Завод за унапређивање образовања и васпитања Аутори: Наставни предмет: Тема: Узраст: Славица Зечевић, ССШ”4. јули”, Врбас Јелена Дутина, ССШ”4. јули”, Врбас Сенка Бајчета, ССШ”4. јули”, Врбас МАТЕМАТИКА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Први разред Кликните овде за унос приказа часа у Word документу!

Двоструки клик на иконицу за отварање теста

РАЗМЕРЕ И ПРОПОРЦИЈЕ b a а : b 1,618 ЗАДАТАК Измерите димензије РАЗМЕРЕ И ПРОПОРЦИЈЕ b a ЗАДАТАК Измерите димензије назначене на слици на руци једног ученика из ваше групе и затим одредите размеру а : b. РЕШЕЊЕ а : b 1,618 АНТРОПОМЕТРИЈА – НАУКА О РАЗМЕРИ ЉУДСКОГ ТЕЛА Oд давнина су пропорције привлачила пажњу и будиле интересовања умних људи старог Египта и старе Грчке.

Ако анализирамо односе дужина делова људског тела приметићемо да тај однос тежи броју 1,618 - Φ(Фи) , овај однос је први проучавао грчки вајар Фидије, па отуд име. Реч је о БОЖАНСКОЈ ПРОПОРЦИЈИ или ЗЛАТНОМ ПРЕСЕКУ. Аристотел је приметио да се све у природи развија по одређеним математичким правилностима: човекова грађа, зеница ока, цвет, лист, пахуља снега, итд. Овај врхунски принцип хармоније је коришћен и у архитектури, сликарству, музици, поезији...

ОДНОС (КОЛИЧНИК ) ДВЕ ВЕЛИЧИНЕ НАЗИВАМО РАЗМЕРА. Области у којима смо се сретали са размером : картографија, техничко цртање, хемија... ПРИМЕР У којој размери је рађена карта ако је растојање од 70 km између Београда и Новог Сада представљено дужином од 14 cm? РЕШЕЊЕ 70 km = 7 000 000 cm Дужина на карти: дужина у природи= 14:7 000 000. Размеру можемо поделити са 14, па добијамо да је размера карте 1:500 000.

И у књижевности се јавља размера (поезија). Епски десетерац (стих од десет слогова) има паузу после четвртог слога и дели стих у размери 4:6. Ћу–ти не-јак || ца-ре-вић У-ро-шу 4:6 Ко је Ср-бин || и срп-ско-га ро-да 4:6 Лирски десетерац је стих лирске песме са паузом после петог слога која дели стих у размери 5:5. Ра-ни-ла Мил-ка || ти-цу сла-ву-ја 5:5

Сонет је утврђени метрички облик састављен од четрнаест стихова – два катрена (строфе од четири стиха) и два терцета (строфе од три стиха), па уочавамо да је овде присутна размера 4:4:3:3. Блажен био дан, мјесец и доба, година и мјесто и предјел и вријеме, где су моје усне задрхтале нијеме, а њене ме очи свезале ко роба. И блажена нек је прва моја патња, с којом ме бјеше љубав измучила, и лук и стијела што ме оборила, и ране што срцу мом посташе пратња. И блажени нек су крици жудње веље, с којим сам звао драго име чисто, те обилне сузе, уздаси и жеље, ко и бјели папир на којему сада стичем себи славу: и мисо ми, исто, што је само њена, што само њој спада. ФРАНЧЕСКО ПЕТРАРКА Сонети и канцоне

ОСНОВНИ ТЕОРИЈСКИ ПОЈМОВИ РАЗМЕРА И ПРОПОРЦИЈА Две величине исте врсте ( истоимене величине ) могу се поредити апсолутно и релативно. Апсолутно поређење је мерење, тј упоређивање величина са неком стандардном величином те врсте. а = 1cm, b = 3cm b = 3a, a : b = 1:3 Релативним упоређивањем се утврђује како се две величине исте врсте односе једна према другој. Утврђује се однос мерних бројева ових величина. Овакав релативан однос тих бројева назива се размера. a =1cm Јединична дуж b c = 3cm, d = 5cm 1cm c d c:d = 3: 5

Количник реалних бројева а и b ДЕФИНИЦИЈА 1: а : b = Ако су размере а : b и c : d међусобно једнаке тј. ДЕФИНИЦИЈА 2: а : b = c : d , ( abcd ≠ 0 ) онда се каже да бројеви а, b, c, d овим редом образују просту пропорцију. Бројеви а и d су спољашњи, а бројеви а и c су унутрашњи чланови пропорције.

Ове импликације се некад зову просто правило тројно. ТЕОРЕМА : Ако је abcd ≠ 0 онда важи 1) а : b = c : d аd = bc 2) а : b = c : d а : c = b : d 3) Ако је x непозната величина, a а, b, c познате величине у пропорцији онда се непознати члан израчунава на следећи начин : ПРИМЕР Одреди x из пропорције 4 : 3 = ( 49 – x ) : x 4x = 3( 49 – x ) 4x = 147 – 3x 7x = 147 x = 147:7 x = 21 Спољашњи чл. x : b = c : d а : x = c : d Унутрашњи чл. Ове импликације се некад зову просто правило тројно.

Једнакост три или више размера назива се продужена пропорција. ДЕФИНИЦИЈА 3: Једнакост три или више размера назива се продужена пропорција. Записујемо је на три еквивалентна начина: а : т = b : п = c : p = d : q или или ПРИМЕР Образуј продужену пропорцију из дате пропорције. а : b = 4 : 3 и а : c = 2 : 3 а : b = 4 : 3 и а : c = 4 : 6 a : b : c = 4 : 3 : 6 a : b : c : d = m : n : p : q ТЕОРЕМА : ∙2 Ако је за неко ,тада је

Отац је тестаментом одлучио да се његова ПРИМЕР Отац је тестаментом одлучио да се његова заоставштина oд 900000 динара подели на његово троје деце у размери 1: 2 : 3, тако да најмлађе дете добије највише, а најстарије најмање. По колико су динара наследила деца ?

најмлађе c динара, онда је РЕШЕЊЕ Ако је најстарије дете дoбило а динара , средње b а најмлађе c динара, онда је a : b : c = 1 : 2 : 3 и a + b + c = 900 000. Продужена пропорција указује да а = к, b = 2к, c = 3k, k + 2k +3k = 900 000 k = 150 000 a = 150 000 b = 300 000 c = 450 000

СЕМИНАРСКИ РАД ТЕМЕ СЕМИНАРСКОГ РАДА: БОЖАНСКА ПРОПОРЦИЈА У АНТРОПОМЕТРИЈИ МОРФОЛОГИЈИ БИЉАКА МОРФОЛОГИЈИ ЖИВОТИЊА АРХИТЕКТУРИ ВАЈАРСТВУ СЛИКАРСТВУ МУЗИЦИ Групни рад који је потребно урадити у електронској форми и форми постера. Време за реализацију рада је недељу дана.

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ВЕЛИЧИНА ДИРЕКТНА И ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ВЕЛИЧИНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ЈЕ ЈЕДАН ОД НАЈПРОСТИЈИХ ОБЛИКА ФУНКЦИОНАЛНЕ ЗАВИСНОСТИ. За набавку веће количине робе биће нам потребно више новца. Ако више радника ради на неком послу требаће им мање времена.

? ? ? ? ? ? ОДРЕДИТИ ДА ЛИ СУ НАВЕДЕНЕ ВЕЛИЧИНЕ ДИРЕКТНО ИЛИ ОБРНУТО ПРОПОРЦИОНАЛНЕ. ? Цена производа и количина купљене робе ; ? Количина брашна и број векни хлеба ; Број радника и количина урађеног посла при истом учинку радника; ? Број камиона потребних да пренесу неки терет и њихова носивост ; ? Количина платна и број истих кошуља које је могуће од тог платна сашити; ? ? Број чесми са истим протоком и време потребно да се испуни резервоар.

ДЕФИНИЦИЈА Нека су m и n дати бројеви (m, n ≠ 0 ) а x и y непознати бројеви. x и y су директно пропорционални ако је x : m = y : n Ако усвојима y = kx x и y су обрнуто пропорционални ако је x : m = n : y Ако усвојима

ПРИМЕНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ У ФИЗИЦИ График пређеног пута равномерног кретања. s = v ∙ t v = 20 m/s Време (t) у секундама 1 2 Пређени пут (s) у метрима 20 40 s[m] t [s] 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 Уочавамо да ће за дуже време, при сталној брзини ауто прећи дужи пут. A3 A2 Линеарна функција A1 Функција је директно пропорционална.

ПРИМЕНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ У ФИЗИЦИ На растојању а = 3m седи дечак тежине 400N. На ком растојању треба да седи човек тежине 1 000N да би одржао равнотежу?

РЕШЕЊЕ Производ интензитета силе и крака назива се момент силе М. М = F∙a Tело на које делују две силе биће у равнотежи ако су бројне вредности момената сила међусобно једнаке. M1 = M2 Други начин Први начин F1= 400N Сила Крак 400N 3m F2= 1000N 1000N b а = 3m Што већа сила мањи крак. b = ? b : 3 = 400 : 1000 F1∙ a = F2∙b 400N ∙ 3m = 1000N ∙b

ПРИМЕНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ У ХЕМИЈИ ЗАДАТАК Колико грама водоника реагује са довољном количином кисеоника, ако у тој реакцији настаје 9g воде? 2H2 + O2 2H2O РЕШЕЊЕ 2∙2g + 2∙16g = 36g x : 4g = 9g : 36g Количина водоника Количина воде x ∙ 36g = 4g ∙ 9g 4g 36g x 9g Што више водоника реагује биће више воде.

ПРИМЕНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ У ЕЛЕКТРОТЕХНИЦИ ОМОВ ЗАКОН Јачина електричне струје у проводнику сразмерна је електричном напону, а обрнуто сразмерна електричној отпорности проводника. ЗАДАТАК Три паралелно спојена електрична отпорника стоје у размери 1:2:5. Укупан отпор је 10 Ω. Израчунати поједине отпоре.

РЕШЕЊЕ R = 10Ω R1:R2:R3= 1:2:5 R1, R2, R3 = ? R1= 17 Ω R2 = 2∙17Ω А R2 R1 R3 B C РЕШЕЊЕ R = 10Ω R1:R2:R3= 1:2:5 R1, R2, R3 = ? R1= 17 Ω R2 = 2∙17Ω R3 = 5∙17 Ω k = 17Ω R1= 17Ω, R2= 34Ω, R3= 85Ω

ПРИМЕНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ У ТЕХНИЧКОЈ ПРАКСИ ЗАДАТАК Два зупчаника су спрегнута и окрећу се. Зупчаник који има 20 зубаца обрне се 24 пута за 1 минут. Колико пута ће се обрнути Зупчаник који има 16 зубаца за 1минут и 30 секунди?

РЕШЕЊЕ Бр. Зубаца 20 16 Бр. Обртаја 24 x Време 60 90 Што више зубаца мањи број обртаја. За више времена већи број обртаја. x ∙ 16 ∙ 60 = 24 ∙ 20 ∙ 90 x : 24 = 20 : 16 = 90 : 60 x = 45

ПРИМЕНА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТИ У ЕКОНОМИЈИ ЗАДАТАК Дванаест радника је за 10 дана, радећи дневно по осам часова произвело робу у вредности од 4 000 000 динара. Колико дана треба да ради 8 радника да би радећи дневно по 6 часова произвели робу у вредности од 6 000 000 динара? Сматрати да је учинак сваког радника једнак.

РЕШЕЊЕ Бр. радника 12 8 Бр. дана 10 x Часова/дан 8 6 Вредност робе 4 000 000 6 000 000 Што више радника ради потребно је мање дана. Што више часова на дан раде требаће им мање дана. За више радних дана оствариће се већа вредност произведене робе. x ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 = 10 ∙ 12 ∙ 8 ∙ 6 x : 10 = 12 : 8 = 8 : 6 = 6 : 4 x = 30 дана

ДОМАЋИ ЗАДАТАК ЗАДАТАК 1. Навести по један пример за директно пропорционалне величине и обрнуто пропорционалне величине у пет различитих научних дисциплина. ЗАДАТАК 2. Изабрати и решити три задатак из три различите научне дисциплине у којима се примењује пропорционалност.

ДИРЕКТНА И ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ВЕЛИЧИНА ПУТУЈ ЕВРОПОМ Провера знања

Beograd Madrid London Paris Roma ПРОВЕРА ЗНАЊА

Р И М

Кренули сте на пут по Европи на коме ћете упознати најлепше европске градове и њихове знаменитости. ЗАДАТАК 1. Удаљеност између Београда и Рима на карти је 5,6 cm . Одредити удаљеност између ових градова ако је размера на карти 1: 12 500 000. б) Ако се авион креће просечном брзином 700 km/h за које време ће прећи пут од Београда до Рима? в) Да ли су време и брзина директно или обрнуто пропорционалне величине?

МАДРИД

ЗАДАТАК 2. Посао изградње кориде у Мадриду започела су 33 радника. По плану би је изградили за 80 дана. После 16 дана одређени број радника мора је да напусти посао, па је посао завршен за 88 дана. а) Колико радника је морало да напусти посао? б) Однос дневних зарада зидара и помоћног радника на овом послу био је 5:3, а заједно су добијали дневно 160 €. Колика је била дневница зидарима , а колика помоћним радницима?

ЛОНДОН

ЗАДАТАК 3. Авион на релацији Мадрид – Лондон је један део пута прешао просечном брзином 750 km/h. Преостали део пута који је за триста километара био мањи прешао је просечном брзином 900 km/h. Времена за које је авион прешао ове деонице пута односе се 2:1. а) Одредити колико времена је потребно да се пређе пут од Мадрида до Лондона? Б) Колика је дужина пута Мадрид – Лондон?

П А Р И З

ЗАДАТАК 4. НОТР ДАМ је француски назив за Богородицу, па отуда назив многих цркава у Француској, од којих је најчувенија катедрала у Паризу. При реконструкцији НОТР ДАМА 28 радника су за 17 дана обновили 5440 m2 фасаде катедрале, радећи дневно 8 часова. Колико дана ће радити 42 радника ако треба да обнове 5040 m2 са скраћеним радним временом од 7 часова дневно?

БЕОГРАД

ЗАДАТАК 5. Око куполе храма Светог Саве, посматрајући из ваздуха, круже два голуба по кружницама чији се полупречници односе r1:r2= 1:6. Голуб који се креће по кружници већег пречника прелети 8 m више и направи 4 пута мањи број обртаја од голуба који се креће по мањој кружници. Наћи брзине којима се голубови крећу.

ДИРЕКТНА И ОБРНУТА ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ ВЕЛИЧИНА ПУТУЈ ЕВРОПОМ Решење теста Занимљивости

Решење теста ЗАДАТАК 1. Дужина на карти Дужина у природи а) 5,6 : x = 1: 12 500 000 x = 5,6 ∙ 12 500 000 x = 70 000 000 cm x = 700 km б) Брзина в) Време и брзина су обрнуто пропорционалне величине. Што је већа брзина требаће нам мање времена.

ЗАДАТАК 2. Бр. радника 33 33 - x Бр. дана 80 - 16 88 а) Што више радника требаће нам мање дана да обавимо посао. (33 – x):33 = 64:88 88 ∙ (33 – x) = 33 ∙ 64 9 радника је морало да напусти посао. 2904 – 88x =2112 88x = 2904 - 2112 88x = 792 x = 9 б) дневница зидара: а дневница помоћног радника: b a : b = 5 : 3 a = 5k b = 3k = 100 € 5k +3k = 160 € 8k = 160 € k = 20 € = 60 € a + b = 160 €

ЗАДАТАК 3. s1=x m s2=(x-300) m v1 =750 km/h v2 =900 km/h t1:t2 = 2:1 t = ? t = t1+ t2 3x = 5x - 1500 2x = 1500 x = 750 km б) Дужина пута s = s1+ s2 s = 750km + 450km t = 1 h + 0,5 h t = 1,5 h s = 1200 km

ЗАДАТАК 4. Бр. радника 28 42 Бр. дана 17 x m2 фасаде 5 440 5 040 Часова/дан 8 7 Што више радника ради потребно је мање дана. За више радних дана обновиће већу површину фасаде. Што више часова на дан раде требаће им мање дана. x ∙ 42 ∙ 5440 ∙ 7 = 17 ∙ 28 ∙ 5040 ∙ 8 x : 17 = 28 : 42 = 5040 : 5440 = 8 : 7 x = 12 дана

