((پیشگفتار)) *پیش درآمد: در درس مکانیک تحلیلی که مربوط به حرکت اجسام صلب بود , با اصول و قوانین نیوتن , پایستگی تکانه , انرژی و تکانه ی زاویه ای به خوبی آشنا شدیم و آنها را در حل مسایل مربوطه بکار بریم . مکانیک سیالات نیز بخشی از علم مکانیک است که در آن استاتیک و دینامیک مایعات و گازها مطالعه میشود .اگرچه این مطالعات نیز مانند مکانیک اجسام صلب بر اساس قوانین اصلی مکانیک استوار است ولی دو فرق عمده و مهم بین این دو مکانیک وجود دارد:

1. خواص و ویژگیهای سیالات با جامدات سبکی متفاوت است و این ویژگی ها اغلب با حرکت سیال تغییر می کند . 2. در مکانیک جامدات معمولا حرکت اجسامی با جرم و ابعاد مشخص بررسی میشود ولی در مکانیک سیالات مطالعه ی حرکت پیوسته ی سیال , به صورت یک جریان مورد نظر می باشد. به بیان دیگر در مکانیک اجسام صلب مسیر حرکت ذره مشخص است ولی در مکانیک سیالات این مسیر نا مشخص و امکان مطالعه ی حرکت ذره ی منفرد وجود ندارد . در نتیجه با توجه به نکات بالا حل کامل معادلات حرکت سیالات معمولا امکان پذیر نیست و در معادلات نظری آن ضروری است که فرض هایی در نظر گرفته شود تا در عمل این معادلات به معادلات آسانتری تبدیل شود . بنابراین استفاده از نتایج نظری بدست آمده هنگامی مسیر خواهد شد که آنها را با آزمایشهای تجربی تصحیح و تکمیل کرد .

* فصل 1 ویژگی های سیال 1-1 مقدمه: دانش فناوری مکانیک سیالات با درک و مفاهیم ویژگی های سیال و همچنین بکارگیری قوانین اساسی مکانیک و ترمودینامیک و انجام آزمایشهای دقیق بسیار گسترش یافته است . ویژگی چسبندگی و چگالی در جریان داخل کانالهای باز و بسته و جریان در پیرامون اجسام شناور در سیال نقش عمده ای در مکانیک سیالات دارد . به هنگامی که با کاهش فشار روبرو هستیم , فشار بخار نیز که موجب تغییر فاز (حالت) مایع به گاز می شود , اهمیت می یابد . در این فصل ابتدا به تعریف سیال و سیستم بین المللی یکاها (SI) و سپس به بررسی ویژگی ها و تعریف های فوق می پردازیم .

2-1 تعریف سیال: سیال ماده ای است که در اثر تنش برشی حتی ناچیز به طور دائم تغییر شکل می دهد . تنش برشی متوسط برابر با تقسیم نیروی برشی بر سطح است . توجه داریم که نیروی برشی همان مولفه ی مماسی نیرو بر سطح مزبور می باشد . حال اگر این سطح آنقدر کوچک شود که به یک نقطه تبدیل شود آنگاه حد نیروی برشی بر این سطح نقطه ای را تنش برشی در یک نقطه می گویند .

در شکل (1-1) ماده ای در بین دو صفحه موازی و نزدیک بهم نشان داده شده است . فرض می کنیم صفحات آنقدر بزرگ باشند تا از شرایط لبه های آنها بتوان صرف نظر کرد . اگر صفحه ی پایین ثابت باشد و نیروی F صفحه یبالا به مساحت A را بکشد . در نتیجه F/A همان تنش برشی بر این ماده است. هنگامی که نیروی F باعث شود صفحه ی بالایی با سرعت یکنواخت (اما مخالف صفر) حرکت کند, می توان نتیجه گرفت که ماده ی موجود بین دو صفحه مذبور , یک سیال است . به طور تجربی معلوم شده است که ذرات سیال مجاور صفحات , سرعتی برابر با سرعت لایه های مرزی خواهند داشت . سیال موجود در سطح abcd به موقعیت جدید a b'c'd' می رسد.

هر ذره سیال موازی صفحه حرکت می کند , بنابراین سرعت u از صفحه پایین که سرعت آن صفر است تا صفحه بالایی که سرعتش U می باشد , تغییر می کند . آزمایش نشان می دهد اگر سایر کمیات ثابت باشد F با A , U نسبت مستقیم و با ضخامت سیال نسبت عکس دارد . یعنی داریم : F= µ AU/t که در آن µ ضریب تناسب است و مربوط به ویژگی های هر سیال می شود . اما اگر تنش برشی را به صورت زیر در نظر بگیریم Z=F/A آنگاه داریم : Z = µ U / t

توجه داریم , نسبت u/t , همان سرعت زاویه ای خط ab یا به بیان دیگر میزان کاهش زاویه ای bad است . اما نسبت u/t , du/dy هر دو حاصل تقسیم تغییرات سرعت بر مسافتی می باشد که این تغییرات در طول آن انجام می گیرد . بنابراین رابطه ی (1-1) را می توان به صورت رابطه ی دیفرانسیلی زیر درآورد: du/dt µ =Z رابطه ی بالا , نشان دهنده ی ارتباط تنش برشی با سرعت تغییر شکل زاویه ای یک جریان تک بعدی است . µضریب تناسب را چسبندگی سیال و معادله (2-1) را قانون چسبندگی نیوتن می نامند . توجه داریم تعریف سیال , مواد غیر سیال را شامل نمی شود . به طور مثال یک ماده ی پلاستیکی متناسب با مقدار نیروی وارد بر آن به میزان معینی تغییر شکل می دهد ولی این تغییر شکل دائمی نیست .

3-1 یکاهای نیرو ، جرم ، طول و زمان 3-1 یکاهای نیرو ، جرم ، طول و زمان در حل مسایل مکانیک , یکاهای نیرو , جرم , طول و زمان نقش مهمی دارند . همچنین از این یکاها می توان , یکاهای دیگر را بدست آورد . سیستم بین المللی یکاها (SI) , در اغلب کشورهای جهان پذیرفته شده است و در چند سال آینده انتظار می رود که تمامی کشورها این سیستم را بپذیرند و از آن استفاده کنند . در این سیستم نیوتن N یکای نیرو , کیلوگرم Kg یکای جرم , مترm یکای طول و ثانیه S یکای زمان است.و یک نیوتن به صورت زیر تعریف میشود: (3-1) N = 1 Kg m/s2 نیرویی که به علت جاذبه بر جسمی وارد می شود را نیروی گرانش یا وزن آن جسم می نامند .

توجه داریم که جرم یک جسم با تغییر مکان یا محل تغییر نمیکند ولی نیروی گرانش یا وزن جسم تغییر میکند زیرا این نیرو برابر با حاصل ضرب جرم جسم در شتاب جاذبه g بدست می آید . (4-1) F=mg در سیستم بین المللی یکاها , شتاب گرانش استاندارد برابر با 9/806 m/s2 میباشد . در این درس علائم اختصاری سیستم یکای SI با حروف کوچک مانند ساعت h , متر m و ثانیه s نشان داده می شود . برای بعضی از یکاها در این سیستم از حرف اول اسامی دانشمندان استفاده می شود : وات W ، پاسکال Pa ، نیوتن N و . . . اهمیت این سیستم در استفاده از مضارب 10 یا 10/1 به صورت پیشوند است . در جدول (1-1) پیشوندهایی که کاربرد بیشتری دارند آمده است .

4-1 چسبندگی در بررسی جریان یک سیال , چسبندگی سیال حائز اهمیت است 4-1 چسبندگی در بررسی جریان یک سیال , چسبندگی سیال حائز اهمیت است . در این بخش راجع به طبیعت و ویژگیهای چسبندگی ,ابعاد , ضرایب تبدیل , چسبندگی مطلق و چسبندگی سینماتیکی بحث خواهیم کرد .چسبندگی ویژگی از سیال است که به علت آن , سیال در مقابل تنش برشی از خود مقاومت نشان میدهد . از قانون چسبندگی نیوتن معلوم می شود که برای یک تغییر شکل زاویه ای , تنش برشی با لزجت نسبت مستقیم دارد . به طور مثال قیر از مایعاتی با چسبندگی زیاد است , در صورتیکه هوا و آب از سیالاتی با چسبندگی کم می باشند .از آزمایش معلوم شده است که چسبندگی گازها با افزایش دما , زیاد می شود در صورتیکه برعکس چسبندگی مایعات با افزایش دما, کاهش می یابد .

مقاومت یک سیال در برابر نیروی برشی به جاذبه مولکولی و میزان انتقال تکانه ی مولکولها بستگی دارد . در مایعات به دلیل کوچکی فواصل بین مولکولها , نیروی جاذبه ی مولکولی به مراتب از گازها بیشتر است . چنین به نظر می رسد که علت اصلی وجود چسبندگی در مایعات , جاذبه ی مولکولی است , زیرا با افزایش دما , جاذبه مولکولی کم میشود و چسبندگی نیز کاهش می یابد .اما در مورد گازها , نیروهای جاذبه مولکولی بسیار اندک است , بنابراین آنچه باعث مقاومت در مقابل تنش برشی م یشود همان انتقال تکانه ی مولکولی آنهاست .در فشارهای معمولی , چسبندگی مستقل از فشار است و فقط تابعی از دما می باشد ولی در فشارهای بالا , چسبندگی گازها و برخی از مایعات با تغییر فشار , تغییر می کند .

در یک سیال چه در حالت سکون و چه در حالت حرکت , اگر دو لایه مجاور نسبت به یکدیگر حرکتی نداشته باشند , هیچ نوع تنش برشی ایجاد نخواهد شد , زیرا مقدار du/dy در کل سیال برابر صفر می باشد . بنابراین به هنگام بررسی ایستایی سیالات , فقط تنش های عمودی یا فشار مورد توجه خواهند بود . ابعاد چسبندگی را می توان از قانون چسبندگی نیوتن ( معادله 2-1) بدست آورد : µ = Z/(du/dy)

5-1 محیط پیوسته در بررسی جریان سیالات , ساختمان واقعی مولکولی را می توان به شکل یک فضــای پیوسته در نظر گرفت که آن را محیط پیوسته می نامند . به عنوان مثال , سرعت در هر نقطه در فاصله بین دو مولکول برابر با صفر است و زمانی دارای سرعت می شود که مولکولی دیگر این فاصله خالی را اشغال کنـد . در محاسبه ی ویژگیهای سیال , می توان علاوه بر نظریه ی مولکـولی همـراه با حرکات مولکولی , روابط پیوستـگی را نیز مورد استفاده قرار دارد.

در گازهای رقیق, مانند آتمسفر در ارتفاع 80km از سطح دریا , از نسبـت پویـش آزاد متوسط گاز به عنوان یکی از شاخـص های طولی جسم یا مجرای عبور گاز جـهت تشخیص نوع جریان استفاده به عمل می آید . پویش آزاد متوسط برابر با مسافت متوسطی است که یک مولکول بین دو برخورد متوالی طی می کند . هنگامی که نسبت پویش آزاد متوسط خیلی کوچک باشد , رفتار جریان گاز رادینامیک گازها می گویند و رفتار لحظات بعدی را جریان لغزشی می نامند . اگر این نسبت خیلی زیاد باشد , حرکت را جریان آزاد مولکولی می نامند . ما در این درس فقط دینامیـک گازها را مورد مطالعه قرار خواهیم داد . همچنین فرض می شود کمیات چگالی , جسم مخصوص , سرعت و شتاب در تمامی سیال به طور پیوسته تغییر کند یا ثابت باشد .

6-1 چگالی , حجم مخصوص , وزن مخصوص , چگالی مخصوص و فشار چـگالی سیال را معـادل جـرم در واحد حجـم تعریف می کنند و تعریف چـگالی در یک نقطه عبارتست ازحد جرم کوچکی از سیال m Δتقسیم به حجم بسیار کوچکv Δ به هنگامی که v Δ به سمت میل کند , توجه داریم ε مقدار کوچکی است که در مقایسه با فاصله ی بین مولکولها بازهم بزرگ می باشد . = ρ (7-1) چگالی آب در فشار استاندارد 760mmHg و دمای 4`c برابر با 1000Kg/m3 است .

Vs حجم مخصوص برابر با وارون چگالی می باشد و در واقع حجم اشغـال شده توسـط واحد جرم سیال را حجم مخصوص می نامند . یعنی : (8-1) ρ Vs = 1/ نیروی گرانش واحد برای یک جسم ، همان نیروی گرانش در واحد حجـم جسم می باشد که مقدار آن با تغییر مکان یا محل , تغییر می کند و بستگی به شتاب جاذبه محیط دارد : Pg =

چگالی نسبی S یک جسم در شرایط استاندارد , نسبت جرم جسم به جرم آب هم حجم آن می باشد و به صورت نسب چگالی آب نیز بیان می شود . فشار , متوسط برابر با تـقسیم نیروی محوری موثر وارد بر سطـح به مساحت آن سطح بدست م یآید . فشار در یک نقطه از نسبت نیروی عمودی به مساحت سطحی که به سمت یک نقطه بسیار کوچـک میل می کنـد , بدست می آید . اگر از طـرف سیـال فشاری به دیـواره ی ظرفی وارد شود , متقابلا از طرف همان ظرف نیز فشار برابر با فـشار سیال به سیال اعمال می شود . مایعات بخوبی در مقابل فشارهای زیاد از خود مقاومت نشان می دهند در صورتیکه در مقابل کشش بـسیار ضعیف هستند . فشار را می توان بصورت ارتفاع ستونی از سیال نیز بیان کرد رجوع به فصل 2 . فشار مطلق را با P و فشار نسبی را با نشان خواهیم داد .

