منطقة العاصمة التعليمية اختبارات الفروض الاحصائية الصف : 12 علمي وزارة التربية منطقة العاصمة التعليمية مدرسة حمد عيسى الرجيب قسم الرياضيات بند 4 - 2 اختبارات الفروض الاحصائية إعداد : أ . فرج رمضان تقديم : أ / ابراهيم عبد الحليم : مدير المدرسة الموجهة الأولى : الموجه الفنى : أ . اسماعيل بهمن أ . حصة العلي أ . سعيد خلف أ. محمد حافظ رئيس القسم :

اختبارات الفروض الاحصائية Statistical Hypotheses Testing ورشة عمل في : اختبارات الفروض الاحصائية Statistical Hypotheses Testing

الأهداف السلوكية عدد الحصص المقترحة 3 حصص نتوقع مع نهاية هذا البند أن تتحقق الأهداف الآتية: 1 – ان يعرف فرض العدم و الفرض البديل 2 – أن يوجد المقياس الإحصائي 𝒁 𝜶 𝟐 , 𝒕 𝜶 𝟐 3- ان يقرر قبول أو رفض فرض العدم . عدد الحصص المقترحة 3 حصص

المفردات والمصطلحات: الفرض الإحصائي Statistic Hypothesis المقياس الإحصائي Statistical Scale اختبارات الفروض الإحصائيةStatistical Hypotheses testing فرض العدمNull Hypothesis الفرض البديل Alternative Hypothesis

اختبارات الفروض الاحصائية Statistical Hypotheses Testing دعنا نفكر ونتناقش ينتج مصنع نوعاً معيناً من المعلبات مسجل على العلبة أن الوزن الصافي 200g . فإذا تم أخد عينة حجمها 100 علبة وتم حساب المتوسط الحسابي لأوزان هذه العينة فوجد أنه 197.3g, فهل يمكن الحكم على المصنع بأنه يقوم بغش تجاري؟ ما هي حيثيات هذا الحكم؟

اختبارات الفروض الاحصائية Statistical Hypotheses Testing نحن نعلم أنه في كثير من الأحيان وفي مواقف معينة نحتاج إلى اتخاذ قرار بناء على معلومات محددة وحيثيات معقوله لها مبررها , لذلك دعت الضرورة إلى دراسة ما يسمى بالفرض الإحصائي واختبارات الفروض الاحصائية.

تعريف الفرض الإحصائي Statistic Hypothesis : هو ادعاء معين مبنى على حيثيات معقولة حول معلمة من معالم المجتمع مثل المتوسط الحسابي 𝛍 أو الانحراف المعياري 𝛔 . تعريف المقياس الاحصائي : هو قيمة وحيدة محسوبة من العينة تحت شروط معينة. تعريف اختبارات الفروض الاحصائية (اختبار المعنوية) : هي طريقة معيارية لاختبار ادعاء ما حول معلمة من معالم المجتمع.

ملاحظة : سنكتفي في هذا الموضوع بدراسة معلمة واحدة من معالم المجتمع وهي المتوسط الحسابي . إليك بعض الامثلة عن الفروض التي يمكن اختبارها من خلال الطرق التي سنطورها في هذا الدرس. على سبيل المثال:

في إدارة الأعمال: تدعى احدى الصحف في مقال لها ان معظم الموظفين يجدون عملاً عن طريق وكالات التوظيف. في الطب : يدعي باحثون ان متوسط درجة حرارة جسم أي بالغ معافى ليست 370c في سلامة الطيران المدني : تدعي إدارة الطيران المدني في الكويت أن متوسط وزن المسافر (مع حقائبه) يتعدى الوزن المسموح منذ عشرين سنة والبالغ 84kg.

فرض العدم والفرض البديل Null and Alternative Hypotheses : فرض العدم (H0) : يفيد بأن قيمة معلمة المجتمع (مثل المتوسط الحسابي 𝛍) تساوي قيمة مزعومة . نختبر فرض العدم مباشرة أي نفترض بأنه صحيح ونتوصل إلى خلاصة برفض أو عدم رفض (H0). الفرض البديل (H1) : يفيد بأن للمعلمة قيمة تختلف نوعاً ما عن فرض العدم (H0). يضم الشكل الرمزي للفرض البديل أحد هذه الرموز : < أو > أو ≠ . وستقتصر دراستنا على الحالة (≠). فمثلاً : H0: µ = 98.6 , H1: µ ≠ 98.6

الخطوات المتبعة لإجراء اختبار الفروض الاحصائية : 1 - صياغة الفروض الاحصائية (فرض العدم H0 و الفرض البديل H1 ) 2 - التحقق من الانحراف المعياري  للمجتمع ( معلوم أو غير معلوم) وتحديد حجم العينة (n) ومن ثم إيجاد المقياس الإحصائي للاختبار (Z أوt ) , (مسترشداً بالجدول التالي)

