FUNKCIJE Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmHg Premier League Final table Chelsea 95 Arsenal 83 Manchester United 77 Everton 61 Liverpool 58 Bolton Wanderers Middlesbrough 55 Mancester City 52 Tottenham Hotspur Aston Villa 47 Charlton Athletic 46 Birmingham City 45 Fulham 44 Newcastle United Blackburn Rovers 42 Portsmouth 39 West Bromwich Albion 34 Crystal Palace 33 Norwich City Southampton 32 7,04 35 9,37 17 7,13 34 9,56 16 7,22 33 9,76 15 7,32 32 9,98 14 7,42 31 10,20 13 7,53 30 10,43 12 7,64 29 10,67 11 7,75 28 10,92 10 7,86 27 11,19 9 7,99 26 11,47 8 8,11 25 11,76 7 8,25 24 12,06 6 8,38 23 12,37 5 8,53 22 12,70 4 8,68 21 13,05 3 8,84 20 13,40 2 9,01 19 13,77 1 9,18 18 14,16 Kisik (mg/L) Temperatura (oC) Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmHg Angleška 1. liga 2005-2006

f: x ↦ f(x) x je argument, f(x) je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Funkciji f in g lahko sestavimo, če so vrednosti f vsebovane med argumenti g.

Grafična predstavitev funkcije Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.

Podajanje s formulo linearna funkcija pot pri prostem padcu razdalja točke do izhodišča Herenova formula povprečna vrednost Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk. Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.

Graf Graf f je množica točk v ravnini, ki so oblike (x,f(x)) za x∈A.

Graf funkcije dveh spremenljivk Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (x, y, f(x,y)) za (x,y)∈A. Plinska enačba PVT-diagram idealnega plina

PVT-diagram realne snovi Odsekoma definirana funkcija

Definicijsko območje in zaloga vrednosti Definicijsko območje Df je ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.

Naraščanje in padanje funkcije naraščajoča padajoča

Pri stalni temperaturi je pritisk padajoča funkcija prostornine (tj Pri stalni temperaturi je pritisk padajoča funkcija prostornine (tj. večja prostornina  manjši pritisk)

Lokalno naraščanje in padanje funkcijskih vrednosti pri a je funkcija padajoča pri b je funkcija naraščajoča

Globalni ekstremi (globalni) maksimum (globalni) minimum

ravnovesne lege so primeri lokalnih ekstremov Lokalni ekstremi lokalni maksimum ravnovesne lege so primeri lokalnih ekstremov lokalni minimum

Konveksnost in konkavnost Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol. konveksna konkavna

Prevoji Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno. prevoji konveksna konkavna

Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

Trend funkcije na robu - asimptote Logistična krivulja (vodoravna asimptota) Poševna asimptota Dušeno nihanje

Periodičnost in simetrija Periodične funkcije Soda in liha funkcija

Graf funkcije Definicijsko območje, zaloga vrednosti Naraščanje in padanje, ekstremi Ukrivljenost Trend na robu definicijskega območja Periodičnost in simetrije

Elementarne funkcije Polinomi Racionalne funkcije Algebrajske funkcije Eksponentne in logaritmske funkcije Kotne in ločne funkcije

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij. Osnovne funkcije: potence eksponentna ex logaritemska ln x koreni sinus sin x arkus sinus arcsin x arkus tangens arctg x

Polinomi povsod definirani polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov trend je določen z najvišjo potenco vsote sodih potenc so soda funkcija, vsote lihih potenc pa liha funkcija

Racionalne funkcije definirane povsod, razen v ničlah imenovalca ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem

Algebrajske funkcije koreni lihe stopnje so definirani povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente koren je bližje številu 1 kot njegov argument asimptote dobimo z limitami...

Eksponentna funkcija f(x)=ex povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel) za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča 1

Logaritemska funkcija f(x)=ln x definirana za pozitivne argumente zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1 pol pri x=0, zelo počasi narašča 1

Kotne funkcije sin(x), cos(x) povsod definirane, zaloga vrednosti je interval [-1,1] periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija sin(x) ima ničle pri x=kπ, cos(x) ima ničle pri x=π/2+kπ cos(x)=sin(π/2-x), sin2x+cos2x=1 1 -1

sinusno nihanje: A sin(ω x+d) A: amplituda, ω: frekvenca, d: fazni premik (zakasnitev)

Funkcija tangens tg(x) definirana povsod, razen za x=π/2+kπ, zaloga vrednosti so vsa realna števila periodična, liha ničle pri x=kπ, poli pri x=π/2+kπ tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg2x=1/cos2x

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije) arc sin(x) ‘arkus sinus’ inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x) definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-π/2,π/2 ]

1 -1

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc tg(x) ‘ arkus tangens’ inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x) definirana povsod, zaloga vrednosti interval (-p/2,p/2) asimptoti y=-p/2, y=p/2

-1 1