تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي

مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 1 - مقدمه تاكنون در فصل اول به آناليز تنش (Stress Analysis) و آناليز كرنش (Strain Analysis) پرداختيم. در فصل دوم نیز به استخراج معادلات و روابط بنيادي در تئوري الاستيسيته پرداخته و روابط تنش-كرنش را استخراج نموديم. همچنين در فصل دوم به ويژگي هاي مسائل تئوري ارتجاعي پرداختيم و معادلات تئوري ارتجاعي بر حسب تغيير مكان ها (معادلات ناويه Navier) و نيز معادلات تئوري ارتجاعي بر حسب تنش ها (معادلات سازگاري بلترامي- ميشل Beltrami-Michell) را استخراج نموديم. - اكنون مي توانيم در پرتو مباحث فوق الذكر، به بررسي و حل مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بپردازيم.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص - مسائل دو بعدي الاستيسيته از جمله مسائل خاص مي باشند كه در اين فصل مورد بحث و بررسي قرار خواهد گرفت. - منظور از مسائل دو بعدي الاستيسيته مسائلي هستند كه استفاده از دو مختصات، براي حل آنها كفايت مي كند. - از يك ديدگاه مسائل دو بعدي به دو دسته عمده تقسيم بندي مي شوند: الف) مسائل تنش مسطح (كه در آنها داريم: ) ب) مسائل كرنش مسطح (كه در آنها داريم: )

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مسائل خاص ديگري كه در اين فصل ( با استفاده از مباحث تئوري ارتجاعي ارائه شده در فصول اول و دوم) مورد بحث و بررسي قرار خواهند گرفت، عبارتند از: الف) خمش خالص ميله ها، ب) پيچش ميله ها، پ) حل مسائل تقارن محوري. بحثي در مورد روش عناصر محدود و تئوري الاستيسيته و رابطه بين آنها به ويژه در ارتباط با توابع تغيير شكل

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 2- مسائل تئوري ارتجاعي دو بعدي الف) كرنش مسطح (Plane Strain) مسأله كرنش مسطح، يك مسأله خاص تئوري ارتجاعي با طبيعت دو بعدي مي باشد كه مي تواند به عنوان مثال در دو نوع رفتار سازه اي خاص پيش آيد: *رفتار يك جسم استوانه اي شكل طويل كه محور مولد آن موازي محور X3 (يا Z) در نظر گرفته مي شود. سيستم بار توزيعي بر روي اين استوانه به گونه اي است كه مؤلفه سوم بردار جابجايي حذف و در عين حال دو مؤلفه ديگر جابجايي در راستاي X3 ثابت بوده يعني مستقل از X3 مي باشند. * رفتار يك سد طويل، نمونه ديگري از مسأله كرنش مسطح مي باشد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بنابراين يك جسم هنگامي در وضعيت تغيير شكل مسطح يا كرنش مسطح است (به عنوان مثال موازي سطح X1X2) كه مؤلفه U3 بردار تغيير مكان آن حذف و مؤلفه هاي U1 و U2 آن فقط تابعي از متغيرهاي X1 و X2 بوده يعني مستقل از X3 باشند. به عبارت ديگر تغيير شكل مسطح توسط روابط زير مشخص مي شود: و

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص - با توجه به روابط ذكر شده، روابط كرنش – تغيير مكان زير را خواهيم داشت: و به صورت اندیسی داریم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از روابط تنش-کرنش نیز داریم (بر حسب ضرایب لامه): بنابراين ملاحظه مي شود كه در حالت كرنش مسطح، تنش ها مي توانند حالت سه بعدي داشته باشند، يعني الزاما مساوي صفر نيست.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص برحسب ضرايب هوك نيز داريم: كه عكس آنها به صورت زير در مي آيد:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مي توان نشان داد كه . به عبارت ديگر متناسب با مي باشد و لذا فقط تابعي از X1 و X2 مي باشد. بنابراين معادلات تعادل تنش به صورت زير در مي آيد: با توجه به اينكه مؤلفه هاي تنش، تابعي از X1 و X2 هستند، ‌دو معادله اول تعادل منجر به اين نكته مي شود كه B1 و B2 نيروي حجمي فقط تابعي از X1 و X2 باشند و معادله سوم نشان مي دهد كه مؤلفه سوم نيروهاي حجمي بايستي صفر باشد، زيرا مستقل از X3 مي باشد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در حالت كرنش مسطح، از شش رابطه سازگاري كرنش ها،‌ فقط يك رابطه باقي مي ماند كه به صورت زير است: معادلات ناويه يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تغيير شكل نيز به صورت زير درمي آيند :

