STEREOMETRIA REZY TELIES Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského Banská Bystrica STEREOMETRIA REZY TELIES Tamás Fodor III.F 2010/2011

Čo je to stereometria Stereometria – priestorová geometria – vyšetruje geometrické útvary v priestore a ich vzťahy. Úlohy riešené v stereometrii môžu byť dôkazové, výpočtové alebo konštrukčné. Základnými stereometrickými pojmami sú bod, priamka, rovina. Body označujeme veľkými tlačenými písmenami ( A, B, C, ...) Priamky označujeme malými písanými písmenami (a, b, c, ...) Roviny označujeme malými písmenami gréckej abecedy ( α, β, γ, ...)

Niektoré základné stereometrické vzťahy Ľubovoľnými dvomi navzájom rôznymi bodmi A, B v priestore prechádza práve jedna priamka. Ak priamka a je rovnobežná s priamkou b, priamka b je rovnobežná s priamkou c, tak aj priamka a bude rovnobežná s priamkou c. Rovina je určená: a) priamkou a bodom, ktorý neleží na nej b) dvomi rôznobežkami c) dvomi rôznymi rovnobežkami d) tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke Ak priamka p je rovnobežná s niektorou priamkou p´ roviny ρ, je rovnobežná s rovinou ρ. Ak je priamka p kolmá ku dvom rôznobežným priamkam a, b roviny ρ, tak je kolmá k tejto rovine.

Vzájomné polohy útvarov Vzájomná poloha 2 bodov 2 body sú rôzne 2 body sú totožné Vzájomná poloha bodu a priamky bod patrí priamke bod nepatrí priamke Vzájomná poloha bodu a roviny bod patrí rovine bod nepatrí rovine

Vzájomná poloha 2 priamok Vzájomné polohy útvarov Vzájomná poloha 2 priamok 2 priamky sú rôznobežné 2 priamky sú totožné 2 priamky sú mimobežné 2 priamky sú rovnobežné

Vzájomná poloha priamky a roviny Vzájomné polohy útvarov Vzájomná poloha 2 rovín 2 roviny sú totožné 2 roviny sú rovnobežné 2 roviny sú rôznobežné Vzájomná poloha priamky a roviny priamka je rovnobežná s rovinou priamka je rôznobežná s rovinou priamka patrí rovine

Telesá KVÁDER HRANOL KOCKA ZREZANÝ IHLAN VALEC IHLAN

Telesá GUĽA ZREZANÝ KUŽEĽ KUŽEĽ GUĽOVÝ VRCHLÍK GUĽOVÝ PÁS GUĽOVÁ VRSTVA GUĽOVÝ VÝSEK

Rezy telies Rez telesa rovinou je rovinný útvar, ktorého hranica je prienik hranice telesa s rovinou rezu. Hranica rezu telesa sa skladá z prienikov roviny so stenami telesa.   V1: Ak je rovina rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, tak ich pretína v rovnobežných priamkach. V2: Ak je priamka rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami, tak je rovnobežná aj s ich priesečnicou. V3: Nech každé dve z troch rovín sú rôznobežné. a) Ak dve z ich priesečníc sú rôznobežné, tak aj tretia prisečnica prechádza priesečníkom prvých dvoch. b) Ak dve z priesečníc sú rovnobežné, tak je s nimi rovnobežná aj tretia priesečnica.

Rezy telies – úloha 1 Zostrojte rez kocky rovinou KLM. 1. Body K a M ležia v jednej rovine, môžeme ich spojiť priamkou. 2. Bod L leží na rovine rovnobežnej s rovinou ABFE, urobíme rovnobežku cez bod L s priamkou KM. Prienikom hrany CG a rovnobežky je bod N. 3. Zostrojíme úsečky KL a MN – vznikne rez KLMN.

Rezy telies – úloha 2 Zostrojte rez kocky rovinou PQR. 1. Body P, Q ležia v jednej rovine, môžeme ich spojiť priamkou. Predĺžime si priamku EF. Priesečník priamok PQ a EF pomenujeme O. 2. Bod O spojíme s bodom R, priesečník priamky OR a úsečky FG pomenujeme T. 3. Cez bod R vedieme rovnobežku s priamkou PQ, priesečník rovnobežky a úsečky DH pomenujeme S. 4. Zostrojíme úsečky PS a QT – vznikne rez PQTRS.

Rezy telies – úloha 3 Zostrojte rez ihlana rovinou KLM. 1. Spojíme body K a L, pretože ležie v jednej rovine. Predĺžime si priamku BV. Priesečník priamok KL a BV pomenujeme R. 2. Zostrojíme priamku MR, priesečník priamky MR a úsečky BC pomenujeme N. 3. Zostrojíme priamku LN, predĺžime si úsečku CD, priesečník priamok LN a CD pomenujeme S. 4. Zostrojíme priamku MS, priesečník priamky MS a  úsečky DV pomenujeme O. 5. Zostrojíme úsečku KO – vznikne rez KLNMO.

Rezy telies – úloha 4 Zostrojte rez kocky rovinou PQR. 1. Body P a Q kolmo premietneme do roviny ABC, vzniknú body P´a Q´. Zostrojíme pomocnú rovinu PQP´. Zostrojíme priamku PQ a P´Q´.Ich priesečník pomenujeme O. Zostrojíme priamku OR. Priesečník priamky OE a úsečky BC pomenujeme S. 2. Zostrojíme rovnobežku s priamkou RS cez bod P. Priesečník rovnobežky s úsečkou GH pomenujeme T. Zostrojíme úsečku QT. Cez bod R vedieme rovnobežku s úsečkou QT, priesečník rovnobežky a úsečky AE pomenujeme U. 3. Zostrojíme úsečky QS a PU – vznikne rez PURSQT.

Zdroje informácií Božek, M.: Základy geometrie v priestore. SPN, Bratislava 1990 Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky. SPN, Praha 1983 http://www.zones.sk/studentske-prace/matematika/384-stereometria-telesa/ http://www.cbjanskanoc.ic.cz/Matematika.files/telesa1.jpg http://www.cbjanskanoc.ic.cz/Matematika.files/Telesa3.jpg 20.5.2011 – 16:30  Obrázky: Cabri Geometry II Plus

ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ 