Regresijos modelio matematinė išraiška 2017-03-28 1. Gujarati D.N. Basic Econometrics. 6 chapter. Extension of the Two Variable Linear regression Model. McGraw-Hill Inc, 1995. 2005 ir kt leidimai

Paskaitos dalys Porinės regresijos kintamųjų priklausomybės matematinė išraiška Dauginės regresijos kintamųjų matematinė išraiška Regresinio modelio skaičiavimo rezultatų pateikimas

Porinio regresinio modelio matematinė išraiška

Tiesinis modelis Yi=β0 + β1Xi +εi a Vienetinis pokytis Y β1>0 β1 Elastingumas: β1<0 β0 X

Pusiau logaritminis modelis (lin –log) Yi= β0 + β1lnXi +εi vi=Yi zi=lnXi vi= β 0 + β1zi + εi Vienetinis pokytis β1>0 Elastingumas E= β1<0

vi=ln(Yi) zi=Xi β’0=ln(β0) Eksponentinis modelis (log-lin) lnYi=ln(β0) + β1Xi + εi vi=ln(Yi) zi=Xi β’0=ln(β0) vi =β’0 + β1zi + εi Y β1>0 β Vienetinis pokytis β1Yi Elastingumas β1<0 E= X

Pvz. Vertinimo funkcija Tiesinė- eksponentinė-logaritminė

Hiperbolinis modelis (Atvirkštinis) Yi=β0 + β1/Xi +εi vi= Yi zi=1/Xi vi= β0 + β1zi + εi Vienetinis pokytis Elastingumas E= Y β1>0 β0<0 Y β0>0 β1>0 β0 β0>0 β1<0 -β0- X X

Laipsninis modelis (Log-Log) Yi=β0 (X i)β1expεi ln(Yi)=ln(β0) + β1ln(Xi) + εi vi= ln(Yi ) zi=ln(Xi ) β0’=ln(b0) vi = β’0 + β1zi + εi Vienetinis pokytis b β1>1 0<β1<1 Elastingumas β<0 E=

Kvadratinė funkcija Yi=β0 + β1Xi + β12Xi2 +εi y x Vienetinis pokytis Elastingumas x

Džonsono modelis (Log-Hip) lnYi=β0 - β1/Xi +εi vi= ln(Yi ) zi=1/Xi vi= β0 - β1zi + εi Vienetinis pokytis Y Elastingumas β1 >0 E= X

Modelių taikymo pavyzdžiai Hiperbolinis modelis

Matematinė modelio išraiška Netiesinis kintamojo X atžvilgiu Tiesinis koeficientų atžvilgiu

Kai X neaprėžtai didėja: artėja prie 0; Y artėja prie asimptotinės reikšmės β1.

Vienetinis pokytis ir elastingumas Interpretacija: X pakitus 1vnt., Y pakinta vnt. Elastingumas: Interpretacija: X pakitus 1%, y pakinta %.

Taikymas mikroekonomikoje: pastoviųjų kaštų ir gamybos apimties ryšys Gamyba Vidutiniai pastovieji kaštai

Taikymai (1): vaikų mirtingumo ir BNP 1 gyventojui ryšys

Taikymai (2): Filipso kreivė Natūralus nedarbo lygis Nedarbas Atlyginimų pokyčio tempas, %

Taikymai (2): Filipso kreivė

Taikymai (3): Engelio išlaidų kreivė įplaukų slenkstis vartojimo persisotinimas

Log hiperbolė arba logaritminis atvirkštinis modelis Y X

Eksponentinis modelis

Thomas Robert Malthus (1766-1834 m.) Pirmasis suvokė, kad bet kokių rūšių skaičius gali potencialiai augti skaičiumi, kintančiu pagal geometrinį nuoseklumą. Pvz.: Jei rūšys turi nesutampančias populiacijas (pvz.: kasmetiniai augalai) ir kiekvienas organizmas palieka R palikuonių, populiacijos skaičius N kartose t=0,1,2,... yra lygus: N1=N0×R Nt =N0×Rt Kai t yra didelis, tai ši formulė gali būti prilyginta eksponentinei funkcijai: Nt=N0×exp(r×t)=N0×ert 1 pav., T. R. Malthus

Gyventojų skaičiaus augimas 7 pav.

