Numeričke deskriptivne veličine

Osobine numeričkih podataka- mere aritmetička srednja vrednost medijana modus Numeričko opisivanje podataka varijansa standardna devijacija koeficijent varijacije raspon interkvartilini raspon geometrijska srednja vrednost zakrivljenost Centralna tendencija Varijacija Asimetrija Kvartili zašiljenost

Osobine numeričkih podataka Centralna tendencija (lokacija centra) Varijacija (Rasipanje) Asimetrija

Odbacivanje ekstremnih vrednosti Ekstremno visoka vrednost se odbacuje ako je: Ekstremno niska vrednost se odbacuje ako je:

Mere centralne tendencije Centralna tendencija Aritmetička srednja vrednost Medijana Modus Geometrijska srednja vrednost sredina rangiranih vrednosti najfrekventnija vrednost

Aritmetička srednja vrednost (average, mean) Najčešće korišćena mera Ponaša se kao ”ravnotežna tačka” Na njenu vrednost utiču ekstremne vrednosti (”outliers”) Izražava se u istim jedinicama kao i osnovni podaci Izraz za izračunavanje: broj podataka dobijena vrednost

Aritmetička srednja vrednost Uticaj ekstremnih vrednosti 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 srednja vrednost = 3 srednja vrednost = 4

Prosta srednja vrednost vs. ponderisana – težinska srednja vrednost Ponderisana aritmetička srednja vrednost izračunava se kada su podaci prikazani kao frekvence: Ako su podaci grupisani u klasne intervale, ponderisana srednja vrednost se izračunava:

Geometrijska srednja vrednost n-ti koren proizvoda svih članova skupa Primer: 1,2,3,10 Gx = 4-ti koren iz 60 = 2.78 II način izračunavanja Gx: 1. logaritmovanje svakog broja u skupu 2. računanje aritmetičke sredine tih logaritama 3.dizanje osnove logaritma (ln-2.718 ili log-10) na izračunatu aritmetičku sredinu logaritama (korak 2)

Skraćena srednja vrednost Računa se tako što se iz skupa izbace ekstremne vrednosti sa oba kraja raspodele (najniže i najviše vrednosti 5-25% vrednosti je uobičajeno da se odbaci i onda se računa srednja vrednost Eliminiše se uticaj ekstremnih vrednosti Primena – sport da bi se eliminisali efekti ekstremnih ocena dobijenih pogrešnom procenom sudija

Medijana (Me) Medijana je centralna vrednost u nizu podataka 50% vrednosti je iznad, 50% ispod medijane Pre određivanje medijane podaci se urede po veličini Na Me ne utiču ekstremne vrednosti 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 medijana = 3

Određivanje medijane Pozicija medijane (u uređenim podacima): Ako je broj podataka neparan, medijana je vrednost u sredini niza Ako je broj podataka paran, medijana je srednja vrednost dve vrednosti u sredini niza (između N/2 i (N+2)/2) Napomena: izraz nije vrednost medijane, već redni broj vrednosti koja predstavlja medijanu

Modus (Mo) Vrednost koja se pojavljuje najčešće Na Mo ne utiču ekstremne vrednosti U skupu može biti jedan ili više modusa Skup može biti bez modusa Mo može da se odredi i za numeričke i kategoričke podatke 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 modus = 9 0 1 2 3 4 5 6 nema modusa

antimode Broj osoba KV KG Log PO-aze Log DZO-aze Aktivnost enzima PON1 10 20 30 40 50 60 70 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Log PO-aze Log DZO-aze Aktivnost enzima PON1 Broj osoba KV KG antimode

Skale merenja- mere centralne tendencije intervalna/skala odnosa - x, Me, Mo ordinalna – Me, Mo nominalna – samo Mo!!!

Kvartili Kvartili dele skup uređenih podataka na četiri jednaka dela Pozicione veličine 25% Q1 Q2 Q3 Prvi kvartil, Q1 – 25% vrednosti su manje od Q1 Drugi kvartil, Q2 = medijana Treći kvartil, Q3 = 25% vrednosti su veće od Q1 Q1 i Q3 nisu mere centralne tendencije

Određivanje kvartila Pozicija (redni broj vrednosti) prvog kvartila: Q1 = (N+1)/4 Pozicija (redni broj vrednosti) drugog kvartila: Q2 = (N+1)/2 Pozicija (redni broj vrednosti) trećeg kvartila: Q3 = 3(N+1)/4 gde je N ukupan broj podataka

