OCENJIVANJE MODELA U USLOVIMA NEISPUNJENIH TRADICIONALNIH PRETPOSTAVKI

Pretpostavke klasičnog modela greške su slučajne očekivana vrednost grešaka jednaka je nuli greške su normalno raspoređene greške su međusobno nezavisne greške imaju konstantnu zajedničku varijansu odsustvo multikolinearnosti

Autokorelacija Kada se ocenjuje model na osnovu podataka uporednih preseka, tada rezidualna promenljiva modela obuhvata uticaj modelom neobuhvaćenih faktora, koji mogu biti međusobno korelisani za prostorno bliske jedinice osmatranja. U tom slučaju i same rezidualne promenljive će biti međuzavisne ili prostorno korelisane. Kada se model ocenjuje na osnovu podataka vremenskih serija, međuzavisnost reziduala se naziva autokorelacijom ili serijskom korelacijom, a znači da je greška modela u t-toj jedinici osmatranja zavisna od grešaka u drugim jedinicama: ...,ut-2, ut-1, ut+1, ut+2,.... Autokorelacija je pozitivna ako su pozitivne vrednosti greške modela većinom praćene takođe pozitivnim a negativne negativnim vrednostima, O negativnoj autokorelaciji se radi kada se sukcesivno menjaju pozitivne i negativne vrednosti rezidualne promenljive.

Otkrivanje autokorelacije Na osnovu grafičke prezentacije reziduala stiče se aproksimativna predstava o autokorelaciji grešaka modela. Najčešće se koristi jedan od dva sledeća načina prikaza, alternativno. Prema prvom načinu, u pravouglom koordinatnom sistemu na apscisi su redni brojevi osmatranja, a na ordinati vrednosti reziduala. Ako reziduali samo retko (ciklično) menjaju znak, može se pretpostaviti da se radi o pozitivnoj autokorelaciji, a ako se znaci menjaju sukcesivno (često), radi se o negativnoj autokorelaciji reziduala. Drugi način predstavljanja daje na dijagramu tačke čije su koordinate parovi podataka (et-1,et) . Ako je većina parova podataka grupisano u I i III kvadrantu koordinatnog sistema, može se pretpostaviti da se radi o pozitivnoj autokorelaciji, a ako je veći broj tačaka u II i IV kvadrantu, radi se o negativnoj autokorelaciji.

Otkrivanje autokorelacije U praksi najčešće korišćeni pokazatelj autokorelacije je Durbin-Watson-ova statistika (ili DW-koeficijent): perfektna pozitivna autokorelacija  d=0 pozitivna autokorelacija  0<d<dD test bez odluke  dD<d<dG nema značajne autokorelacije  dG<d<4-dG 4-dG<d<4-dD negativna autokorelacija  4-dD<d<4 perfektna negativna autokorelacija  d=4

Otkrivanje autokorelacije Eksperimentisanjem različitim funkcionalnim (linearnim i nelinearnim) oblicima autoregresivne veze različitih redova moguće je otkriti autokorelaciju reziduala. Ovakav postupak se može smatrati asimptotski ekvivalentnim sa DW-testom, a istovremeno obezbeđuje i ocene autoregresionog koeficijenta.

Otklanjanje autokorelacije Ako su greške autokorelisane po autoregresivnoj šemi prvog reda: i ako je vrednost autoregresionog koeficijenta, tada se može primeniti ocena modela metodom ONK na transformisane podatke, koja se svodi na model kvazi-diferenci:

Heteroskedastičnost Ako pretpostavka o konstantnoj zajedničkoj varijansi za sve jedinice osmatranja nije ispunjena, tada su greške heteroskedastične, tj. imaju različite varijanse u pojedinim jedinicama osmatranja: Heteroskedastičnost reziduala je karakteristična za podatke uporednih preseka, pošto se često dešava da je na višim nivoima objašnjavajuće promenljive veća disperzija zavisne promenljive oko proseka nego na nižim nivoima.

Otkrivanje heteroskedastičnosti Prvi grubi utisak o heteroskedastičnosti može pružiti dijagram rasturanja, kao i grafički prikaz reziduala dobijenih metodom ONK: ako reziduali pokazuju pravilnost u promeni zajedno sa kretanjem vrednosti regresora, može se pretpostaviti da se radi o heteroskedastičnosti.