Eksponentinio augimo pavyzdžiai Biologijoje: Mikroorganizmų skaičiaus augimas Virusų plitimas Žmonių populiacijos augimas Kompiuterių technologijose: Kompiuterių apdorojimo galia (tranzistorių skaičiaus augimas) Interneto ryšio vartotojų skaičiaus augimas Investavime „70” taisyklė Fizikoje: Branduolinė reakcija ir kt. 6 pav. Branduolinė grandininė reakcija

9 pav. Informacijos perdavimo greičių augimas

10 pav. Naudojimosi kompiuteriais eksponentinis augimas

“70” taisyklė Dažniausiai naudojama investavime. 12 pav. Dažniausiai naudojama investavime. Parodo, per kiek laiko indėlis padvigubės, esant pastoviam augimo tempui. Norėdami sužinoti, per kiek laiko indėlis padvigubės, 70 daliname iš grąžos normos. 70≈ln2×100% 110 ≈ln3×100% X ašis – grąžos norma Y ašis – laikas, per kurį indėlis padvigubėja.

Augimo tempas (% per metus) Padvigubėjimo laikas (metais) 0.1 700 0.5 140 1 70 2 35 3 23 4 18 5 14 6 12 7 10 13 pav. 14 pav.

Šachmatų lenta ir ryžiai (1) 15 pav. Kartą Persijos karalius dovanų gavo rankų darbo šachmatų lentą. Paklausęs meistro, padariusio lentą, kokio atpildo jis norįs, šis atsakęs, jog norėtų: vieno ryžių grūdelio ant pirmo šachmatų langelio; dviejų – ant antro; keturių – ant trečio ir t.t. * Šachmatų lentoje yra 8×8=64 langeliai

Šachmatų lenta ir ryžiai (2) Galiausiai viso pasaulio ryžių nebūtų užtekę, norint patenkinti dvariškio prašymą... Karalius liko be savo karalystės...☺ 16 pav.

Laipsninis modelis (Log–Log) Donata Jaglinska Sandra Radionovaitė,

Vi= β,0+ β1zi+ εi Laipsninis modelis (Log – Log) Yi=β0(Xi)β1expεi ln(Yi)=ln(β0)+ β1ln(Xi)+εi Vi= ln(Yi) zi=ln(Xi) β,0= ln(β0) Vi= β,0+ β1zi+ εi

Pastovaus elastingumo modelis (1) Y b) Kintamieji X ir Y transformuojami į logaritminę skalę Y=β0Xi-β1 lnY lnY=lnβ0 -β1lnXi X a) Paklausos funkcija koeficientas β1įvertina paklausos elastingumą kainai: β1<0 lnX

Pastovaus elastingumo modelis (1) Laipsninis modelis dažnai vadinamas pastovaus elastingumo modeliu, kadangi elastingumo koeficientas tarp X ir Y (β1) visąlaik išlieka pastovus, nesvarbu, kuriame taške jį skaičiuotume. Paklausos funkcijos atveju pastovaus elastingumo modelis parodo pastovų kiekio pokytį esant duotam procentiniam kainos pokyčiui, nepaisant absoliutaus kainų lygio.

Gamybos funkcija – laipsninio modelio pavyzdys Pastovaus elastingumo substitucinė gamybos funkcija – CES (angl.constant elasticity of subtitution): log(V/L)=logβ0+β1logW+ε kur V/L – pridėtinė vertė, tenkanti 1 darbo vienetui; L – darbo sąnaudos; W – realusis darbo užmokestis. Ši funkcija įvertina pakeičiamumo tarp darbo ir kapitalo sąnaudų elastingumą, kurį parodo parametras β1.

Gamybos funkcija – laipsninio modelio pavyzdys Cobb-Douglas (substitucinė) gamybos funkcija: Y=f(K,L) K – kapitalas; L –darbas. Y = KαL1-α α – kapitalo lyginamasis svoris; 1- α – darbo lyginamasis svoris.

Pastovaus elastingumo modelis (2) lnYi = lnβ0 + β1lnXi Yi = β0Xiβ1 β1>1 Transformacija į logaritminę skalę, logaritmuojant abu kintamuosius

Jurgita Petkelytė Akvilė Ignotaitė Kvadratinė funkcija Jurgita Petkelytė Akvilė Ignotaitė

Koeficientas β12 y x Kai β12>0, tai šakos kyla į viršų; Lūžio taškas – maksimali Y reikšmė Kai β12<0, tai šakos leidžiasi žemyn Lūžio taškas – minimali Y reikšmė y Siuo atveju bi parodo kaip keičiasui y absoliuti reikšmė, kai x pakinta vienu procentiniu punktu x

Ribinių kaštų kreivė Mikroekonominis pavyzdys

Laferio kreivė Makroekonominis pavyzdys

Logaritmuotų kintamųjų įverčių interpretacija Funkcija Matematinė išraiška Interpretacija Lin-log β1 /100 - parodo, kiek vienetų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 procentu Log-lin 100. β1 - parodo, kiek procentų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 vienetu Log-log β1 - parodo, kiek procentų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 procentu Log-atvirkšt. 100. β1 ∙(-1/X2) - parodo, kiek procentų pasikeičia Y, jeigu X pakinta 1 vienetu

Ln naudojimo ypatumai regresiniuose modeliuose Išlygina duomenų sklaidą Netiesinę veiksnių saveiką pakeičia tiesine Logaritmuojant absoliutūs pokyčiai pakeičiami procentiniais pokyčiais

Pvz. Studento ūgio priklausomybė nuo motinos ūgio

Pvz. Studento ūgio priklausomybė nuo tėvo ūgio

Dauginės regresijos kintamųjų matematinė išraiška Dauginės regresijos priklausomas kintamasis į regresijos lygtį dažniausiai įtraukiamas tiesine arba logaritmine forma Dauginės regresijos nepriklausomi kintamieji į regresijos lygtį gali būti įtraukiami tiesine, atvirkštine, laipsnine arba logaritmine forma Nepriklausomi kintamieji regresijos lygtyje gali būti skirtingų matematinių formų Fiktyvūs (pseudo-kintamieji) į regresijos lygtį įtraukiami tik tiesine forma

Dauginės regresijos kintamųjų matematinė išraiška (PVZ) Tiesinė priklausomybė Adj R2= 0,27 Log-log priklausomybė Adj R2= 0,28 Log-lin priklausomybė Adj R2= 0,27 Lin-log priklausomybė Adj R2= 0,27

Matematinė modelio formos parinkimo kriterijai Priklausomas kintamasis tos pačios matematinės formos Lyginti koreguotus determinacijos koeficientus Priklausomas kintamasis skirtingos matematinės formos Taikome Zarembka testą

Zarembka testas Tarkim turime dvi regresijas: Box-Cox transformacija Palyginame determinacijos koeficientus R2 dviejų regresijos lygčių ir Didesnis determinacijos koeficientas parodo, kuri matematinė forma geriau aprašo priklausomybę.

Papildomos analizės galimybės Veiksnių įtakos poveikio palyginimas (standartizuotų kintamųjų regresija) Pokyčių analizė Struktūrinių pokyčių analizė

Pokyčių naudojimo ypatumai Tik laiko eilučių duomenims Išeliminuoja vienetinę šaknį, t.y, augimo trendą. Mažesnė melagingos koreliacijos tikimybė. Patikimesnis sąryšio įvertinimas

Papildomos analizės galimybės Struktūrinių pokyčių analizė Chow testas H0 struktūrinis stabilumas HA struktūrinis pokytis Testo statistika: Hipotezės atmetimo taisyklė; Chow_stat >F( α,k, n1+ n2+2k) Atmetama H0