Percentili Pozicija percentila: Prvi percentil P1: odvaja 1% vrednosti Q1 = P25 Q2 = Me = P50 Q3 = P75

standardna devijacija koeficijent varijacije interkvartilni raspon Mere varijacije varijacija varijansa standardna devijacija koeficijent varijacije raspon interkvartilni raspon isti centar, različita varijacija Mere varijacije daju informaciju o rasipanju ili varijabilnosti podataka

Raspon raspon = xmax – xmin Najjednostavnija mera varijacije Raspon – razlika između najveže i najmanje vrednosti u skupu raspon = xmax – xmin 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 raspon = 14 - 1 = 13 primer:

Nedostatak raspona Ignoriše oblik raspodele podataka Osetljiv na ekstremne vrednosti 7 8 9 10 11 12 raspon = 12 - 7 = 5 7 8 9 10 11 12 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5 raspon = 5 - 1 = 4 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 120 raspon = 120 - 1 = 119

Interkvartilni raspon Rasipanje unutar srednjih 50%: Q3 – Q1 Nema uticaja ekstremnih vrednosti primer: medijana (Q2) Xmax Xmin Q1 Q3 25% 25% 25% 25% 12 30 45 57 70 interkvartilni raspon = 57 – 30 = 27

Srednje apsolutno odstupanje - So Srednje apsolutno odstupanje (obeležava se sa So) određuje se tako što se zbir apsolutnih vrednosti pojedinačnih odstupanja svakog člana niza od srednje vrednosti podeli ukupnim brojem članova niza:

Varijansa Prosečno (približno) kvadratno odstupanje vrednosti od srednje vrednosti Izraz za izračunavanje: N – 1 – broj stepena slobode

Standardna devijacija Najčešće korišćena mera varijacije Pokazuje varijaciju oko srednje vrednosti Kvadratni koren iz varijanse Izražava se u istim jedinicama kao i osnovni podaci

Broj stepena slobode - df, θ, φ φ - broj nezavisnih poredjenja x1 i x2 nezavisne vrednosti, φ = 2

Standardna devijacija - Sd Podaci: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7

Sd - grupisani podaci

Standardna devijacija iz razlike parova U 12 uzoraka seruma određena glukoza u duplikatu

Značenje standardne devijacije mala standardna devijacija velika standardna devijacija

Poređenje standardnih devijacija sr. vrednost = 15.5 SD = 3,338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 grupa B grupa A Sd = 0,926 Sd = 4,567 grupa C

Osobine varijanse i standardne devijacije Svaka vrednost se koristi u izračunavanju razlika u odnosu na raspon i interkvartilni raspon Veliki uticaj ekstremnih vrednosti izračunava se kvadrat odstupanja od srednje vrednosti

Koeficijent varijacije - Kv Mera relativne varijacije (u odnosu na srednju vrednost) Uvek se izražava u % Omogućava poredjenje više grupa podataka, čak i kada su izraženi u različitim jedinicama

Poređenje koeficijenata varijacije Grupa A: srednja vrednost = 50 standardna devilacija = 5 Grupa B: srednja vrednost = 100

Asimetrija raspodele Pokazuju kako su podaci distribuirani zakrivljenost i zašiljenost desnostrana levostrana simetrična Me Mo = Me = Mo

Numeričke mere za populaciju i uzorak Statistički parametri koji se izračunavaju iz populacije opisuju osobine populacije Statistički parametri koji se izračunavaju iz uzorka opisuju osobine uzorka Srednja vrednost populacije – μ Srednja vrednost uzorka – Standardna devijacija populacije – σ Standardna devijacija uzorka – Sd

Z-score –Standardni skor Odstupanje posmatrane vrednosti od x izraženo u broju Sd Z=(x -x)/Sd Mera relativnog odstupanja Z pozitivan – veći od većine vrednosti u skupu Z negativan – manji od većine vrednosti u skupu

Z-score

Z-score primer Kontrolom kvaliteta težine tableta dobijeno je 120 vrednosti iz kojih su izračunate srednja vrednost 500.5 mg i Sd 3 mg. Koliki je Z-score za tablete težine 496 mg? Rešenje (496-500.5)/3=-1.5

Z-score primer 2 Devojka je visoka 160 cm i ima z-score 0.7 u odnosu na x visinu grupe koja iznosi 168 cm. Kolika je Sd?