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص كه در آنها داريم: معادلات بلترامي- ميشل يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تنش نيز به صورت زير در مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص شرايط مرزي مربوط به تنش ها نيز به صورت زير در مي آيند: مشخص است كه نيروي سطحي T با مؤلفه هاي T1 و T2 و T3 فقط بايد تابعي از X1 و X2 باشد. همچنين روشن است كه در يك مسئله كرنش مسطح، مؤلفه سوم نيروهاي سطحي اعمالي مي تواند صفر نباشد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در مختصات استوانه اي براي حالت كرنش مسطح داريم: روابط كرنش – تغيير مكان در دستگاه مختصات استوانه اي عبارتند از:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص معادلات تعادل تنش ها عبارتند از: طبیعی است که BZ باید مساوی صفر باشد. تنها رابطه سازگاري كه باقي مي ماند عبارت است از:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در دستگاه مختصات استوانه اي، روابط تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تغيير مكان به صورت زير در مي آيند (معادلات ناويه): در دستگاه مختصات استوانه اي، روابط تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تنش بصورت زير در مي آيند (معادله سازگاري بلترامي - ميشل):

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص ب) تنش مسطح (Plane Stress) مسئله تنش مسطح، يك مسئله خاص تئوري ارتجاعي با طبيعت دو بعدي مي باشد كه مي تواند به عنوان مثال در سه نوع رفتار سازه اي خاص پيش آيد: * رفتار يك صفحه تحت اثر نيروهاي درون صفحه اي (In-plane Forces)، * تير تحت اثر كنش هاي درون صفحه اي، * ديوارهاي برشي.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بنابراين در حالت تنش مسطح، مؤلفه هاي تنش در راستاي X3 حذف و مؤلفه هاي تنش در راستاي X1 و X2 صرفاً توابعي از X1 و X2 مي باشند. به عبارت ديگر داريم: اگر معادله سوم تنش - کرنش را مساوي صفر قرار دهيم، در اين صورت به صورت زير بدست مي آيد:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از طرف ديگر داريم: روابط مذكور به صورت معكوس به صورت زير در مي آيند: ملاحظه مي شود كه فقط تابعي از X1 و X2 است.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص معادلات تعادل به صورت زير در مي آيد: بنابراين در يك مسئله تنش مسطح، نيروي حجمي در راستاي X3 بدون مؤلفه بوده و مؤلفه هاي آن در دو راستاي ديگر يعني B1 و B2 مستقل از X3 مي باشند. از روابط سازگاري، فقط چهار رابطه باقي مي ماند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص سه رابطه آخر نشان مي دهند كه تابع یك تابع خطي است، يعني داريم: كه در آن C0 و ‍C1 و C2 ضرايب ثابتي هستند. معادلات ناويه يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تغيير شكل نيز به صورت زير در مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص معادلات بلترامي – ميشل يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تنش نيز به صورت زير در مي آيند: شرايط مرزي مربوط به تنش ها نيز به صورت زير نوشته مي شوند: بنابراين در يك مسئله تنش مسطح، مؤلفه سوم نيروهاي اعمالي سطحي، صفر مي باشد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص معادلات بلترامي – ميشل برای کرنش مسطح: معادلات بلترامي – ميشل برای تنش مسطح: از روابط بلترامي – ميشل براي حالات تنش مسطح و كرنش مسطح ملاحظه مي شود كه اگر نيروهاي حجمي صفر باشند و يا ثابت باشند، در اين صورت توزيع تنش در سطوحي به موازات OX1X2 براي مسائل تنش مسطح و كرنش مسطح يكسان بوده و اين توزيع تنش بايد معادله و معادلات تعادل را ارضا نمايند. در مختصات استوانه اي براي حالت تنش مسطح داريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص روابط بين كرنش – تغيير مكان به صورت زير نوشته مي شوند: روابط تنش – كرنش و معادلات تعادل و معادلات ناويه هم به راحتي به دست مي آيند. معادلات سازگاري بلترامي – ميشل براي حالت تنش مسطح به صورت زير در مي آيد:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص پ) تابع تنش ايري (Airy's Stress Function) در بخش هاي قبلي معادلات تعادل براي مسائل كرنش مسطح و تنش مسطح توسعه داده شد. در هر دو حالت تنش مسطح و كرنش مسطح نشان داديم كه مؤلفه هاي سوم نيروهاي حجمي ((B3 بايستي صفر باشند و مؤلفه نيروهاي حجمي B1 و B2 صرفاً تابعي از X1 و X2 مي باشند. در عمل يك تابع به نام تابع پتانسيل را تعريف مي كنيم، هنگامي كه B1 و B2 را بتوان به صورت زير بيان نمود:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در اين صورت معادلات تعادل (چه در حالت تنش مسطح و چه در حالت كرنش مسطح) به صورت زير بيان مي شوند: حال اگر تابع تنش را بگونه اي انتخاب كنيم كه داشته باشيم (در دو حالت تنش مسطح و كرنش مسطح): مشخص است كه با اين انتخاب، معادلات تعادل (چه در حالت تنش مسطح و چه در حالت كرنش مسطح) ارضاء مي شوند.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از طرفی معادلات بلترامي – ميشل (يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مولفه هاي تنش) در حالت كرنش مسطح به صورت زير در آمده بودند: اگر را كه برحسب مي باشند، و نیز B1 و B2 را که بر حسب V می باشند، در معادله بالا جایگذاري كنيم خواهيم داشت: يا به اختصار مي توان نشان داد كه:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در غياب نيروهاي حجمي و یا در صورت ثابت بودن آنها خواهيم داشت: بنابراين آناليز مسئله كرنش مسطح در تئوري الاستيسيته منجر به حل معادله زیر : و يا معادله مي گردد. يعني بايد تابع تنش ψ را بگونه اي پيدا كنيم كه در يكي از دو معادله فوق صدق كند و شرايط حدي مربوط به تغيير مكان ها و تنش ها را نيز ارضا نمايند. در ارتباط با مسئله تنش مسطح گفتيم كه معادلات بلترامي – ميشل يا معادلات تئوري ارتجاعي به صورت زير در آمدند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از جاگذاري كه برحسب مي باشند و نيز B1 و B2 كه برحسب V مي باشند، نتيجه زير براي حالت تنش مسطح به دست مي آيد: در غياب نيروهاي حجمي و یا در صورت ثابت بودن آنها خواهيم داشت: بنابراين در حالت های معمول ( در غياب نيروهاي حجمي و یا در صورت ثابت بودن)، حل مسائل الاستيسيته در حالت دو بعدي، منجر به حل معادله مي شود. در اينجا بايد به نكته اي اشاره شود:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در بررسي مسائل تنش مسطح گفتيم كه از روابط سازگاري براي حالت تنش مسطح، فقط چهار رابطه زير باقي مي مانند: از رابطه اول، همان معادله بلترامي – ميشل زير به دست مي آيد: از سه رابطه ديگر سازگاري نيز روابط زير برحسب تابع تنش بدست مي آيد: كه آنها نيز بايد توسط ارضا شوند.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص چنانچه نيروهاي حجمي صفر يا مقداري ثابت باشند، از رابطه فوق نتيجه مي شود كه بايد به صورت زير باشد: كه در آن ‍C1 تاC3 سه ضريب ثابت اختیاری هستند. اگر شرايط سه گانه بالا در مورد را ناديده بگيريم، که فقط موجب خطاي جزئي در توزيع تنش مي گردد (و اغلب نتایج حاصل نیز با تقریب خوبی به واقعیت نزدیک است)، در صورتي كه نيروهاي حجمي صفر يا مقداري ثابت باشد، خواهيم داشت: كه نشان مي دهد كه براي شرايط مرزي داده شده، مسائل تنش مسطح و مسائل نظير آن در كرنش مسطح داراي توزيع تنش هاي مشابهي مي باشند.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص ت) نحوه حل مسائل الاستيسيته دوبعدي با استفاده از تابع تنش ايري معمولاً ‌براي حل مسائل دوبعدي تئوري ارتجاعي (تنش مسطح و كرنش مسطح)، بايد با توجه به شرايط مرزي مربوط به تنش ها، تابع تنش ايري مناسب را حدس زد. روش رايج براي اين منظور در نظر گرفتن تابع چند جمله اي براي تابع تنش ايري است. به عنوان مثال اگر چند جمله اي زير را در نظر بگيريم: كه در آنها ضرايب a و b و c و ... ضرايب ثابتي هستند. تركيب اين ضرايب ثابت را مي توان به نحوي اختيار نمود كه تابع ، شرايط مرزي را ارضاء نمايد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص كليه جملات تا توان سوم، معادله را ارضاء مي نمايد ولی برای جملات داراي توان چهارم و بيشتر، بايد بين ضرايب آنها روابطي