OSNOVNI ELEMENTI OPISNE GEOMETRIJE IN OSNOVE PROJICIRANJA OPISNA GEOMETRIJA 2010/2011 2. teden OSNOVNI ELEMENTI OPISNE GEOMETRIJE IN OSNOVE PROJICIRANJA doc. dr. Domen Kušar

OSNOVNI ELEMENTI Točka: A, A’, A1, B, C, P,... “Brezdimenzionalna geometrijska tvorba.” Poznamo več vrst točk: središče kroga, krajišči daljic, vogali oglatih likov in teles, glavna točka v perspektivi, koordinatno izhodišče, sledišča, prebodi...

Premica: a, a’’, b, c, p, p1 “Element elementarne geometrije (Hilbertova aksiomatika). Neomejena prema črta, presek dveh nesovpadnih ravnin.” Poznamo več vrst premic: vzporednica, mimobežnica, presečnica, normala, padnica, soslednica, slednica... premica Premica kot presek dveh nesovpadnih ravnin

Ravnina: Γ, Π, Π1, Δ, Α, “Element elementarne geometrije (Hilbertova aksiomatika). Neomejena ravna ploskev.” Poznamo več vrst ravnin: projekcijske, splošne posebne, pravokotne, ubežne, glavna horiziontalna,...

Nebistveni elementi (uvedel David Hilbert (1862-1943)): Nebistvena ali neprava točka (bežišče, virtuelna točka) Nebistvena ali neprava premica (bežnica,...) Evklidska geometrija: vse naloge je možno rešiti z ravnilom in šestilom Projektivna geometrija: vse naloge je možno rešit samo z ravnilom Nerešljive problemi geometrije: Kvadratura kroga Obseg kroga Trisekcija loka

AKSIOMATIKA – opredelitev izrazov Izrek je dokazana trditev, ki izraža neko splošno zakonitost. Aksiom je osnovni izrek. Zgradba elementarne geometrije temelji na nekaj aksiomih, ki se nanašajo na elemente geometrije. Podobno velje tudi za projektivno geometrijo. Postulat je običajno isto kot aksiom. Gre za osnovno trditev ali zahtevo ali določilo, ki zadeva odnose med elementi v okviru določene teorije. Teorem je geometrijski izrek oziroma stavek, ki izraža določeno lastnost geometrijske tvorbe in katerega veljavnost je možno dokazati deduktivno iz danih osnov. Definicija je opredelitev, ki je izražena s pojmi iz analitične geometrije in matematične analize.

OSNOVNE POZICIJSKE NALOGE 1. Skozi dve točki lahko narišemo premico. 2. Tri točke določajo ravnino. 3. Dve sekajoči premici določata ravnino. 4. Premica prebada ravnino v eni točki. 5. Dve ravnini imata skupno presečnico. OSNOVNE METRIČNE NALOGE 1. Razdalja med dvema točkama. 2. Razdalja točke od premice. 3. Razdalja točke od ravnine. 4. Razdalja dveh mimobežnic. 5. Kot med premicama. 6. Kot med premico in ravnino. 7. Kot med ravninama.

PROJICIRANJE IN PROJEKCIJE KOORDINATNI SISTEM IN PROJEKCIJA TOČKE PROJEKCIJSKE RAVNINE KOORDINATNI SISTEM IN PROJEKCIJA TOČKE PROJICIRANJE je osnovna metoda opisnogeometrijskega upodabljanja. OPISNA GEOMETRIJA je veda o projiciranju.

ELEMENTI PROJICIRANJA Projekcijsko izhodišče Projicirni žarki Projekcijska ravnina Objekt

VRSTE PROJEKCIJ CENTRALNA PROJEKCIJA VZPOREDNA PROJEKCIJA POŠEVNA VZPOREDNA PRAVOKOTNA ALI ORTOGONALNA PROJEKCIJA KOTIRNA VZPOREDNA PROJEKCIJA DVOJNOPROJECIRNA ORTOGONALNA (MONGEOVA) PROJEKCIJA

CENTRALNA PROJEKCIJA

POŠEVNA VZPOREDNA PROJEKCIJA

PRAVOKOTNA ALI ORTOGONALNA PROJEKCIJA

KOTIRANA PROJEKCIJA

DVOJNOPROJECIRNA ORTOGONALNA PROJEKCIJA – MONGEOVA PROJEKCIJA

DVOJNOPROJECIRNA ORTOGONALNA PROJEKCIJA – MONGEOVA PROJEKCIJA - Projekcija sistema

KOORDINATNI SISTEM IN PROJEKCIJA TOČKE Kartezijev (Descartesov) koordinatni sistem

DESNI IN LEVI SISTEM DESNOSUČNI (ANGLEŠKI) SISTEM LEVOSUČNI (FRANCOSKI) SISTEM

PROJEKCIJA TOČKE

KVADRANTI IN OKTANTI

SIMETRIJSKA RAVNINA

KOINCIDENČNA RAVNINA