Μαθηματικά και Τέχνη Σε απόλυτη συμφωνία Ντούνης Κωνσταντίνος Ντούνης Πέτρος Παπακωνσταντίνου Γιάννης Παπαμιχάλη Μαρία Παυλίδου Γεωργία Ράπτης Αλέξανδρος Σιδηρουργός Ιωάννης Σινγκ Σαρτζίβαν Στρατάκη Ελπίδα Ψίλα Άννα Αθανασίου Χρήστος Βασιλείου Δέσποινα Βλάχος Θεόδωρος Βλάχος Παναγιώτης Γεωργάκης Άγγελος Γούλα Ευστρατία Δημητροπούλου Γεωργία Καλιωράκης Γιώργος Μουχαμετάι Κατερίνα Καραμήτρος Αθανάσιος

Μαθηματικά και Τέχνη: η Σχέση Πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι τα μαθηματικά και η τέχνη είναι ξεχωριστά: τα μαθηματικά απρόσωπα και ακριβή και η τέχνη συναισθηματική και ανακριβής. Στην πραγματικότητα, τα δύο συνδέονται περισσότερο ως συνεργασία παρά ως σύγκρουση.

Μαθηματικά και Τέχνη: Κοινά σημεία Αναλογίες Μοτίβα Προοπτική Συμμετρία Άπειρο και Όρια

Χρυσή Τομή Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του όλου ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο. Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το γράμμα φ.

Χρυσή Τομή Ο ορισμός του φ οδηγεί στην ακόλουθη εξίσωση, αν η γραμμή χωριστεί σε μέρη μήκους α και β: Έτσι προκύπτει: Ορίζοντας το φ ίσο με το κλάσμα α/β και λύνοντας την εξίσωση, δείχνει ότι το φ λύνει την δευτεροβάθμια εξίσωση: Λύνοντάς την, και παίρνοντας μόνο τις θετικές τιμές του φ προκύπτει:

Χρυσό Ορθογώνιο Χρυσό Ορθογώνιο λέγεται κάθε ορθογώνιο όταν ισχύει ότι: Η αναλογία του μήκους του προς το πλάτος του είναι ίση με φ Για τα χρυσά ορθογώνια ισχύουν τα παρακάτω: Αν φτιάξεις το μεγαλύτερο τετράγωνο που μπορείς από ένα χρυσό ορθογώνιο παίρνεις ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο. Αν φτιάξεις ένα τετράγωνο από τη μεγαλύτερη πλευρά του, παίρνεις ένα μεγαλύτερο ορθογώνιο. Και οι δύο κατασκευές μπορούν να συνεχιστούν επ’ άπειρον.

Fibonacci Ο Fibonacci, ίσως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα στήριξε αρκετές από τις θεωρίες και τα επιτεύγματά του στη χρυσή τομή. Έγινε ευρέως γνωστός μέσα από την ακολουθία Fibonacci, κατά την οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγουμένων. Φυσικά ,ο λόγος ενός αριθμού της ακολουθίας προς τον προηγούμενο του, τείνει προς έναν αριθμό, τη χρυσή τομή. .

Η ακολουθία Fibonacci συναντάται σε διάφορες πτυχές της ζωής μας Η ακολουθία Fibonacci συναντάται σε διάφορες πτυχές της ζωής μας. Για παράδειγμα: Κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια, κάθε ένα από τα οποία έχει 5 δάχτυλα, κάθε δάχτυλο αποτελείται από 3 τμήματα που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις. Όλοι αυτοί οι αριθμοί ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.

Χρυσή Τομή στην Φύση Τα περισσότερα πράγματα στη φύση είναι κατασκευασμένα βάση της χρυσής τομής:

Χρυσή Τομή στην Τέχνη Τα πιο αρεστά, διαχρονικά έργα τέχνης, έχουν την βάση τους στην Χρυσή Τομή:

Ομοιόμορφα Ανομοιόμορφα Πολλαπλά Μοτίβα Άλλο ένα κοινό της τέχνης και των μαθηματικών είναι τα μοτίβα. Αυτά συνήθως είναι πλακάκια ή ψηφιδωτά που αποτελούν ένα επίπεδο έργο τέχνης. Πολλοί καλλιτέχνες έχουν γοητευτεί πολλοί από αυτά όπως ο M.C. Escher. Ομοιόμορφα Ανομοιόμορφα Πολλαπλά

Μοτίβα στην Αρχιτεκτονική

Μοτίβα στην Τέχνη Ένα είδος έργων τέχνης στο οποίο χρησιμοποιούνται μοτίβα είναι αναμφίβολα το ψηφιδωτό Είναι αδύνατο να επιχειρήσει κανείς να περιγράψει όλα τα διακοσμητικά θέματα που απαντώνται στα παραδοσιακά υφαντά.

Μοτίβα από τον M.C. Escher Ήταν επίσης γοητευμένος και από τη συμμετρία.

Συμμετρία Γενικότερα, συμμετρία ονομάζεται η διάταξη των μερών ενός πράγματος με τρόπο τέτοιο που να αντιστοιχεί το κάθε τμήμα στο ομόλογό του όσον αφορά τη μορφή, τις διαστάσεις κλπ ώστε να επιτευχθεί η αρμονική αναλογία. Συμμετρία συναντούμε ακόμα και σε πράγματα που δεν φανταζόμαστε όπως τη μουσική, τη λογοτεχνία, την κεραμική, τη βιολογία, τη φυσική και φυσικά παντού γύρω μας στη φύση. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι τα κελιά μελισσών που είναι κανονικά εξάγωνα: οι μέλισσες προτιμούν αυτό το σχήμα διότι είναι εκείνο που δίνει το μεγαλύτερο εμβαδόν με την μικρότερη περίμετρο.

Γεωμετρικά Άλυτα Κατά την αρχαιότητα υπήρχαν 3 προβλήματα που απασχολούσαν τους Αρχαίους καθώς δεν μπορούσαν να βρουν λύση: Ο τετραγωνισμός του κύκλου Η τριχοτόμηση της γωνίας Ο διπλασιασμός του κύβου Και θεωρούνται άλυτα καθώς δεν μπορούν να επιτευχθούν με τη χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη.

Αριθμός π Η σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Στο πέρασμα των αιώνων καταβλήθηκαν προσπάθειες από σπουδαίους διανοητές για να προσδιοριστεί μια «ακριβής» τιμή για το π, όμως μόνο προσδιοριστικά βρίσκουμε την τιμή του.

Ιδιότητες του αριθμού π Το π είναι ένας άρρητος αριθμός, αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακέραιων αριθμών. Το π είναι επίσης υπερβατικός αριθμός δηλαδή δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές του οποίου να αποτελεί ρίζα το π. Η σπουδαιότητα του π είναι τόσο μεγάλη που οι μαθηματικοί τη γιορτάζουν κάθε 14/3 και σύμφωνα με τους Αμερικάνους που διαβάζουν πρώτα το μήνα και μετά τη μέρα 3/14 (όπως π=3,14). Επίσης στην Ευρώπη τη γιορτάζουν και κάθε 22/7 αφού 22 δια 7 είναι 3,14 .

Το π στην τέχνη Το σύμβολο του π βρίσκεται σε ρούχα, κουμπιά, μανικετόκουμπα, φλιτζάνια, πιάτα κα To π κάνει την εμφάνισή του στον κινηματογράφο: «Torn Curtain» (Το σχισμένο παραπέτασμα) του Alfred Xitchcock «Το π» «Η επαφή» (Contact)

Η 4η Διάσταση Ο όρος «διάσταση» χρησιμοποιείται ευρέως στην επιστήμη και την τεχνολογία, αλλά και στην καθημερινή μας ζωή. Στα μαθηματικά, η «Διάσταση» είναι ένας γεωμετρικός τρόπος αναφοράς σε μια μεταβλητή. Υπό αυτή την έννοια, υπάρχουν χώροι 1, 2, 3, 4…….ή 101 διαστάσεων.

Η 4η Διάσταση στην Τέχνη Η έννοια της 4ης διάστασης απασχόλησε την κοινή γνώμη ήδη από τον 19ο αιώνα. Πλήθος λογοτεχνικών έργων γράφτηκαν («Η μηχανή του χρόνου», «Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων», «Flatland», «Flaterland» κα), αλλά και πολλοί ζωγράφοι ασχολήθηκαν με αυτή (Picasso, Duchamp, Dali κα).

Άπειρο Μία έννοια που από πολύ παλιά προβληματίζει τους ανθρώπους είναι η έννοια του απείρου. Αυτό συμβαίνει διότι οι άνθρωποι αδυνατούν να εκλάβουν ως ιδέα πως κάτι είναι άπειρο, (απείρως μικρό ή απείρως μεγάλο) χωρίς τέλος.

Κάποιοι προσπάθησαν να το εξηγήσουν με παραδείγματα, όπως ο Hilbert που παρουσίασε ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια και άπειρους επισκέπτες, ή όπως ο Ζήνωνας με τα περίφημα παράδοξά του. Με την εμφάνιση του απειροστικού λογισμού, οι επιστήμονες προσπάθησαν να βρουν κάποιους τρόπους κατανόησης αυτής της έννοιας

Το άπειρο στην τέχνη Με την έννοια του απείρου ασχολήθηκε ο M. C. Escher Το άπειρο εμφανίζεται και στη γεωμετρία των Fractals

Επίλογος Μπορεί τα μαθηματικά να φαίνονται ψυχρά και απομακρυσμένα από την πραγματικότητα, δίνουν όμως απαντήσεις και μας αποκαλύπτουν με τεράστια επιτυχία τα φαινόμενα του κόσμου που μας περιβάλλει

Σας ευχαριστούμε