פוטנציאל חשמלי בטיול בפרק הלאומי של הסיקוויה מישהו נוכח ששערות בת הלוויה שלו סומרות. הוא צילם אותה. חמש דקות אחר כך פגע ברק במקום הזה הרג מבקר ופצע שבעה.

Παρουσίαση με θέμα: "פוטנציאל חשמלי בטיול בפרק הלאומי של הסיקוויה מישהו נוכח ששערות בת הלוויה שלו סומרות. הוא צילם אותה. חמש דקות אחר כך פגע ברק במקום הזה הרג מבקר ופצע שבעה."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 פוטנציאל חשמלי בטיול בפרק הלאומי של הסיקוויה מישהו נוכח ששערות בת הלוויה שלו סומרות. הוא צילם אותה. חמש דקות אחר כך פגע ברק במקום הזה הרג מבקר ופצע שבעה אחרים. מה גרם לשערות בת הלוויה לסמור?

2 אנרגיה פוטנציאלית חשמלית חוק הגרביטציה של ניוטון וחוק קולון הם בעלי צורה מתמטית זהה. הם קטנים לפי ריבוע המרחק. ראינו כי הכוח הגרביטציוני הוא כוח משמר ולכן גם הכוח החשמלי הוא כוח משמר. כלומר ניתן ליחס אנרגיה פוטנציאלית למערכת. המערכת עוברת ממצב התחלתי i למצב סופי f. הכוח האלקטרוסטטי עושה עבודה W על המערכת. העבודה אינה תלויה במסלול המעבר (כוח משמר) והשינוי באנרגיה הפוטנציאלית, ΔU, מוגדר:

3 מצב הייחוס של המערכת הוא כאשר כל המטענים נמצאים במרחק אינסופי אחד מהשני. באותו מצב האנרגיה הפוטנציאלית ההתחלתית U i מוגדרת כאפס. העבודה W תהיה העבודה להביא את המטענים מאינסוף. והאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת תהיה: נזכור גם שאם הכוחות הפועלים במערכת הם משמרים אז האנרגיה המיכנית נשמרת. נתייחס לכוחות החשמליים כאל כוחות מיכניים והאנרגיה של המערכת, הכוללת אנרגיה חשמלית נשמרת. אלקטרונים במולקולות האוויר נזרקים מחוץ למולקולה ע"י התנגשויות עם הקרניים הקוסמיות המגיעות מהחלל. כל אלקטרון מרגיש כוח F הפועל עליו באטמוספרה ע"י חלקיקים טעונים הנמצאים כבר בכדור הארץ. קרוב לפני כדור הארץ ערכו של השדה החשמלי הוא 150 N/C ומכוון כלפי מטה. מה השינוי ΔU באנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון כשהוא עובר מרחק של d=520 m כלפי מעלה.

4 E F d בשדה חשמלי, העבודה W נעשית על האלקטרון ע"י השדה החשמלי האנרגיה הפוטנציאלית קטנה ולכן המהירות גדלה. פוטנציאל חשמלי אילו המטען האלקטרוני בדוגמה הקודמת היה גדל פי 2 אז השינוי באנרגיה הפוטנציאלית החשמלית היה גם גדל פי 2. אם נגדיר את באנרגיה הפוטנציאלית ליחידת מטען נקבל גודל שאינו תלוי במטען החשמלי הנמצא בשדה החשמלי. הגודל הזה קרוי הפוטנציאל החשמלי או בקיצור הפוטנציאל.

5 הפרש הפוטנציאלים בין שתי נקודות i ו-f בשדה החשמלי מוגדרות כהפרשי האנרגיה הפוטנציאלית ליחידת מטען בין שתי הנקודות הללו. אם נביא מטען מאינסוף לנקודה בשדה החשמלי, U i =0 והפוטנציאל באותה נקודה יהיה [V] =J/C = Volt הפרש פוטנציאלים של 100V בין שתי נקודות היא שהשדה עושה עבודה של -100 J להעביר קולון אחד בין שתי הנקודות. בפיסיקה מיקרוסקופית משתמשים ביחידה של ev. זוהי העבודה להעביר אלקטרון אחד בין שחי נקודות שהפרש הפוטנציאלים ביניהם הוא 1v. 1ev =1.6 x 10 -19 x 1=1.6 x 10 -19 J

