היבט כולל על הדואליות בין קינמטיקה וסטטיקה מגישה: סבטלנה פורטנוי מנחה: דר' עופר שי

מטרת המחקר: חקירת סוגים שונים של דואליות והקשרן לדואליות מבוססת תורת הגרפים. מציאת קשרים והבדלים בין השיטות המבוססות על סוגי הדואליות שונים. במידה ויש קשר, העברת ידע בין שיטות וידע שפותח באחת לשנייה. על בסיס הראייה הכוללת, להרחיב את הדואליות על בסיס תורת הגרפים. באמצעות הראייה המוכללת, לאפשר הבנה מעמיקה של תחומים: סטטיקה, קינמטיקה, פאונים ועוד, שהדואליות שדווחו עוסקות בהן, וכן יכולת להעביר ידע ביניהם.

תוכן עיניינים 1. קשר בין קבוצות Assur ו-reciprocal 2. קבלת משתנים חדשים מדואליות בין מסבכים ומכניזמים 3. הקשר בין גוף תלת מימדי הנקרא פאון וישות החדשה בסטטיקה קו שווה מומנט 4. הקשר בין reciprocal לדואליות בין מסבכים ומכניזמים 5. הקשר בין parallel drawing, דואליות, כוחות בפאות וקבוצות Assur 6. הרחבת דואליות בין מסבכים ומכניזמים המבוססת על תורת הגרפים למקרים לא מישוריים 7. קשר בין דואליות של מערכות מכניות המבוססת על ייצוגים גרפים FLGR ו- PLGR ודואליות מגיאומטריה פרויקטיבית

1. קשר בין קבוצות Assur ו-reciprocal 1.4 משפט reciprocal של Maxwell. 1.5 קשר בין דיאגרמת reciprocal לקבוצות Assur.

1.1 קבוצת Assur מבנה מסוים סטטית שלא ניתן לפירוק לתת מבנים מסוימים סטטית אחרים. A B 2 1 4 3 1 2 3 4 5 6 מבנה שאינו Assur-ניתן לפרקו לשני תת מבנים (דיאדות). קבוצת Assur- טריאדה

קבוצת Assur מכווצת מבנה שמתקבל לאחר כיווץ כל צמתי האדמה לצומת אחד. המבנה בעל פאות סגורות ויתר סטטי, כלומר ניתן להפעיל בו מאמץ עצמי. 1 2 3 4 5 6 A B C O טריאדה מכווצת 1 2 3 4 5 6 O3 O2 O1 A B C קבוצת Assur מקורית- טריאדה

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) הורדת חוליה מניעה ומיקום סמך נייח וירטואלי 3’ 2’ 2’ 3’ 1’ מכניזם קבוצת - Assur דיאדה

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) הורדת חוליה מניעה ומיקום סמך נייח וירטואלי 5’ 6’ 7’ 2’ 3’ 4’ 1’ 4’ 2’ 3’ 5’ 7’ 6’ מכניזם קבוצת - Assur טריאדה

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) 20 18 19 17 16 13 11 12 10 15 21 14 2 3 8 4 5 7 6 9 1 מכניזם

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) 20 18 19 17 16 13 11 12 10 15 21 14 2 3 8 4 5 7 6 9 1 הורדת חוליה מניעה

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) 20 18 19 17 16 13 11 12 10 15 21 14 2 3 8 4 5 7 6 9 אנליזה של קבוצת Assur - טטראדה

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) 20 18 19 17 16 13 11 12 10 15 21 14 2 3 8 4 5 7 6 9 1

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) 20 18 19 17 16 13 11 12 10 15 21 14 2 3 8 4 5 7 6 9 1 אנליזה של קבוצת Assur - טריאדה

1.2 שימוש בקבוצות Assur באנליזה של מכניזמים (Assur,1952) 20 18 19 17 16 13 11 12 10 15 21 14 2 3 8 4 5 7 6 9 1 אנליזה של קבוצת Assur - טריאדה

1.3 דיאגרמת reciprocal (Maxwell,1864) זוהי דיאגרמה המתארת את תמונת הכוחות שניתן להפעיל במסבך כך שהוא יישאר בשיווי משקל. reciprocal מקיים משפטים הבאים: א. מספר מוטות במסבך שווה למספר קווים ב-reciprocal. ב. כל הקווים ב-reciprocal יכולים להיות מקבילים, מאונכים או בשיפוע למוטות המתאימים להם במבנה. ג. כל צומת מדרגה n במבנה מתאים לפאה בעלת n קשתות ב-reciprocal ולהפך. 1 2 6 4 3 5 A B C D I II III IV מבנה 1’ 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I III IV II reciprocal

1.4 משפט reciprocal של Maxwell 1.5 קשר בין דיאגרמת reciprocal לקבוצות Assur לכל קבוצות Assur ניתן לבנות דיאגרמת reciprocal. טריאדה מכווצת 1 2 6 4 3 5 A B C D I II III IV 1’ 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I III IV II reciprocal 1 2 6 4 3 5 B C D טריאדה

2. קבלת משתנים חדשים מדואליות בין מסבכים ומכניזמים 2.1 דואליות בין מסבכים ומכניזמים 2.2 כוח בפאה – face force 2.3 קו שווה מומנט – Equimomental line

2.1 דואליות בין מסבכים ומכניזמים (Shai,2001) 3 4 5 6 7 A C B 1’ 5’ 6’ 7’ 2’ 3’ 4’ I II III IV 1’ 5’ 6’ 7’ 2’ 3’ 4’ I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 A C B מסבך מכניזם

מהירות קווית יחסית של חוליה מניעה שווה לכוח חיצוני. 2.1 דואליות בין מסבכים ומכניזמים (Shai,2001) מהירות קווית יחסית של חוליה מניעה שווה לכוח חיצוני. 1’ 5’ 6’ 7’ 2’ 3’ 4’ I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 A C B

מהירות קווית יחסית של כל חוליה שווה לכוח הפועל במוט המתאים. 2.1 דואליות בין מסבכים ומכניזמים (Shai,2001) מהירות קווית יחסית של כל חוליה שווה לכוח הפועל במוט המתאים. 1’ 5’ 6’ 7’ 2’ 3’ 4’ I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 A C B 1’ 5’ 6’ 7’ 2’ 3’ 4’ I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 A C B

2.2 כוח בפאה – face force (Shai and Penock,2006) איזה משתנה מתאים למהירות קווית מוחלטת? מהירות קווית מוחלטת מתאימה למשתנה חדש בסטטיקה - כוח בפאה. 1’ 5’ 6’ 7’ 2’ 3’ 4’ I II III IV 1 2 3 4 5 6 7 A C B

כוח במוט שווה להפרש בין כוח בפאה ימנית וכוח בפאה שמאלית. 2.2 כוח בפאה – face force (Shai and Penock,2006) הקשר בין כוח במוט לכוחות בפאות הסמוכות: כוח במוט שווה להפרש בין כוח בפאה ימנית וכוח בפאה שמאלית. A I II B

2.3 קו שווה מומנט (דואלי למרכז סיבוב רגעי) (Shai and Penock,2006) קו שווה מומנט מוחלט – קו חיתוך בין פאה J ופאה O שכוח בפאה J יוצר עליו מומנט שווה לאפס. כל כוח בפאה פועל לאורך קו שווה מומנט מוחלט שלו. קו שווה מומנט יחסי – קו חיתוך בין פאה J ופאה K שכוחות בפאות האלו יוצרים עליו בכל נקודה מומנט זהה. וקטור הפרש בין שני כוחות בפאות פועל לאורך קו שווה מומנט יחסי שלהם. O J J K קו שווה מומנט יחסי קו שווה מומנט מוחלט

2.3 קו שווה מומנט (דואלי למרכז סיבוב רגעי) (Shai and Penock,2006) B I O II III IV 2 1 5 6 7 3 4 דוגמה לקווי שווי מומנט במסבך

דואליות בין מושגים בקינמטיקה וסטטיקה קו שווה מומנט מוחלט – לכל כוח בפאה קיים קו שלאורכו הוא יוצר מומנט שווה לאפס. מרכז סיבוב רגעי מוחלט - לכל מהירות זוויתית מוחלטת המגדירה חוליה קיימת נקודה שהיא יוצרת עליה מהירות קווית שווה לאפס. קו שווה מומנט יחסי – לכל שני כוחות בפאות קיים קו שלאורכו שני הכוחות יוצרים את אותו מומנט.. מרכז סיבוב רגעי יחסי – לכל שתי מהירויות זוויתיות מוחלטות המגדירות שתי חוליות קיימת נקודה שבה המהירויות הקוויות שלהן שוות. משפט קנדי דואלי - לכל שלושה כוחות בפאות, שלושת הקווים שווי המומנט היחסיים שלהם חייבים להיפגש בנקודה אחת. משפט קנדי - לכל שלוש מהירויות זוויתיות מוחלטות המגדירות שלוש חוליות, שלושת מרכזי הסיבוב הרגעיים היחסיים שלהן חייבים להימצא על קו אחד.

3. הקשר בין גוף תלת מימדי הנקרא פאון וישות החדשה בסטטיקה קו שווה מומנט 3.1 משפט פאונים של Maxwell. 3.2 פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט.

מאמץ עצמי במסבך ללא סמכים 3.1 משפט פאונים של Maxwell משפט Maxwell (1869): במסבך ללא סמכים פועל מאמץ עצמי, אם ורק אם הוא היטל של פאון. תנאי מספיק הוכח רק ב-1986 ע"י Whiteley. e A B D C O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 פאון a b c d e f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O c B A D a d C b f מאמץ עצמי במסבך ללא סמכים מסבך ללא סמכים

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט מסבך ללא סמכים 2 1 3 7 8 6 9 5 4 פאון

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט מסבך ללא סמכים מעגל קנדי דואלי 2 1 3 7 8 6 9 5 4 פאון בניית מעגל קנדי דואלי למציאת קווי שווי מומנט

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 O A 3 D A 7 D 8 B 6 9 C C B 5 4 A D B C O

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 O 3 D A 7 8 6 9 C B 5 4 פאה במסבך ללא סמכים = צומת במעגל קנדי דואלי = מישור בפאון 1 2 7 6 8 3 9 5 4 O מישור הפרויקטיבי

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 3 D A 7 8 6 9 C B 5 4 קו שווה מומנט בין שתי פאות סמוכות = קשת ידועה בין שני צמתים מתאימים במעגל קנדי הדואלי = קו חיתוך בין שני מישורים סמוכים בפאון

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 O 3 D A 7 3 8 B 6 9 C B 5 4 קו שווה מומנט mBO = קשת בין צמתים B ו-O במעגל קנדי הדואלי = קו חיתוך בין מישורים B ו-O בפאון B O

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 O 3 D 5 A 7 3 8 6 9 C C B 5 4 קו שווה מומנט mCO = קשת בין צמתים C ו-O במעגל קנדי הדואלי = קו חיתוך בין מישורים C ו- O בפאון C O

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 3 D 5 A 7 3 D 8 B 6 8 9 C B 5 4 D קו שווה מומנט mBD = קשת בין צמתים B ו-D במעגל קנדי הדואלי = קו חיתוך בין מישורים B ו-D B

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 3 D 5 A 7 3 8 9 6 8 9 C B 5 4 קו שווה מומנט mCD = קשת בין צמתים C ו-D במעגל קנדי הדואלי = קו חיתוך בין מישורים C ו-D

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 3 D 5 A 7 3 D 8 9 6 8 C 9 C B 5 4 D משולש במעגל קנדי הדואלי = נקודת חיתוך של שלושת קווי שווי מומנט המתאימים C

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט O 2 1 3 D 5 A 7 3 8 9 6 8 9 C B 5 4 שני משולשים הכוללים את אותו קו שווה מומנט שאינו ידוע במעגל קנדי הדואלי = נקודות שהקו הזה עובר דרכן

3.2 גילוי פרוש גיאומטרי לקו שווה מומנט 1 3 7 8 6 9 5 4 D mDO מתאים לקו חיתוך בין מישורים D ומישור הפרויקציה O O

גיאומטריה סטטיקה קינמטיקה לכל חוליה קיימת נקודה שבה מהירות קווית שלה שווה לאפס. לכל כוח קיים קו שמומנט שהוא יוצר עליו שווה לאפס. לכל מישור בפאון קיים קו שבו הוא חותך את המישור הפרויקציה. J O לכל שתי חוליות קיימת נקודה שבה מהירויות קוויות שלהן שוות. לכל שני כוחות קיים קו שמומנט שהכוחות יוצרים בכל נקודה על הקו שווה. לכל שני מישורים בפאון קיים קו שבו הם נחתכים. J K לכל שלוש חוליות, שלושה מרכזי סיבוב רגעיים יחסיים שלהן חייבים להימצא על קו אחד. לכל שלושה כוחות, שלושה קווים שווי מומנט יחסיים שלהן חייבים להיפגש בנקודה אחת. כל שלושה מישורים בפאון חייבים להיחתך בנקודה אחת.