Otkrivanje heteroskedastičnosti Neparametarski test se sprovodi u sledećim koracima: iz ocenjenog modela: izračunava se serija apsolutnih vrednosti reziduala određuje se rang (redni broj po veličini vrednosti) svakog osmatranja pojedinih serija regresora: , kao i rang apsolutnih vrednosti reziduala: izračunava se razlika rangova po pojedinim jedinicama osmatranja posebno svakog regresora i apsolutne vrednosti reziduala: dij određuje se Spearman-ov koeficijent korelacije ranga za pojedine regresore: ako je vrednost statistike veća od kritične vrednosti standardizovanog normalnog rasporeda (koji iznosi 1,96 za α=5%), može se zaključiti postojanje značajne heteroskedastičnosti.

Otklanjanje heteroskedastičnosti Rešiti problem heteroskedastičnosti znači izvršiti takvu transformaciju kojom će se dobiti konstantna varijansa greške modela. Postupci se mogu podeliti na dva tipa: one koji se zasnivaju na određenim pretpostavkama o varijansama grešaka i one koje su opšteg karaktera. U prvu grupu postupaka spadaju metod ponderisanih najmanjih kvadrata (PNK) i metodi maksimalne verodostojnosti. Opšti postupci rešenja problema heteroskedastičnosti reziduala su deflacija podataka i logaritamska transformacija.

Multikolinearnost Čest je slučaj da se dva ili više regresora ponašaju veoma slično u sukcesivnim jedinicama osmatranja, što se označava pojmom multikolinearnosti regresora. Ova pojava se može javiti najčešće na dva načina: ili postoji sličan razvojni trend promenljivih, ili se promenljive u datom periodu menjaju samo neznatno, a time dolazi do gubitka informacija i do nemogućnosti precizne ocene odvojenih uticaja pojedinih regresora. Posledice prisutne multikolinearnosti: Otežana je precizna ocena odvojenih uticaja pojedinih regresora Zbog gubitaka informacija u uzorku zbog multikolinearnosti, vrednosti t-testa su pristrasne, pa se ne mogu koristiti za ocenu signifikantnosti pojedinih parametara Ocene parametara postaju vrlo osetljive i na male promene u uzorku ili u specifikaciji modela Multikolinearnost ne utiče na predviđanje jedinstvenih veličina prediktanda

Otkrivanje multikolinearnosti Ako je multikolinearnost visokog stepena, često se može desiti da je visoka vrednost koeficijenta determinacije praćena niskim vrednostima parcijalnih koeficijenata determinacije zavisne sa pojedinim nezavisnim promenljivama. Uzrok štetne multikolinearnosti onaj regresor modela koji ima veći višestruki koeficijent korelacije sa svim ostalim regresorima nego što je višestruki koeficijent korelacije zavisne promenljive sa svim regresorima. Ako novi regresor dovodi do značajnog povećanja vrednosti koeficijenta determinacije, a istovremeno i do promene vrednosti i/ili znaka parametara, može se zaključiti da je novi regresor bitan za objašnjenje varijacija zavisne promenljive, ali istovremeno dovodi i do štetne multikolinearnosti, znači i do nepreciznih ocena. Ako se u korelacionoj matrici regresora otkrije jaka korelacija između dva regresora, to može ukazati na multikolinearnost.

Otkrivanje multikolinearnosti Za ispitivanje multikolinearnosti koristi se i testiranje hipoteze da je determinanta korelacione matrice regresora jednaka nuli, tj. , putem statistike: koja ima χ2-raspored sa stepeni slobode gde je k’ broj regresora modela bez konstantnog člana. I u ovom slučaju se pojavljuje problem: odbacivanje nulte hipoteze i prihvatanje alternativne da je još nije dovoljan uslov da u uzorku eventualno ne bude multikolinearnosti.

Otklanjanje multikolinearnosti Najjednostavnije rešenje je da se iz modela izostavi jedan od regresora koji je izvor štetne multikolinearnosti, posebno ako se parametar uz taj regresor i ne smatra posebno značajnim sa stanovišta interpretacije rezultata modeliranja. Pošto je multikolinearnost posledica nedovoljnih informacija sadržanih u uzorku, sam po sebi se nudi postupak za eliminisanje multikolinearnosti u vidu povećanja uzorka. Često se dešava da je zajednički trend varijabli uzrok multikolinearnosti regresora modela ocenjenog na osnovu podataka vremenskih serija. Korelacija između vremenskih serija se može izbeći ocenjivanjem modela na osnovu apsolutnog ili relativnog priraštaja varijabli ili proporcije varijabli u odnosu na neku odabranu promenljivu. Ridž regresija (RR) podrazumeva da se, pre rešavanja sistema normalnih jednačina, varijacijama regresora doda neka konstanta λ, čime dolazi do smanjenja koeficijenata korelacije između regesora.