije antene međusobno značajno udaljene , troposferski i ionosferski propagacijski učinci će proizvesti različite vremenske razlike u mjerenjima na dvjema antenama. Treba uzeti u obzir i višestruku refleksiju i šum signala. Središte faze signala može također varirati u ovisnosti o azimutu i elevaciji dolaznog signala – varijacije od 1 mm do 2 cm .

CARRIER PHASE MJERENJA Za carrier phase mjerenja u jedinicama cikla može se koristiti sljedeća jednadžba : gdje su : λ , f – valna duljina i frekvencija vala nosioca ; r – geometrijska udaljenost između satelita i prijamnika I , T – ionosfersko i troposfersko kašnjenje signala , - razlike satelitskog i prijemnog korisničkog sata izražene u sekundama , N – integer ambiguity , εφ- pogreška višestruke refleksije Poznata jednadžba za kodno mjerenje : , εp – pogreška šuma signala

USPOREDBA CODE I CARRIER PHASE MJERENJA CODE PHASE MJERENJA CARRIER PHASE MJERENJA Dvosmislenost Nedvosmisleno Dvosmisleno Izvori grešaka Satelitski sat i efemeride Satelitski sat i efemeride satelita, Ionosferska i satelita, Ionosferska i troposferska refrakcija troposferska refrakcija Šum prijamnika i Šum prijamnika i višestruka refleksija višestruka refleksija Tipična mjerna točnost Ϭ(εp) - 0,5 m Ϭ(εφ) – 0,025 cikla (5 mm) Code phase mjerenja omogućuju dobivanje nedvosmislenih pseudoudaljenosti. Carrier phase mjerenja su opterećena s integer ambiguity koja treba biti riješena prije nego li se mjerenja mogu koristiti za precizno pozicioniranje. Praćenje zatim treba biti neprekidno. Carrier phase se može mjeriti s velikom preciznošću (do 0,005 cikla ili 1 mm). Code phase mjerenja su gruba – preciznost mjerenja do 0,25 m. (1 cikl ̴ 0,2 m).

POZICIONIRANJE S CARRIER PHASE MJERENJIMA Položaj korisnika nalazi se u točki prostora gdje se valne ravnine satelitskih signala sijeku u osmotrenoj fazi. Analizira se idealni slučaj 2-D pozicioniranja : sve pogreške su jednake nuli i satovi su idealno sinkronizirani (nema pogreške sata). Valne fronte signala sa svakog satelita su razdvojene jednom valnom dužinom ( 20 cm). Slika je zamrznuta u trenutku mjerenja. Valne fronte su nacrtane tako da se parcijalni dijelovi cikla carrier faze na svakoj točki fronte vala poklapaju s mjerenjima sa satelita. Ako imamo mjerenja sa samo dva satelita položaj može biti na bilo kojoj poziciji gdje se sijeku dvije fronte valova. Mjerenja s trećeg satelita rješavaju tu neodređenost- ima samo jedna u kojoj se sijeku sve tri fronte valova.

ELIMINACIJA PARAMETARA SMETNJI Carrier phase mjerenje sa satelita k i korisničkog prijamnika(u) može se modelirati jednadžbom : gdje je : (1) λ- valna duljina , r – geometrijska udaljenost satelit k – prijamnik , I- ionosferska refrakcija , T – troposferska refrakcija , f – frekvencija signala , N- integer ambiguity , εφ,u – pogreška šuma i višestruke refleksije , - razlike satelitskog(k) i korisničkog prijemnog sata Nepoznanice u jednadžbi (1) koje se odnose na ionosfersko i troposfersko kašnjenje signala, satelitski i korisnički sat , integer ambiguity (N) su jednostavno parametri smetnji. Možemo procijeniti vrijednosti tih parametara , ali procjena neće biti bez greške. Alternativa je eliminirati ove parametre smetnji iz jednadžbe i re-parametrizirati problem kao relativno pozicioniranje. Treba postojati u okolini još jedan prijamnik(r) koji mjeri carrier phase. Zbog jednostavnosti pretpostavimo da se on nalazi na fiksnoj poznatoj poziciji. Jednadžba sada glasi ovako : (2)