4. הקשר בין reciprocal לדואליות בין מסבכים ומכניזמים 4.1 קבלת מכניזם דואלי למסבך בשיטת הדואליות בין גרף זרימות לגרף פוטנציאלים. 4.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות דיאגרמת reciprocal. 4.3 קבלת מסבך דואלי למכניזם בשיטת הדואליות בין גרף זרימות לגרף פוטנציאלים. 4.4 קבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות דיאגרמת reciprocal.

4.1 קבלת מכניזם דואלי למסבך בשיטת הדואליות בין גרף זרימות לגרף פוטנציאלים (Shai,2001) O II I 3' 1' 2' 1 2 A B D 3 O I II O A 1 2 I II 3 מסבך עם כוח חיצוני גרף הזרימות 1’ 2’ 3’ I II 1’ 2’ 3’ I II 2' O II I 3' 1' מכניזם הדואלי גרף הפוטנציאלים הדואלי

4.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות דיאגרמת reciprocal 1 2 A B D 3 I III II 1 2 A B D 3 I III II א. הפיכת מסבך עם כוח חיצוני למסבך ללא סמכים: 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O מסבך עם כוח חיצוני מסבך ללא סמכים

4.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות דיאגרמת reciprocal 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O 1 2 A B D 3 I III II ב. בניית reciprocal מתאים למסבך ללא סמכים: II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O מסבך ללא סמכים reciprocal

4.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות דיאגרמת reciprocal II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O 1 2 A B D 3 I III II ג. הורדת צומת ייחוס ב-reciprocal ומיקום הסמכים הקבועים במקומו: II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D O II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D O reciprocal reciprocal לאחר הורדת צומת ייחוס ומיקום הסמכים הקבועים

4.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות דיאגרמת reciprocal II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D O II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D O 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O 1 2 A B D 3 I III II ד. הורדת הקשתות שהוספו בבניית מסבך ללא סמכים בשלב א': II 1’ III 2’ 3’ II 1’ III 2’ 3’ reciprocal לאחר הורדת צומת ייחוס ומיקום הסמכים הקבועים מכניזם לאחר הורדת קשתות 4’, 5’ ו-6’

4.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות דיאגרמת reciprocal II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D O 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O II 1’ III 2’ 3’ II 1’ III 2’ 3’ 1 2 A B D 3 I III II ה. קביעת חוליה מניעה במכניזם שהתקבל כך שתתאים לכוח חיצוני במסבך המקורי: II 1’ III 2’ 3’ II 1’ III 2’ 3’ מכניזם לאחר הורדת קשתות 4’, 5’ ו-6’ קביעת חוליה מניעה

4.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות דיאגרמת reciprocal II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D O 5 6 4 1 2 A B D 3 I III II C O II 1’ III 2’ 3’ II 1’ III 2’ 3’ II 1’ III 2’ 3’ 1 2 A B D 3 I III II 1 2 A B D 3 I III II ו. קבלת מכניזם הדואלי: מכניזם הדואלי

סיכום השלבים לקבלת מכניזם דואלי למסבך באמצעות reciprocal: B D 1 2 3 4 5 6 II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D I O 1 2 A B D 3 I III II C 1 2 3 A B D 5 6 4 O I II III מסבך עם כוח חיצוני מסבך ללא סמכים reciprocal פאון II 1’ III 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ A B C D O II 1’ III 2’ 3’ II 1’ III 2’ 3’ II 1’ III 2’ 3’ מכניזם הדואלי קביעת חוליה מניעה מכניזם לאחר הורדת קשתות 4’, 5’ ו-6’ reciprocal לאחר הורדת צומת ייחוס ומיקום הסמכים הקבועים

4.3 קבלת מסבך דואלי למכניזם בשיטת הדואליות בין גרף זרימות לגרף פוטנציאלים (Shai,2001) 2’ 3’ I II 1’ V IV 2' O II I 3' 1' O A 1 2 I II 3 מכניזם גרף הפוטנציאלים O A 1 2 I II 3 1 3 2 1 3 2 מסבך הדואלי גרף הזרימות הדואלי

4.4 קבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות דיאגרמת reciprocal 2’ 3’ I II 1’ V IV 2’ 3’ I II 1’ V IV א. הרחבה לקבוצת Assur : 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI מכניזם הרחבה לקבוצת Assur

