3. ακριβείς δ.ε. 1ης τάξης

Ορισμός 1 Δίνεται η συνάρτηση h:AR:(x,y)u=h(x,y), AR2, η οποία είναι διαφορίσιμη(*) σε κάποια ορθογώνια περιοχή DΑR2. Ολικό Διαφορικό (ή Τέλειο ή Ακριβές) της συνάρτησης με τύπο u=h(x,y), λέγεται η (διαφορική) έκφραση (*)διαφορίσιμη συνάρτηση : υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι F/x, F/y και είναι συνεχείς συναρτήσεις στο DR2.

Τέλειο ή Ολικό ή Ακριβές Διαφορικό Ορισμός 2 Η διαφορική έκφραση P(x,y)dx+Q(x,y)dy (όπου P(x,y), Q(x,y) είναι συναρτήσεις δύο μεταβλητών με συνεχείς μερικές παραγώγους σε κάποια ορθογώνια περιοχή D του R2) λέγεται Τέλειο ή Ολικό ή Ακριβές Διαφορικό αν και μόνο αν υπάρχει μια συνάρτηση με τύπο z=F(x,y) η οποία είναι διαφορίσιμη στην περιοχή D του R2 τέτοια ώστε

Συμπέρασμα Η διαφορική έκφραση P(x,y)dx+Q(x,y)dy λέγεται Τέλειο (Ολικό, Ακριβές) Διαφορικό αν και μόνο αν υπάρχει μια συνάρτηση με τύπο z=F(x,y) η οποία είναι διαφορίσιμη σε κάποια ορθογώνια περιοχή D του R2 τέτοια ώστε το Ολικό Διαφορικό της να είναι dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

Θεώρημα 3 Αν οι συναρτήσεις z1=P(x,y), z2=Q(x,y) είναι διαφορίσιμες, σε κάποια ορθογώνια περιοχή DΑR2, τότε η διαφορική έκφραση P(x,y)dx+Q(x,y)dy είναι Τέλειο Διαφορικό, αν και μόνο αν P(x,y)/y = Q(x,y)/x για κάθε (x,y)DR2.

ακριβείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης Ορισμός: Μία ΣΔΕ 1ης τάξης λέγεται Ακριβής ή Πλήρης ή Τέλεια δ.ε. όταν στην διαφορική της έκφραση P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) το αριστερό μέρος είναι Τέλειο Διαφορικό, δηλαδή, αν υπάρχει συνάρτηση z=F(x,y) τέτοια ώστε Παρατηρήσεις : από την (1) προκύπτει ότι και από το θεώρημα 3 ότι

της Ακριβούς δ.ε. 1ης τάξης επίλυση Από την (2), έχουμε dF(x,y)=0, και με μια απλή ολοκλήρωση παίρνουμε ότι F(x,y) = c, cR (4) Πάλι από την (2) έχουμε ότι, F/x=P(x,y). Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη ως προς x, όπου g(y) είναι αυθαίρετη συνάρτηση (μόνο) του y. Διευκρίνιση:

Παρατήρηση: Το δεξί μέρος της (6) είναι συνάρτηση (μόνο) του y !!! Έχουμε λοιπόν, Στη συνέχεια και για να προσδιορίσουμε την άγνωστη συνάρτηση g(y) της (5) υπολογίζουμε την μερική παράγωγο της F(x,y) ως προς y, από την σχέση (5) ως εξής: Όμως πάλι από την (2) έχουμε Επομένως, ισχύει η σχέση Παρατήρηση: Το δεξί μέρος της (6) είναι συνάρτηση (μόνο) του y !!!

αφού, από το θεώρημα 3 ισχύει η σχέση Πράγματι, αρκεί να αποδείξουμε ότι, αφού, από το θεώρημα 3 ισχύει η σχέση P(x,y)/y = Q(x,y)/x

γενική λύση! Επομένως, από την (6) προκύπτει ότι, Αντικαθιστούμε την (7) στην (5) και έχουμε: Από (4) και (8) προκύπτει ότι : γενική λύση!