JEDNOSTRUKA RAZLIKA (SINGLE DIFFFERENCE) Single difference – se dobiva kao razlika mjerenja korisničkog prijamnika i referentnog prijamnika na poznatoj poziciji – mjerenja u istoj epohi. Razlika u mjerenjima između dva prijamnika izražena jednadžbom glasi : (1) gdje je : Single-difference dvosmislenosti (ambiguities) su i dalje cijeli brojevi (integers). Šum kod single- difference mjerenja je veći za u odnosu na svako pojedinačno mjerenje. Među-korisničko single- difference phase mjerenje se obično označava kao Na ovaj način problem je sveden na relativno pozicioniranje eliminiranjem uobičajenih pogreški mjerenja na dva prijamnika. Pogreška sata satelita je zajednička za oba mjerenja i poništava se u razlici mjerenja. Pogreška efemerida satelita je zajednička te se poništava u dva mjerenja. Ionosferska i troposferska pogreška najviše ovisi o udaljenosti između korisničkog prijamnika i referentnog prijamnika odnosno o dužini bazne linije na kojoj se oni nalaze.

JEDNOSTRUKA RAZLIKA (SINGLE DIFFFERENCE) Za procjenu pozicije s centimetarskom točnošću , greške u jednadžbi (1) : trebaju biti reducirane na centimetarsku razinu.Valna duljina vala nosioca L1 je cca 19 cm i greška od 10 cm ( (greška malo veća od pola cikla) može odgovarati u promjeni 1 cikla u integer ambiguity procjeni. Dozvoljena tolerancija za pogrešku mjerenja kod određivanja inter ambiguity u jednoj epohi je manja od jedne četvrtine cikla. Ako je udaljenost između korisničkog prijamnika i referentnog prijamnika “kratka” ostatak ionosferskog i troposferskog kašnjenja i pogreška efemerida satelita je mala u usporedbi s tipičnom pogreškom šuma prijamnika i višestruke refleksije. Iskustvo je pokazalo da je dužina i od 100 km bazne linije prihvatljiva kao “kratka”. Za duže bazne linije potrebno je korigirati ispravak za troposfersko kašnjenje signala za svaki prijamnik na različitoj lokaciji posebno. Model za single-difference mjerenja na “kratkoj” baznoj liniji glasi :

JEDNOSTRUKA RAZLIKA (SINGLE DIFFFERENCE) Pseudo-udaljenost se može odrediti na sljedeći način : - geometrijska udaljenost satelit – prijamnik c – brzina širenja EM valova - razlika satelitskog i korisničkog sata - pogreška šuma i višestruke refleksije Napravljen je eksperiment sa single difference code i carrier mjerenjima na baznoj liniji od 150 m. Mjerenja su bila u intervalima od jedne sekunde , nekoliko sati uzastopno , na krajevima bazne linije. Korišteni su dvo-frekvencijski geodetski prijamnici. Rezultati su prikazani na dijagramu: Single-difference mjerenja su prikazana za L1 signal praćeno sa dva satelita. Code mjerenja imaju veću pogrešku razine šuma - srednja razina pogreške šuma – približno 1 m.

PROCJENA POLOŽAJA /PROMJENA POLOŽAJA- single difference Značaj geometrijskog raspršenja Relativni pozicijski vektor : . Geometrijska udaljenost korisnik – satelit određena je jednadžbom : Pseudo-udaljenost je određena jednadžbom : , b=c δtu – pogreška εp – pogreška šuma i višestruke refleksije sata u metrima

PROCJENA POLOŽAJA /PROMJENA POLOŽAJA- single difference Budući da je bazna linija veličinski mnogo manja od udaljenosti do satelita može se definirati sljedeća jednadžba : ; - jedinični vektor satelit k – korisnik, Single-difference mjerenja formiraju se kao kontinuirani niz snimanja s k satelita, pa se može postaviti sljedeća vektorska matrica : Carrier phase mjerenja : - u jedinicama dužine Kašnjenje korisničkog sata : - u jedinicama dužine N – integer ambiguity – broj punih cikla

PROCJENA POLOŽAJA /PROMJENA POLOŽAJA- single difference Redefiniraju se nepoznanice pa je I (K-1) x (K-1) matrica identiteta : Preraspodjelom uvjeta dobiva se : Carrier phase razlike mjerene u dvije vremenske epohe to i t1 pod pretpostavkom neprekidnog praćenja satelita mogu se prikazati sljedećom jednadžbom : (1) ; G- položajna geometrijska matrica Ako je tada jednadžba (1) postaje :

PROCJENA POLOŽAJA /PROMJENA POLOŽAJA- single difference Na temelju jednadžbe (1) , može se zaključiti sljedeće : (1) Procjena veličina , promjene relativnih položaja korisnika i satelita, neusklađenost satova su “vezane” uz geometrijsku matricu G u epohi t1 – općenito nisu problem Procjena veličine i apsolutni položaj korisnika su “vezani” uz promjenu (razliku) geometrijskih matrica i može postati problem ako takva razlika nije značajna je zapravo nestao iz jednadžbe i ne može ga se procijeniti GPS sateliti su postavljeni na visokim orbitama i u kratkom vremenu mjerenja pojavljuje se mala promjena u korisničkoj satelitskoj geometriji .

DOUBLE DIFFERENCE – DVOSTRUKA RAZLIKA Za kratku baznu liniju single difference carrier phase mjerenja od satelita (L) jednadžba glasi : Pogreška korisničkog sata u lijevoj i desnoj jednadžbi je ista. Ako se uzme razlika single difference carrier phase mjerenja za satelit (L) tada je poznata satelitska i korisnička pogreška sata za sve satelite u tom mjerenju.Ako se uzmu dva satelita (k) i (L) oduzimajući lijevu jednadžbu od desne dobije se : Vrijedi : Odnosno :

DOUBLE DIFFERENCE – DVOSTRUKA RAZLIKA Geometrija za double-difference mjerenja :

DOUBLE DIFFERENCE – DVOSTRUKA RAZLIKA Za prikaz mjerenja dvostruke razlike koristi se bazna linija dužine 150 m. Slika prikazuje dobivene rezultate eksperimenta za code phase i carrier phase double difference mjerenja. Razlika između ova dva dijagrama je zbog integer ambiguity i šuma. Vidljivo je razina smetnji kod code phase mjerenja unutar +/- 1 m , dok kod carrier phase mjerenja se kreće unutar milimetarske razine , a na dijagramu je mjerilo preveliko (m) te se to ne može grafički prikazati.

DOUBLE DIFFERENCE – DVOSTRUKA RAZLIKA Na temelju geometrije double-difference mjerenja slijedi : S k raspoloživih satelita , postoji (k-1) double differences koje se mogu napisati u obliku vektorske matrice : Oznaka ur je zajednička za sve satelite. Double differences mjerenja eliminiraju jednu nepoznanicu ( korisnička greška sata) na račun jedne jednadžbe i redefiniraju dvoznačnosti. U praksi double difference mjerenja također služe da se eliminiraju teško odredive procjene dužine staze signala koji ovise o frekvenciji. To su tzv. kalibracijske pogreške - dodaju se izvršenim mjerenjima. Proizvođači geodetskih prijamnika “optimiziraju” konstrukciju prijamnika za precizno pozicioniranje (cm točnost) korištenjem double-differences mjerenja.

TRIPLE DIFFERENCES – TROSTRUKA RAZLIKA Integer ambiguity – su u double-differences carrier phase jednadžbi smetajući parametri. Oni se eliminiraju : Integers ostaju fiksni dok oba prijamnika održavaju isti carrier phase val nosioc . Ako uvrstimo u jednadžbu razlike između dva double differences mjerenja po epohama označenim kao tada jednadžba glasi : odnosno : (1) Ispuštajući indeks ur i vežući se na mjeriteljsku epohu tada jednadžba (1) glasi : Ako su korisnik i referentna stanica fiksni (nepomični) tada vrijedi sljedeća jednadžba :

TRIPLE DIFFERENCES – TROSTRUKA RAZLIKA Jednadžba (1) : Može biti riješena za relativne pozicijske vektore postupkom linearizacije nakon inicijalne procjene pseudo-udaljenosti. Općenito pozicija dobivena pomoću jednadžbe (1) obično je manje točna od one dobivene pomoću double-differences mjerenja. Triple-differences mjerenja se mogu koristiti kad se žele pratiti promjene položaja korisničkog prijamnika .

INTER AMBIGUITY REZOLUCIJA I PROCJENA POLOŽAJA Ako je kratka bazna linija tada se za single-differences carrier phase mjerenja koristi jednadžba : (1) U jednadžbi je uključen argument vremena da se naglasi da inter ambiguity ostaje konstanta za cijelo vrijeme dok se carrier phase mjerenja istovremeno obavljaju za dva satelita na dva korisnička prijamnika. Ukoliko se izgubi signal navedeno više ne vrijedi te se ne može vršiti precizno pozicioniranje. Prikazat će se slučaj gubitka signala za mjernu epohu (briše se indeks ur). Mora se razlikovati pojas L1 i L2 , pase koristi oznaka q= L1 ili L2 za oznaku noseće frekvencije. Jednadžba (1) se modificira u oblik : Jednadžba za Code-phase mjerenja (single, double ili triple differences ) se može definirati :

INTER AMBIGUITY REZOLUCIJA I PROCJENA POLOŽAJA Na osnovu jednadžbe : (1) Jednadžba za double-difference code phase mjerenja glasi : (2) Sa k satelita u dometu može se formirati k single-differences za code i carrier phase mjerenja na pojasu L1 i na pojasu L2. Na svakoj frekvenciji može se generirati ukupno k(k-1) double-differences mjerenja , ali su samo (k-1) linearno nezavisna. Sva ostala double-differences mjerenja se mogu formirati kao linearne kombinacije linearno nezavisnih skupova mjerenja. Linearno nezavisni skup mjerenja od (k-1) double-differences mjerenja može se formirati na razne načine.Greške u svim mjerenjima od svih satelita ulaze u svako double-difference mjerenje bira se satelit sa najvišom elevacijom kao referentni jer on općenito ima najmanji učinak propagacijskih grešaka mjerenja. Jednadžbe (1) i (2) su pogodne za double-difference cod i carrier phase mjerenja za kratku baznu liniju.

INTER AMBIGUITY REZOLUCIJA I PROCJENA POLOŽAJA U nedostatku značajnih višestrukih refleksija i ionosferskih i troposferskih kašnjenja pogreške mjerenja nalaze se uglavnom unutar sljedećih granica : Standardna devijacija grešaka za carrier i code phase double-differences mjerenja iznosi : carrier-phase double-difference mjerenja (q= L1 ili L2) code phase double-difference mjerenja (q= L1 ili L2)

KORIŠTENJE CODE MJERENJA ZA PROCJENU INTEGERA(N) Prikazat će se primjer korištenja double-differences code i carrier mjerenja na pojasu L1 . Koriste se sljedeće jednadžbe : Procjena integera (NL1) može se oblikovati na sljedeći način : roundoff – zaokruženo roundoff – zaokruženo Za model grešaka , valna dužina L1 je cca 0,2 m, stoga standardna devijacija procijenjenog NL1 iznosi približno 5 cikla odnosno . To je previše velika greška. Pogreške mjerenja su visoko korelirane tijekom vremena i treba imati dug prijam čistih podataka da se dobije pouzdana procjena od N. Konkretno treba imati srednje nekorelirana mjerenja iz najmanje 100 epoha da se reducira pogreška procjene integer-a na (1/2) jednu polovicu cikla.

KORIŠTENJE CODE MJERENJA ZA PROCJENU INTEGERA(N) Metodički pristup problemu procjene integer-a zahtijeva kombinaciju code i carrier phase mjerenja pomoću dvo-frekvencijskog prijamnika. Prema Yang , Goad i Schaffrin-u (1994) double-differences code i carrier phase mjerenja izražena u jedinicama dužine u epohi t1 mogu se odrediti pomoću sljedećih jednadžbi : - pseudo-udaljenost za valnu frekvenciju L1 - double-difference za valnu frekvenciju L1 - pseudo-udaljenost za valnu frekvenciju L2 - double-difference za valnu frekvenciju L2 Ili izraženo u matričnoj formi :

KORIŠTENJE CODE MJERENJA ZA PROCJENU INTEGERA(N) Mjerenja izvršena u jednoj epohi daju četiri jednadžbe s tri nepoznanice. Ta mjerenja sadrže u sebi pogreške. Kvaliteta code i carrier mjerenja je vrlo različita. Na osnovu prethodno prikazanog modela grešaka za code i carrier mjerenja može se definirati dijagonalna težinska matrica: i odrediti težinski najniže kvadratno rješenje za integer(N) Potrebno je sakupiti mjerenja od višestrukih epoha mjerenja dok se val nosioc signala prati neprekidno. Svaki niz mjerenja daje četiri nove jednadžbe i uvodi po jednu novu nepoznanicu (r). Tako se dobije skup jednadžbi pomoću kojih se riješi integer NL1 i NL2. Rješenjem jednadžbi dobije se zaokružena procjena integer-a i .

KORIŠTENJE CODE MJERENJA ZA PROCJENU INTEGERA(N) Na koji način se zaključuje da je procjena intege-ra i dobra ? Za kratku baznu liniju ionosfersko kašnjenje je neznatno. Validacija ove tvrdnje i ispravnost integer-a može se provjeriti pomoću sljedeće jednadžbe : Alternativno , može se napraviti jednostavan test za procjenu integer-a baziran direktno na jednadžbi : . Uvrštenje vrijednosti daje : Što odgovara omjeru :

DVO-FREKVENCIJSKA MJERENJA – širokopojasna/uskopojasna Neodređenost u određivanju integer-a (N) zavisi od valne dužine vala nosioca signala. Valna duljina L2 je neznatno duža od valne duljine L1 , pa određivanje N od L2 nije mnogo bolje od N od L1. Međutim istovremenim mjerenjem na L1 i L2 može se “formirati” signal sa značajno većom valnom duljinom. Može se definirati se carrier phase mjerenje : Gdje je : - valna duljina novo definiranog mjerenja tzv. širokopojasno mjerenje Odgovarajuća frekvencija je 347,82 MHz = ( 1575,42 – 1227,60 = 347,82 MHz)

DVO-FREKVENCIJSKA MJERENJA – širokopojasna/uskopojasna Za širokopojasno mjerenje odgovarajuća frekvencija je 1575,42 – 1227,60 = 347,82 MHz , a predstavlja integer ambiguity širokopojasnog dvo-frekvencijskog mjerenja. Inter ambiguity (N) od L1 i L2 može se odrediti sljedećom jednadžbom : roundoff – zaokruženo Standardna devijacija (Ϭ) za L1,2 mjerenja iznosi . Općenito nekorelirana mjerenja iz najmanje deset epoha reduciraju standardnu devijaciju izvršenih mjerenja na manje od (1/2) pola cikla. Općenito određivanje integer-a (N) u širokopojasnom mjerenju je mnogo lakše nego određivanje N kod mjerenja samo u pojasu L1 ili samo u pojasu L2. Kada su dvoznačnosti (integer) riješene, carrier phase mjerenja za određivanje položaja mogu se izraziti u jedinicama duljine : Ako je gdje je q= L1 , L2 ili L12 , tada se geometrijska udaljenost r za određivanje položaja korisnika određuje pomoću jednadžbe . Vrijedi sljedeći odnos (frekvencije podijeljene s 10,26)dobije se približno: Veći koeficijenti pojačavaju jačinu šuma u približno za šest puta u odnosu na ili : što je nedostatak širokopojasnog mjerenja.

DVO-FREKVENCIJSKA MJERENJA – širokopojasna/uskopojasna Za slučaj tzv. uskopojasnog mjerenja ( Ln ,narrow-lane measurement) vrijedi sljedeća jednadžba : Frekvencija od je a valna duljina je . Kod uskopojasnog mjerenja teže je odrediti integer ambiguity (N) – nedostatak. Vrijede sljedeći odnosi : i (frekv. podijeljene s 5,75) Prednost : pojavljuju se mali koeficijenti (154/274) i (120/274) što znači da je značajno manja razina šuma nego li je to samo kod mjerenja L1 ili L2 (približno 0,71 puta manja razina šuma). Ako je određen integer , mogu se približno odrediti integeri i prema jednadžbama autora Dedes i Goad (1994) : odnosno (1). Konačno: je (2) .

DVO-FREKVENCIJSKA MJERENJA – širokopojasna/uskopojasna Pomoću jednadžbe i jednadžbe Mogu se odrediti procijenjene veličine i na sljedeći način: Standardna devijacija takve procjene je sljedećeg reda veličine : Nakon pravilne procjene integer ambiguity pomoću širokopojasnog mjerenja uspješnost u određivanja integer ambiguity-a na pojasevima L1 i L2 direktno ovisi o kvaliteti mjerenja signala. Standardna devijacija od 0,05 cikla kod double-difference mjerenja na L1 ili L2 se povećava na 0,3 cikla kod određivanja ili pa je tijekom mjerenja potrebno koristiti usrednjavanje (prosjek) procijenjenih veličina kako bi se izbjegla nepouzdanost rezultata mjerenja.

RJEŠAVANJE DVOZNAČNOSTI INTEGER-A POMOĆU SKUPA MJERENJA Kod ove metode koriste se isključivo double-difference carrier phase mjerenja – jedinice cikla. Carrier-phase mjerenja na L1 od K satelita daju (K-1) double-difference jednadžbi za svaku epohu mjerenja. Dvo frekvencijski prijamnik dati će drugi skup od (K-1) jednadžbi za mjerenja na L2. Zbog jednostavnosti dodjeljuje se broj 1 referentnom satelitu i pridružuje skup od (K-1) double-difference jednadžbi za mjerenja na carrier frekvenciji q u epohi kao : (1) Skup jednadžbi (1) definira mjerenja izvršena u epohi . Slijedeća epoha mjerenja donosi novi skup jednadžbi (K-1) na svakoj frekvenciji. Dok je carrier phase mjerenje neprekinuto tri nove nepoznanice (nove položajne koordinate) se uvode u svaku epohu mjerenja ako se korisnik kreće , odnosno ostaju iste ako se korisnik ne kreće. Kod dvo-frekvencijskih mjerenja postoji mogućnost rada s širokopojasnim mjerenjima (L12) , ili posebice L1 i L2 mjerenja.

RJEŠAVANJE DVOZNAČNOSTI INTEGER-A POMOĆU SKUPA MJERENJA U principu određivanje integer-a pomoću jednadžbi (1) ne predstavlja poseban problem pod uvjetom da su pogreške nepromijenjene. Slučaj statičke inicijalizacije prijamnika: Postoji nepoznanica za jedno-frekvencijska mjerenja i nepoznanica za dvo-frekvencijska mjerenja. Brži proces procjene veličina potpomaže dobra geometrija satelita (PDOP < 6) , dvo-frekvencijska mjerenja i signifikantna promjena geometrije satelita tijekom mjerenja. Pogreške se općenito povećavaju povećanjem dužine bazne linije . Jednadžbe (1) su linearne u domeni integer-a .

LINEARNI MODEL ZA PROCJENU POLOŽAJA Za primjer se koristi generička jednadžba za double-difference carrier phase mjerenja : (1) Položaj stacionarne referentne stanice je poznat , Xur – relativni položaj korisnika u odnosu na referentnu stanicu , Xu – položaj korisnika. Vrijedi sljedeća jednadžba : . Neka je procjena relativnog pozicijskog vektora Xo ( u praksi Xo = 0 služi kao startna točka). Može se napisati : , δx – nepoznata korekcija potrebna za ispunjenje početnog uvjeta. Iz jednadžbe slijedi : (2) Zamijenivši izraz za u jednadžbi (1) dobije se: Pregrupiranjem uvjeta i definiranjem dobije se : (3) linearna jednadžba izvedena iz izraza (1).

LINEARNI MODEL ZA PROCJENU POLOŽAJA Linearne jednadžbe se mogu kombinirati za jedno i dvo-frekvencijska mjerenja u epohi t1 , i pretvoriti u generički vektorsko-matrični prikaz: y(i) – razlika između izmjerene i izračunate(procijenjene) carrier-phase double-difference veličine za procjenu početne pozicije ; G(i) – matrica mjerenja koju karakterizira geometrija double-difference mjerenja satelit-korisnik –referentna stanica ; N – vektor double-difference integer-a koji treba procijeniti , δx – pogreška u procjeni početne pozicije , εφ(i) – pogreška šuma i višestruke refleksije. Ako je veličina double-difference mjerenja , G(i) je matrica , a N je vektor tada je : za jedno-frekvencijska mjerenja za dvo-frekvencijska mjerenja , K – broj satelita koji se opaža Za slučaj stacionarnog (nepomičnog ) korisnika slijedeće epohe mjerenja sadrže jednadžbi :

LINEARNI MODEL ZA PROCJENU POLOŽAJA Za slučaj stacionarnog (nepomičnog ) korisnika slijedeće epohe mjerenja sadrže jednadžbi : Kombinacijom jednadžbi i dobije se : Za općeniti slučaj mjerenja , za višestruke epohe vrijedi : Koristeći statistički kriterij najmanjeg kvadrata određuje se 3- vektorski δx i vektor integer-a koji minimalizira funkciju . Funkcija c(δx,N) je zbroj kvadriranih dužina rezidualnih vektora. U slučaju kinematike (kretanje korisnika) δx se mijenja za svaku mjernu epohu. Kako bi pozicijska estimacija bila što preciznija vrijednost integer-a mora biti procijenjena pravilno.

OGRANIČENJA INTEGER-A Prikazat će se jednostavan slučaj : jedno-epohno carrier phase mjerenje na L1 od K satelita. Iz jednadžbe skup linearnih jednadžbi za procjenu pozicije glasi : Postupak je sljedeći : odabrati N , izračunati δx pomoću , izračunati funkciju c(δx, N) pomoću . Optimalna vrijednost veličine N treba minimizirati funkciju . Postoji (K-1) double-difference jednadžbi i pojavljuje se (K+2) nepoznanica: tri položajne koordinate i (K-1) integer dvoznačnosti. Ako ne postoji ograničenje za dvoznačnost integer-a , postojao bi neograničen sustav jednadžbi s beskonačno mnogo rješenja. Osnovni koraci vezani uz ograničenja: Podijeliti vidljive satelite u dvije grupe : primarna grupa od 4 satelita i sekundarna grupa od (K-4) satelita Zadati početnu procijenjenu poziciju i pridruženu neizvjesnost , generirati skup integer veličina pridružen primarnoj grupi satelita i generirati skup odgovarajućih pozicijskih procjena Usporediti svaku pozicijsku procjenu s izvršenim mjerenjima od satelita sekundarne grupe. S “ispravnom” pozicijskom procjenom razlika između izmjerenog i izračunatog carrier phase mjerenja biti će najbliža integer-u za svaki snimljeni satelitski par .

Bibliografija 1. Pratap Misra , Per Enge : GLOBAL POSITIONING SYSTEM, Signals , Measurements and Perfomance , Ganga-Jamuna Press , P.O. Box 692 , Lincoln , Massachusetts, Copyright © 2001., 2004., by Pratap Misra and Per Enge , ISBN : 0-9709544-0-9 , Printed in the United States of America , Second printing