لا يشترط حجم معين للعينة الانحراف المعياري 𝛔 المقياس الإحصائي (Z أو t ) حجم العينة ( n)   Z= x − µ σ n لا يشترط حجم معين للعينة معلوم Z= x − µ s n 30 ˃n t= x − µ s n غير معلوم n ≤ 30

3- تحديد مستوى المعنوية 𝛂 وحساب القيمة الجدولية 𝒁 𝜶 𝟐 من جدول التوزيع الطبيعي المعياري أو القيمة الجدولية 𝒕 𝜶 𝟐 من جدولt ذي درجات حرية. 4- تحديد منطقة القبول (, 𝒁 𝜶 𝟐 - 𝒁 𝜶 𝟐 )أو الفترة (, 𝒕 𝜶 𝟐 - 𝒕 𝜶 𝟐 ) كما هو موضح بالشكل

5- اتخاذ القرار الإحصائي (قبول فرض العدم) أو (رفض فرض العدم وقبول الفرض البديل). ملاحظة : ستقتصر دراستنا على مستوى ثقة 95%.

أولاً : إذا كان الانحراف المعياري  لمجتمع معلوم. مثال (1) : تزعم شركة أن متوسط رواتب موظفيها يساوي 4000 دينار كويتي. إذا أخذت عينة من 25 موظفاً, ووجد أن متوسط رواتب العينة هو 3950 ديناراً كويتياً فإذا علمت أن الانحراف المعياري للمجتمع دينار σ = 125 , وضح كيفية إجراء الاختبار الاحصائي بمستوى ثقة 95 %

الحل : Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 Z= 𝟑𝟗𝟓𝟎 −𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 n = 25 , 𝒙 = 3950 , σ = 125 الحل : ❶ صياغة الفروض : H0 : µ = 4000 مقابل H1 : µ ≠ 4000 ❷ σ=125 ∵ (معلومة) Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 نستخدم المقياس الإحصائي Z ∴ ∵ n =25 , 𝒙 = 3950 Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 Z= 𝟑𝟗𝟓𝟎 −𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 = -2 ∴

❸ ∵ مستوى الثقة 95% ∴ 𝝰= 0.05 ∝ 𝟐 = 0.025 𝒁 𝜶 𝟐 = 1.96 ∴ ❹ منطقة القبول هي ( -1.96 , 1.96) ❺ اتخاذ القرار الإحصائي ∵−𝟐 ∌ : ( -1.96 , 1.96) القرار : نرفض فرض العدم µ= 4000 ونقبل الفرض البديل µ≠ 4000

حاول أن تحل : 1 - بينت الدراسة أن المتوسط الحسابي لقوة تحمل أسلاك معدنية لها µ=𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒈مع انحراف معياري 𝝈=𝟏𝟓𝟎 𝒌𝒈 ويؤكد الأخصائيون في المصنع المنتج لهذه الأسلاك أن بإمكانهم زيادة قوة تحمل هذه الأسلاك , وتأكيداً على ذلك تم اختبار عينة من40 سلكاً فتبين أن متوسط تحمل هذه الأسلاك يساوي 1840 kg هل يمكن قبول مثل هذا الفرض بمستوى معنوية 𝞪=𝟎.𝟎𝟓 ؟

الحل : Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 Z= 𝟏𝟖𝟒𝟎 −𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟒𝟎 n = 40 , 𝒙 = 1840 , σ = 150 الحل : ❶ صياغة الفروض : H0 : µ = 1800 مقابل H1 : µ ≠ 1800 ❷ σ=150 ∵ (معلومة) Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 نستخدم المقياس الإحصائي Z ∴ ∵ n =40 , 𝒙 = 1840 Z= 𝒙 − 𝝁 𝝈 𝒏 Z= 𝟏𝟖𝟒𝟎 −𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟒𝟎 ≈ 1.69 ∴

❸ ∵ مستوى الثقة 95% ∴ 𝝰= 0.05 ∝ 𝟐 = 0.025 𝒁 𝜶 𝟐 = 1.96 ∴ ❹ منطقة القبول هي ( -1.96 , 1.96) ❺ اتخاذ القرار الإحصائي ∵𝟏.𝟔𝟗 ∋ : ( -1.96 , 1.96) القرار : نقبل فرض العدم µ= 1800 ونرفض الفرض البديل µ≠ 1800

ثانياً : إذا كان الانحراف المعياري لمجتمع 𝛔 غير معلوم , 30 ˃n مثال (2) : إذا كانت n = 80 , 𝒙 = 37.2 , s = 1.79 اختبر الفرض بأن µ=37 عند مستوى معنوية 𝝰 = 0.05

الحل : Z= 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 Z= 𝟑𝟕.𝟐 −𝟑𝟕 𝟏.𝟕𝟗 𝟖𝟎 n = 80 , 𝒙 = 37.2 , S = 1.79 ❶ صياغة الفروض : H0 : µ = 37 مقابل H1 : µ ≠ 37 30 ˃n ❷ σ ∵ (غير معلومة) Z= 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 ∴ نستخدم المقياس الإحصائي Z Z= 𝟑𝟕.𝟐 −𝟑𝟕 𝟏.𝟕𝟗 𝟖𝟎 ≈ 0.999 ∴

