Vodni udar Hidraulički (vodni) udar predstavlja znatno povećanje tlaka u cjevovodu koji se javlja kao posljedica nagle promjene brzine (npr. na nizvodnom kraju cjevovoda uslijed smanjenja otvora na zatvaraču). Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Pojava i širenje vodnog udara a) PRIJE ZATVARANJA b) NAKON NAGLOG ZATVARANJA Razlika između oscilacija vodnih masa i vodnog udara sa kinematskog stanovišta se može usporediti sa: vlak – svi vagoni se istovremeno usporavaju kolona automobila – lančani sudar Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Pojava i širenje vodnog udara (nastavak) Front poremećaja (zaustavljanja vode) se širi brzinom a : Vrijeme zaustavljanja vode u cijelom cjevovodu je definirano izrazom: U slučaju nestlačive vode i krutog cjevovoda vrijedi: TL = 0 a brzina poremećaja a = ∞. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Pretpostavke Prilikom proučavanja osnovnih jednadžbi vodnog udara (VU) će se usvojiti slijedeće pretpostavke: a) promjene volumena uslijed udara (uslijed povećanja tlaka) su male u odnosu na početni volumen b) promjene brzine su veoma nagle, tj. inercijalni član uslijed lokalnog ubrzanja je neusporedivo veći od inercijalnog člana od usputnog ubrzanja i sile trenja c) brzina strujanja v se može u odnosu na brzinu propagacije poremećaja a zanemariti. Iz ovog uvjeta slijedi da je brzina širenja poremećaja nezavisna od intenziteta i smjera strujanja osnovnog toka. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Pod pojmom “tlačni” se podrazumijevaju cjevovodi kod kojih može doći do pojave vodnog udara. Tlačni cjevovodi se mogu podijeliti u dvije osnovne skupine a) tlačni cjevovodi s malim gubicima energije ( npr. u hidroelektranama) b) tlačni cjevovod i s velikim gubicima energije (npr. za vodoopskrbu ) Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Jednadžba vodnog udara Za nestacionarno strujanje vode vrijedi Bernoullijeva jednadžba: Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Jednadžba kontinuiteta prvi član predstavlja promjenu mase u jedinici vremena u volumenu cijevi između dva presjeka, nastalu uslijed sabijanja vode i rastezanja cijevi - drugi član znači istjecanje mase iz presjeka 2 - treći član znači dotok mase u presjeku 1 Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Dinamička jednadžba koja povezuje front poremećaja i presjek zatvarača unutar malog vremenskog intervala Δt promjena brzine Δv Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

UDAR ŽUKOVSKOG odnosno: h1 piezometarska visina prije promjene brzine h2 piezometarska visina nakon promjene brzine v1 brzina prije promjene v2 brzina nakon promjene a brzina širenja vodnog udara   U slučaju potpunog trenutnog zatvaranja UDAR ŽUKOVSKOG Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Brzina širenja vodnog udara Dobiva se iz jednadžbe kontinuiteta pri čemu je: a brzina širenja poremećaja Ev Modul elastičnosti vode ρ gustoća vode Ec modul elastičnosti cijevi D promjer cijevi s debljina stijenke Brzina širenja vodnog udara u vodi je konstantna veličina za cjevovod jednolikog presjeka i materijala. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

U slučaju krutog cjevovoda (Ec→∞) brzina širenja vodnog udara Za uobičajene dnevne temperature ova brzina iznosi a=1425 m/s Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Brzine širenja poremećaja za razne cijevi Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Faze propagacije vodnog udara Početno stanje U početnom trenutku voda se kreće prema zatvaraču (v > 0) a u čitavom cjevovodu je tlak jednak p Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

b) Faza kompresije Vremenski interval 0<t<L/a u kojem granica između zone u kojoj je voda zaustavljena i zone u kojoj voda struji se kreće prema vodospremi sve dok se ne dosegne profil vodospreme. U zoni u kojoj voda miruje postoji nadpritisak Δp=ρ a Δv t=L/a Voda je u čitavom cjevovodu zaustavljena i izložena nadpritisku Δp Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

c) Faza dekompresije U intervalu L/a < t < 2L/a je voda u cijevi pod većim tlakom nego što je tlak u vodospremi pa dolazi do strujanja u smjeru prema vodospremi v < 0 što dovodi do potpunog rasterećenja Δp = 0. t=2L/a Voda u cijevi struji prema vodospremi a tlak u cijeloj cijevi je Δp = 0 Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

d) Faza podpritiska Voda koja struji u smjeru vodospreme, po inerciji želi produžiti gibanje u tom smjeru. Obzirom da je zatvarač zatvoren, tendencija da voda nastavi gibanje će uzrokovati podtlak (sisajuće djelovanje) u profilu zatvarača po će se cjevovod sažimati a voda razrjeđivati. Podtlak ima vrijednost -Δp=ρ a Δv. Val podpritiska se kreće prema vodospremi. t=3L/a Voda u čitavom cjevovodu je zaustavljena i izložena podpritisku Δp Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

e) Faza rasterećenja Smanjeni tlak omogućuje ponovno punjenje cjevovoda brzinom v u smjeru prema zatvaraču. Ispred fronta poremećaja je podpritisak Δp i brzina v = 0 a iza fronta poremećaja je brzina v i početni tlak p. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

f) t=4L/a - Povratak na početno stanje U trenutku t=4L/a je u cijeloj cijevi tlak jednak početnom tlaku p a brzina jednaka početnoj brzini v kao što je bilo prije zatvaranja zatvarača. Ciklus je dakle došao na početak i ciklusi pojedinih faza se ponavljaju na isti način kao što je to već opisano. Film: Vodni udar-CFD simulation Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Varijacije tlaka u sredini i na kraju cjevovoda Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Princip superpozicije elementarnih poremećaja Svaka promjena brzine: uzrokuje promjene tlaka: Dva uzastopna smanjenja brzine Δv1 i Δv2 koji uzrokuju odgovarajuće promjene piezometarske visine Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Primjer superpozicije dva prirasta tlaka uslijed dvije promjene brzine Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Linearni zakon promjene brzina Gjetvaj - Hidraulika 2012/13 Promjena tlaka pri linearnoj promjeni brzine

U slučaju prikazanog linearne promjene brzine vode je na osnovu geometrijskih odnosa moguće odrediti najveću vrijednost tlaka koja se javlja u cijevi. odnosno: Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Realni zakon promjene brzina v0 brzina u cjevovodu prije zatvaranja v1 brzina u cjevovodu nakon zatvaranja zatvarača u prvom intervalu τ0 h0 piezometarska visina prije zatvaranja h1 piezometarska visina nakon zatvaranja u prvom vremenskom intervalu τ0 z0 geodetska kota ispusta A0 površina poprečnog presjeka cijevi A1 površina izlaznog otvora u prvom intervalu τ0 µ0 istjecajni koeficijent koji se za problem vodnog udara može smatrati konstantnim Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

U drugom vremenskom koraku imamo pojavu negativne faze pa se može pisati Kako se u drugom i svim daljnjim intervalima refleksija udara vrši oko piezometarske kote h0 u vodospremi, stanje na kraju bilo kojeg vremenskog intervala se može pisati: Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Promjena tlaka za linearno smanjenje površine proticajnog presjeka Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Dijagram promjene tlaka za razne brzine smanjenja površine proticajnog presjeka Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Određivanje tlaka metodom karakteristika Skica modeliranog hidrauličkog sistema 1) Vodosprema je jednostavan objekt koji služi za akumuliranje vode. Usvaja se da je tlak u vodospremi konstantan. Ovaj rubni uvjet se prikazuje kao ravna horizontalna linija na Q-h dijagramu. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