6 עבודה הנעשית ע"י כוח חיצוני כוח חיצוני מזיז מטען q בשדה חשמלי E מנקודה i לנקודה f. הכוח עושה עבודה W app על המטען ואילו השדה עושה עבודה W. משפט העבודה – אנרגיה קינטית נותן: המטען היה במנוחה לפני פעולת הכוח ונשאר במנוחה אחרי פעולתו. לכן ΔK = 0. עבודת הכוח החיצוני יכולה להיות חיובית, שלילית או אפס, תלוי בערכו של ΔV. משטחים שווי פוטנציאל אוסף כל הנקודות הנמצאות באותו פוטנציאל חשמלי יוצרות משטח הקרוי משטח שווה פוטנציאל. העברת מטען מנקודה אחת על המשטח לנקודה שנייה לא דורשת שום עבודה (ΔV = 0).

7 נתונה משפחה של משטחים שווי פוטנציאל. העבודה שעושה השדה החשמלי במסלולים I ו- II היא אפס כיון שהם מתחילים ומסתיימים על אותו משטח. העבודה שעושה השדה החשמלי לאורך מסלולים III ו-IV היא אותה עבודה כיון שהמסלול מתחיל ומסתיים באותם משטחים שווי פוטנציאל. ΔV = 0 ΔV = V 2 -V 1 השדה החשמלי חייב להיות מאונך למשטח שווה הפוטנציאל. אחרת היה לו רכיב מקביל למשטח והרכיב הזה היה עושה עבודה להנעת המטען על פני המשטח, הניגוד להנחה שהמשטח הוא שווה פוטנציאל.

8 משטחים שווי פוטנציאל של שדה חשמלי אחיד הם מישורים מאונכים לקווי השדה החשמלי. משטחים שווי פוטנציאל של שדה של מטען נקודתי. הם כדורים קונצנטריים שמרכזם במטען. משטחים שווי פוטנציאל של דיפול חשמלי.

9 הנערה ששערה סמר עמדה על מרפסת שהייתה באותו פוטנציאל כמו ההרים סביבה. מעליה היו עננים טעונים שיצרו שדה חשמלי סביבה וסביב ההרים שהיה מכוון ממנה כלפי ההרים. הכוח האלקטרוסטטי דחף את אלקטרוני ההולכה שלה לאדמה והיא נשארה טעונה מטען חיובי. קווי השדה החשמלי שיצר גופה ניתנים ע"י השער, ומתוך כך ניתן לתאר את המשטחים שווי הפוטנציאל. השדה החשמלי ליד ראשה יותר חזק. מוסר השכל: אם שדה חשמלי גורם לשערותיך לסמור רוץ להסתתר במקום להצטלם.

10 משטחים שווי פוטנציאל הם שווי ערך לקווי גובה במפה טופוגרפית. קווי הגובה מחברים נקודות הנמצאות באותו גובה, כלומר באותה אנרגיה פוטנציאלית. המדרון (שווה ערך לשדה החשמלי) מאונך לקווי הגובה. חישוב הפוטנציאל מהשדה החשמלי ניתן לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין שתי נקודות כאשר נתון השדה החשמלי לאורך מסלול המחבר בין שתי הנקודות. החישוב נעשה ע"י מציאת העבודה של הנעת מטען בוחן לאורך המסלול. נתון שדה חשמלי ומטען בוחן q 0 הנע לאורך המסלול מנקודה i לנקודה f.

11 שתי נקודות, i ו- f נמצאות בשדה חשמלי אחיד E. הנקודות נמצאות על אותו קו שדה. ובמרחק d אחת מהשניה. מהו הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות. מה יהיה הפרש הפוטנציאלים לאורך icf?

12 בלתי תלוי במסלול.

13 פוטנציאל של מטען נקודתי נתון מטען נקודתי ונקודה P במרחק R מהמטען. מזיזים מטען בוחן מ- R לאינסוף. הפוטנציאל באינסוף מתאפס. אם נתונים n מטענים סכום אלגברי ולא וקטורי!

14 פוטנציאל של דיפול חשמלי נתון דיפול חשמלי. בנקודה P, הרחוקה מאוד מהדיפול (r >> d), יש פוטנציאל חשמלי הנוצר ע"י שני מטענים נקודתיים ±q.

15 למולקולה כמו מולקולת מים או תחמוצת הפחמן יש מומנט דיפולי קבוע. במולקולות אלו שמרכז המטען החיובי והשלילי מוזזים אחד מהשני. למולקולות אחרות, הקרויות מולקולות לא פולריות (בלתי מקוטבות) שמרכז המטען השלילי והחיובי זהים, אין מומנט דיפולי חשמלי. הפעלת שדה חשמלי Eדוחפת את המטען החיובי לצד אחד והשלילי בכיוון הפוך. התוצאה, הפרדת מרכזי המטען החיובי והשלילי. עובדה המתבטאת במומנט דיפולי מושרה p. α היא הפולריזביליות, היא יכולה להיות טנסור מדרגה שניה אם המולקולה אינה כדורת.

16 פוטנציאל של התפלגות מטען מחלקים את המטען לאלמנטי מטען dq, מחשבים את התרומה לפוטנציאל של האלמנט הזה ומסכמים את התרומות. תרומה של אלמנט אחד סכום כל התרומות

17 1. מוט מבדד טעון נתון מוט שאורכו L הטעון בצפיפות מטען אורכית λ. מהו הפוטנציאל בנקודה P הנמצאת במרחק אנכי d מקצה המוט. מחלקים את המוט לאלמנטי מטען ובוחרים אלמנט שאורכו dx. והנמצא מרחק x מקצה המוט. המטען על האלמנט dq=λdx

18 2. דיסקה טעונה פוטנציאל לאורך הציר. נתונה דיסקה מבודדת שרדיוסה a וטעונה בצפיפות מטען שטחית σ. מהו הפוטנציאל בנקודה P בגובה z מעל מרכז הדיסקה? מחלקים את הדיסקה לטבעות שרדיוסם R’. המטען על כל טבעת a

19 אם z >>R V V

20 3. דיסקה טעונה - פוטנציאל במישור הטבעת. בדרך כלל קשה לחשב פוטנציאל בנקודה כללית שלא על ציר הסימטריה. בחישוב התוצאה מעורבים אינטגרלים אליפטיים. מקרה יוצא דופן הוא חישוב הפוטנציאל בקצה הטבעת. נתבונן ביתד שאורכה R ועוביה הזוויתי dθ. שטח הקטע המושחר dA יהיה המטען הפוטנציאל בנקודה P 2 בלתי תלוי ב-r! התרומה של כל היתד לפוטנציאל בנקודה P 2

21 יש הפרש פוטנציאלים בין מרכז הדיסקה והקצה שלה הפוטנציאל על ציר הדיסקה במרכז הדיסקה (z=0)

22 חישוב השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל ניתן להגיע לביטוי עבור השדה החשמלי מתוך ידיעת הפוטנציאל בכל נקודה. נתונה משפחה של משטחים שווי פוטנציאל הנבדלים אחד מהשני בהפרש dV,ומטען בוחן q 0 מועתק ב-ds בין שני משטחים שכנים. Ecosθ הוא רכיב E בכיוון ds אם נבחר את s לאורך הצירים

23 עבור משטח שווה פוטנציאל השדה החשמלי מאונך למשטח שווה פוטנציאל. דוגמאות 1.שדה לאורך ציר הדיסקה

24 2. דיפול חשמלי x לאורך ציר ה-z השדה אנטימקביל לדיפול.

25 חוק גאוס בצורה דיפרנציאלית לפי משפט גאוס כאשר נתון וקטור F משואת פואסון הופכת למשואת לפלס כאשר ρ=0.

26 משפט באנליזה וקטורית טוען שאם וקטור ניתן להצגה של גראדינט של פונקציה סקלרית אזי הסירקולציה שלו (ה-curl) מתאפס. הסירקולציה של שדה חשמלי אלקטרוסטטי היא תמיד אפס. חוק סטוקס dsds C A

27 בארבע מהשדות הללו הדיברגנץ מתאפס ולשלושה יש סירקולציה אפס. מיהם?