4.4 קבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות דיאגרמת reciprocal 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 2’ 3’ I II 1’ V IV ב. בניית מסבך ללא סמכים: 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI הרחבה לקבוצת Assur מסבך ללא סמכים

4.4 קבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות דיאגרמת reciprocal 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI 2’ 3’ I II 1’ V IV ג. בניית reciprocal מתאים למסבך ללא סמכים: 8 1 9 6 3 5 7 2 4 8 1 9 6 3 5 7 2 4 מסבך ללא סמכים reciprocal

4.4 קבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות דיאגרמת reciprocal 8 1 9 6 3 5 7 2 4 8 1 9 6 3 5 7 2 4 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI 2’ 3’ I II 1’ V IV ד. הורדת הקשתות שהוספו בהרחבה לקבוצת Assur (שלב א') ובבניית מסבך ללא סמכים (שלב ב'): 1 3 2 1 3 2 reciprocal מסבך לאחר הורדת קשתות 4’, 5’ ,6’, 7’, 8’ ו-9’

4.4 קבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות דיאגרמת reciprocal 8 1 9 6 3 5 7 2 4 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI 2’ 3’ I II 1’ V IV 1 3 2 1 3 2 ה. קביעת כוח חיצוני במסבך שהתקבל כך שיתאים לחוליה המניעה במכניזם המקורי: 1 3 2 1 3 2 מסבך לאחר הורדת קשתות 4’, 5’ ,6’, 7’, 8’ ו-9’ מוט 3 הפך לכוח חיצוני

4.4 קבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות דיאגרמת reciprocal 8 1 9 6 3 5 7 2 4 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI 2’ 3’ I II 1’ V IV 2’ 3’ I II 1’ V IV 1 3 2 1 3 2 1 3 2 ו. קבלת מסבך הדואלי: מסבך הדואלי

סיכום השלבים לקבלת מסבך דואלי למכניזם באמצעות reciprocal: 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ V IV VI 8 1 9 6 3 5 7 2 4 6’ 2’ 4’ 5’ 3’ I II III 1’ 7’ 8’ 9’ V IV VI 2’ 3’ I II 1’ V IV מכניזם הרחבה לקבוצת Assur מסבך ללא סמכים reciprocal III VI 2’ 1’ 3’ 6’ 5’ 4’ 9’ 8’ 7’ I II V IV 1 3 2 1 3 2 1 3 2 מסבך הדואלי מוט 3 הפך לכוח חיצוני מסבך לאחר הורדת קשתות 4’, 5’ ,6’, 7’, 8’ ו-9’ פאון

5. הקשר בין parallel drawing, דואליות, כוחות בפאות וקבוצות Assur 5.3 הקשר הדואלי בין parallel drawing ל-reciprocal. 5.4 הקשר בין parallel drawing לדואליות בין מסבכים ומכניזמים. 5.5 parallel drawing וקבוצות Assur.

5.1 parallel drawing של מבנה (Whiteley,1986) מיקום אחר של נקודות כך שמתקיים: 1. קווים הנפגשים בנקודה אחת במבנה מקורי נפגשים גם בנקודה אחת המתאימה במבנה חדש, ומישורים נחתכים במבנה מקורי נחתכים גם במבנה חדש. 2. קווים ומישורים במבנה חדש יהיו מקבילים לקווים ומישורים מתאימים במבנה מקורי. A E B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 1' 3' 4' 2' 5' 6' 7' 8' 9' Whiteley (1986): קו ב-parallel drawing שווה בגודל למהירות היחסית של המוט המתאים במבנה המקורי מוכפל בסקלר λ וניצב בכיוון.

5.2 הקשר בין parallel drawing לבבואת המהירויות B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 וקטורי המיקום החדש של הצמתים

5.2 הקשר בין parallel drawing לבבואת המהירויות B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 וקטורי המיקום החדש של הצמתים A E B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 סיבוב וקטורי המיקום ב-90° וקבלת וקטורי המהירויות של הצמתים

5.2 הקשר בין parallel drawing לבבואת המהירויות B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 וקטורי המיקום החדש של הצמתים A E B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 סיבוב וקטורי המיקום ב-90° וקבלת וקטורי המהירויות של הצמתים с b e f d a p מיקום וקטורי המהירויות בנקודה p וסימון וקטורי המהירויות באות המתאימה לצומת