❸ ∵ مستوى الثقة 95% ∴ 𝝰= 0.05 ∝ 𝟐 = 0.025 𝒁 𝜶 𝟐 = 1.96 ∴ ❹ منطقة القبول هي ( -1.96 , 1.96) ❺ اتخاذ القرار الإحصائي ∵𝟎.𝟗𝟗𝟗 ∋ : ( -1.96 , 1.96) القرار : قبول فرض العدم µ= 37

حاول أن تحل (2)

الحل : Z= 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 Z= 𝟏𝟓𝟕𝟎−𝟏𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟎𝟎 n = 100 , 𝒙 = 1570 , S = 120 ❶ صياغة الفروض : H0 : µ = 1600 مقابل H1 : µ ≠ 1600 30 ˃n ❷ σ ∵ (غير معلومة) Z= 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 ∴ نستخدم المقياس الإحصائي Z Z= 𝟏𝟓𝟕𝟎−𝟏𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟎𝟎 =−𝟐.𝟓 ∴

❸ ∵ مستوى الثقة 95% ∴ 𝝰= 0.05 ∝ 𝟐 = 0.025 𝒁 𝜶 𝟐 = 1.96 ∴ ❹ منطقة القبول هي ( -1.96 , 1.96) ❺ اتخاذ القرار الإحصائي ∵−𝟐.𝟓 ∌ : ( -1.96 , 1.96) القرار : نرفض فرض العدم µ= 4000 ونقبل الفرض البديل µ≠ 4000

ثالثاً : إذا كان الانحراف المعياري  لمجتمع غير معلوم , n ≤ 30 مثال (3) : يعتقد مدير شركة دراسات احصائية أن متوسط الإنفاق الشهري على الطعام في منازل مدينة معينة يساوي 290 ديناراً كويتياً. فإذا أخذت عينة عشوائية من 10 منازل تبين أن متوسطها الحسابي ديناراً 𝒙 =𝟐𝟖𝟑 وانحرافها المعياري ديناراً s= 32. فهل يمكن الاعتماد على هذه العينة لتأكيد ما افترضه ؟ استخدم مستوى ثقة 95 %(علماً بأن المجتمع يتبع توزيعاً طبيعياً).

الحل : t = 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 t = 𝟐𝟖𝟑−𝟐𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟏𝟎 n = 10 , 𝒙 = 283 , S =32 ❶ صياغة الفروض : H0 : µ = 290 مقابل H1 : µ ≠ 290 10 =n 10 < 30 ❷ σ ∵ (غير معلومة) t = 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 ∴ نستخدم المقياس الإحصائي t t = 𝟐𝟖𝟑−𝟐𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟏𝟎 ≈ - 0.6917 ∴

❸ n =10 ∵ n – 1= 10 – 1 = 9 درجة الحرية ∴ 1- 𝝰= 0.95 ∵ مستوى الثقة 95% ∴ 𝝰= 0.05 ∝ 𝟐 = 0.025 من جدول توزيع t

𝒕 𝟎.𝟎𝟐𝟓 ❸ n =10 ∵ n – 1= 10 – 1 = 9 درجة الحرية ∵ مستوى الثقة 95% ∵ مستوى الثقة 95% ∴ 𝝰= 0.05 ∝ 𝟐 = 0.025 𝒕 𝟎.𝟎𝟐𝟓 ∴ = 2.262 من جدول توزيع t ❹ منطقة القبول هي ( -2.262 , 2.262) ❺ اتخاذ القرار الإحصائي ( - 2.262, 2.262) ∵−𝟎.𝟔𝟗𝟏𝟕 ∋ القرار : بقبول فرض العدم µ= 290

حاول أن تحل (3)

الحل : t = 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 t = 𝟐𝟗𝟔−𝟐𝟗𝟎 𝟓 𝟏𝟎 n = 10 , 𝒙 = 296 , S =5 ❶ صياغة الفروض : H0 : µ = 290 مقابل H1 : µ ≠ 290 10 =n 10 < 30 ❷ σ ∵ (غير معلومة) t = 𝒙 − 𝝁 𝑺 𝒏 ∴ نستخدم المقياس الإحصائي t t = 𝟐𝟗𝟔−𝟐𝟗𝟎 𝟓 𝟏𝟎 ≈ 3.7947 ∴

❸ n =10 ∵ n – 1= 10 – 1 = 9 درجة الحرية ∵ مستوى الثقة 95% ∴ 𝝰= 0.05 ∝ 𝟐 = 0.025 𝒕 𝜶 𝟐 = 2.262 من جدول توزيع t ∴ ❹ منطقة القبول هي ( -2.262 , 2.262) ❺ اتخاذ القرار الإحصائي ( - 2.262, 2.262) ∵𝟑.𝟕𝟗𝟒𝟕 ∌ القرار : نرفض فرض العدم µ= 290 ونقبل الفرض البديل µ≠ 290

شكراً لحضوركم والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته