KRUŽNICA kružnica je skup točaka RAVININE jednako udaljenih od jedne čvrste točke te ravnine K={T;d(T,S)=r,S je čvrsta točka, r>0} r je polumjer, radijus(lat. prečka kotača=špajla ) d je promjer, dijametar(grč.diametros=dijagonala kruga ) geometrijski lik omeđen kružnicom zove se krug (praslav. krog mjesto kružnog oblika, vrh gore)

KRUŽNICA     k(S,r)

KRUŽNICA  

KRUŽNICA= Zatvorena krivulja iz obitelji čunjosječnica Presjek stošca (čunja) ravninom koja je paralelna bazom stošca Presjek valjka ravninom koja je paralelna s bazom valjka BATERIJA!!

KRUŽNICA Mogući položaji dvije kružnice: sijeku se dodiruju se izvana dodiruju se iznutra jedna unutar druge nemaju zajedničkih točaka Koncentrične kružnice ≡ zajedničko središte

KRUŽNICA sekanta – pravac koji siječe kružnicu Tangenta – pravac koji dodiruje kružnicu u 1 točki (okomit na radijus koji spaja diralište sa središtem) -konstrukcija u točki kružnice -konstrukcija iz točke koja ne leži na kružnici -konstrukcija zajedničkih tangenti kružnica koje se dodiruju izvana

KRUŽNICA kod geometrijskih tijela Valjak, stožac, kugla, torus

KRUŽNICA Sunce ili bilo koje nebesko tijelo opisuje kružnicu svaki dan/noć

KRUŽNICA u ARHITEKTURI Doba cara Hadrijana 2. pol.1.st i 1. pol. 2. st.

KRUŽNICA u ARHITEKTURI

KRUŽNICA u ARHITEKTURI arh. Jørn Utzon gradnja 1959-1973

ELIPSA figura je koja nastaje kad se iz rečenične cjeline izostavljaju pojedine riječi Elipsa je skup točaka ravnine kojima je zbroj udaljenosti od dvije čvrste točke ravnine stalan F1, F2 žarišta, fokusi A,B,C,D tjemena a velika poluos b mala poluos e linearni ekscentricitet sjecište osi = središte e2=a2-b2 ε=e/a numerički ekscentricitet r1,r2 radij-vektori točke E={T;d(T,F1)+d(T,F2)=2a,2a>d(F1,F2)}

ELIPSA grč. έλλειψις, élleipsis = izostavljanje   grč. έλλειψις, élleipsis = izostavljanje elipsa= nedostatak, podbačeno

ELIPSA Konstrukcija iz definicije (Vrtlarska konstrukcija) Kružnica suprotišta (suprotište je točka 2a udaljena od jednog žarišta sva suprotišta jednog žarišta su na kružnici , dvije su kružnice suprotišta ) Glavna kružnica(velika tjemena kružnica)

ELIPSA Konstrukcija pomoću kružnica Zakrivljenosti KRUŽNICE HIPEROSKULACIJSKE KRUŽNICE

ELIPSA CILJ: dobiti malu i veliku os elipse Dva su promjera elipse konjugirana, ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu nastali kao afina slika Međusobno okomitih promjera kružnice → Par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjera elipse. CILJ: dobiti malu i veliku os elipse

ELIPSA Rytzova konstrukcija

ELIPSA= Zatvorena krivulja iz obitelji čunjosječnica Presjek stošca (čunja) ravninom koja siječe os stošca pod kutom manjim od 90° Presjek valjka ravninom koja siječe os pod kutom manjim od 90° BATERIJA!

ELIPSA Ekscentricitet elipse je u granicama od 0 do 1 Krajnje pojednostavljeno ekscentricitet bi bilo odstupanje od centra (Elipsu, kao geometrijski lik, karakteriziraju dva žarišta. ) Ekscentricitet se koristi za opisivanje putanji nebeskih tijela. Njihove putanje, iako različite, ipak bi se mogle svrstati na tri osnovne: eliptične, parabolične i hiperbolične. Veličina koja daje osnovnu karakteristiku za ove tri geometrijske figure je ekscentricitet. Ekscentricitet se izražava u bezdimenzionalnim jedinicama (numerički ekscentricitet Mjesečeve orbite oko Zemlje je 0,055). Kružnica je slučaj kada je ekscentricitet jednak nuli tj. fokus je poklopljen sa središtem

ELIPSA PERSPEKTIVNA AFINOST afina slika kružnice

ELIPSA PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA perspektivno kolinearna slika kružnice koja ne dodiruje izbježni pravac

ELIPSA Kepplerovi zakoni 1.Sunce u jednom fokusu svim planetima!

ELIPSA KOD GEOMETRIJSKIH TIJELA Ekvatorijalni radijus 21 km dulji od polarnog http://www.geografija.hr/clanci/792/visi-od-najviseg-vrha-na-zemlji (prof. Kulaš)

ELIPSA u ARHITEKTURI u nekoliko faza tijekom 1. stoljeća Trg je izgradio Gian Lorenzo Bernini između1657 i 1667 Michelangelo 1536–1546

Hiperbola je skup točaka ravnine kojima je razlika udaljenosti od dvije čvrste točke ravnine stalna F1, F2 žarišta, fokusi A,B vrhovi a realna poluos b imaginarna poluos e linearni ekscentricitet e2=a2+b2 ε=e/a numerički ekscentricitet r1,r2 radij-vektori točke Asimptote Karakteristični pravokutnik H={T;|d(T,F1)-d(T,F2)|=2a,2a<d(F1,F2)}

HIPERBOLA = krivulja iz obitelji čunjosječnica Presjek stošca (čunja)ravninom koja je paralelna sa osi BATERIJA!

HIPERBOLA    Konstrukcija iz definicije hiperbola= suvišak, prebačeno

HIPERBOLA Kružnica suprotišta (suprotište je točka 2a udaljena od 1 fokusa) Glavna kružnica Odresci sekante i diralište tangente Ekscentricitet 1 na više

HIPERBOLA PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA perspektivno kolinearna slika kružnice koju siječe izbježni pravac

HIPERBOLA Lako je uočiti kružnice, elipse i hiperbolu kod valova na vodi!!

HIPERBOLA Vrh štapa ili trokuta sunčanog sata za dana opiše hiperbolu

HIPERBOLA u arhitekturi

PARABOLA parabola je skup točaka ravnine kojima je udaljenost od jedne čvrste točke ravnine i jednog čvrstog pravca stalna o=os, pravac d= direktrisa ili ravnalica, točka F= fokus ili žarište P={T;d(T,F)=d(T,d)}

PARABOLA p=poluparametar= udaljenost između ravnalice i žarište Ako zamijenimo x i y imamo uspravnu parabolu Parabola u kršćanstvu jest poredba / usporedba, ali doslovno znači »zastranjivanje« u pripovijedanju (grč. pará, uz, pokraj + bolé, bacanje, hitac)

PARABOLA =krivulja iz obitelji čunjosječnica Presjek stošca (čunja)ravninom koja je pod nekim kutem siječe os (jednu izvodnicu stošca) BATERIJA!

PARABOLA PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA perspektivno kolinearna slika kružnice koja dodiruje izbježni pravac

PARABOLA Konstrukcija iz definicije Konstrukcija jednog grafa kvadratne funkcije Ekscentricitet je 1

PARABOLA Lopta snimljena stroboskopom opisuje savršenu parabolu zbog otpora zraka

PARABOLA u arhitekturi

KONIKE ILI ČUNJOSJEČNICE http://ahyco.ffri.hr/Seminari2008/konike/konike.html http://www.mathos.hr/~jbrkic/b.pdf http://infiarch.ba/UserFiles/File/Arch_poslije_1850/01_Arh_na_prelazu_u_20st.pdf http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/natkrivanje.htm ∙∙∙∙∙∙∙