ЗАДАТАК 5. Брзина првог голуба =? t = 5s, s = t ∙ v Први голуб – кружница већег полупречника Други голуб – кружница мањег полупречника Први голуб - пређени пут: s1= 5x v = x Други голуб - пређени пут: s2= 5x+8 Број обртаја: О – обим кружнице Први голуб – број обртаја: n1= 5x: 2r1π Други голуб – број обртаја: n2= (5х+8): 2r2π 10x =32 5x : 2r1π = 4(5х+8) : 2r2π УСЛОВИ 5x : 1 = 4(5х+8) : 6 x = 3,2 m/s 30x = 20x +32 v = 3,2 m/s n1= 4n2 30x -20x = 32

Занимљивости РИМ Колосеум – Најпознатији амфитеатар на свету је римски Колосеум – Најпознатији амфитеатар на свету је римски Колосеум, који се још назива и Флавијевским амфитеатром (лат. Amphitheatrum Flavium), по Флавијевцима који су га изградили. У Колосеуму су одржаване гладијаторске борбе, које је могло пратити 50.000 гледалаца. Одржавале су се и борбе са животињама. У случају пожара Колосеум би се испразнио за 10 минута. Градња је започета 72. за време цара Веспазијана, а довршена десетак година касније за време владавине његовог сина Домицијана. Дана 7. јула 2007. проглашен је као једно од нових седам светских чуда.

МАДРИД Кибела - (грч.Κυβέλη), стара фригијска „мајка земља“ која је владала целом природом. Светковање јој је било карактеристично по дивљем заносу поштоволацаи по томе што су се обредно следили. У антици су Кибелу приказивали с назубљеном круном, која је нормалан атрибут азијских богиња мајки, и како вози кола која вуку лавови. Задржала је те црте и у ренесанси, али су јој били додати гвожђе и кључ, а понекад и кугла. Одећа јој је претежно зелена и украшена цветовима. Као једно од четири почела, персонификује Земљу. Кибелу су поштовали у Фригији у облику светога камена, који је у Рим донешен 204. п. н. е., за време другoг пунског рата.

ЛОНДОН Тауербриџ - (ен. Tower Bridge) је покретни мост преко Темзе У Лондону. Име је добио по оближњем Тауеру (ен. Tower of London). Изградња је почела 1886. године а мост је отворен 1894. У другој половини XIX века, развитком лондонске луке, која је кључни део лондонске економије и његовог историјског развитка, у источном делу тадашњег Лондона (данашњ и East End) јавља се потреба за новим мостом преко Темзе. Први мост у Лондону био је Лондонски мост (ен. London Bridge) након чега се изграђује низ мостова западно од њега. Главни проблем изградње моста на локацији низводно од Лондонског моста био је да није било могуће изградити конвенционалан мост јер би се тиме затворио приступ већим бродовима у лондонску луку. Једино решење била је изградња покретног моста.

ПАРИЗ Ајфелова кула или Ајфелов торањ – (фр. la Tour Eiffel) је метални торањ саграђен на Марсовим пољима у Паризу (Француска) и данас је знаменитост и симбол Париза. Саграђена је 1889. каоекспонат за Светску изложбу поводом Прославе стогодишњице француске револуције. До 1930. Године је била највеће здање на свету са својих 300 метара висине. Име је добио по инжењеру који га је пројектовао Густаву Ајфелу (фр. Gustave Eiffel). Данас је значајна туристичка атракција са преко 5.5 милиона посетилаца годишње.

БЕОГРАД Храм Светог Саве - је највећи православни храм тренутно у Храм Светог Саве - је највећи православни храм тренутно у употреби на свету. Он се налази у источном делу Светосавског трга, на општини Врачар, у Београду. Подигнут је на месту на коме се мисли да је Синан паша 1595. године спалио мошти Светог Саве, оснивача Српске православне цркве. Изградња цркве је финансирана искључиво добровољним прилозима. Недалеко од храма је парохијски дом, а ту ће се налазити и предвиђена зграда патријаршије. Овај спомен-храм представља органски део савремене живописне силуете Београда, чинећи једно од његових главних обележја.