28 אין שינוי בגודל של E כאשר מתקדמים לאורכו השדה לאורך הקטע הארוך חלש יותר

29 שדה מרכזי (רדיאלי) שמקורו במרכז

30 אנרגיה פוטנציאלית חשמלית של מערכת של מטענים נקודתיים זוהי העבודה הנעשית ע"י כוח חיצוני הדרושה לאיסוף המערכת, בהבאת המטענים מאינסוף למקומם הסופי. הבאת המטען הראשון אינה דורשת עבודה. הוא יוצר פוטנציאל סביבו העבודה להבאת המטען השני העבודה להביא n מטענים

31 כאשר נתונה התפלגות מטען מביאים מטען q ןיוצרים פוטנציאל V. הבעת אלמנט מטען נוסף dq דורשת עבודה dW מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של כדור מוליך בעל רדיוס R שטעון במטען Q. טעינת הכדור במטען q יוצרת פוטנציאל

32 פוטנציאל של מוליך טעון כל מוליך, אפילו כשהוא טעון, מאופיין בכך שהשדה החשמלי E בתוכו מתאפס. המסקנה: כל מוליך הוא משטח שווה פוטנציאל והפוטנציאל בתוכו שווה לפוטנציאל על פניו. כלומר הזזת מטען בוחן בתוך המוליך אינה דורשת עבודה. דוגמה ניתנת ע"י פוטנציאל ושדה של כדור מוליך שרדיוסו 1 מטר והוא טעון במטען של מיקרוקולון.

33 במוליכים ללא צורה סימטרית, צפיפות המטען על פני השטח איננה אחידה. ליד פינות ונקודות חדות הוא יכול להיות גבוה וליינן את האוויר סביבו, עובדה המתבטאת בניצוצות. באוויר הפתוח ניצוצות אלו מקדימות סערת ברקים. המקרה זה יש לחפש מחסה, ועדיף בקליפה מוליכה כפי שמראה התמונה הבאה. הברק פוגע במכונית,ועובר לאדמה דרך הגלגל הקדמי. הנהג נשאר מוגן.

34 הכנסת מוליך, טעון או בלתי טעון, לשדה חשמלי גורמת להתחלקות מחודשת של המטען ו/או של האלקטרונים החפשים על פני שטח פני המוליך כך שהשדה החשמלי בתוך המוליך מתאפס. ההתחלקות החדשה של המטען מעוותת את הצורה המקורית של קווי השדה החשמלי. צורת העיוות נגרמת ע"י העובדה שהמוליך הופך להיות משטח שווה פוטנציאל והשדה החשמלי מאונך למשטחים שווי פוטנציאל.

35 פתרון נומרי של משוואת לפלס משפט: נתונה פונקציה V(x,y,z) המקיימת את משוואת לפלס  2 V=0. מפתחים לטור טיילור את הפונקציה V(x 0,y 0,z 0 ) סביב הנקודות (x 0 ± ,y 0,z 0 ),(x 0,y 0 ± ,z 0 ),(x 0,y 0,z 0 ±  ). הממוצע של הערכים האלו שווה לערכה של V(x 0,y 0,z 0 ). משמעות המשפט שערך הפוטנציאל החשמלי במרכז הקובייה הוא הממוצע של ערכי הפוטנציאל במרכז הפנים.

36 במישור ערכו של הפוטנציאל במרכז הריבוע הוא הממוצע של ערכיו במרכזי הצלעות נתונים שני משטחים ריבועיים שווי פוטנציאל. הם יכולים להיות חתכים של קבל המורכב משני צינורות ריבועיים. המטרה היא למצוא קרוב לערכו של הפוטנציאל בשטח בין המשטחים שווי הפוטנציאל. לשם כך יוצרים שריג של נקודות בין המשטחים. המשטח הפנימי נמצא בפוטנציאל של 100V והחיצוני ב-0V.

37 בגלל הסימטריה הריבועית מספיק לחשב את הפוטנציאל בנקודות השריג רק ברבע אחד. בשרטוט משמאל מצויר השריג הדרוש. את הפוטנציאל הדרוש מחשבים ע"י איטראציות של משפט הממוצעים a i+1 =¼(100+a i +b i +c i ) b i+1 =¼(0+a i +b i +d i ) c i+1 =¼(100+a i +d i +e i )d i+1 =¼(0+b i +c i +f i ) e i+1 =¼(c i +c i +f i +f i ) f i+1 =¼(0+d i +e i +g i ) g i+1 =¼(0+0+f i +f i ) הערכים ההתחלתיים יכולים להיקבע באקראי, אבל ידוע כי הם צריכים להיות בין 0 ל-100. ערכים סבירים יהיו a=50 b=25 c=50 d=25 e=50 f=25 g=25

38 n a b c d e f g 1 56.2 2556.25 25 37.5 25 12.5 280.859375 26.5625 54.6875 26.5625 40.625 18.75 12.533 365.52734375 33.496039. 60.51171875 25 36.71875 19.921875 9.375