2) Zasun Brzina na izlazu iz cjevovoda na kraju svakog vremenskog intervala τ0 je određena veličinom ispusnog otvora An te se može izračunati brzina u cijevi vn U svakom trenutku zatvaranja zatvarača se može usvojiti da je protok: β stupanj otvorenosti zatvarača ( β = A/A0) A0 površina potpuno otvorenog zatvarača h tlačna visina koja formira tlak vode Cd koeficijent gubitaka na zatvaraču i u sistemu - može se definirat na osnovu poznatog početnog stanja (h0 i Q0) Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Može se pisati: odnosno: pri čemu je: Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

U vremenu t = τ0, 2τ0, 3τ0, ove zavisnosti se mogu prikazati kao familija parabola Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

3) Tlačni vod (cjevovod) 3) Tlačni vod (cjevovod). Za određivanje karakteristike tlačnog voda je potrebno poznavati brzinu širenja elastičnih poremećaja u tlačnom vodu koja je definirana jednadžbom: a0 brzina propagacije elastičnog vala kroz neograničen fluid (za vodu a0=1425 m/s) s debljina stijenke cijevi D promjer cijevi (unutarnji) Ec modul elastičnosti cijevi Ev modul elastičnosti vode Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Konstrukcija karakteristike cjevovoda Nagib linija putovanja vala je definiran jednadžbom: Npr. a = 1000 m/s, A=0,5m2, => tan α ≈ 200 Odgovara a/Ag = 200, Q = 0.3, h = 60 m, tan α = h/Q = 60/0.3 = 200 Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Grafičko rješenje   Za jednostavan slučaj kada imamo cjevovod sa vodospremom i zatvaračem, potrebno je definirati tri elementa: pravac koji opisuje karakteristiku vodospreme, liniju karakteristike cjevovoda i parabole koje definiraju zatvarač. Skica modeliranog hidrauličkog sistema Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

“Rubni uvjet” “Početni uvjet” Proračun vodnog udara metodom karakteristika (grafički) Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Promjena tlaka u profilu zatvarača Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Zajedničko djelovanje oscilacija i udara Prirast tlaka u profilu zatvarača usljed oscilacije vodnih masa Prirast tlaka u profilu zatvarača uslijed vodnog udara Prirast tlaka u profilu zatvarača uslijed oscilacija vodnih masa i vodnog udara (sumarni diagram) Gjetvaj - Hidraulika 2012/13 Gjetvaj - Hidraulika 2009/10 Preuzeto iz Press/Schroder: Hydromechanik im Waserbau

Vodni udar u složenim cjevovodima  Ekvivalentni cjevovod   Za tlačni cjevovod koji se sastoji iz n dionica različitih promjera ili elastičnih svojstava, moguće je udar izračunati za ekvivalentni cjevovod (promjene nesmiju biti previše izražene) Skica složenog cjevovoda Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

EKVIVALENTNA BRZINA UDARA Iz uvijeta da je vrijeme refleksije udara jednako u stvarnom i ekvivalentnom cjevovodu (harmonijska sredina) Bez veće greške se može usvojiti i aritmetička sredina EKVIVALENTNA BRZINA VODE (se dobiva iz uvjeta ekvivalentnosti inercijalnog člana) odatle slijedi Ekvivalentni cjevovod je dakle određen ekvivalentnom dužinom L, ekvivalentnom brzinom tečenja v i ekvivalentnom brzinom propagacije vodnog udara a Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

ZAKON REFLEKSIJE VODNOG UDARA Račva prije dolaska vodnog udara Ogranak iz kojeg dolazi vodni udar zove se incidentni a njegova veličina je definirana izrazom: Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Račva nakon prolaska vodnog udara za ogranak 1 za ogranak 2 za ogranak 3 Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Jednadžba kontinuiteta Povećanje tlaka u cijevima 2 i 3 se može izraziti relativno u odnosu na veličinu udara iz incidentnog kraka koja nakon eliminacije brzina poprima oblik: Pri tome je t koeficijent prijenosa (transmisije) udara iz incidentnog kraka u ogranke 2 i 3. Slično se može odrediti i koeficijent refleksije vodnog udara za incidentni krak 1: Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Veličina koeficijenta prijenosa i refleksije ne ovisi o polaznoj brzini kao niti o smjerovima ogranaka. Za proizvoljni broj ogranaka n se može općenito pisati: Pri čemu se sa i označava incidentni krak a s indeksom j svi ogranci po redu uključujući i incidentni. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Vodni udar u zagrebačkoj vodovodnoj mreži Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Raspored tlakova na crpilištima Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Raspored tlakova u karakterističnim čvorovima mreže Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Utjecaj otpora trenja na veličinu vodnog udara Širenje vodnog udara u cjevovodu sa dominantnim utjecajem trenja Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

U stacionarnom režimu tečenja brzina u cijevi definirana je izrazom: pri čemu je sa µ označen koeficijent istjecanja koji uključuje otpore na cijeloj dužini cijevi L. U trenutku potpunog zatvaranja zatvarača tlak u profilu 2 se povećava U profilu poremećaja (putujućeg vala) je vrijednost prirasta tlaka definirana izrazom: Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

a tlak u profilu zatvarača će biti: Uz pretpostavku jednolike raspodjele brzine v1 će (dodatni) prirast tlaka u profilu zatvarača biti:   Brzina v1 se može izraziti iz dinamičke jednadžbe napisane u impulsnom obliku tako da se nakon sređivanja dobiva vrijednost prirasta tlaka a tlak u profilu zatvarača će biti:  Najveći prirast tlaka se javlja kad se udar povrati reflektiranjem od vodospreme tj. za x = 2L Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Prirast tlaka sa uzimanjem u obzir linijskih gubitaka Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Fizikalni model vodnog udara Dovod vode Zračni kotlić Tlakomjer Zasun Tlačni cjevovod Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

FILM: Q1,Q2,.. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Naglo otvaranje cjevovoda Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Stacionarna brzina istjecanja Povećanje brzine, trebalo bi pratiti opadanje tlaka što je više nego što je početni tlak h0 tako da je razlika znatno veća od napona vodenih para hv. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Kako se radi o istjecanju u atmosferu s tlakom p0 = 0 najveći pad tlaka može biti jednak h0 što daje maksimalnu brzinu u početku istjecanja Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Proračun naglog otvaranja Proračun naglog otvaranja pomoću Schnyder-Bergeronove metode Gjetvaj - Hidraulika 2012/13 Preuzeto iz Press/Schroder: Hydromechanik im Waserbau

Prekid vodnog stupca Prekid vodnog stupca nastaje kad tlak vode padne na napon vodenih para( npr. naglo otvaranje zasuna). Iako se odmah nakon otvaranja uspostavlja relativno mala brzina, pomicanje čela udara uzvodno izaziva podtlak. U trenutku kada tlak padne na napon vodenih para, voda prelazi u plinovito stanje, pa se umjesto strujanja vode u tom dijelu formira strujanje fluida sačinjenog od mješavine vode i vodenih para. Kada se elastični poremećaji šire kroz smjesu zraka i vode, jednadžbe stanja odnosa temperature, gustoće i tlaka postaju različite od jednadžbi usvojenih kod računanja elastičnih poremećaja u vodi, pa tako odnosi izvedeni za vodni udar u ovom slučaju više ne vrijede. Gjetvaj - Hidraulika 2012/13

Oscilacije vodnih masa i vodni udar Prirast tlaka u profiluzatvarača Usljed oscilacije vodnih masa Prirast tlaka u profilu zatvarača uslijed vodnog udara Prirast tlaka u profilu zatvarača Uslijed oscilacija vodnih masa i vodnog udara (sumarni diagram) Preuzeto iz Press/Schroder: Hydromechanik im Waserbau Gjetvaj - Hidraulika 2012/13