Άσκηση: Να λυθεί η ΣΔΕ 1ης τάξης (3x2y2+2x2)dx+(2x3y+y2)dy=0 Λύση: P(x,y)=3x2y2+2x2 και Q(x,y)=2x3y+y2 P(x,y)/y=/y(3x2y2+2x2)=6x2y Q(x,y)/x=/x(2x3y+y2)=6x2y και συνεπώς η δ.ε.είναι Τέλεια. Επομένως, υπάρχει συνάρτηση με τύπο z=F(x,y) τέτοια ώστε Από την σχέση

Αντικαθιστάμε την τιμή της g(y) στην (α) και έχουμε: Επιπλέον, 12

γενική λύση! Από (b) και (c) προκύπτει η γενική λύση της δ.ε.: Παρατήρηση : η συνάρτηση y=y(x) ορίζεται έμμεσα μέσα από την παραπάνω εξίσωση 13

διάλειμμα - interval 14

Ολοκληρωτικός Παράγοντας Πολλαπλασιαστής Euler 4. μη-ακριβείς δ.ε. 1ης τάξης Ολοκληρωτικός Παράγοντας ή Πολλαπλασιαστής Euler 15

μ: DR-{0}: (x,y)μ=μ(x,y), AR2, μP(x,y)dx + μQ(x,y)dy = 0 (2) Δίνεται η Διαφορική Μορφή της ΣΔΕ 1ης τάξης P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) όπου οι συναρτήσεις P(x,y) και Q(x,y) έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε κάποια ορθογώνια περιοχή DΑR2 και για την οποία ισχύει P(x,y)/y  Q(x,y)/x Στην περίπτωση αυτή μετατρέπουμε την (1) σε μια Ακριβή δ.ε. με την χρήση του Ολοκληρωτικού παράγοντα ή του Πολλαπλασιαστή Euler, μ=μ(x,y) Ορισμός 3 Ολοκληρωτικός παράγοντας ή Πολλαπλασιαστής Euler, λέγεται μια συνάρτηση μ: DR-{0}: (x,y)μ=μ(x,y), AR2, η οποία είναι διαφορίσιμη στο D τέτοια ώστε η δ.ε. μP(x,y)dx + μQ(x,y)dy = 0 (2) να είναι Ακριβής.

(ii) προσδιορίζουμε την Γενική Λύση της μP(x,y)dx + μQ(x,y)dy = 0 (2) Επίλυση: (i) Έχουμε (ii) προσδιορίζουμε την Γενική Λύση της μP(x,y)dx + μQ(x,y)dy = 0 (2) για την οποία ισχύει μP(x,y)/y = μQ(x,y)/x (iii) Η Γενική Λύση της (1) ταυτίζεται με την Γενική Λύση της (2) αφού οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες (έχουν δηλαδή τις ίδιες ακριβώς λύσεις). 17

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ του Ολοκληρωτικού Παράγοντα μ(x,y)  Υπολογίζουμε πρώτα την συνάρτηση Μόνο του x, f(x,y)=r(x) Όχι μόνο του x Όχι μόνο του y Επιλύουμε την (2) Μόνο του y, f(x,y)=h(y) Επιλύουμε την (2) αλλιώς Μόνο του x+y, f1(x,y)=g(x+y) Μόνο του xy, f1(x,y)=q(xy) Επιλύουμε την δ.ε. χmynP(x,y)+xmynQ(x,y)=0 Επιλύουμε την (2) Επιλύουμε την (2) 18

Άσκηση: Να λυθεί η ΣΔΕ 1ης τάξης (2x2+y2+x)dx+xydy=0 και στη συνέχεια να βρεθεί η ολοκληρωτική καμπύλη της παραπάνω δ.ε. που διέρχεται από το σημείο Α(1,1) Λύση: Επειδή, P(x,y)/y=2y, Q(x,y)/x=y και εν γένει 2yy (εκτός από την περίπτωση y=0), έπεται ότι η δ.ε. δεν είναι Ακριβής! Υπολογίζουμε την

 Επειδή f(x,y)=r(x) έπεται ότι ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι  για την τιμή c=0, η συνάρτηση μ γίνεται μ=μ(x)=|x|0  σχηματίζουμε την δ.ε.  Αν x>0, τότε η (1) γίνεται  Αν x<0, τότε η (1) γίνεται 20

 Τελικά, η (1) έχει την μορφή η οποία είναι μια Ακριβής δ.ε. Πράγματι, και συνεπώς υπάρχει συνάρτηση F(x,y) τέτοια ώστε Επομένως, και επιπλέον, 21

Πρέπει στη συνέχεια να προσδιορίσουμε την συνάρτηση g(y) Από την σχέση και από την (4) προκύπτει ότι Η εξίσωση (4) γίνεται Τελικά, από (3) και (5) προκύπτει η Γενική Λύση της δ.ε. 22

Για τις αρχικές συνθήκες x=1, y=1 έχουμε, και συνεπώς η ολοκληρωτική καμπύλη της δοθείσας δ.ε. που διέρχεται από το σημείο Α(1,1) είναι 23

γενική λύση! 24

διάλειμμα - interval 25