برقرار گردد تا ارضاء شود. بنابراين پيش بيني يك چند جمله اي براي تابع مركب از جملاتي با ضرايب نامعلوم و جانشين كردن آن در معادله و همچنين ارضاي شرايط مرزي تنش ها، منجر به يافتن ضرايب آن چند جمله اي مي شود و بدين طريق جوابی براي مسئله مورد نظر آماده مي شود. به عنوان مثال تابع تنش را به صورت زير در نظر مي گيريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص كه در آن a1 و a2 و a3 سه ضريب ثابت مي باشند. مشخص است كه تابع فوق در معادله صدق مي كند. حال اگر بر اساس اين تابع و با توجه به عبارات زير: مؤلفه هاي تنش را محاسبه كنيم، خواهيم داشت:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص يعني تنش ها در كليه نقاط جسم ثابت مي باشند، بنابراين تابع مذكور براي شرايطي مناسب است كه نمايانگر تنش يكنواخت در محدوده جسم مورد مطالعه باشد. واضح است كه در اين صورت تنش هاي مرزي جسم نيز بايستي به شكلي، گوياي مؤلفه هاي تنش مذكور ارائه شده باشد. يعني:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اگر يك چند جمله اي درجه 3 به صورت زير كه در آن a1 تا a3 و b1 تا b4ضرايب ثابتي هستند، مورد استفاده قرار دهيم، در اين صورت خواهيم داشت: مجدداً هرگاه اين تابع را در معادله بكار بريم، معادله مذكور به صورت بديهي ارضاء مي شود. مؤلفه هاي تنش از روابط مربوطه به صورت زير بدست مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص عبارات فوق نشان دهنده تغييرات خطي هر سه مؤلفه تانسور تنش در هر دو راستاي x1 و x2 مي باشد. واضح است كه در اين صورت تنش هاي مرزي جسم نيز بايستي به شكلی، گوياي مؤلفه هاي تنش مذكور ارائه شده باشند. براي يك صفحه مستطيلي اگر فرض شود كه تمامي ضرايب به جز b4 مساوي صفر باشند، در اين صورت خواهيم داشت: مؤلفه هاي تنش به صورت زير بدست مي آيند: كه بيانگر حالت خمش خالص مي باشد، ‌يعني داريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اكنون بايد بررسي كنيم كه آيا تابع انتخاب شده تنش، شرايط مرزي را ارضاء مي كند يا نه؟ مشخص است كه شرايط مرزي به شرطي كاملاً روي تمامي سطوح ارضاء مي شود كه در روي سطوح x1=0 و x1=L داشته باشيم: كه در آن A سطح مقطع است. شرايط مرزي دوم با جايگذاري مقدار تنش به صورت زير به دست مي آيد:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص با توجه به اينكه داريم: بنابراين به صورت زير به دست مي آيد: و ، كه همان جواب كلاسيك خمش خالص تير است.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص لازم به ذكر است، هرگاه چند جمله اي ديگري با درجه بيش از 3 اختيار كنيم، ‌در اين صورت معادله به طور طبيعي ارضاء نشده و لذا ايجاب مي كند كه روابطي بين ضرايب آن چند جمله اي ايجاد گردد تا معادله ارضاء شود. بديهي است كه در اين صورت توزيع تنش، تابع درجه 2 يا بالاتر، از x1 و x2 در مي آيد. به عنوان مثال اگر تابع تنش را بصورت چند جمله اي درجه 4 اختيار كنيم: و در معادله جايگذاري كنيم، در مي يابيم كه معادله مذكور هنگامي ارضاء مي شود كه داشته باشيم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مؤلفه هاي تنش در اين حالت عبارتند از: بدیهی است که ضرایب a4 و b4 و c4 و d4 ضرایب اختیاری می باشند و با تنظیم آنها می توان شرایط متنوع بارگذاری یک صفحه مستطیلی را به دست آورد. به عنوان مثال، در حالت خاص خواهيم داشت: بنابراین توزیع بارگذاری زیر به دست می آید:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص به همين ترتيب اگر چند جمله اي از مرتبه 5 را به صورت زير براي تابع تنش تصور كنيم: و در معادله جايگذاري كنيم، در مي يابيم كه معادله مذكور هنگامي ارضاء مي شود كه داشته باشيم: مؤلفه هاي تنش نيز عبارتند از: بدیهی است با تنظیم ضرایب اختیاری می توان شرایط متنوع بارگذاری یک صفحه مستطیلی را به دست آورد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 3- خمش تير يك سرگيردار تحت اثر بار متمركز – مقطع مستطيلي تير يك سر گيردار را با مقطع مستطيلي يكنواخت در نظر گرفته و فرض مي كنيم كه اين تير تحت اثر بار متمركز P در انتهاي آزاد خود مي باشد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مسئله مذكور را به عنوان يك مسئله تنش مسطح تلقي نموده و آن را براي حالت بدون نيروي حجمي حل مي كنيم. ابتدا شرايط مرزي را براي اين مسئله مشخص مي نماييم. در خواهيم داشت: در x =0 نيز خواهيم داشت: از آنجا که لنگر خمشی در هر مقطع تیر تابع خطی x بوده و از طرفی می دانیم که لنگر مقطع بایستی توسط تنش های σx خنثی گردد، بنابراین به سهولت می توان دریافت که تابع تنش عمودی σx یک تابع خطی از x خواهد بود. پس خواهیم داشت: که در ان باید f (y) باید مشخص شود. فرض مي كنيم: که در آن c4 یک ضریب ثابت است.