5.2 הקשר בין parallel drawing לבבואת המהירויות B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 וקטורי המיקום החדש של הצמתים A E B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 סיבוב וקטורי המיקום ב-90° וקבלת וקטורי המהירויות של הצמתים с b e a f p 2'' 7'' с b e f d a p מיקום וקטורי המהירויות בנקודה p וסימון וקטורי המהירויות באות המתאימה לצומת d חיבור בין וקטורים המתאימים לצמתים המחוברים ב-parallel drawing מוט 2 מחבר בין מפרקים B ו-C לכן קו 2’’ יחבר בין צמתים b ו-c מוט 7 מחבר בין מפרקים F ו-C לכן קו 7’’ יחבר בין צמתים f ו-c

5.2 הקשר בין parallel drawing לבבואת המהירויות B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 וקטורי המיקום החדש של הצמתים A E B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 סיבוב וקטורי המיקום ב-90° וקבלת וקטורי המהירויות של הצמתים с b e a f p 1'' 3'' 4'' 5'' 6'' 8'' 9'' 2'' 7'' с b e f d a p מיקום וקטורי המהירויות בנקודה p וסימון וקטורי המהירויות באות המתאימה לצומת d חיבור בין וקטורים המתאימים לצמתים המחוברים ב-parallel drawing

קבלת בבואת המהירויות של המבנה המקורי. A E B D F C 1 2 3 4 5 6 8 7 9 מבנה המקורי 1'' 2'' 3'' 4'' 5'' 6'' 8'' 7'' 9'' с b e f d a p בבואת המהירויות

איזה משתנה ב-reciprocal מתאים למהירות הצומת ב-parallel drawing? 5.3 הקשר הדואלי בין parallel drawing ל-reciprocal איזה משתנה ב-reciprocal מתאים למהירות הצומת ב-parallel drawing? A B C D E F D A B C E F מערכות דואליות parallel drawing reciprocal מערכת קינמטית מערכת סטטית מהירות של צומת B ב-parallel drawing מתאימה לכוח בפאה B ב-reciprocal מהירות של צומת A ב-parallel drawing מתאימה לכוח בפאה A ב-reciprocal המהירויות של הצמתים ב-parallel drawing מתאימות לכוחות בפאות של ה-reciprocal הדואלי.

5.3 הקשר הדואלי בין parallel drawing ל-reciprocal 7' A B C D E F 8' 9' 2 2' D A B C E F 8 9 מערכות דואליות 1' 1 7 3 3' 5 4' 6 6' 5' 4 parallel drawing reciprocal מערכת קינמטית מערכת סטטית מהירות יחסית של חוליה 6 ב-parallel drawing מתאימה לכוח הפועל במוט 6’ ב-reciprocal הדואלי. הכוחות הפועלים במוטות של ה-reciprocal מתאימים למהירויות הקוויות היחסיות ב-parallel drawing הדואלי. מהירות יחסית של חוליה 2 ב-parallel drawing מתאימה לכוח הפועל במוט 2’ ב-reciprocal הדואלי.

5.4 הקשר בין parallel drawing לדואליות בין מסבכים ומכניזמים B' A' 2 B 3 1 A 2' 1' 3' מכניזם 2 B 3 1 A 2 B 3 1 A a b p parallel drawing מהירויות הצמתים a b p 1’ 2’ 3’ כוחות במסבך דואלי מסבך דואלי מהירות קווית יחסית בבואת המהירויות

parallel drawing 5.5 וקבוצות Assur Servatius, Shai and Whiteley (2006): אך ורק למבנה Assur קיימת קונפיגורציה מיוחדת שבה פועל מאמץ עצמיבכל המוטות שלה וכל מוט הוא נייד, דהיינו, סיבוב של כל אחד גורם לתזוזה של המבנה כולו. לכל מבנה Assur קיימת קונפיגורציה מיוחדת שניתן לבנות לה גם reciprocal וגם parallel drawing. A E B D F C 3 4 1 8 9 5 6 7 2 A E B D F C 2 3 4 1 8 9 5 6 7 מבנה Assur-טריאדה המצב הסינגולרי של טריאדה A E B F C 2 3 4 1 8 9 6 7 D 5 3' 4' 6' 8' 9' 5' 1' 7' 2' parallel drawing reciprocal

6. הרחבת דואליות בין מסבכים ומכניזמים המבוססת על תורת הגרפים למקרים לא מישוריים 6.1 שיטת Bow’s notation. 6.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך לא מישורי באמצעות Bow’s notation. 6.3 שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" של מכניזמים. 6.4 הרחבת שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" למכניזמים לא מישוריים .

6.1 שיטת Bow’s notation (Whiteley,1982) המרת מסבך למסבך אקוויוולנטי על ידי הוספת מפרק או מספר מפרקים חדשים בנקודות חיתוך של מוטות במבנה. 3 A B D C 2 6 4 1 5 E A B C D 2 3 62 4 1 51 52 61 מסבך מסבך האקוויוולנטי שיטת Bow’s notation אינה פוגעת ביציבותו של המסבך והכוחות נשארים ללא שינוי.

6.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך לא מישורי באמצעות Bow’s notation א. הפיכת מסבך לא מישורי למסבך מישורי אקוויוולנטי: F A B C D E A B C D E מסבך לא מישורי מסבך אקוויוולנטי מישורי

6.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך לא מישורי באמצעות Bow’s notation ב. בניית גרף זרימות המתאים למסבך האקוויוולנטי: A B C D E F A B C D E B D O E C A F מסבך לא מישורי מסבך אקוויוולנטי מישורי גרף הזרימות

6.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך לא מישורי באמצעות Bow’s notation ג. בניית גרף הפוטנציאלים הדואלי: I II IV V VI VII O III A B C D E F A B C D E B D O E C A F מסבך לא מישורי מסבך אקוויוולנטי מישורי גרף הזרימות גרף הפוטנציאלים הדואלי

6.2 קבלת מכניזם דואלי למסבך לא מישורי באמצעות Bow’s notation ד. קבלת מכניזם הדואלי: A B C D E A B C D E F A B C D E B D O E C A F מסבך לא מישורי מסבך אקוויוולנטי מישורי גרף הזרימות I VII V II VI IV III I II IV V VI VII O III מכניזם הדואלי גרף הפוטנציאלים הדואלי

6.3 שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" של מכניזמים 4 5 3 2 1 7 6 4 5 3 2 1 7 א. סימון פאות במכניזם: I II III O מכניזם

6.3 שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" של מכניזמים 4 5 3 2 1 7 ב. זריקה שרירותית של כוחות בפאות: I II III O 6 4 5 3 2 1 7

6.3 שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" של מכניזמים 4 5 3 2 1 7 ב. זריקה שרירותית של כוחות בפאות: 6 4 5 3 2 1 7 6 4 5 3 2 1 7

6.3 שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" של מכניזמים 4 5 3 2 1 7 6 4 5 3 2 1 7 ג. חישוב הפרשים בין כל זוג כוחות בפאות סמוכות ומציאת כוחות הפועלים במוטות:

6.3 שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" של מכניזמים 4 5 3 2 1 7 6 4 5 3 2 1 7 ג. בניית מכניזם במצב "מת": 2 1 7 3 6 4 5

6.3 הרחבת שיטת הכוח בפאה למציאת מצבים "מתים" למכניזמים לא מישוריים I V O VI IV III II 3 11 1 7 61 10 4 8 91 5 2 92 62 3 11 1 7 61 10 8 91 5 2 92 62 4 I V O VI IV III II 3 11 1 7 61 10 8 91 5 2 92 62 4 3 11 1 7 6 10 4 8 9 5 2 מכניזם לא מישורי מכניזם אקוויוולנטי מישורי זריקת כוחות בפאות I 3 11 1 7 6 10 4 8 9 5 2 מכניזם לא מישורי במצב "מת" מכניזם אקוויוולנטי במצב "מת"

7. קשר בין דואליות של מערכות מכניות המבוססת על ייצוגים גרפים FLGR ו-PLGR, דואליות מגיאומטריה פרויקטיבית ו-screw theory 7.1 דואליות בין pillar system ומכניזמים. 7.2 המשתנה הדואלי לכוח בפאה בדואליות בין FLGR ו-PLGR על בסיס הדואליות בגיאומטריה פרויקטיבית ו-screw theory. 7.3 קשר בין הדואליות המבוססת על ייצוגים גרפים FLGR ו-PLGR והדואליות בגיאומטריה פרויקטיבית ו-screw theory.

