dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Univerzitet u Novom Sadu Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Zrenjanin TEORIJSKA MEHANIKA DINAMIKA dr Eleonora Desnica, dipl. ing. maš. Zrenjanin, 2016/2017.

Opšti zakoni dinamike tačke - zakon o promeni količine kretanja (količina kretanja, impuls sile) Opšti zakoni dinamike tačke - zakon o promeni kinetičke energije (rad sile, snaga) Prinudno kretanje tačke i Dalamberov princip Primeri

OPŠTI ZAKONI DINAMIKE MATERIJALNE TAČKE U opšte zakone dinamike spadaju: zakon o promeni količine kretanja, zakon o promeni momenta količine kretanja, zakon o promeni kinetičke energije materijalne tačke. Opšte zakone dinamike tačke treba posmatrati kao teoreme izvedene iz osnovnih Njutnovih zakona. Pri proučavanju kretanja materijalne tačke, primenom opštih zakona dinamike, izbegava se složen proces integracije diferencijalnih jednačina kretanja čime se znatno olakšava rešenje posmatranog problema.

Zakon o promeni količine kretanja Količina kretanja U matematičkom obliku da bi se zapisao Prvi Njutnov zakon, definiše se saglasno Njutnu takozvana količina kretanja (ovu veličinu je u dinamiku uveo Njutn, a videćemo da će ona i njena uopštenja igrati ključnu ulogu u celokupnoj dinamičkoj analizi). Još je Rene Dekart (1596-1650) na osnovu eksperimenta i opažanja kod uzajamnog dejstva dva tela koja se kreću, došao do zaključka da se mehanička kretanja mogu izmeriti posebnom veličinom nazvanom količina kretanja. Definiše se kao mera koja proističe istovremeno iz dva faktora, brzina v tela i količina materije u telu nazvanom masom tela m. Prema tome količina kretanja je proizvod iz brzine tačke i mase tačke. Kako je brzina vector, to je količina kretanja vektorska veličina koja se označava sa K i određena je formulom:

Ukoliko sila ne deluje na telo, prvi Njutnov zakon glasi: Pošto se u ovom slučaju količina kretanja održava tokom kretanja to se prvi Njutnov zakon često naziva zakon održanja količine kretanja. Jedinica Pojam količine kretanja je dinamička karakteristika stanja kretanja. Iz same definicije je jasno da dve materijalne tačke koje imaju jednake brzine, a različite mase, neće imati jednake količine kretanja. To se može ilustrovati jednostavnim primerom. Zamislite da ste iskoračili na pešački prelaz i u istom trenutku ugledali kako vam se jednakom brzinom, recimo 30km/h, sa leve strane približavaju bicikl i autobus. Autobus ćete nesumnjivo doživeti kao veću pretnju za vašu bezbedbost zbog neuporedivo veće količine kretanja.

Impuls sile Elementarni impuls sile je vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile i elementarnog vremenskog intervala. Elementarni impuls je vektor kolinearan sa vektorom sile.

Impuls sile u određenom konačnom vremenskom intervalu od t0 do t: Ako je F=const: Impuls sile nije vezan za kretanje, za pomeranje napadne tačke sile, već za vremenski interval.

Zakon o promeni količine kretanja Ako na tačku mase m, dejstvuje sila onda je prema drugom Njutnovom zakonu Ako je m=const, može se pisati: odnosno Ako na tačku deluje sistem sila, tada je: i to je Zakon o promeni količine kretanja u diferencijalnom obliku. Izvod količine kretanja materijalne tačke po vremenu jednak je vektorskom zbiru (rezultanti) sila koje dejstvuju na materijalnu tačku.

Zakon daje vezu između količine kretanja na kraju i na početku posmatranog intervala i sila koje u tom intervalu dejstvuju. Integraljenjem se dobija i to je zakon o promeni količine kretanja u integralnom obliku. Promena količine kretanja materijalne tačke u nekom vremenskom intervalu jednaka je vektorskom zbiru impulsa svih sila, koje dejstvuju na tačku, računatih u istom vremenskom intervalu.

Zakon o promeni kinetičke energije Rad sile Ako se napadna tačka sile F pomera duž putanje s, rad sile na elementarnom pomeranju je: Elementarni rad sile jednak je proizvodu intenziteta sile F, elementarnog pomeranja ds i kosinusa ugla između pravca sile i pravca pomeranja. Rad na elementarnom pomeranju je: pozitivan za α < 90º negativan za α > 90º jednak nuli za α = 90º

Rad na konačnom pomeranju napadne tačke sile između položaja M1 i M2, ako je tokom kretanja FT=const, tada je: Ako se napadna tačka sile kreće pravolinijski, sila je konstantna i ima pravac putanje, onda je rad jednak: Jedinica je džul [ J=Nm ].

Snaga Snaga predstavlja brzinu vršenja rada. Snaga sile može se dobiti kao količnik elementarnog rada sile dA i elementarnog proteklog vremena dt za koje je taj elementarni rad izvršen: pošto je dobija se da je snaga sile u nekom trenutku vremena jednaka skalarnom proizvodu vektora tangencijalne komponente sile i vektora njene trenutne brzine: Jedinica je Vat Iz ove formul npr. možemo videti: na usponu ili nekom rđavom delu puta, kod automobila se uključuju zupčanici sa najmanjim brojem zubaca, kako bi se pri punoj snazi automobil kretao manjom brzinom, odnosno kako bi imao što veću vučnu silu.

Kinetička energija materijalne tačke Kinetička energija materijalne tačke ili živa sila Ek, predstavlja poluproizvod mase i kvadrata brzine tačke: jedinica je džul [ J=Nm ]. Zakon o promeni kinetičke energije ili zakon žive sile Posmatrajmo kretanje tačke mase m na koju dejstvuje sistem sila: Množenjem jednačine skalarno brzinom dobija se:

Pošto je m=const i leva strana se može pisati kao diferencijal i to je zakon žive sile u diferencijalnom obliku. Promena kinetičke energije zavisi od rada sile koja deluje na tačku. Priraštaj kinetičke energije na elementarnom pomeranju materijalne tačke jednak je algebarskom zbiru radova svih sila koje deluju na tačku na tom pomeranju.

Integracijom dobijamo što predstavlja zakon o promeni kinetičke energije u konačnom obliku – integracionom obliku. Promena kinetičke energije materijalne tačke pri pomeranju tačke između dva položaja jednak je zbiru radova svih sila koje dejstvuju na tačku, na tom pomeranju.

Prinudno kretanje, Dalamberov princip Tela koja ograničavaju slobodno kretanje tačke u prostoru zovu se mehaničke veze. Kretanje materijalne tačke koje je dejstvovanjem materijalnih tela ograničeno u prostoru je prinudno (neslobodno) kretanje tačke. Sila kojom veza dejstvuje na tačku zove se reakcija veze. Zakon akcije i reakcije se nalazi u osnovi principa oslobađanja od veza. U slučaju neposrednog kontakta posmatrano telo i veza (telo koje ograničava ili potpuno sprečava njegovo kretanje) uzajamno dejstvuju jedno na drugo silama u saglasnosti sa trećim Njutnovim zakonom.

Samim tim se i drugi Njutnov zakon za vezano kretanje tačke mora dopuniti. Diferencijalna jednačina prinudnog kretanja materijalne tačke na osnovu drugog Njutnovog zakona, u vektorskom obliku, je: Sa F je označena rezultanta aktivnih sila, a sa FW rezultanta reakcija veza.

Ako uvedemo pojam Inercijalne (fiktivne ili Dalamberove) sile kolinearne sa ubrzanjem tačke, dobijamo sledeće: Dobijena jednačina predstavlja matematički zapis Dalamberovog principa koji glasi: Ako u svakom trenutku kretanja aktivnim silama koje dejstvuju na materijalnu tačku i reakcijama veza dodamo inercijalnu silu, onda će taj sistem sila biti u ravnoteži i na njega se mogu primeniti svi zakoni statike.

Kao što se vidi, Dalamberov princip odražava tendenciju da se jednačine dinamike napišu u formi jednačina statike i rešavaju metodama karakterističnim za ispitivanje ravnoteže tela. Obično se kaže da se aktivne sile, reakcije veza i inercijalne sile tokom kretanja nalaze u dinamičkoj ravnoteži.

Zgodna ilustracija primene Dalambervog principa se javlja prilikom određivanja oblika slobodne površine tečnosti u posudi koja se obrće oko vertikalne ose. U stanju mirovanja slobodna površina je ravna i horizontalna. Međutim, ako se posuda obrće konstantnom ugaonom brzinom ω, mogu se uočiti inercijalne sile u svakom deliću (elementarnoj zapre- mini) tečnosti. Tada je moguće mirovanje tečnosti u odnosu na posudu (relativna ravnoteža), ali će se usled prisustva inercijalnih sila slobodna površina tečnosti zakriviti i imati oblik obrtnog paraboloida.

Primer: Teret težine G, obešen o konac dužine l, pomeren od vertikale za ugao α u položaj M0, pusti se bez početne brzine. Odrediti veličinu sile u koncu u trenutku kada teret prolazi kroz svoj najniži položaj M1. Zadatak rešiti na dva načina (i primenom Dalamberovog principa).

Hvala na pažnji!