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اگر از اين تابع دو بار نسبت به متغير y انتگرال گيري كنيم، تابع تنش ايري تعيين مي گردد (زيرا ): توابع f1(x) و f2(x) هر دو توابعی از x می باشند که بايد با توجه به ارضای معادله تعیین شوند. بنابراین خواهیم داشت: چون توابع f1(x) و f2(x) فقط بستگی به x دارند، لذا معادله مذکور در صورتی ارضا می شود که روابط زیر برقرار باشند: با انتگرال گيري از اين معادلات داريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص که کلیه ضرایب به کار رفته در معادلات فوق ضرایب ثابتی می باشند که با استفاده از شرایط مرزی تعیین می شوند. پس تابع تنش به صورت زير در مي آيد: با داشتن تابع تنش فوق مي توان مؤلفه هاي تنش را محاسبه نمود: یا می توان آنها را به صورت زیر نوشت:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اكنون با داشتن مولفه هاي تانسور تنش، شرايط مرزي را اعمال مي نماييم. بنابراين تابع تنش ايري به شكل زير خواهد بود: كه در معادله مذكور، با توجه به بي اثر بودن درجه كمتر از يك، جملات مذكور حذف شده اند.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در نتيجه مؤلفه هاي تنش به شكل زير هستند: در x=0 داريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بنابراين با جانشين نمودن C4 در عبارات مربوط به مؤلفه هاي تنش، خواهيم داشت: با داشتن مؤلفه هاي تنش مي توان مؤلفه هاي كرنش را نیز استخراج نمود:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص حال مؤلفه هاي تغيير مكان u و v را تعيين مي نماييم: توابع f(y) و g(x) به عنوان ثابت هاي انتگرال گيري هستند. همچنين داريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص یا مي توان نوشت: که می توان آن را به صورت کلی زیر نوشت: با توجه به آنكه در معادله بالا، F(x) تابعي از x و G(y) تابعي از y بوده و حاصل جمع اين دو تابع برابر مقدار ثابت K مي باشد، لذا هريك از دو تابع فوق، به تنهايي مقدار ثابتي خواهند داشت، به عبارت ديگر داريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در اين صورت خواهيم داشت: k1 و k2 و k3 و k4 چهار ضريب ثابت هستند كه با در نظر گرفتن رابطه و سه قيدي كه حركت صلب تير را در جهت x و y و دوران حول محور z مهار مي كند، محاسبه مي شوند. در نقطه B در انتهاي تير، حركت صلب جسمي در راستاي x و y مقيد شده باشد، به عبارت ديگر بايد داشته باشيم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص شرط ديگر، مربوط به دوران صفر در انتهاي x=l است، به عبارت ديگر بايد داشته باشيم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بنابراين u و v به صورت زير به دست مي آيند: با انتخاب y=0 در معادله مربوط به u، معادله تغيير مكان محور خنثي به دست مي آيد، که در تطابق با مفهوم محور خنثی می باشد: با انتخاب y=0 در معادله مربوط به v، معادله تغيير مكان محور خنثي به دست مي آيد: كه در نقطه x=0 (يعني در انتهاي آزاد تير)، مقدار تغيير مكان، مساوي است. اين مقدار با جوابي كه از حل كلاسيك مسئله به روش ارائه شده در مقاومت مصالح به دست مي آيد، يكسان است.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 4- حل مسائل متقارن محوري (Axisymmetric) مسئله متقارن محوري، مسئله اي است كه در آن هندسه و بارگذاري و در نتیجه ميدان تغيير شكل و تنش، تقارن محوري داشته باشد. به عنوان مثال استوانه جدار ضخيم كه تحت فشار داخلي Pi و فشار خارجي Pe قرار دارد، نظير مخازن تحت فشار و لوله هاي انتقال سيال، از نوع مسائل متقارن محوري است. معمولاً مسائل متقارن محوري در دستگاه مختصات استوانه اي حل مي شود.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص قبلاً ‌روابط كرنش – تغيير مكان و روابط تعادل را براي دستگاه مختصات استوانه اي به صورت زير استخراج نموديم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در مسائل متقارن محوري داريم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص به عبارت ديگر مؤلفه هاي كرنش عبارتند از: معادلات تعادل نيز به صورت زير به دست مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص هرگاه مقطع عمود بر z يكنواخت و بار اعمالي مستقل از z بوده و همچنين بار وارده فاقد مؤلفه در راستاي z باشد، در اين صورت مؤلفه هاي كرنش عبارت خواهند بود از: و تنها معادله تعادل باقي مانده به صورت زير به دست مي آيد: كه در غياب نيروي حجمي نيز به صورت زير در مي آيد:

مثال: حل يك استوانه جدار ضخيم تحت فشار فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مثال: حل يك استوانه جدار ضخيم تحت فشار روش اول: روش تغيير مكان ها (معادلات ناويه Navier ) روابط تنش - كرنش و کرنش- تغییرمکان براي اين مسئله متقارن محوري عبارتند از:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اگر را در روابط بالا جايگذاري كنيم، خواهيم داشت: اگر را در معادله تعادل مسئله متقارن محوري جايگذاري كنيم، خواهيم داشت: و به این ترتیب معادله دیفرانسیل تعادل تنها برحسب یک مجهول بدست می آید که با حل آن و اعمال شرایط مرزی مناسب، تابع ur مشخص می شود: که جواب آن عبارت است از:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص که در آن ضرايب C1 و C2 ثابت های انتگرال گیری می باشند. با در نظر گرفتن تابع فوق، مؤلفه هاي تنش به صورت زير در مي آيند: شرايط مرزي نیرویی را مطابق زير در نظر مي گيريم: با اعمال شرايط مرزي مذكور، ضرايب C1 و C2 به صورت زير به دست مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بدين ترتيب به صورت زير بدست مي آيند: روش دوم: روش تنش ها (معادلات سازگاري بلترامي - ميشل) پيش از اين در مبحث تنش و كرنش مسطح، معادلات سازگاري بلترامي – ميشل براي حالات تنش مسطح و كرنش مسطح به صورت زير بدست آمدند (در غیاب نیروهای حجمی):

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص كه در آن داريم: اكنون تابع تنش را مورد استفاده قرار مي دهيم و را به صورت زير فرض مي نماييم: كه در اين صورت معادله تعادل زير ارضا مي شود.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص با جايگذاري در معادله سازگاري بلترامي – ميشل، نتيجه زير حاصل مي گردد: كه در آن داريم: اين معادله ديفرانسيل، همان معادله ديفرانسيل اولر است كه داراي جوابي به صورت زير مي باشد: كه در آن c1 تا c4 ثابت هاي انتگرال گيري هستند. c4 هيچ اثري در حل مسائل نداشته و c1 تا c3 نيز بايستي از شرايط مرزي ( نیرویی و تغییرمکانی) تعيين گردند. مؤلفه هاي تنش نيز به صورت زير بدست مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 5- پيچش الف) پيچش اعضاء با مقطع يكنواخت (توپر) يكي ديگر از حالات خاص مسائل تئوري ارتجاعي، پيچش ميله ها است. در اين بخش به پيچش اعضاء با مقطع يكنواخت مي پردازيم (در اين مرحله مقطع يكنواخت فرض مي شود، ولي تمايزي را بين مقاطع مختلف قائل نمي شويم). براي اين منظور، عضو مورد نظر را مطابق شكل زير همراه با دستگاه محورهاي مختصاتي كه محور z آن موازي مولدهاي عضو باشد، اختيار كرده و فرض مي كنيم كه محور پيچش مقطع و محور z منطبق بر يكديگر مي باشند.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص شكل زير، وضعيت نقطه P روي مقطعي از عضو را بعد از تغيير شكل يعني پس از اعمال لنگر پيچشي، نشان مي دهد كه در آن زاويه پيچش بوده كه مقدار آن در z=0 (در تکیه گاه) برابر صفر و تغييرات آن نسبت به z ثابت خطي مي باشد. به عبارت ديگر داريم: كه در آن φ زاويه پيچش در واحد طول مورد نظر است.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص Saint-Venant (سنت ونان) مؤلفه هاي تغيير مكان نقطه P را به صورت زير تعريف نمود: كه در آن ، تابع تنيدگي (Warping Function) ناميده مي شود. در مورد مؤلفه سوم - - ذكر دو نكته ضروري است: اول: اينكه با توجه به يكنواخت بودن مقطع و عدم تمايز مقاطع مختلف، تغيير مكان در راستاي z مستقل از z فرض مي شود. دوم: اينكه اين تغيير مكان متناسب با زاويه پيچش در واحد طول است.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اينك مؤلفه هاي تانسور كرنش را محاسبه مي نماييم. در حالت پيچش اعضاء با مقطع يكنواخت داريم (توابع در نظرگرفته شده برای u و v و w نیز صحت این حالات کرنش را نشان می دهند): با در نظر داشتن معادلات تنش – كرنش، تنش ها به صورت زير به دست مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اگر تنش هاي مذكور را در معادلات تعادل جايگذاري نماييم، خواهيم داشت (در غياب نيروهاي حجمي)( در واقع فقط معادله سوم را باید مورد استفاده قرار دهیم): كه همان معادله لاپلاس است. بنابراين مي توان چنين بيان كرد كه براي حفظ تعادل، تابع تابيدگي بايستي معادله لاپلاس را (براي كليه مقاطع) ارضاء نمايد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص براي تعيين معادله سازگاري كافي است از معادله مربوط به نسبت به y و از دومين معادله نسبت به x مشتق گرفته و از همديگر كم كنيم، بنابراين داريم: كه معادله سازگاري برحسب كرنش ها مي باشد. معادله سازگاري برحسب تنش ها نيز به صورت زير به دست مي آيد:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص فرض مي كنيم تابع تنش (كه به آن تابع تنش پراندل گفته مي شود) به شكلي وجود داشته باشد كه مؤلفه هاي تنش به صورت زير از آن استخراج شوند: مشخص است كه اين عبارات، معادله تعادل را ارضاء مي نمايند: اگر اين عبارات را در معادله سازگاري (برحسب تنش ها) جايگذاري نماييم، خواهيم داشت: اين معادله، معادله پواسون ناميده مي شود.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص طبیعی است که اگر معادله پواسون حل شود (یعنی تابع تنش پرانتل ψ تعیین گردد)، در این صورت با استفاده از روابط زیر می توان مولفه های تنش برشی را روی مقطع عضو با مقطع یکنواخت تعیین نمود: براي حل معادله پواسون، ‌نياز به شرايط مرزي مناسب به شكلي است كه اين شرايط برحسب تابع تنش ψ نوشته شوند. در شكل زير، مؤلفه هاي تنش برشي در روي مقطعي از يك عنصر يكنواخت تحت پيچش در نقطه اي روي محيط آن نشان داده شده است:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص هرگاه بردار یکه عمود بر سطح جانبی عضو را با نشان دهیم، چون در روی سطحی با بردار یکه تنش برشي موجود نیست، می توان نتیجه گرفت که برایند مولفه های تنش برشی σzx و σzy در راستای عمود بر محیط مقطع، بایستی صفر گردند. به عبارت دیگر باید داشته باشیم: مشخص است كه هرگاه ds مثبت باشد،‌مقدار dy مثبت و dx منفي خواهد بود. با داشتن و جايگذاري روابط ذكر شده داريم: به عبارت ديگر بايد داشته باشيم: در نتيجه در روي محيط خواهيم داشت: معادله فوق نشان می دهد که مقدار ψ روی کانتور محیطی مقطع، مقدار ثابتی دارد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص شرط مرزي ديگري كه در ارتباط با لنگر پيچشي وارده در امتداد انتهاي عضو قابل ارائه است در شكل زير بيان مي شود: در عنصر با طول و عرض dx و dy مقدار لنگر پيچشي عبارت است از: که در آن dT دیفرانسیل گشتاور پیچشی T روی مقطع است. با انتگرال گیری از معادله فوق خواهیم داشت:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اگر روي اين جمله، انتگرال گيري جزء به جزء انجام دهيم و اين نكته را در نظر بگيريم كه در روي محيط مقطع است، خواهیم داشت: اگر لنگر پيچشي را مساوي حاصل ضرب سختي پيچشي و زاويه پيچش فرض كنيم، يعني: در اين صورت خواهيم داشت: به اين ترتيب سختي پيچشي يك عضو با مقطع يكنواخت به صورت زير به دست مي آيد: بنابر این اگر چنانچه تابع تنش ψ به صورتی اختیار شود که در معادله صدق نموده و شرط مرزی ψ=C را در محیط مقطع ارضا نماید و نیز در رابطه صدق نماید، در این صورت با مشتق گیری از این تابع بر طبق معادلات مقادیر تنش به دست می آیند.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مثال: در اين قسمت به عنوان مثال در نظر داريم حل مسئله پيچش يك استوانه بيضي شكل را ارائه دهيم: مقطع مورد نظر در شكل زير با قطر بزرگ تر 2a و قطر كوچكتر 2b نشان داده شده است:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص نشان داديم كه براي حل مسئله پيچش يك استوانه با مقطع اختياري بايد تابع را به گونه اي اختيار كرد كه در معادله صدق كرده و شرط مرزي را در محیط مقطع ارضاء نمايد. از آنجا كه معادله بيضي در روي محيط مقطع حذف مي شود، لذا به نظر مي رسد كه جواب مناسبي براي انتخاب است، بنابراين فرض مي كنيم كه: كه در آن k ضريبي ثابت است كه بايد آن را تعيين نمود. معادله بالا شرط مرزي (در روي محيط مقطع) را ارضاء مي كند. هرگاه اين عبارت را در معادله جانشين كنيم، خواهيم داشت:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اكنون مي توان k را برحسب به دست آورد: اكنون بايد را تعيين نماييم. براي تعيين از معادله ديگر مرزي، يعني معادله زير استفاده مي كنيم:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص يا خواهيم داشت: كه در آن داريم: بنابراين در نهايت خواهيم داشت: ( توجه شود که اکنون می توان توابع تغییرمکان u و v و در نتیجه توابع کرنش را به دست آورد). با در نظر داشتن مي توان سختي پيچشي مقطع را به دست آورد:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص با جایگذاری φ به دست آمده در معادله نتیجه نهایی زیر حاصل می شود: اكنون مي توان مؤلفه هاي تنش را از روي روابط مربوطه بدست آورد: ماكزيمم مقدار تنش در روي دورترين نقطه قطر كوچك بيضي به وجود مي آيد كه مقدار آن چنين است:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص تابع تابيدگي را بدست آورد. به عبارت دیگر می توان نوشت: با تعیین توابع σxz و σyz اکنون می توان با استفاده از معادلات زیر: و از طرف ديگر با توجه به خواهيم داشت:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص با انتگرال گيري از معادله مذكور داريم: بطور مشابه مي توان رابطه زير را نيز با استفاده از بدست آورد: از جايگذاري كه از قبل مشخص مي باشند، عبارات زير بدست مي آيند:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص با توجه به اینکه مقدار تابیدگی در مرکز مقطع برابر با صفر است، بنابراين مي توان در حالت کلی نتيجه گرفت كه: لذا تابع تابیدگی به صورت زیر به دست می آید: و در نهايت داريم: تابع ، فرم هذلولي بوده كه نسبت به محورهاي x و y تقارن معكوس دارد. لذا مقدار آن در روي محورها صفر و در ربع اول و سوم محورهاي مختصات منفي و در ربع دوم و چهارم مثبت است. شكل زير، ترسيم تابع را نشان مي دهد.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص ب) پيچش اعضاء با مقطع يكنواخت (توخالی) به عنوان مثال استوانه با مقطع دایروی توخالی را در نظر می گیریم. مقطع مورد نظر به شعاع داخلی a و شعاع خارجی b تحت اثر لنگر پیچشی T حول محور مرکزی z خود قرار دارد. می خواهیم مولفه های تانسور تنش را به دست آوریم.

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص ابتدا باید تابع تنش را به گونه اي اختيار كرد كه شرط مرزي را در محیط مقطع ارضاء نمايد. می توان تابع تنش را به صورت زیر انتخاب کرد: كه در آن k ضريبي ثابت است كه بايد آن را تعيين نمود. معادله بالا، شرط مرزي (در روي محيط مقطع و مرز خارجی) را ارضاء مي كند و روی مرز داخلی برابر است با: هرگاه عبارت ψ را در معادله جانشين كنيم، خواهيم داشت:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از طرف دیگر مطابق رابطه مربوط به پیچش میله های منشوری سوراخ دار خواهیم داشت: که در آن داریم: A0 = سطح کل میله منشوری، mi= مقدار تابع تنش ψ در مرز داخلی سوراخ، Ai = سطح سوراخ. برای مقطع مورد نظر خواهیم داشت:

فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بنابر این تابع ψ به صورت زیر به دست می آید: اکنون می توان مولفه های تنش را با استفاده از روابط زیر به دست آورد: با به دست آوردن توابع تنش σxz و σyz می توان توابع کرنش γxz و γyz و نیز توابع تغییرمکان را به دست آورد.