7.1 דואליות בין pillar systems ומכניזמים (Shai and Penock,2006) B A’ D’ C’ B’ A D C B A’ D’ C’ B’ pillar system מכניזם

7.1 דואליות בין pillar systems ומכניזמים (Shai and Penock,2006) 3 1

מהירויות קוויות במכניזם מתאימים למומנטים ב-pillar system. 7.1 דואליות בין pillar systems ומכניזמים (Shai and Penock,2006) מהירויות קוויות במכניזם מתאימים למומנטים ב-pillar system. A D C B A’ D’ C’ B’

איזה משתנה מתאים למהירות זוויתית מוחלטת? 7.1 דואליות בין pillar systems ומכניזמים (Shai and Penock,2006) איזה משתנה מתאים למהירות זוויתית מוחלטת? מהירות זוויתית מוחלטת מתאימה למשתנה בסטטיקה - כוח בפאה של pillar system. 1 2 3 I II III

7.2 המשתנה הדואלי לכוח בפאה בדואליות בין FLGR ו-PLGR על בסיס הדואליות הקיימת בגיאומטריה פרויקטיבית קבלת פאון ממסבך ללא סמכים II III I IV A C B D E F mIII,O mII,O mI,O mIV,O r1 r2 r4 r5 r7 r8 r3 r9 r6 F D E B A C

7.2 המשתנה הדואלי לכוח בפאה בדואליות בין FLGR ו-PLGR על בסיס הדואליות הקיימת בגיאומטריה פרויקטיבית קבלת פאון ממבנה הבנוי מלוחות וצירים F D E B A C II III IV A C B D E $III $II $I $IV r1 r2 r4 r5 r7 r8 r3 r9 r6 F

7.2 המשתנה הדואלי לכוח בפאה בדואליות בין FLGR ו-PLGR על בסיס הדואליות הקיימת בגיאומטריה פרויקטיבית סטטיקה של מסבך ללא סמכים (bar and joint framework) שקולה לקינמטיקה של מבנה בנוי מלוחות וצירים (panel structure) A C B D F E A C B D F E מסבך ללא סמכים כהיטל של פאון מבנה הבנוי מלוחות וצירים כהיטל של פאון

7.3 קשר בין הדואליות המבוססת על ייצוגים גרפים FLGR ו-PLGR והדואליות בגיאומטריה פרויקטיבית כוחות במוטות של המסבך ללא סמכים מתאימים למהירויות זוויתיות יחסיות במבנה מלוחות וצירים. D B A C IV O I II III E F O I III IV II D B A C E F IV מסבך ללא סמכים מבנה הבנוי מלוחות וצירים

מהו המשתנה הדואלי לכוח בפאה בדואליות הזו? 7.3 קשר בין הדואליות המבוססת על ייצוגים גרפים FLGR ו-PLGR והדואליות בגיאומטריה פרויקטיבית מהו המשתנה הדואלי לכוח בפאה בדואליות הזו? כוחות בפאות של המסבך ללא סמכים מתאימים למהירויות זוויתיות מוחלטות במבנה מלוחות וצירים. IV O I II III מבנה הבנוי מלוחות וצירים O I II IV III מסבך ללא סמכים

מסקנות: התגלו קשרים חדשים בין העבודות שנעשו בנושא דואליות, ועל בסיס הקשרים האלו ניתנו משמעויות חדשות לתוצאות שהתקבלו בעבר. החפיפה בין סוגי דואליות הקיימים שהתגלתה בתזה והקשרים בין הישויות השונות שדווחו בספרות הובילו לגילוי קשרים חדשים. התגלה כי מבני Assur אלה מבנים מיוחדים שלהם חשיבות רבה בתחום של דואליות. התברר כי reciprocal נותן מענה רק למבני Assur, בזמן שבדואליות בין מסבכים ומכניזמים ניתן לטפל בכל מבנה כללי. דואליות מאפשרת העברת ידע מתחום אחד לתחום אחר. דואליות מתורת הגרפים אינה מוגבלת לגרפים מישוריים.

המשך מחקר: המחקר מהווה תחילת הדרך לשילוב מבני Assur בדואליות, וניתן להרחיב על הנושא בצורה מעמיקה יותר. דואליות מתורת הגרפים אינה מוגבלת רק למבנים מישוריים, לכן ניתן להעביר ידע שפותח עבור מבנים מישוריים גם למבנים לא מישוריים. ניתן לבדוק אפשרויות ליישם שיטות וקשרים שפותחו בתחומים של קינמטיקה וסטטיקה גם בתחומים החדשים כגון, ארכיטקטורה, רפואה, ביולוגיה ועוד.

תודה רבה!