F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 συνθήκες σε μια συνήθη δ.ε. F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 Πρόβλημα Αρχικών Τιμών οι συνθήκες δίνονται μόνο σε ένα σημείο x=x0 του θεμελιώδους πεδίου Ω της ΣΔΕ Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών οι συνθήκες δίνονται σε διαφορετικά σημεία του θεμελιώδους πεδίου Ω της ΣΔΕ 1

Άσκηση1. : Δίνεται η δ.ε. y΄ = 2x 1. Να βρεθεί η γενική λύση της δ.ε. 2. Να γίνει η γραφική παράσταση της γ. λύσης 3. Να προσδιοριστεί μια λύση της δ.ε. τέτοια ώστε για x=2, y=-3 Λύση: 2

Λύση: μονοπαραμετρικη οικογένεια καμπύλων στο επίπεδο y=x2 y=x2+10 y=x2+100 B(0,100) Ο(0,0) Α(0,10) y=x2-50 Δ(0,-10) y=x2-10 y=x2-500 Ε(0,-500) Γ(0,-50) y=x2+500 Η(0,1000) y=x2+1000 Θ(0,-500) Λύση: μονοπαραμετρικη οικογένεια καμπύλων στο επίπεδο 3

3. Πρόβλημα αρχικών τιμών ή Πρόβλημα Cauchy: Να βρεθεί μια λύση της y΄ = 2x που να ικανοποιεί τις συνθήκες: x=2, y=-3 ισοδύναμα: Να βρεθεί ποια καμπύλη διέρχεται από το σημείο Α(2,-3) σημείο Α(2,-3) 4

η συνάρτηση y=x2-7 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. y΄= 2x Απάντηση: Στην γενική λύση της δ.ε. δίνουμε τις τιμές x=2 και y=-3 και προσδιορίζουμε την τιμή του σταθερού όρου, δηλαδή, -3 = 22 + c  c = -7 Τελικά, μερική λύση της δ.ε. είναι: y = x2-7 Β(0,-7) Α(2,-3) η συνάρτηση y=x2-7 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. y΄= 2x 5

F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 Ταξινόμηση των Σ.Δ.Ε. ανάλογα με τις μεθόδους και τις διαδικασίες επίλυσής των. συνήθεις δ.ε. F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 μη-γραμμικές γραμμικές με σταθερούς συντελεστές με μεταβλητούς συντελεστές 6

Ορισμός: μια δ.ε. n-τάξης, λέγεται γραμμική αν έχει την μορφή: όπου αi(x),,i=0,…,n είναι συναρτήσεις μόνο του x, και b(x) είναι επίσης μία συνάρτηση μόνο του x, δηλαδή, αποτελεί ένα γραμμικό συνδυασμό της άγνωστης συνάρτησης y=y(x) και των παραγώγων της (με συντελεστές συναρτήσεις μόνο του x). F(x,y(x),y΄(x),y΄΄(x),y΄΄΄(x),…,y(n)(x)) = 0  an(x)y(n)(x)+an-1(x)y(n-1)(x)++a1(x)y(1)(x)+a0(x)y(x) = b(x) 7

Παραδείγματα γραμμικών ΣΔΕ x3y(4)(x) = - e4xy΄(x)+ 4x2   x3y(4)(x) + 0y(3)(x)+0y(2)(x)+e4xy(1)(x)+0y(x) = 4x2 είναι γραμμική 4ης τάξης e2xy(2)(x) = -x2 [y΄(x)]2   e2xy(2)(x) + x2 [y΄(x)]2 = 0 Δεν είναι γραμμική ([y΄(x)]2 ) y(x)y΄(x)=x2y΄΄(x)+exy΄΄΄(x)+sinx   exy΄΄΄(x)+x2y΄΄(x)-y(x)y΄(x) = -sinx Δεν είναι γραμμική (y(x)y΄(x)) 8

Ορισμός: μια δ.ε λέγεται μη-γραμμική αν δεν είναι γραμμική, δηλαδή δεν έχει την προηγούμενη μορφή. παραδείγματα y+5y΄+ 6y2 = 0 το y είναι 2ου βαθμού y+ 5y+ 8(y)2 = 0 η πρώτη παράγωγος της y είναι 2ου βαθμού y+ 5yy +8y = 0 εμφανίζεται το γινόμενο y με την y΄ y΄΄΄ - 5y= ey εμφανίζεται η y στην μορφή ey y΄΄ + συνy = 0 εμφανίζεται η y στην μορφή συνy

Ορισμοί Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται με σταθερούς συντελεστές αν η y=y(x) και οι παράγωγοί της έχουν σταθε-ρούς συντελεστές παράδειγμα: y΄΄+ 5y΄+ 6y = 0  Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται με μεταβλητούς συντελεστές αν οι συντελεστές της y=y(x) και των παραγώγων της είναι πολυώνυμα παράδειγμα: y΄΄΄΄+ x2y΄΄΄+ x3y΄ = xe4x

Ομογενείς (*) Ο γραμμικός συνδυασμός των λύσεων είναι επίσης λύση συνήθεις δ.ε. γραμμικές Ομογενείς (*) Ο γραμμικός συνδυασμός των λύσεων είναι επίσης λύση Μη-ομογενείς Δεν ισχύει η ιδιότητα (*) 11

Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται ομογενής αν b(x)=0 Ορισμοί Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται ομογενής αν b(x)=0 an(x)y(n)(x)+an-1(x)y(n-1)(x)+ +a1(x)y(1)(x)+a0(x)y(x) = 0  Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται μη-ομογενής αν b(x)0  διαφέρουν μόνο στο δεξί μέρος ενώ το αριστερό (κύριο μέρος της ΣΔΕ) είναι το ίδιο 12

Σχέση των λύσεων της ομογενούς και της αντίστοιχης μη-ομογενούς σ.δ.ε. Σχέση των λύσεων της ομογενούς και της αντίστοιχης μη-ομογενούς σ.δ.ε. Η γενική λύση της μη-ομογενούς y(x) Ισούται με την γενική λύση της ομογενούς yΓΕΝ. ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ(x) + μια ειδική λύση της μη-ομογενούς YΕΙΔΙΚΗ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ(x) y(x) = yΓΕΝ.ΟΜΟΟΓΕΝΟΥΣ(x) + yΕΙΔΙΚΗ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ(x) 13

συστηματική μελέτη των σ.δ.ε. 1ης τάξης 2ης ή ανώτερης τάξης 14

1ης τάξης συνήθεις δ.ε. F(x,y(x),y΄(x))=0 (1)  Λυμένη μορφή της (1): y΄(x) = f(x,y), (1*)  Διαφορική μορφή της (1): P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, (1**) Οι μορφές (1*) και (1**) είναι ισοδύναμες (1*)(1**): y΄(x) = f(x,y) y΄(x)dx = f(x,y)dx  dy= f(x,y)dx  f(x,y)dx-dy=0  P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, όπου P(x,y)=f(x,y) και Q(x,y)=-1 15

συνήθεις δ.ε. 1ης τάξης (1**)(1*) : P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0  16

 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις 1ης τάξης 1. Χωριζόμενων μεταβλητών 2. Ομογενείς ως προς τις μεταβλητές τους 3. Ακριβείς ή Τέλειου Διαφορικού 4. Μη-ακριβείς δ.ε. 5. Γραμμικές σ.δ.ε. 1ης τάξης που μετατρέπονται σε γνωστές μορφές 6. Bernoulli 7. Ricatti 17

1. χωριζόμενων μεταβλητών 1. χωριζόμενων μεταβλητών  1.1 y΄= f(x) (λυμένη μορφή)  1.2 y΄= f(y) (λυμένη μορφή) 1.3 y΄= F(x,y), όπουF(x,y)=F1(x)F2(y) (λυμένη μορφή) 1.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy = 0 (διαφορική μορφή)

Η πιο απλή δ.ε. έχει την μορφή y΄=f(x) (1.1) (ψ(x))΄= f(x) ή F(x,ψ(x),ψ΄(x))=0 Η γενική λύση της δ.ε. λέγεται και ολοκλήρωμα Τρόπος υπολογισμού:  Χωρίζουμε τις μεταβλητές  Ολοκληρώνουμε  Προκύπτει η γενική λύση της δ.ε.

τρόπος υπολογισμού: Γενική λύση

Άσκηση Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών (1+ex)yy΄(x)-ex=0, y(0)=1 Λύση : η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται χωριζόμενων μεταβλητών γενική λύση της δ.ε. Για x=1, y=0 έχουμε και η ειδική λύση της δ.ε. γίνεται 21

Άσκηση 2. Το Παράδειγμα αναφοράς είναι της μορφής 1.1 S΄=S(h) δηλαδή,

οι μεταβλητές χωρίζονται 1.2 y΄=f(y) οι μεταβλητές χωρίζονται

Άσκηση 3.: Να υπολογιστεί η δ.ε. y΄=y2 Λύση: Προϋπόθεση: y=y(x)0 την περίπτωση y=y(x)=0 θα την εξετάσουμε ως ιδιάζουσα λύση! Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή x=g(y) Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή y=f(x,c) 24

Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=0 επαληθεύει την δ. ε Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=0 επαληθεύει την δ.ε. Πράγματι, 0΄=02=0 και επειδή η y=y(x)=0 δεν προκύπτει από την γενική λύση της δ.ε., έπεται ότι αποτελεί μια ιδιάζουσα λύση της δ.ε. Τελικά, η Πλήρης λύση της δ.ε. είναι το σύνολο: 25

οι μεταβλητές χωρίζονται 1.3 y΄=F(x,y)=F1(x)F2(y) οι μεταβλητές χωρίζονται Έχουμε, Τότε, G2(y)=G1(x)+c1-c2, όπου c1,c2R Τελικά, G2(y)=G1(x)+c, όπου cR γενική λύση

οι μεταβλητές χωρίζονται 1.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 οι μεταβλητές χωρίζονται Αν, F2(x)Φ1(y)0, τότε Τότε, P(x)dx + Q(y)dy = 0, όπου είναι χωριζόμενων μεταβλητών !

επίλυση : γενική λύση της δ.ε.

Άσκηση 4.:Να λυθεί η δ.ε. x2(y+1)+y2(x-1)y΄=0 Λύση : η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται τότε, x2(y+1)dx+y2(x-1)dy = 0 (I), δηλαδή Δεν είναι Ομογενής ως προς τις μεταβλητές της!!! F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 Υποθέτουμε ότι, (x-1)(y+1)0, δηλαδή, x-10 και y+10 ισοδύναμα, x1 και y-1 την περίπτωση y=y(x)=-1 θα την εξετάσουμε ως ιδιάζουσα λύση! διαιρούμε και τα δυο μέλη της (Ι) με το (x-1)(y+1)

διαίρεση πολυωνύμων x2 : (x-1) = x+1+(1/x-1) άρα,

γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1 διαίρεση πολυωνύμων y2: (y+1) = y-1+(1/y+1) άρα, Επομένως, γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1

Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=-1 επαληθεύει την δ. ε Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=-1 επαληθεύει την δ.ε. Πράγματι, x2(-1+1)+(-1)2(x-1)(-1)΄=00+0=0 την επαληθεύει και επειδή η y=y(x)=-1 δεν προκύπτει από την γενική λύση της δ.ε., έπεται ότι αποτελεί μια ιδιάζουσα λύση της δ.ε. 32

(1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 Άσκηση 5: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (1+ex)yy΄= ex και y(0)=1. Λύση: (1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 Δεν είναι Ομογενής!!! είναι της μορφής F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 όπου F1(χ)= ex, Φ1(y)=1, F2(x)= -(1+ex), Φ2(y)=y Έχουμε ότι, 1+ex0. Πράγματι, ex>0  1+ex>0. Επομένως,

y2 = 2ln(ex+1) + c, cR γενική λύση της δ.ε. ισοδύναμα

από την γενική λύση της δ.ε.: y2 = 2ln(ex+1) + c, cR έχουμε: Αρχικές συνθήκες: y(x=0) = 1. Επομένως, 12 = 2ln(e0+1)+c  1 = 2ln2+c, cR Άρα, c = 1-2ln2 = 1-2 0,69325 = -0,4 Μερική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y2 = 2ln(ex+1)+1-2ln2, δηλαδή

από τις αρχικές συνθήκες έχουμε: (i) x=0, y1=1 άρα, η λύση είναι δεκτή (ii) x=0, y2=1 άρα, η λύση απορρίπτεται Τελικά,

διάλειμμα - interval 37