7-1 گاز کامل رابطه های ترمودینامیکی و جریان سیالات تراکم ناپذیر نظیر گازها به طور کلی به گازهای کامل محدود می شود . گاز کامل , گازی است که از قانون مربوط به گازهای کامل پیروی کند و دمای مخصوص آن نیـز ثابت باشد : (10-1) PVs=RT در رابطه ی بالا P فشار مطلق، Vs حجم مخصوص ، R ثابت گازها و T دمای مطلق می باشد . باید بین گاز کامل با سیال آرمانی تفاوت قائل شد . زیرا سیال آرمانی سیالی است که تراکم ناپذیر و بدون اصطکاک می باشد در حالیـکه گاز کـامل , گازی است که هم چسبنـدگی دارد و هم قـادر به ایجـاد تنش های برشی می باشد و همچنین تراکم پذیر است . معادله ی (10-1) را می توان به صورت زیر درآورد : (11-1) P= ρRT

یکای R با توجه به سایر کمیتها به آسانی تعیین می شود یکای R با توجه به سایر کمیتها به آسانی تعیین می شود . اگر از SI استفاده کنیم آنگاه P بر حسب پاسکال , بر حسب کیلوگرم بر متر مکعب و T بر حسب کـلوین می باشد و در نتیجه داریم : (12-1) يا رابطه بین کلوین و سانتی گراد : T = t + 273 که دمای t بر حسب سانتی گراد میباشد یعنی 0`Cبرابر با 273` کلوین می باشد . مقادیر R برا ی گازهای معمولی در جدول 4-1 آمده است .

گازهای حقیقی در دمای بالاتر از دمای بحرانی و در فشارهای کمتر از فشار بحرانی از قانون گازهای کامل پیروی میکنند . یعنی با افـزایش فشار و نزدیکی به نقطه بحـرانی دیگر از قانون گازهای کامل نمی توان برای گازهای حقیقی استفاده کرد . این قانون , قانـون بویـل رل نیز در بر می گیرد . بنـا به قانون بویـل در دمای ثابت , تغییرات چگالی با فشار نسبت مستقیم دارد . حجم V به ازای واحد جرم m گاز برابر با mrs است , بنابراین داریم : (13-1) PV = mRT

اگرقانون گازهای کامل را برای یک مول گاز بنویسیم، نتایج آسانی بدست می آید . یک کیلوگرم مول از گاز , جرمی از گاز است که برابر با جرم مولکولی نسبی آن گاز باشد . به عنوان مثال یک کیلوگرم مول از اکسیژنی O2 برابر با 32Kg است . اگر حجم در مول را با نشان می دهیم , قانون گازهای کامل به صورت زیر بیان می شود : (14-1) mRT = P که در آن M جرم مولـکولی گاز است . اگر تعداد مولهای گاز را در حجم V برابر با n بگیریم, آنگاه می دانیم m=nM است و در نتیجه بدست می آید : (15-1) PV = nMRT

اما از قانون آووگادرو می دانیم گازها در حجم مساوی و دمای مطلق و فشار یکسان , تعداد مولکولهای مساوی دارند . بنابـراین جـرم آنها متنـاسب با جرم مولـکولی نسبی آنها است . از آنجایی که مقدار PV / nT برای تمام گازهای کامل , یکسان است, بنابراین با توجه به معادله ی (5-1) حاصل ضرب MR نیز ثابت می باشد. این مقدار ثابت را ثـابت گازها می نامند و در سیستم بین المللی یکاها داریم : (16-1) MR = 8.312 m.N/Kg.mol.K در نتیجه مقدار R را می توان از رباطه بالا چنین بدست آورد: (17-1) R = 8.312 / M m.N/Kg.N {رجوع کنید به جدول 3-1 }

گرمای ویژه یک گاز Cv , مقدار گرمائی است که باید در حجم ثابت به واحد جرم آن داده شود , تا دمای آن یک درجه بالا برود. Cp گـرمـای ویـژه یک گاز است و آن مقدار گـرمایی است که در فشار ثابت به واحد جرم آن داده می شود تا دمای آن یک درجه زیادتر شود . K ضریب دمای مخصوص برابر با Cp/Cv است و انرژی داخل u نیز به , P , T ρدارد و انرژی در واحد جرم تعریف می شود . یکی از پارامترهای مهم گاز آنتـالپی است که از رابطه ی ρ h = u+P/ بدست می آید . یکای Cp , Cv برابر با ژول بر کیلوگرم , یعنی J / kg .k است. دمای معادل 4187J باید به یک کیلوگرم آب در شرایط استـاندارد داده شود تا دمای آن یک درجه سلیـوس زیاد شود و این مقدار گرما را یک کالری می نامند . رابطه ی R با Cv , Cp به صورت زیر است : Cp= Cv + R در فصلهای 3 و 6 به نکات و رابطه های مهم تری درباره گاز کامل پرداخته می شود .

8-1 ضریب کشسانی حجمی در بخش های قبلی تراکم پذیری گازها را با استفاده از تعریف گاز کامل توضیـح دادیم . زمانـی تراکم پـذیری یک سیـال اهمیت می یابد که به طور ناگهانی تغییـرات فشار زیادی را تحمل کنـد. با تغییر دمای مساله ,تراکم پذیری اهمیت می یابد . تراکم پذیری یک مایع از ضریب چگالی حجمی بیان می شود . اگر در واحد حجـم مایعی فـشار به اندازه ی dp زیاد شود , حجــم مورد نظر به اندازه ی –dv کـم می شود. نسبت –dp / dv را ضریب کشسانی حجمی K می نامند. بنابراین داریم : K = dp / (dv/V) اما dv / V بدون بعدمی باشد بنابراین واحد K را بر حسب واحد فشار بیان می کنند.

با توجه به جدول (2-1) برای آب در دمای 20`C , K=2. 2Gpa می باشد با توجه به جدول (2-1) برای آب در دمای 20`C , K=2.2Gpa می باشد. برای درک بهتر تراکم پذیری آب , فرض کنید فشاری برابر با 0.1 Mpa به یک متر مکعب آب اثـر کند . در این صورت داریم : dV = Vdp / K = (1.0 m3)(0.1 Mpa) / 2.2 Gpa = 1 / 22000 m3 که تـقریبـا مساوی 45/5 m3 می باشد . هنگامی که یک مایع فـشرده می شود مقاومتش در برابر ازدیاد فشار افزایش می یابد . به همین دلیل , در 3000 اتمسفر , مقدار K برای آب دو برابر می شود .

9-1 فشار بخار به علت فرار مولکولها از سطح مایع , مایعات تبخیر می شوند و فشاری که از طرف مولکولهای بخار در فضا ایجاد می شود را فشار بخار می نامند. اگر فضـای بالای سطـح مایـع مسدود باشد ,پس از مدت زمانی , مقدار مولکولهایی که قبلا از سطح مایع فرار کرده اند با مقدار مولکولهایی که در اثر برخورد با سطـح آزاد مایع تقطیر می شدند , برابر خواهد بود و تعـادل ایجاد میشود . اما این پدیده به تحریک مولکولها بستگی دارد و این تحـریک نیز تابـعی از دماست , بنابراین فشـار بخـار یک سیـال با ازدیـاد دمـا افـزایـش می یابد. به هنـگام برابری فشـار روی مایع با فشـار بخـار , مایع شـروع به جوشیدن می کند. یعنی با کاهش فشار به مقدار کافی، آب می تواند در دمای اتـاق بجوشد .

در دمای 20`C , فشار بخار آب برابر با 2 / 447 Kpa , فشار بخار جیوه 0/173 Pa میباشد . در اغلب سیستم هایی که مایعات در آنها جریان دارند , احتمال این که در نقاطی از این سیـستم فشار بقدر کافی کاهش یابد که برابر با فشـار بخـار یا کمتر از آن شود وجود دارد و این باعث تبخیـر سدیـم مایع می شود و پدیده ای به نام حفـره سـازی بوجود می آید. حبـابهای کوچک یا حفـره های بوجود آمده,سریعا انـبساط می یابند و از مکان اولیـه خود به طرف منطقه ای که فشار بیشتری نسبت به فشار بخار دارد , حرکت می کند و در آنجا از بین می روند. این پـدیـده رشد و نابودی در پمپ ها و توربیـن های هیـدرولیـکی باعث خوردگـی فلـزی می شوند و در نـتیجه خساراتی به دنبال خواهند داشت.

تست هاي فصل 1 1-2-1 سيال ماده اي است كه : الف ) به طور دائم منبسط مي شود تا ظرفي را پركند . ب) عملا تراكم ناپذير است . ج) نمي تواند تابع نيروهاي برشي باشد. √د) تحت تاثير نيروي برشي نمي تواند درحالت سكون باقي بماند. _____________________________________________________________________ 2-2-1 قانون چسبندگي نيوتني تركيبي است از : الف ) فشار , سرعت و چسبندگي √ب) تنش برشي و ميزان تغيير شكل زاويه اي يك سيال ج) تنش برشي , دما , چسبندگي وسرعت د) فشار , چسبندگي و ميزان تغيير شكل زاويه اي _____________________________________________________________________ 1-3-1 جسمي به جرم 2 Kg و وزن n 19 روي يك ترازوي فنري قراردارد . شتاب جاذبه محل را برحسب متر بر مجذورثانيه برابر است با : الف ) 105/0 ب) 2 √ج ) 5/9 د) 19 _____________________________________________________________________

2-3-1 اگر نيرويي معادل n 10 به جرم kg 2 وارد شو د شتاب اين بر جسم بر حسب M/s2 چقدراست؟ الف) 2/0 ب) 0/2 √ج) 0/5 د) 0/20 _____________________________________________________________________ 3-3-1 نيروي گرانش وارد به يك جسم به جرم kg 3 درسياره اي كه شتاب جاذبه ي آن g=10m/s2 مي باشد برجسب نيوتن چقدر است ؟ الف) 30/0 ب) 33/3 ج) 42/29 √د) 30 9 4-3-1 فشار pa 10 را مي توان به صورت زير نوشت : الف ) gPa √ب) GPa ج) KMPa د ) µ p a ____________________________________________________________________ 1-4-1 رابطه ي ابعادی چسبندگي كدام است ؟ 2- 1-1- 2- 2 √الف) FLT ب ) FLT ج) FLT د ) FLT _____________________________________________________________________

2-4-1 جواب نادرست را مشخص كنيد 2-4-1 جواب نادرست را مشخص كنيد . نيروهاي برشي : الف) درموقعي كه سيال ساكن است بوجود نمي آيد. ب)√ موقعي كه سيال ساكن است به دليل جاذبه ي مولكولي ممكن است بوجود بيايد ج) به تبادل مولكولي تكانه بستگي دارد. د) به نيروهاي بين مولكولي بستگي دارد. _____________________________________________________________________ 3-4-1 رابطه ي ابعادي چسبندگي سيناتيكي عبارت است از : 2- 1-1- 2 2 1-2 الف ) FLT ب ) MLT ج) LT √د) LT _____________________________________________________________________ 4-4-1 چسبندگي نفت سفيد در `c20 با توجه به جدول 2-1 برجسب نيوتن برمترمربع برابر است با : 5- 4- 3- 2- الف ) 10 × 4 ب) 10 ×4 √ج) 10 × 93/1 د) 10 × 93/1 ____________________________________________________________________

5-4-1 چسبندگي سيناتيك هواي خشك در `c30 و 760 ميلي متر جيوه برحسب مترمربع برثانيه برابر است با : 5- 4- 6- 5- الف )10× 7/1 √ ب) 10 × 7/1 ج ) 10 × 73/1 د) 10× 93/1 _____________________________________________________________________ 8 - 6-4-1 به ازاي V = 3×10 m2/s , P = 800 kg/m2 , مقدار µ درسيستم متریک برابراست با : 11 5- 5 12 الف)10× 75/3 ب) 10 ×4/2 √ ج) 10 × 47/2 د) 10 × 4/2 _____________________________________________________________________ 1-5-1 دركداميك از انواع جريان هاي زير فرض پيوستگي معقول مي باشد؟ 1) جريان آزاد مولكولي 2) جريان لغزشی 3)ديناميك گازها 4) خلاء كامل 5) جريان مايع الف ) 2و1 ب) 4و1 ج) 3و2 √د) 5و3 _____________________________________________________________________

1-7-1 گاز كامل : الف) چسبندگي اش صفر است . √ ب) چسبندگي اش ثابت نمي باشد. ج) تراكم ناپذيراست . د) ازرابطه ي Pp=RT پيروي مي كند. _____________________________________________________________________ 2-7-1 جرم مولكولي نسبي گازي 28 است , مقدار R برحسب m.N/kg.k برابر است با : الف ) 2917 ب) 297 √ج) 2911 د) 8312 _____________________________________________________________________ 3-7-1 درفشار مطلق l MPa دردماي `c10 چگالی در SI برابر است با : الف ) 231/1 √ب) 31/12 ج) 0/65 د) 4/118 _____________________________________________________________________ 4-7-1 چه مقدار گاز منواكسيد كربن برحسب كيلوگرم جرم , در حجم L100 و دماي `c20 وفشار KPa 200 جاي مي گيرد؟ الف )00023/0 √ب) 23/0 ج) 367/3 د) 3367 _____________________________________________________________________

1-8-1 ضريب كشاني حجمي گازي دردماي T 1-8-1 ضريب كشاني حجمي گازي دردماي T. ازرابطه ي زير بدست مي آيد : الف ) p/p ب) RT. ج) pP √د) PRT. _______________________________________________ 2-8-1 ضريب كشساني حجمي : الف ) به دماي بستگي ندارد √ ب) با افزايش فشار , زياد مي شود د) رابطه ابعادي آن به صورت p/1 مي باشد ج) به فشار و چسبندگي بستگي ندارد . ____________________________________________________________________ 3-8-1 اگر VMPa فشار به روي آب وارد كنيم , چگالي آن چند درصد افزايش مي يابد ؟ الف) 300/1 ب) 30/1 √ج) 3/1 د)2/1 _____________________________________________________________________ 4-8-1 با اعمال فشار l MPa به روي مايعي به حجم L 300 حجمش L 6/0 مي شود ضريب كشاني حجمي آن را برحسب GPa بدست آوريد . الف) 5/0 - ب) 5/0 ج) 50 √ د) 500 _____________________________________________________________________

1-9-1 فشار بخار آب برحسب پاسكال دردماي c `30 برابر است با : الف ) 44/0 ب) 18/7 ج) 223 √د) 4315 _____________________________________________________________________

فصل 2 ايستايي سيالات 1-2 مقدمه در اين فصل راجع به دانش ايستايي سيالات و آنهم در دو بخش خواهيم پرداخت: فشار و تغييرات داخلي يك سيال و همچنين نيروها ي فـشاري روي سطوح معين . اگـر سيـال مانند جـسم جامد حركت كند، به دليل تشابه نيروهاي مورد بحث، آن را در قسـمت ايستـايي سيالات بررسي مي كنند. در مطالعه ي ايـستـايي سيـالات بر روي سطـوح تمام اجسام آزاد، فقط نيروهاي فـاري عمودي مورد توجه است.

2-2 فشار در يك نقطه مي دانيم اگر نيروي عمودي وارد بر صحنه اي را تقسيم بر مساحت اين صفحه كنيم، فشار متوسط بدست مي آيد. بنابراين فشار در يك نقطه از حد نسبت نيروي عمودي وارد بر سطح بدست مي آيد اگر مساحت آن سطح به سمت صفر ميل كند. در نتيـجه در هر نقطه از يك سيال ساكن، فشار در تمام جهت ها يكسان مي باشد. براي اثبات اين مطلب فرض مي كنيم جسم كوچك آزادي به شكل گوه اي باشد كه عرض آن برابر واحد و در نقطه (x, y) از يك ساكـن قـرار داشـته باشد. شـكل (1-2). همچنين فرض مي كنيم فقط نيروي عمودي بر سطح و نيروي گراني موجود باشد. بنابراين معادلات حركت در جهت y, x به صورت زير در مي آيد: (1-2) (2-2)

كه در اين دو رابطه Pz , Py , Px فشارهاي متوسط بر سه سطح ، نيـروي گرانـي واحـد چگـالـي و ay , ax شـتاب مي باشند . اگر حد جسـم آزاد را كه به سـمت نقـطـه‌ي (x,y) ميل كند ( با حفظ زاويه ) بگيريم و با استفاده از دو رابطه‌ي زير: s Sin = y , s Cos = x آنگاه معادلات (1-2) و (2-2) به صـورت زيـر در مـي آيند: جمله‌ي آخر در مـعادله‌ي دوم را صرف نظر كنـيم. زيـرا در مـقايـسه با سـاير جـملات كوچـك است. بنابراين نتيجه مي شود: (3-2) Ps=Px=Py

شكل 1-2 نمودار جسم آزاد ذره اي به شكل گوه و اين قانون پاسكال است شكل 1-2 نمودار جسم آزاد ذره اي به شكل گوه و اين قانون پاسكال است. چون زاويه‌ي  اخـتياري بود، بنـابرايـن با توجه به معادله‌ي (3-2) مشخص مي شود كه در هـر نقطه از يك سيال سـاكن، فشار در تمام جهات يكسان است. اگر حركت سيال طوري باشدكه دو لايـه مجـاور آن نـسبت به هـم حـركت داشته باشند، تنشهاي برشي بوجود مـي آيند و در نتيجه تـنش هاي عـمودي حاصل در تمام جهت ها يکسان نخواهد بود . اين فشار به صورت ميانگين سه تنش فشاري عمود بر هم در يك نقطه به صـورت زير تعريف مي شود: (4-2) اما در يك سيال آرماني با چسبندگي صفر براي هـر نوع حـركت سـيال، هيچ تنش برشي بوجود نـمي آيد ، در نتيجه در هر نقطه از اين سيال ، فشـار در تمامي جهت ها يكي خواهد بود.

3-2 معادلات بنيادي ايستايي سيالات 1-3-2 تغييرات فشار در سيال ساكن نيروهايي كه به يك جزء سيال ساكن وارد مي شود همان نيروهاي سطحي و نيروهاي داخلي است (شكل 2-2). اگر محور y را به سمت بالا و به طور عمودي در نظر بگيريم، تنها نيروي داخلي كه بر اين جزء در امتداد y وارد مي شود برابر با : xyz مي باشد. فرض مي كنيم، فشار P در مركز اين جزء (x,y) نيروي تقريبي وارد بر سطح عمود بر كل y كه نزديكتر به مبدأ مي باشد، تقريباً برابر است و نيروي وارد بر سطح مقابل آن برابر است با: توجه داريم y فاصله از مركز تا سطح عمود بر محور y است. بنابراين نيروهاي وارد بر اين جزء فرضي در جهت y بدست مي آيد:

اما در دو جهت xو هيچ نيروي داخلي وارد نمي شود:

سرانجام بردار نيروي مؤثر δF از رابطه زير بدست مي آيد. حال ابعاد جزء مورد نظر را به سمت صفر ميل مي دهيم و دو طرف رابطه‌ي بالا را بر δxδyδz=δ v تقسيم مي كنيم تا نتيجه شود: (5-2) و اين مقدار نيروي وارد بر واحد حجم جزء در هر نقطه است كه براي سيال ساكن بايد برابر با صفر گرفت. كميت داخل پرانتز در رابطه‌ي (5-2) گراديان مي باشد. يعني: (6-2)

و-▼P ، برابر با ميدان برداري f (نيروي فشار سطح در واحد حجم) است: (7-2) بنابـرايـن قـانون تغييـرات فشار در سـيال ساكن به صورت زير بيان مي شود. اگر سـيال چسبناكي در حال حركت يا سيالي كه در آن تنش برشي در تمام نـقاط صفر باشد، قانون دوم نيوتن به صورت زير در مي آيد: (8-2) در رابطـه ی بالاa شتاب جزء سيال است. اگر فقط نيروي گرانشي به حجم سـيال اثـر كند. نيروي سيال به صورت f - j است. ما از اين رابطه بـه هنگـام بحث معادلات اويـلر اسـتفاده خواهيم كرد. اگر مـعادله (8-2) را بـخواهـیم به صـورت مولفـه اي بـيان كنيم، سه معادله‌ي زير بدست مي آيد:

در واقع اين معادلات شكلي از قانون پاسكال است و بيانگر اين نكته مي باشد كه در جرمي پيوسته اي از يك سيال، چنانچه دو نقـطه ارتفاع يكساني داشته باشند ، فشارهاي يكساني دارند. بنابراين مـي توان نتيجه گرفت كه P فقط تابعي از y است يعني: (9-2) اين معادله‌ي ديفرانسيل آسان، رابطه‌اي بين تغييرات فشار را با نيروي گراني و تغييرات ارتفاع نشان مي دهد و براي سيالات تراكم پذير يا تراكم ناپذير بكار مي رود. اگر سـيال همگـن و تراكـم ناپـذير باشـد كـه در ايـن صورت ثابت مي باشد . با انتـگرال گيري از رابطه‌ي (9-2) نتيجه مي شود: (10-2) اما اگر سطح مقايسه را سطح آزاد مایع بگيـريم . بنابـراين در ارتفاع P, y=-h برابر است با افزايش فشار از سطح آزاد مایع و معادله‌ي بالا به صورت زير در مي آيد. (11-2)

مثال 1: مي خواهيم آزمايشگاه دريايي به ارتفاع 5 متر را طراحـي مي كنيـم كه بتواند در عمق 100 متري از سطح دريا غوطه ور باشـد . مي دانيم چگـالـي نـسبـي آب نـمـك 020/1 است ، فـشار روي سطـح بالاي آزمايشگاه و همچنين تغييرات فشار را روي يكي از وجوه آن بدست آوريد. به ازای h=100m حل 1/020 X 1000 X 9/806 = 10 kN/m3=  و از رابــطــه ی (11-2) داریم : P=h=10X100=1 N/m اگرy فاصله از بالاي آزمايـشگاه رو بـه پايـين باشد، تغييرات فشار به صورت زير خواهد بود. P=10(y+100) Kpa

2-3-2 تغيير فشار در سيال تراكم پذير اگر دماي يك گـاز آرماني ثـابت و به حالت سكون باشد با توجه به معادله‌ي ( -1) داريم: (12-2) اگر ρ را از اين معادله و معادله (9-2) حذف كنيم (مي دانيم  =pg است): (13-2) با انتگرال گيري از اين معادله نتيجه مي شود: و يا (14-2) معادله بالا تغيير فشار را با ارتفاع در يك گاز تكدما نشان مي دهد.

با جايگزين داده ها در معادله ‌ي (14-2) بدست مي آيد: مثال 2 اگر در سطح دريا kg/m3 24/1=  و Paabs P=105و آتمسفر تكدما باشد، مقدار فشار و چگالي را در ارتفاع 2000 متري چقدر خواهد بود؟ حل با جايگزين داده ها در معادله ‌ي (14-2) بدست مي آيد: براي محاسبه‌ي چگالي از معادله‌ي (12-2) خواهيم داشت: kPa abs 4/78 = Kg/m3

4-2 دستگاه هاي اندازه گيري فشار فشار را مي توان نسبت به هر مبناي دلخواهي بيان كرد. متداول اين است كه مبناي فشار، صفر مطلق و فشار آتمسفر محلي باشد. اگر فشار بر حسب اختلاف آن با خلاء كامل بيان شود آن را فشار مطلق مي گويند و هنگامي كه بر حسب اختلاف با آتمسفر محلي بيان شود، فشار نسبی مي نامند. فشار آتمسفر محلي را بـا بارومتـر جيوه اي (شكل 3-2) اندازه مي گيرند كه اختلاف فشار بين اتمسفر و خلاء يا لوله اي كه هواي آن تخليه شده باشد نشان مي دهد. بارومتر جيوه اي شـامل يك لولـه نازك شيشه اي محتوي جيوه است كه يك سر آن و سر باز آن در تـشتكي پر از جيوه غـوطه ور مي باشـد . اين دستگاه طوري درجه بندي مي شود كه به كمك آن بتوان مقدار R را تعيين كرد. شكل (3-2) بارومتر جيوه اي فضای بالاي جـيوه حاوي بخار جيوه است و اگر فشار بخار جيوه hr برحسب ميلي متر جيوه و R نيز بر حسب همين يكا بيان شود، آنگاه فشار در نقطه A برابر است با: (15-2) hr+R=hA توجه داريم كه فشار بـارومتر با تغيير محل فرق مي كند و hr تابعي از دما است ولي در دماي آتمسفر مقدار وابستگي hr به دما بسيار كم و ناچيز است. معمولاً گـراديان دمـاي آتمـسفر را ثابت فرض مي كنند و آن را به صورت زير بيان مي كنند.

(16-2) T=To+y و ميزان تغييرات دما با ارتفاع را در آتمسفر ميزان انحراف مي نامند. حركت توده هوا بستگي به چگالي آن نسبت به چگالي هواي پيرامونش دارد. اگر اين توده هوا در آتمسفر بالا برود، فشار كاهش مي يابد و منبسط مي شود و در نتيجه دماي آن نيز كاسته مي شود. اين مقدار را انحراف بي در رو مي نامند. مثال 3 در كارخانه اي مي خواهند مقداري زيادي زباله را بسوزانند. دماي دود حاصل از اين زباله ها در ارتفاع 10 متري بالاتـر از سـطح زمـين `C11 بيشـتر از هواي پيرامـونش مي باشد . اگر شرايط طـوري باشـد كه در فشار آتمسفر مقدار انحراف دماي `C00951/0= در هر متر و `C20=to باشـد ، چه اتفاقي خواهد افتاد؟ حل با توجه به رابطه‌ي (16-2) مي توان از قانون گاز كامل استفاده كرد. و چگالي را به صورت زير بيان كرد: با جايگزين اين رابطه در رابطه‌ي فشار داريم: و يا

در نتيجه داريم: اما از فصل مي دانيم براي فشار و دما در حالتي كه گاز بدون انتقال دما منبسط مي شود رابطه‌ي زير برقرار است. كه در آن T1 و Po دمـا و فشـار مطلق دود در حـالت اوليه است و k ضريب دماي مخصوص ميباشد كه براي هوا و سـاير گازهـاي دو اتمي برابر با 4/1 است. از حذف در دو معادله‌ي اخير، داريم: اما در طـي اين مـدت كه گاز به سـوي بالا مي رود ، دمايش با دماي پيرامون خود يكسان خواهد شد و داريم: T=To+y

سرانجام از اين دو معادله، y را بدست آوريم: (17-2) كه در آن اكنون به ازاي و مقدار بدست مي آيد: 002/2 a= و m2/809=y اگر نقطه اي در زير خط فشار آتمسفر محلي كه به عنـوان مبدأ اندازه گيري معين شده، قرار داشته باشد،‌ آن را فشار مكش مي نامند . براي مثال اگر فشار mm Hg abs 460 را بارومتر mm720 نشان دهد، فشار را مي توان به صورت mmHg 260- يا mmHg 260 مكش بيـان كرد . بنابراين مي توان چنين نوشت. (18-2) Pabs=Pbar+Pgage

دسـتگاه ديگري كه در انـدازه گيري فشار بـكار مي رود مانومتر است و آن دستگاهي است كه در آن از سـتون مايع جـهت تعيين اختلاف فشار استفاده مي شود. ساده ترين نوع مانومترهايي را كه در شكل (4-2) نشان داده شده است . پيزومتر مي نامند و از آن در حالتي كه فشار نسبي مايع از صفر بيشتر باشد استفاده مي شود . تـوجه داريم كه لـوله شـيـشه اي به حالت قائم به فضاي مخزن ارتباط مي يابدو مايع داخل مخزن در اين لوله تاجايي بالامي آيد كه به حالت تعادل برسد . اين ارتفاع (h) بيانگر فشار داخل مخزن است . از اين دستگاه نمي توان در اندازه گيري فشار منفي استفاده كرد. اگر فشار داخل مخزن بسيـار زياد باشد، بايد طول لوله شيشه اي قائم بسيار بلند باشد كه عملی نيست ، بنابراين از اين دسـتگاه نمي توان استفاده كرد. اگر چـگالي نسـبي مايعS باشد . فشار مخزن برابر با “hs برابر واحد طول آب” مي باشد. بنابراين اگر بخواهيم فشارهاي نسبـي مثبت و منـفي ناچـيز در يـك مايـع را اندازه گيـري كنـيم بايد از نـوع ديگر مـانومتر كه در شكل (4-2 الف) نشان داده شـده اسـت استفاده كرد . در ايـن حـالت سطح آزاد مايع پايين تر از مخزن A قرار مي گيـرد . زيرا با كاهش ارتـفاع ، فشـار كم مي شود و فشار نسبي در سطح آزاد مايع صفر است. در اين حالت داريم: واحد طول آب hA= -AS

در مواردي كه فشار نسبـي مثبت و يـا منفي زياد باشد ، از مانومتري استفاده مي شود كه در شكل (4-2 ج) نشان داده شده است و در آن از دو مايـع يا يـك مايـع و يك گاز كه يكي از آنها چگالي نسبي بيشتري نسبت به ديگري داشته باشد ، بكار مي رود . اگر چـگالي نسبي سيال داخل مخزن A برابر با S1 و چگالي مايع داخل مانومتر S2 باشد. معادله اي به صورت زير بـراي اندازه گيري فشار مخزن A باشد و از نقطه A يا بالاترين سطح آزاد مايع نوشته مي شود: hA+h2S1-h1S2=o و hA فشار مجهول است, كه بر حسب يكاي طول آب بيان مي شود . شكل 4-2 مانومترهاي ساده

5-2 نيروهاي وارد بر سطوح سطح در بخـش قبلي تغييرات فشار را درون سيال بررسي كرديم . روي يك سطح مشـخص داخـل سيـال نيـروهـاي زيادي دارد وارد مي شود كه مي توانيـم يك نيروي برآيند جايگزين آنها كرد. در اين بخش راجـع به مقدار نيروي برآيند و خط اثر آن (مركز فشار) بحث مي كنيم. 1-5-2 سطوح افقي اگر صفحه اي مسطح به طور افقي داخل سيالي ساكن تحت فشار ثابت قرار گيرد، مقدار نيروي وارد بر يك وجه اين صفحه برابر است با: نيرو های خارجي PA به طور موازی به سطح A وارد مي شود، در نتيجه جمـع تمامـي آنها برابر با نيروي برآيند خواهد بود . توجه داريم در اين حالت جمع نيروها به صورت جمع اسكالر ميباشد. اكنون مي خواهيم خط اثر اين نيروي برآيند ( نقطه اي داخل سطح كه گشتـاور نيروها حول هر محوري گـذرا از اين نقطـه صفر باشد) را تعيين كنيـم. با توجه به شكل (5-2) داريم:

در رابطه‌ي بالا x فاصـله‌ي نيـروي برآيند تا محور y است در رابطه‌ي بالا x فاصـله‌ي نيـروي برآيند تا محور y است. چون P را ثابت فرض كرديم: كه در آن فاصـله‌ي مركز جـرم تا محور y است ( به پـيو سـت الف مراجعه شود ). در نتيجه مي توان چنين گفت در يك سطح افقي كه تحت فشار سيال ساكن است، بردار برآيند از مركز جرم اين صفحه عبور خواهد كرد. شكل 5-2 سطح افقي تحت فشار از سوي يك سيال ساكن

2-5-2 سطوح شيبدار در شـكل (6-2) صفحه سطحي با تصو يرش AB نشـان داده شده است. زاو يه اي اين صفحه با سطـح افقي  فرض مي شود. تقاطع سـطح مسطـح را با سطح آزاد مايع محور x مي گيريم و محور y را روي سطح آزاد مزبور انتخاب مي كنيم. بنابراين صفحه xy را مي توان يـك سـطح شيبداري فرض كرد. اكنون مي خواهيم مقدار و جهت و خط اثر نـيروي برآيند را كه از سيال به يك وجه اين سطح وارد مي شود، تعيين كنيم. فرض مي كنيم نواري نازك به ضخامت y به مساحت A را از اين سطح بر مي گزينيم . مقدار نيرو يي كه از سيال به اين نوار وارد مي شود ، برابر است با: (19-2) امـا مـي دانيم تمام نيروهـاي خارجي موازي اند، بنابراين به آساني با انتگرال گيري از رابطه‌ي بالا مقدار F نيروي برآيند بدست مي آيد: (20-2)

در رابطه‌ي بالا PG فشار در مركز جرم اين سطح است در رابطه‌ي بالا PG فشار در مركز جرم اين سطح است . يعني مقدار نيرو يي كه به سطح شيـبدار وارد مي شود بـرابـر با حـاصـل ضرب مساحت در فشار وارد به مركز جرم اين صفحه است. اگـر PG مثبت باشد يعني نيرو در جهتي است كه بر صفحه فشار وارد مي شود . چون تمام نيروهاي وارد بر اين صـفحه موازي انـد و مـحور بر صـفحه اند. بنابراين خط اثر نيروي برآيند نيز عمود بر صفحه مي باشد. شكل 6-2 سطح شيبدار درون مايع

3-5-2 مركز فشار با توجه به شكل (6-2)، ملاحظه مي شود كه خط اثر نيروي برآيند از نقطه اي به مختصات (xp, yp) گذر مي كند . اين نقطه را مركز فشـار مي گويند و توجه داريـم ضرورتـي نـدارد كه بر مركز جرم سيستم منطبق باشد . يعني مركز فشار يك صفحه شيبدار در مركز جرم آن صفحه قرار ندارد. در تعيين مركز فشار بـايد گشتاورهاي نيروي برآيند را كه ypF , xpF مي باشند برابر با گشتاورهاي نيروهاي گسترده حول محورهاي y, x گرفت: (20-2 ب) (20-2 الف) توجه داريم در معادلات بالا A ديگر برابر با x y نيست و سرانجام داريم: (21-2 الف) (21-2 ب) بـراي سـطوح سـاده ، ايـن معادلات به شـكل كلي تر زير بيـان مـي شوند (به ضميمه الف رجوع كنيد).

با استفاده از ضميمه مزبور معادله بالا به صورت زير ساده مي شود: (22-2) اگر يكي از محورهاي مركز جرم يا يا محورتقارن صفحه باشد ، حذف و مركز فشار روي قرار مي گيرد. توجه داريم مي تواند مثبت يا منفي باشد، بنابراين مركز فشار مي تواند در طرف چپ و يا در طرف راست خط باشد. اكنون yp را محاسبه مي كنيم. (23-2) با استفاده از قضيه محورهاي موازي در اين رابطه IG گشتاور دوم سطح حول مركز جرم افقي آن مي باشد با جايگزينی رابطه‌ي بالا در رابطه‌ي (23-2) نتيجه مي شود: (24-2) اما IG همواره مثبت است، بنابراين نيز مثبت مي باشد و مركز فشار هميشه پايين تر از مركز جرم صفحه خواهد بود.

مثال 4 دريچه مثلثي شكل CDE حول محور CD لولا شده است (شكل 7-2) و بـراي باز كردن آن بايد نيرو يي مانند P در نقطه‌ي E وارد شود. روي دريچـه رو غـني با چـگالي 80/8 قرار دارد و بـه سطـح زيرين دريـچه فشـار آتـمسفر وارد مي شود . با چشم پوشي از وزن اين دريچه (الف) مقدار نيرو يي را كه به دريچه وارد مي شود محاسبه كنيد (ب) موضوع مركز جرم كجاست؟ (ج) مقدار نيروي لازم براي بازكردن دريچه چقدر است؟ حل شكل 7-2 دريچه‌ي مثلث شكل (الف) با انتگرال گيري و مراجعه به شكل دريچه (7-2) داريم.

اكنون رابطه‌ي بين y, x را بدست مي آوريم اكنون رابطه‌ي بين y, x را بدست مي آوريم. X=ay+b -> 0=4a+b , 3=6/5a+b از حل اين دو معادله a و b بدست مي آيد. همين طور براي انتگرال هم داريم: بنابراين با جايگزيني در دو انتگرال بالا نتيجه مي شود: با انتگرال گيري و جايگز يني مـقدار θ Sin  در رابطه‌ي بالا خواهيم داشت.

(ب) با توجه به مقادير و و اين كه به علت تقارن با محور مركز جرم كه با محور x موازي است، صفر مي باشد. بنابراين همچنين با جايگزينی در معادله‌ي (24-2) داريم. يعني مركز فشار روي صفحه مسطح، m16/0 پايين تر از مركز جرم قرار دارد. (ج) از جايگزيني نيروي برآيـند به جـاي نيروهاي وارده از روغن و تعيين گشتاور حول CD داريم: px3=191/200x1 -> p=63/74KN

6-2 مؤلفه هاي نيروي مؤثر بر سطح هاي خميده شكل اگر سطح خميده شكل باشد، جهت نيروهاي وارد بر يك جزء آن سطح CPA تغيير مي كند . بنابراين مقادير آنها به صورت بـرداري با هم جمع مي شوند. يك كنج راست گوشه را در نظر مي گـيريم و از جـمع مؤلفه هاي هم امتداد، سـه مؤلفه در سه جـهت بدست مي آيد. از جـمع برداري ايـن مـولفه هاي سرانـجام نيروي مـوثر بر سطح خميده شكل بدست مي آيد و خطوط اثر اين مؤلفه هاي نيز به آساني قابل تعيين مي باشند. (آ) مولفه‌ي افقي نيروي مؤثر بر سطح خميده شكل اين مولفه بـرابر با نيروي فشـاري وارد بر تصـوير سطح خميده شكل است و صـفحه عمـودي حاصل از تصوير سطح خميده شكل ، عمود بر جهت مولفه‌ي افـقي است . اين مطلب در شكل (8-2) نشان داده شده است . اگر سطح كوچـكي مـانند A را از اين سطـح در نظـر بگيريم و فرض كنيم خط عمود بر اين جزء كوچك با جهت منفي محور x زاويه  بسازد، آنگاه داريم. F=PA Cos اكنون با انتگرال گيري، مجموع تمـام مـولفه ها را در امتـداد محور x بدست مي آوريم. ( 25-2)

توجه داريم در رابطـه‌ي بالا Cos A تصوير A روي صفحه اي عمود بر امتداد محور x است. حال اگر مولفه‌ي افقي يك نيروي فشاري روي يك سـطح بسته مورد نظر باشد، تصوير سطح خميده شكل مزبور روي يك صفحه قائم همواره صفـر است . زيرا در برابر هر سطح تصويري سطح تصويري ديگري با عـلامت مخالف بوجود مي آيد كه اثر يكديگر را خنثي مي كنند. شكل 8-2 مولفه‌ي افقي نيرو روي سطح خميده در تعيين خط اثر مولـفه‌ي افقي نيـروي موثر بر سطح خميده شكل لازم است بـرآيند نيـروهاي مـوازي كه از مولفه هاي نيرو وارد بر هر يك از اجزاء سطح تشكيل مي شود، تعيين كرد. اين برآيند، همان برآيند نيروي وارد بر سطح تصـوير شده در امتداد مزبور است . بنابراين مركز فشار بر سطح تصوير قرار مي گيرد.

مثال 5 معادله‌ي بيضوار كه در آب غوطه ور شده است عبارتست از مركز آن m2 پايين تر از سطح آزاد قرار دارد. مولفه هاي نيروي افقي موثر را بر سطح خميده شكل در اول پيدا كنيد. فرض كنيد صفحه‌ي x افقي باشد و جهت مثبت y رو به بالا است. حل مساحت تصوير روي صفحه y برابر با مي باشد . بنـابراين مركز جرم پايين تر از سطح آزاد قرار مي گيرد. در نتيجه داريم. و

(ب) مولفه‌ي قائم نيروي موثر بر سطح خميده شكل مي دانيم مولفه‌ي قائم نيـروي فشـار موثر بر سطح خميده مساوي با وزن مايع است كه از سطح خميده مزبور تا سطح آزاد به طور قائم قرار گرفته است. از جمع برداري مولفه هاي نيرو فشاري موثر بر سطح كوچك Aمي توان مولفه‌ي قائم نيروي موثر بر سطح خميده را محاسبه كرد. با توجه به شكل (9-2) A جزء كـوچكي از سطح خميده شكل است كه با امتداد قائم زاويه  مي سازد. بنابراين مولفه‌ي قائم نيروي موثر بر اين سطح برابر است با: (26-2) اكنون به جاي P، عبارت h كه h فاصـله‌ي جـزء مـزبور تا سطـح آزاد است، قرار مي دهيـم و مي دانيم عبـارت CosA تصـويـر A بر روي سطح افقي است. در نتيجـه معـادله‌ي (26-2) به صورت زير در مي آيد: (27-2) توجه داريم V حجم منشـوري اسـت كه ارتفاع آن h و مساحت قاعده‌ي آن برابر CosA مي باشد و يا در واقع حجم مايعي است كه به طور قائم روي جزء سطح مورد نظر قرار دارد.

شكل 9-2 مولفه‌ي عمودی نيروي وارد بر سطح خميده شكل اكنون مي خواهيم خط اثر مولفه‌ي قائم نيرو را تعيين كنيم ، براي اين كار بايد گشتاور مولفه هاي اجزاي قائم نيرو را حول محوري مناسب در نظر گرفت و آن را برابر با گشتـاور برآيند نيرو گرفت . به عـنوان مثال در شكل (9-2) محـوري را كه از O گذر مي كند در نظر مي گيريم . در اين صورت داريم:

كه در آن فاصله‌ي نقطه‌ي o تا خط اثر است و چون است ، پس به آساني مي توان نتيجه گرفت: و اين مقدار معـادل فاصله تا مركز جرم است . بنابراين خط اثر نيروي قائم از مركز جـرم عبور مي كند و در بالاي سطح خميده‌ تا سطح آزاد ادامه مي يابد. مثال 6 مطابق شكل (10-2) مانـع استـوانه شكـلي جلـوي آب را گرفته است و محل تماس بين استوانه و ديواره كاملاً صاف مي باشد. به ازاي يك متر طول استوانـه مطلـوبست تعيـين (الف) وزن آن و (ب) نيـروي وارد بر ديواره شكل 10-2 مانع استوانه اي شكل

حل (الف) در حالت تعادل ، وزن استوانه بايـد برابر با مولفه‌ي قائم نيرويي باشد كـه از سـوي آب وارد مي شـود ( سـطح آزاد فرضـي براي CD در ارتفاع Aاست).نيروي قائم وارد به BCD برابر است با: و نيروي قائم وارد بر AB برابر است با: در نتيجه وزن واحد طول بدست مي آيد: (ب) مي دانيم نيروي وارد بر ديواره برابر با نيروي افقي ABC منهاي نيروي افقي وارد بر CD مي باشد . اما تصوير BCD روي صفحه‌ي قائم صفر است، مولفه هاي افقي نيروي وارد بر CD-BC با يكديگر حذف مي شوند: FH=FHAB=2=19/6 KN چون مساحت سطح تصوير شده m22 است ، بنابراين فشار در مركز جرم سطح مزبور برابر با Pa 0698 مي باشد. FvBCD+FvAB=(3+4) =0/132 N

7-2 نيروي شناوري نيروي شناوري همان نيروي برآيند وارد از طرف يك سيال ساكن به جسمي است كه داخـل آن فرورفتـه يا شناور باشد . اين نيرو همـواره به طـور قائـم و رو بـه بالا اثر مي كند. اين نيرو مؤلفه افقي ندارد زيرا تصوير جسمي كه در مايع غوطه ور است يا قسمتي از آن در مايع شناور مي باشد، همواره روي سطح قائم برابر صفر است. اين نيـرو را مـي توان از تفاضل بين مؤلفه‌ي قائم نيروي فشاري كه به قسمت تحتاني جسم وارد مي شـود و مـولفه‌ي قائـم نيروي فشـاري كه به فوقاني جسم مزبور وارد مي شود، بدست آورد . اخـتلاف بين اين دو نيرو ، نيروي قائمي ميشود كه همواره به سمت بالا اسـت كه ناشـي از وزن سيال جابجا شده توسط جسم مزبور است . شكل معادله اي آن به صورت زير در مي آيد: (28-2) كه در آن FB نيـروي شنـاوري و V حجم سيـال جابـجا شده و  وزن مخصوص سيال مزبور است. همين فرمول در مورد جسمي كه در مایعی شناور باشد نيز بكار مي رود كه در آن V حجم مايع جابجا شده است . توجه داريم خط اثر نيروي شناوري از مركز جرم حجـم جابجـا شده‌ي سيال مي گذرد و اين مطلب براي اجسام شناور يا غوطه ور در مـايع نيز صـادق اسـت . مركز جرم حـجم سيـال جابجـا شـده را مركز شناوري مي نامند. در حل مسايل ايستايي اجسام شناور يا غوطه ور ، جسـم را به عنـوان جـسم آزاد در نظر مي گيرند و نيروي شناوري جايگزين عملكرد سيال مي كنند و وزن جسم را كه از مركز جرم نيز مي گذرد مانند ساير نيروهاي تماسي را نشان مي دهند.

يكي از كاربردهاي شناوري، تعيين وزن ، حجم ، و وزن مخصوص و چگالي جسم نامشخص است كه از دو سيـال مختلف استفاده و جسم مزبور را در داخل آنها فرو مي برند(شكل 12-2) . F1 و F2 وزن هاي جسم بعد از فرورفتن در سيال اسـت و 1 و 2 وزن مخصـوص سيـال اول و دوم و W و V نيز وزن و حجـم مخصوصي است كـه مي خواهيم آنها را تعيين كنيم. ابتدا شرايط تعادل را مي نويسيم: شكل 24-2 جسم غوطه ور در دو سيال و

اكنون از اين دو رابطه W, V را بدست آوريم: و كاربرد ديگر آن تعيين چگالي مايعات است كه در چگالي سنج ها بكار مي رود. در شكل (12-2) چگالي نسبـي را نشـان مي دهد كه در دو مايع فرو رفته است . چـگالي نسبي يك ساق منشوري با سطح مقطع a دارد. فرض مي كنيم مايع سمـت چپ آب مقـطر يعـني 00/1=S باشد . اين چـگالي هنگامي شناور مي ماند كه شرط زير برقرار باشد. (29-2) كه در آن حجم قسمتي از جسم است كه در آب مقطر غوطه ور مي باشد و  وزن مخصوص آب و W وزن چگالي نسبي است . در اين شكل محل سطح مايع را به ازاي چگالي واحد با علامت u روي ساق چگالي نسبي نشان داده ايم. حـال آن را در مايـع ديـگري شنـاور مي كنيم . بار ديـگر معادله‌ي تقارن را مي نويسيم. (30-2) كه در آن V=ah مي باشد. از دو رابطه‌ي اخير h را بدست مي آوريم: (31-2)

به اين ترتيب مي توان ساق چگالي نسبي را مندرج كرد و آن در تعيين چگالي هاي مختلف بكار برد. شكل 13-2 كاربرد چگالي نسبي در تعيين چگالي مايع مثال 7 قطعه سنگ معدني در هوا N5/1 وزن دارد وقتي آن را به زير آب فرو مي برند N1/1 وزن خواهد داشت . حجم ( بر حسب سانتي متر مكعب) و چگالي اين قطعه سنگ را بدست آوريد. حل با استفاده از شكل (12-2) مي نويسيم: V (9806) + 1/1=5/1 Cm3 8/40= V

8-2 دوران يكنواخت حول محور قائم دوران يك سيـال مانند جسم صلب ، حول يك محور مشخص را حركت گردابي اجباري مي نامند . در اين دوران، سرعت زاويه اي تمام ذرات يكسان مي باشد و اين حـركت با حـركـت گردابي آزادي كه در آن هـر ذره در مسـير دايره اي حركت مي كند و تغييرات سرعتش نسبت معكوس با فاصله از مركز دارد، فرق خواهد داشت . مايع داخل ظرف پـس از زماني كه اين ظرف حول محور قائم با سرعت زاويه اي مي چرخد، مانند يك جسم صلب عمل مي كند. و در اين حالت هيچ تنش برشـي در مايع وجود نخواهد داشت و تنها شتابي كه پديدار مي شود شتاب شعاعي كه رو به داخل و به سمت محور چرخش مي باشد. با توجه به شكل (14-2) برداريكه‌ي را در امتداد r و را در امتداد قائم (محور y ها) و به سمت بالا انتخاب مي كنيم. معادله‌ي (8-2) را در تعيين تغييرات فشار در سرتاسر سيال بكار مي بريم: (32-2) فرض مي كنيم سرعت زاويه اي w ثابت باشد در نتيجه هر ذره‌ي سيال شتاب شعـاعي رو به داخل و معـادل خواهـد داشـت . در نتيجه خواهد بود . از جسـم دو بـردار و ، گراديـان فشار بدست مي آيد . فشـار در ا متداد عمود بر اين خط تغييري نخواهد كرد . بنابراين اگر نقطه m را در سطح در نظر بگيريم، سطح آزاد عمود بر خواهد بود . ازدو معادله‌ي (32-2) چنين خواهيم داشت:

توجه داريم برداريكه در امتداد محـور z اسـت توجه داريم برداريكه در امتداد محـور z اسـت . از اين معادله‌ي برداري داريم: (33-2) چـون P فـقط تابـعي از y و r مـي باشد ، بنـابراين ديفرانسيل كامل (dp)P به صورت زير بيان مي شود. از جايگزيني روابط (33-2) در اين رابطه نتيجه مي شود: (34-2) معمولاً براي يك مايع ثابت -v مـي باشـد، بنابراين از انتگرال گيري رابطه‌ي بالا چنين بدست مي‌آيد.

كه در آن c ثابـت انتگرال گيري است كه در آن c ثابـت انتگرال گيري است . اگـر فرض كنيم مقدار فشار در مبدأ برابر با Po باشد چون C=Po مي شود. بنابراين داريم: (35-2) اگر سطح افقي طوري انتخاب شود كه و y=o باشد از تقسيم دو سمت معادله‌ي بالا بر  نتيجه مي شود (36-2) و اين رابطه‌ي بسيـار مهم اسـت زيرا عمق مايع را نشـان مي دهد كه با مجـذور شعـاع نسبـت مستقيم دارد . بنـابرايـن به هنگام دوران، شكل سطوحي كه فشار روي آنها ثابت باشد، به صورت سهمي وار خواهد بود. فرض كنيد ظرفي محتوي سيالي را به دوران در آوريم ، حجم زير سطح آزاد كه به شكل سهمي در آمده است برابر با حجـم سيال اوليه است و شكل اين سهمي فقط تابعي از سرعت زاويه اي دوران w است . اگر اين ظرف به صورت استوانـه باشـد با توجه به معـادلـه‌ي (36-2) ارتفاع حدود مايع مساوی با خواهد بود. اما سهمي حاصل حجمي برابر با نصف استوانه‌ي هم ارتفاع خود دارد ، حجـم مايع در بالاي‌ سطح گذرا بر پايين ترين نقطه سهمي برابر است با

به هنگام سكون، ارتفاع سطح آزاد مايع از پايين ترين نقطه سهمي برابر است با بنابراين همان مقدار كه مايع در مركز پايين مي آيد ، در جداره ها بالا مي رود و در نتيجه با مشخص بودن w و ro پيش از چرخش، مي توان پايين ترين نقطه را تعيين كرد(شكل 13-2) شكل 13-2 دوران استوانه حول محور خود مثال 8 مايعي با چگالي نسبي 2/1 با سرعت rpm200 حول يك محور قائم دوران مي كند و در نقطه اي چون A كه از محور دوران m1 فاصله دارد فشـار بـرابر با kPa 70 است . فشـار داده B كه m2 بالاتر از A مي باشد و از محور دوران m5/1 فاصله دارد، بدست آوريد. حل معادله‌ي (35-2) را براي اين دو نقطه مي نويسيم: اين دو معادله را از هم كم و داده ها را جايگزين مي كنيم: B=375/6 kPa

تست هاي فصل 2 1-2-2 در هر نقطه از سيال تنش عمودي در تمام جهت ها اگر (الف) سيال بدون اصطكاك باشد، يكسان است (ب) سيال بدون اصطكاك و تراكم پذير باشد، يكسان است (ج) سيال با لزجت صفر و درحال سكون باشد، يكسان است √ (د) هيچگونه حركتي بين يك لايه از سيال و لايه مجاورش وجود نداشته باشد، يكسان خواهد بود. __________________________________________________________________________________ 1-3-2 فشار مطلق هوا در فضاي بالاي سطح روغني با 075/0 = S در يك مخزن برابر با kPa abs115 است. فشار در 2 متر زير سطح اين روغن بر حسب kPa برابر است با (الف) 14/71 (ب) 5/116 √ (ج) 71/126 (د) 1/134 __________________________________________________________________________________ 2-3-2 معادله‌ي ديفرانسيل تغيير فشار در يك سيال ساكن به كدام صورت زير بيان مي شود y رو به بالا و به طور عمودي است؟ √ (الف) dp= -dy (ب) dp= -dy (ج) dy=-dp (د) dp=-d __________________________________________________________________ 3-3-2 در اتمسفر تكدما (الف) فشار ثابت باقي مي ماند (ب) فشار به طور خطي با ارتفاع كاهش مي يابد (ج) فشار افزايش مي يابد (د) فشار به طور تواني با ارتفاع افزايش مي يابد __________________________________________________________________________________

1-4-2 كدام گزاره صحيح است؟ (الف) فشار آتمسفر محلي همواره پايين تر از فشار آتمسفر استـاندارد است. (ب) فشار آتمسفر محلي فقط به ارتفاع جغرافيايي آن محل بستگي دارد. √ (ج) ‌فشار آتمسفر استاندارد، ميانگين فشار آتمسفر مـحلي در سـطح دريا است. (د) بارومتر اختلاف بين فشار استاندارد و محلي را نشان مي دهد. __________________________________________________________________________________ 2-4-2 اگر بارومتري فشار mmHg 730 را نشان دهد، kPa10 مكش معادل است با (الف) mH2o 2/10- (ب) mHg 075/0 (ج) mH2o abs 91/8 √ (د) هيچكدام __________________________________________________________________________________ 3-4-2 در شكل (4-2 ب) يك روغن مايع با چگالي نسبي 80/0 موجود است. اگر cm60= h باشد، فشار در نقطه‌ي A برابر است با √ (الف) cm H2o abs 52- (ب) 48cm H2o خلاء (ج) cm Hco 48 مكش (د) cm H2o52 خلاء __________________________________________________________________________________

4-4-2 در شكل (4-2 ج) لوله محتوي هوا است و مايع داخل مانومتر آب 4-4-2 در شكل (4-2 ج) لوله محتوي هوا است و مايع داخل مانومتر آب. اگر mm500=h1 و mm200=h2 باشد، فشار در نقطه‌ي A برابر است با: (الف) mH2o abs 14/10 (ب) mH2o 2/0 خلا (ج) m H2o2/0 مكش √ (د) Pa 4901 __________________________________________________________________________________ 5-4-2 يك مانومتر آب ـ جيوه با اختلاف نسبي mm500 است (اختلاف در ارتفاع سطح آزاد مايع) اختلاف فشار اندازه گيري شده بر حسب آب برابر است با: (الف) 5/0 √ (ب) 3/6 (ج) 8/6 (د) 3/7 __________________________________________________________________ 1-5-2 يك سطح مستطيل شكل به ابعاد 3 در 4 متر كه لبـه‌ي پايين افقي آن 3 متر است، 6 متر پايين تر از سطح آزاد روغـن با 8/0= S قرار گرفته است. اين سطح نسبت به افق زاويه 30 درجه دارد. نيروي وارد بر يك وجه آن برابر است با: (الف) 45/38 √ (ب) 485 (ج) 25/51 (د) 605 __________________________________________________________________________________ 2-5-2 مركز فشار پرسش قبلي، نسبت به افق و بر محور قائم چندمتر از سطح آزاد مايع پايين تر است؟ (الف) m133/ 10 (ب) m133/5 √ (ج) m 067/5 (د) m 00/5

3-5-2 مركز فشار: (الف) در مركز جرم سطح غوطه ور قرار دارد 3-5-2 مركز فشار: (الف) در مركز جرم سطح غوطه ور قرار دارد (ب) همواره در بالاي مركز جرم سطح واقع است (ج) بستگي به موقعيت سطح دارد √ (د) نقطه اي روي خط اثر نيروي برآيند است. __________________________________________________________________________________ 4-5-2 دريچه مربعي شكل عمودي به ضلع m4 كه سطح فوقاني آن همان سطح آزاد مي باشد، براي نگهداري آب بكار مي رود . گشتاور نسبت به پايين تر قسمت دريچه چقدر مي باشد؟ √ (الف) 75/42 (ب) 575 (ج) 645 (د) 35/85 __________________________________________________________________ 1-6-2 مولفه‌ي افقي نيروي موثر وارد به سطح خميده شكل برابر است با: (الف) وزن مايعي كه به طور قائم در بالاي سطح خميده قرار دارد. (ب) وزن مايعي كه توسط سطح خميده شكل نگه داشته مي شود. (ج) حاصل ضرب فشار مركز جرم در مساحت √ (د) نيروي وارد بر صفحه قائمي كه تصوير سطح خميده شـكـل مي باشد. __________________________________________________________________________________

2-6-2 مؤلفه‌ي قائم نيروي فشاري موثر وارد به سطح خميده شكل كه در مايعي فرو برده شده است برابر مي باشد با: (الف) مولفه‌ي افقي خودش (ب) نيروي وارد بر تصوير قائم سطح خميده شكل (ج) حاصل ضرب فشار مركز ثقل در مساحت سطح مزبور √ (د) وزن مايعي كه به طور قائم روي سطح خميده شكل قرار دارد. __________________________________________________________________________________ 3-6-2 استوانه اي به قطر m3 و طول m10 را پر از آب مي كنيم و آن را به طور افقي قرار مي دهيم. فشار در مـحـور اسـتـوانه KPa 8/9 مي باشد.مولفه‌ي قائم نيروي موثر برنيمه فوقـانـي آن بـرحـسـب كيلو نيوتن چقدر است. (الف) 7/94- √ (ب) 4/52- (ج) 1/98 (د) 1/147 __________________________________________________________________________________ 1-7-2 قطعه چوبي به ابعاد 1 در 1 در 25/0 متر با 5/0=S با بـاري به وزن N400 روي آب شناور است. حجم قسمت غوطه ور بر حسب متر مكعب برابر است با: (الف) 43/0 (ب) 125/0 √ (ج) 166/0 (د) 293/0 __________________________________________________________________________________

2-7-2 خط اثر نيروي شناوري موثر (الف) از مركز جرم هر جسم غوطه ور مي گذرد. (ب) از مركز جرم حجم هر جسم شناور مي گذرد. (ج) از مركز حجم سيال جابجا شده عبور مي كند. (د) از مركز جرم تصوير افقي جسم عبور مي كند. __________________________________________________________________________________ 1-8-2 وقتي يك مايعي مانند يك جسم صلب حول محور قائم دوران مي كند. فشار: (الف) با مجذور فاصله كاهش مي يابد (ب) با فاصله شعاعي به طور خطي افزايش مي يابد. (ج) به نسبت عكس ارتفاع در امتداد هر خط قائمي تغيير مي كند. √ (د) با مجذور فاصله شعاعي تغيير مي كند. ________________________________________________________________________________ 2-8-2 اگر مايعي حول محور قائم مانند جسم صلب دوران كند بـه نحوي كه فشار نقاط واقع بر محور برابر با فشار نقاطي كه 60 سانتي متر بالاتر و در فاصله‌ي 60 سانتي متري از محور قرار دارند، باشند . سرعت زاويه اي بر حسب راديان بر ثانيه برابر است با: (الف) 04/4 (ب) 43/4 √ (ج) 72/5 (د) 42/5 ________________________________________________________________________________

3-8-2 استوانه قائمي كه قسمت فوقاني آن باز و از روغني با چگالي 2/1 پر مي باشد با چنان سرعتي به دوران در مي آوريـم كـه نيمي از مايع آن به بيرون مي ريزد. فشار مركز تحتاني آن: √ (الف) برابر صفر است (ب) يك چهارم مقداري است كه در حالت پر بودن داشته است (ج) بزرگتر از حالتي است كه به جاي اين مايع، آب قرار گرفته باشد. (د) نصف مقداري است كه در حالت پر بودن داشته است. ______________________________________________________________________ 4-8-2 گرداب اجباري: (الف) خلاف گرداب آزاد مي چرخد (ب) همواره در رابطه با يك گرداب آزاد بوجود مي آيد (ج) سرعتي دارد كه به نسبت عكس شعاع كاهش مي يابد. √ (د) هنگامي روي مي دهد كه سيال مانند يك جسم صلب دوران كند __________________________________________________________________________________

مفاهيم جريان سيـال و معـادلات بنيــادي 1-3 مقدمه در فصل قبلي راجـع به ايستايي سيـالات بحث شد و علمي تقريباً دقيق است زيرا در ايستايي سيالات فقط كميتي چون وزن مخصوص (يا چگالي) بايد با آزمايش تعيين شود. اما واقعيت چيز ديگري است، به عبارت ديگر ماهيت يك جريان يك سيال واقعي بسيار پيچـيده است و چـون قوانيـن بيـانگر حركت كامـل يك سيـال را نمي توان به آساني محاسبه كرد، لازم است از آزمايشات نيز كمك گرفته شود . با استفاده از تحليل هاي مكانيكي ، تـرموديناميكي و آزمايشات دقيق مي توانيم سازه‌هاي هيدروليكي بزرگ و روابط ارزشمند مكانيك سيالات را بدست آوريم.

در اين فصل مفاهيـم مورد نياز در تحـليل حركت سيالات ارائه مي شـود در اين فصل مفاهيـم مورد نياز در تحـليل حركت سيالات ارائه مي شـود . معادلات بنيـادي كه به كمـك آنها مي توانيم به پيش بيني رفتار يك سيال بپردازيم. اين قوانين عبارتست از تلنون حركت ، پـيوستـگي و تـكانه خطي و سـرانجام قوانـين اول و دوم ترموديناميك . ما در اين فصل براي استنتاج معادلات پيوستگي ، انرژي و تكانه از حجم كنترل استفاده مي كنيم. 2-3 مشخصه هاي جريان جريان يك سيال به انواع : تلاطمي ، آرام ، حقيقي ، آرمـاني بازگـشت پذير و بازگشت ناپذير ، دائـمي و غيردائمي ، يكنواخت و نايكنواخت ، گردشي و بي گردشي رده بندي مي شود. در اين بخش انواع مختلف جريان را بررسي و مشخص مي كنيم.

در جـريان تـلاطمي ، ذرات سـيال در مسيرهاي نامنظمي حركت مي كنند و تكانه از يك بـخش سيـال به بخش ديگر انتـقال مي يابد . ابعـاد ذرات سيـال مي تواند بسيار كوچك (چند هزار مولكول) تا بسيـار بـزرگ ( هزاران مترمكعـب درگـردابهاي رودخانه و غيره) باشند . افـزایش جريـان سبـب مي شـود كه تنشـهاي بـرشي بزرگتر شوند و در نتيجه بازگشت ناپذيري ايجاد مي كنند و اتلاف بيشتـري روي مي دهد . در تجربه معلوم شده است كه در جـريان تلاطـمي ، اتلاف متنـاسب با توان 7/1 تا 2 سرعت تغيير مي كند. در صورتي كه در جريان لايه اي اين افت ها متناسب با سرعت تغيير مي كند. در جريان آرام ، ذرات سيال در امتـداد مسيـرهاي همـواري كه در داخل غشاء يا لايه ها قرار دارند حركت مي كنند و يك لايه به آرامي روي لايـه ديگر مي لغزد. در جريان آرام قانون چسـبندگي نيوتون برقرار است و تأثير چسبندگي باعث كاهش تلاطمي و اغتشاش مي شود . اگر چسبندگي كم باشد ، سرعت زياد يا دبي جريان زياد باشـد ، جريان آرام دائمي نخـواهد بود و تبـديل به جريان تلاطمي مي شود . مي توان معادله همانند قانون چسبندگي نيوتن براي يك جريان تلاطمي نوشت: (3-1)

ضريب  فقـط به ويـژگي سيـال بستگي ندارد، بلكه بستگي به حركت سيال و چگالي نيز دارد. اين ضريب را چسبندگي گردابي مي نامند . اما سيال آرماني، سيالي است كه تراكم ناپـذير و بي اصـطكاك باشد و آن را نبايد با گاز كامل اشـتباه گرفت. اگر بتوان سيالي را آرمـاني فـرض كرد در تجـزيه و تحـليل جريان مفيد خواهد بود . توجه داريم سيال بي اصطكاك فاقد چسبندگي و فرآيند جريان آن بازگشت پذير است . لايه‌ي سيالي كه در مجـاورت جريان مـرزي قرار دارد ، تحـت اثر نيـروي برشي چسبندگي واقع مي شود و نسبت به مرز مزبور، سرعتي نسبي دارد. اين لايه را لايه مرزي و اين لايه مرزي مي تواند آرام يا تلاطمي باشد.

در جـريان بي دررو هـيچ انتقـال حركت از سيـال و يا به سيال پيش نمي آيد در جـريان بي دررو هـيچ انتقـال حركت از سيـال و يا به سيال پيش نمي آيد. جريان بي در رو بازگـشت پذيـر ( يعني به در روي بدون اصطكاك) را جريان تك آنتروپي ( ايزوتروپيك) مي نامند . جريان دائمي هنگامي روي مي دهد كه شديداً در هر نقطه اي از سيال نسبت به زمان تغيير نكند . همچنين در جريان دائـمي در هيـچ مـكاني تغـييري نسبت به زمان در چگالي ، فشار P يا دما T روي نمي دهد بنابراين براي اين نوع جريان داريم: (2-3) در جريان تلاطمي ، به علت حركت گردش ذرات سيال اندك نوساني در هر نقطه پيـش مي آيد . هنـگامي كه سـرعت ميانگـين لحظه اي نسبت به زمان تغييـر نكند ، اين جريـان را مي توان دائمي در نظر گرفت . جريان غيردائمي است كه شرايط آن در هر نقطه نسبت به زمان تغييركند آبي كه با دبي ثابت به درون مخزن يا منبـعي پمپ مي شود ، مثالي از جريان غير دائمي است . جـريان يكـنواخت هنـگامي روي مي دهد كه در هر لحظه براي تمامي نقاط آن بردار سرعت (جهت و هم مقدار سرعت) يكسان باشد يعني كه در آن زمان ثابت و جابجايي در تمام جهت ها است، اما در جرياني كه بردار سرعت در هر لحظه از يك نقطه به نقطه ديگر تغيير مي كند، ديگر اين جريان يكنواخت نيست و آن را جريان غيريكنواخت مي گويند.

مثال ها جريان دائمي يكنواخت: مايعي كه به مقدار ثابت در درون يك لوله‌ي دراز جريان دارد. جـريـان غـيردائـمي يـكنواخـت : مايعي كه در داخل لوله‌ي دراز جريان دارد و مقدارش كاهش مي يابد. جـريان دائـمي نايـكنـواخـت : جريـان در درون لـوله اي انبساطي با دبي ثابت. جريان غير دائمي نايـكنـواخت : جريان در لوله اي انبساطي با افزايش مقدار دبي گـردش يك ذره‌ي سيـال حـول محـور معيني چون z عبارت از سرعت زاويه اي مـتوسط در پاره خط كوچـكي است كه در داخل ذره وجود دارد و برهم عمود و در جهت هاي معيـني قرار دارند . اگر ذرات سيالي در ناحيه اي گردش حول يك محـور داشتـه باشند ، آن را جـريان گردشـي يا گردابي مي نامند و در غير اين صورت آن را جريان بي گردشي مي گويند.

در جريان يك بعدي از تغييرات سرعت ، فشار و غيره در امتداد عمود بر جهت اصـلي جريـان صرف نظر مـي شود و شرايـط هـر قطـعي را بر حسب مقادير سرعت ، چگالي و غيره بيان مي كنند . خط جريان ، خـط پيـوستـه اي اسـت كه مي تـوان در سـيال رسم كرد به طـوري نمايانـگر جـهت بردار سـرعت در هر نقطه‌ي آن باشد. رابطه‌ي ديفرانسيلي زير بيانگر معادلات ديفرانسيل خط جريان است: (3-3) كه در آن w, v, u مولفه هاي بردار جريان است.

در شكل (1-3) جريان تراكم ناپذير دو بعـدي نشان داده شده است و در آن خطوط جريان به نحوي رسم شـده است كه اگر در جهت محور برصحنه‌ي شكل، عمق را واحد فرض كنيم. حجم سيال گذرا از بين دو خط جريان مجاور در واحد زمان برابر باشد. بنابراين هنگامـي كه خطوط جريان نزديكتر بهم هستند، سرعت بيشتر خواهد بـود و برعكس. اگر V سرعت متوسط بين دو خط جريان مجاور با فاصله h باشد، ميزان جريان q برابر است با: (4-3) شكل 1-3 خطوط جريان آرام در اطراف يك استوانه لـوله جريـان ، عبارتـست از لـوله اي كه توسط تمامي خطوط گذرا از منحني كوچك بسته ، ايجاد مي شود . در جريان دائمي، اين لوله در فضا ثابـت مي باشـد و ممكن است هيـچ جرياني از ديواره‌ي آن عبور نكند، زيرا بردار سرعت هيچ مؤلفه‌ي قائمي بر سطح لوله ندارد .

مثال 1 در جـريان دائـمي تراكم نا پـذير كه در اطـراف يـك سطـح آئـرودينـاميكي ايجاد شده است . خطـوط جريان مداري قرار دارند كه در فاصـله‌ي دور از اين سرعت 40 مي باشد و فاصله‌ي بين خطوط جريان mm10 است. سرعت در نزديكی اين سطح كه فاصله‌ي خطوط جریان 7/5 mm است , چقدر خواهد بود؟ حل 40 x 0/01 x 1 = 0/40 m3/s 7 x 0/0075 = 0/40 V = 53/3 m/s 3-3 مفاهیم سیستم و حجم کنترل و کاربردهای آن در فصل قبـلی از نـمودار آزاد به عـنوان روشی مناسب در نمایش نیروهای وارد بر جسم ثابـت بکار برده شد . این حالت , حـالت خـاصی از سیـستم اسـت . سـیستم عبارتـست از جرم مشخص از ماده که قابل تشخیص از دیگر مواد باشد . مواد خارج از سـیستم را محیط می گویند و مرزهای یک سیستم تشکیل یک بسته خواهند داد . توجه داریم که ممکن است این سطح نسبت به زمان تغییر کند به طوری که در حین تغییر شرایط سیستم , جرم در آن ثابت بماند . از قانون پایـستگی جرم می دانـیم که جرم درون یک سیستم نسبت به زمان ثابت باقی می ماند .این قانون به شکل معادله ی زیر بیان می شود : (5-3) که در آن جرم کل سیستم است .

قانون دوم حرکت نیوتن برای یک سیستم به صورت زیر بیان می شود : (6-3) که در آن m جرم ثابت درون سیستم و برآیند نیروهـای وارد به سـیستم ( و شامل نیروهای داخلی مانند وزن می باشد ) و سرعت مرکز جرم سیستم است . حجم کنترل ناحیه ای در داخل فضا اسـت و بـکار بردن به هنگام تجزیه و تحلیل حالتهایی که جریان به داخل یا به خـارج فضـا جریان می یابد مفید خواهد بود . مرز حجـم کنـترل را سطـح کنترل می نامند . شکل و اندازه ی حجم کنترل اختیاری اسـت ولـی غالـبا آن را منطبـق بر مرزهای صلـب آن ناحیـه در نظـر می گیرند . اگر سـیستم و محیـط اطراف آن سرعتی یکسان داشته باشنـد , بکارگیری حجم کنتـرل مناسـب می باشـد . مثـلا در تعیین سرعت امواج صوتی در یک ماده از مفهـوم حجـم کنتـرل مناسب برای استـنتاج معـادلات پیوسـتگی و تکانه و انژی استفاده می شود بلکه برای انواع دیگر مسایل نیز بکار برده می شود . این حجم را حتی در مورد سیستم باز نیز بکار می برند . قطع نظر از ماهیت جریان , تمامی جریانها از قوانین و شرایط پیروی می کنند . 1- قوانین حرکت نیوتن 2- رابطه پیوستگی ( قانون پایستگی جرم) 3- قوانین اول و دوم ترمودینامیک 4- شرایط مرزی

ممکن است , روابط و معادلات دیگری چون معادله حالت یا قانون چسبندگی نیوتن نیـز وارد محاسـبه شـوند . مـا در این بخش به کاربرد حجم کنترل در محاسبه روابط پیوستگی , انرژی و تکانه ی خطی خواهیم پرداخت . حالـت کـلی جریان را مطابق شکل(2-3) در نظر می گیریم که در آن سرعت سیـال نسـبت به دستـگاه مختصـات xyz داده شده است . اگر در زمان t سیـستمی که مرزهای آن با خط چین مشخص شده است , جرم معینی داشته باشـد و حـجم کنـترل در ایـن لحـظه کامـلا منطـبق بر سـیستم و نسبت به محورهای xyz ثابت باشد . در زمان t +t , سیستم مقداری حرکت می کند و بنابـراین هر ذره ی آن با توجـه به موقـعیت خود با سرعت مشخص جابجا می شود . فرض کنید N مقدار کل ویژگی ( که مـی توانـد جـرم , انرژی , تکانه باشد ) سیستم در لحظه ی t , مقـدار این ویـژگی در واحـد جـرم سیـال باشد . اکنون می توانیم مقدار افزایش N نسبت به زمان را بر حـسب حجـم کنـترل بنویسیم . در زمان سیستم شامل حجم های اسـت , در حالیکه در زمان t حجم را استفاده کرده بوده است .اما در سیستم , افزایش ویژگی N در فاصله ی زمانی برابر خواهد بود:

در این رابطه dV جزء حجم می باشد در این رابطه dV جزء حجم می باشد . اکنون به این رابطه جمله ی را اضافه و کم می کنیم تا بدست آید . توجه داریم که عبارت سمت چپ برابر با افزایش متوسط N در فاصله ی زمانی است و اگر به سمت صفر میل کند این عبارت برابر با خواهد شد. در این حالت , دو انتگرال اول در سمت راسـت برابـر با تعـداد N در زمـان t +t و انتگرال سوم برابر با مقدار N در زمـان t رای حـجـم کنترل می باشد . حد انتگرال های مذبور برابر است با : (اختصار CV به معنی کنترل حجم می باشد ) و عبارت چهارم در سمت راست را برای (7-3) بیانگر مقدار جریان خروجی N از حجم کنترل است و می توان نوشت : (8-3)

که درآن بردار سطح خروجی جریان است ( شکل 2-3 ج ) که درآن بردار سطح خروجی جریان است ( شکل 2-3 ج ) . بردار عمود بر سطح خروجی حجم کنتـرل است و هنـگامی که به سـوی خـارج باشد , مثبت خواهد بود و x زاویه بیـن بردار سرعت و بردار سطح می باشد . آخرین عبارت رابطه ی (7-3) میزان جریان ورودی به حجم کنترل است و در حالت حدی برابر خواهد شد با : (9-3) دو رابطه ی (8-3) و (9-3) را می توان به صورت یک عبارت درآورد و از آن در روی سطح کل حجم کنترل (cs) انتگرال گرفت: توجه داریم اگر هیچ جریانی به حجم کنترل داخل یا خارج نشود خواهد بود

اکنون رابطه ی (7-3) را در حالت حدی به صورت زیر بیان می شود: (9-3) از معادله ی (9-3) متوجه می شویم که میزان افزایش کمیت فیزیـکی N در سیستم دقیقا برابر با مجموع میزان افزایش ویژگی N در حـجم کنترل و میزان خالص جریان N از مرزهای حجـم کنـترل مـزبور است . در این فصل از معادله ی (9-3) استفاده خواهد شد . روش حـجم کنـترل را روش اویلـر می نامند و در این روش سیستم به حجم کنترل ثابت خواهد بود. چون محورهای xyz می تواند با سرعت ثابت دلخواه حرکت کند و هیچ تاثیری بر دینامیک سیستم و محیط آن نگذارد , بنابراین معادله ی (9-3) برای حالتی که شکل و اندازه ی حـجم کنترل ثابـت باشد و با سرعت یکسانی انتقال یابد نیز معتبر خواهد بود . 1-3-3 کاربرد حجم کنترل اکنون به کاربـرد حجـم کنترل در مورد پیوستگی , انرژی و تکانه خطی می پردازیم . (I) پیوستگی شکل 2-3 سیستمهایی با حجم کنترل یکسان در زمان t در میدان سرعت

معادلات پیوستگی از قانون کلی پایستگی جرم معـادله ی (5-3) بدست می آید معادلات پیوستگی از قانون کلی پایستگی جرم معـادله ی (5-3) بدست می آید . این قانون می گوید که جـرم درون سـیستم نسـبت به زمان ثابت خواهد ماند یعنی اکنون در معـادله (9-3) فـرض می کنیم N=m باشد , بنابراین جرم در واحد حجم یا خواهد بود . (10-3) از معادله ی (10-3) معلوم می شود که میزان افزایـش جرم در حجم کنترل دقیقا برابر با میزان جرم خالص ورودی به حجم کنترل می باشد. (II) معادله انرژی از قانون اول ترمودیـنا مـیک می دانیـم که تفاضـل QH گرمـای اضافه شده به سیستم و W کاری که سیـستم انجام داده است , فقط بستگی به حالتهای اولیه و نمایـی آن دارد و این حـالت ها ویـژگی سیـستم اسـت و تفـاوت آنها مستقل از مسیری است که بین دو حالت اولیه و نهـایی طی می شـود . این ویژگی را انرژی داخلی E می نامند. یعنی داریم : (11-3)

E را انرژی داخلی در واحد جرم می گیریم E را انرژی داخلی در واحد جرم می گیریم . بـا اسـتفاده از معادله ی (9-3) و جایگزینی N=E و داریم : با جایگزینی رابطه ی (11-3) در این رابطه داریم : (12-3) اکنون کاری را که سیستم انجـام می دهـد به دو قسـمت تـقسـیم می کنیم : Wpr کار نیروهای فشاری بر مرزهای متحرک و Ws کار نیروهای برشی , اما کار نیروهای فشاری در زمان t برابر است با : با استفاده از تعریف کار , معادله ی (12-3) به صورت زیر در می آید : (13-3) اگر بتوانیم از اثرات هسته ای , الکتریکی , مغناطیسی , کشش سطحی صرف نظر کنیم , انرژی داخلی e ماده ای خالص برابر با جمع انرژی پتانسیل , جنبشی و ذاتی خواهد بود . اما انـرژی ذاتی در واحـد جـرم u نـاشی از نیـروهای بـین مولـکولی است و بستگی به پارامترهای P , , T دارد :

III)) معادله ی تکانه خطی فرض می کنیم N برابر با تکانه ی خطی سیستم (mv) , . و تکـانه ی خطی در واحد جرم باشد . با استفاده از معادله های (6-3)و(9-3) داریم : (15-3) از این معادله معلوم می شود که نیروی وارد بـه حـجم کنـترل بـرابـر با مجموع افزایش تکانه ی خطی در حجم کنـترل و مـقدار خالـص تـکانه ی خروجی از حجم کنترل است . 4-3 معادله ي پيوستگي اكنـون در ايـن بـخش كاربـرد مـعـادلـه ي (10-3) را بـررسي مي كنيم. فرض كنيد جريان يكنواختي از درون بخشي از لولـه بـگذرد (شكل 3-3) ، بنابراين اولين عبارت معادله ي (10-3) برابر با صفر خواهد شد بنابراين : (16-3) از اين معادله مشخص مي شود كه جرم خالص خروجي از حجم كنترل بايد برابر صفر باشد.اما در قطع 1 جريان خالص خروجي برابر با و در مقطع 2 مقدار آن برابر با است . چـون از ديواره ي لوله هيچ جرياني نمي گذرد بنابراين داريم: (17-3)

اما اگر سطح مقطع لولـه ها تغـيير كنـد (مانند شكل 4-3) و چگالي متوسط در مقطع 1 و چگالي متوسط درمقطـع 2 باشـد داريم: (18-3) كه در آن سرعت هاي متوسط در دو مقطع و دبـي جرمي است . توجه داريم سرعت متوسط در روي سطح مقطع از رابطه ي زير محاسبه مي شود: (19-3) اگر دبي Q به صورت زير تعريف شود (20-3) شكل 3-3- جريان يكنواخت در لوله ي جريان

شكل 4-3 مجموعه ي لول هايي با جريان ثابت بين مرزها معادله پيوستگي به صورت زير در مي آيد. (21-3) اما اگر جريان تراكم ناپذير دائمي باشد، رابطه ي زير شكل بهتري ازمعادله ي پيوستگي است. (22-3) مثال 2 لوله اي آب را منتقل مي كند در مقطع 1 سرعت 3 و قطر m2 و در مقطع 2 قطر m3 مي باشد، دبي لوله و سرعت را در مقطع 2 بيابيد. حل از معادله ي (22-3) داريم

در بررسي جريانهاي دو يا سه بعـدي بايد از شكـل ديفرانسيـلي معادله ي پيوستگي استفاده كرد. اگر دستگاه مختصات دكارتي سه بعدي را بكار بريم، معادله ي (10-3) براي حجم كنترلي به انبار z و مركزي در zداشـته بـاشـد بـكار مي رود. (شكل 5-3) مولفه هاي سـرعت در ايـن حـجم كنتـرل به ترتيب w,v,u و چگالي جريان فرض مي شود . ابتدا جريان خروجي از دو قطعی که عمودبر محور x است در نظر بگيريم. درسمت راست عبور جريان برابر است با : در اين رابطه بيانگر فشار جرمي عبوری از سطح عمود بر محور x است. جمله دوم به نشانه ی میزان افزایش فشار جرمی نسبت به x كه در فاصله ي ضرب شده است همين طور براي قطع سمت چپ داريم: در نتيجه فشار خالص گذرا از دو سطح مقطع برابر است با : در دو مـحور ديـگر مخـتصـات نـيز رابـطه هاي مـشابهي چون رابطه بالا بدست مي آيد . بنابراين جرم خالص گذار از حجم كنترل برابر است با : شكل 5-3 حجم كنترل در دستگاه محققان دكارتي

سمت راست معادله ي (10-3) براي يك جزء كوچك حجم به صورت زير در مي آيد سمت راست معادله ي (10-3) براي يك جزء كوچك حجم به صورت زير در مي آيد. حال با فرض اين كه به سمت ميل كند رابطه اي پيوستگي در فضای 3 بعدي دكارتي به صورت زير در مي آيد: سمت چپ اين معادله را مي توان با استفاده از عملگر به صورت زير درآورد. (3-23) و اين معادله ديفرانسيل پيوستگي در فضاي سه بعدي است. براي جريان تراكم ناپذير رابطه بالا به صورت زير در مي آيد. (24-3) توجه داريم كه را واگرايي يا ديورژانس بردار سرعت مي گویند.

مثال 3 توزيـع سرعت در يـك جـريان دو بـعدي تراكم ناپذير به صورت زير است: نشان دهيد اين روابط مي تواند در معادله ي پيوستگي صدق كند. حل با استفاده از معادله (24-3) ، براي جريان دو بعدي داريم: اكنـون با مشـتق گـيري از v,u نـشان مي دهـيم كه در رابـطه ي بالا صدق مي كند. وحكم ثابت مي شود.

5-3 معادله كويلر و رابطه ي آن با قوانين ترموديناميك علاوه بر معادله ي پيوستگي ، معادلات كنتـرلي مانند معادله ي اویلر ، معادله برنولي ، مـعادله تـكانه و مـعادلـه ي انرژي كه مبـتـني بر قوانين اول و دوم ترموديناميك است نـيز وجـود دارنـد . دراين بـخـش به مـعادله ي اویـلر مي پردازيم و سپس رابطه ي آن با قوانين ترموديناميك نشان خواهيم. اكنون به مـعادله ي اویـلر بـراي جـريـاني كه در امـتداد خط جريان است خواهيم پرداخت. در شـكل (6-3) حجم كنترل محدود بـسيـاركوچكي با سطح مقطع و طول نشان داده شده است . فرض مي كنيم سرعت سيال در امتداد خط جريان مي باشد. اگر چسبندگي صفر يا سيال بي اصـطكاك باشـد ، تـنها نيرويي كه در امتداد x به حـجـم كـنـترل وارد مـي شـود دو نـيـروي وزن ونيروهاي فشار در سطح مقطع هاست. معادله ي تكانه (15-3) را در امتداد S و براي حجم كنترل بكا رمي بريم. (25-3) که در آن ss و sA تابع زمان نیستند . نیروهای وارد بر حجم کنترل عبار تنـد از : (26-3)

توجه داريم است. براي فشار خالص تكانه ، بايد جريان گذرا از سطح بدنه استوانه ( ) و جريان سطوح انتهايي را در نظر گرفت. شكل 6-3 كاربرد معادلات پيوستگي و تكانه دريك جسم كنترل در جهت S اكنون براي تعيين معادله پيوستگي (10-3) را براي حجم كنترل بكار مي بريم: و با حذف از دو معادله ي اخير و اندكي عمليات جبري بدست مي آيد: (27-3)

سرانجام با جايگزين (26-3) (27-3) (25-3) نتيجه مي شود: با تقسيم رابطه بالا بر و ميل مقادير و به سوي صفر , معادله ي آساني به شكل زير بدست مي آيد: (28-3) توجه داريم اين معادله بر اساس دو فرض استوار است : (1) جريان در امتداد خط جريان است (2) جريان بي اصطكاك است. حال اگر جريان دائمي باشد، معادله ي (28-3) به صورت زير ساده مي شود. چون در معادله ي بالا تنها متغییر مستقل S است، بنابراين مي توان از شكل ديفرانسيل كامل استفاده كرد و نوشت: (29-3)

اكنون به بررسي ارتباط بين معادله ي اویلر و قوانين ترموديناميك مي پردازيم. بااستفاده از معادله ي (13-3) براي حجم كنترل شبيه شكل (7-3) كه داراي جريان دائمي است، انتگرال حجم از بين مي رود و معادله تبديل مي شود به بهتر است اين معادله را بر دبي جرم در واحدزمان تقسيم در نتيجه داريم: (30-3) شكل 7-3 حجم كنترل با جريان محور بر سطح كنترل كه در آن qH حرارت اضافه شده در واحد جرم سيال و Ws كار محور در ازاي واحد جرم سيال مي باشد. معادله ی فوق معادله ی انرژي براي جريان دائمي درون حجم كنترل. ما در بخش بعدي راجع به معادله ي انرژي مفصل تر بحث خواهيم كرد .

شكل ديفرانسيلي معادله ي (30-3) در حالتي كه جريان لوله اي فـاقد كـار محـوري است، چنين خواهد بود. كه با اندكي فكر به صورت زير در مي آيد با توجه به معادله ي اویلر، برای جريان بي اصطحكاك مجموع سه جمله ي اول برابر با صفر خواهد بود و به عبارت بعدي صورت ديگري از قانون اول ترموديناميك براي سيستم است: (32-3) اگر كار محوري وجود داشته باشد , قانون اول ترموديناميك با استفاده از معادله ي (31-3) بدست مي آيد: به جاي از معادله ي(33-3) مقدار Tds را قرار مي دهيم. (34-3)

اما از نا مساوی کلازیوس داریم : و یا (35-3) ] بعد از رابطه ی (32-3) بیاید[ در جريان برگشت پذير S آنتروپي در واحد جرم به صورت زير تعريف مي شود. (33-3) كه در آن T دماي مطلق و آنتروپي يك ويژگي سيال است و در درس ترموديناميك به تفصیل راجع به آن بحث شده است. چون معادله ي ( 32-3) بـراي سـيـا ل بـي اصطكاك (برگشت پذير) مي باشد مـي توان dqH را از دو مـعـادلـه ي ( 32-3 ) و (33-3) حذف كرد تا نتيجه شود: علامت تساوي مربوط به فرآيندهاي بـرگـشت پـذير اسـت اگـر مـقدار برگشت ناپذيري يا اتلاف به صورت زير بيان شود: (36-3)

و با جايگزيني اين رابطه در (34-3) داريم (37-3) و اين معادله بسيار مهم از كاربر معادله ی اویلر در ترموديناميك مي باشد. 6-3 معادله ي برنولي اگر از معادله ي (29-3) در حالتي كه چگال ثابت باشد، انتگرال بگيريم ، مـنـتـهـي بـه معادله ي برنولی مي شود: (38-3) توجه داشته باشيد كه چهار فرض انجام شده است. تا معادله ی برنولي بدست آيـد. هر جمله ي بعد نيوتون ـ متر بر كيلوگرم دارند يعني بنابراين معادله ي (38-3)، انرژي در واحد جرم است. اگر اين معادله را بر g تقسيم كنيم: (40-3) ثابت

و معادله ي بالا انرژي در واحد زمان مي باشد و معادله ي بالا انرژي در واحد زمان مي باشد . اين معادله در حالتي كه مايع سطح آزاد دارد، مناسب است. از ضرب معادله ي (39-3) در p بدست مي آيد: ثابت (41-3) اين معادله براي گازها مناسب است , زيرا در مورد گازها، تغييرات ارتـفـاع مـهـم نـيـسـت و مي توان z  را حذف كرد. در معادله ي بالا هر جمله ي آن انرژي در واحد حجم است. هر جلمه ي معادله ي برنولی بيانگر يك نوع انرژي است : اولين عـبـارت بـه نـشـانه ي انرژي پتانسيل درواحد جرم وجمله بعدي همان انرژي جنبش ذره و آخرين جمله انرژي جريان در واحد جرم است. مثال 4 آب داخل كانال بازي به عمق 2m با سرعت 3 جـريـان دارد (شـكل 8-3) سپس اين آب به درون كانال وارد مي شود كه افت آن m1 و سرعت آب 10 مـي شـود . فرض كنيد جريان بي اصطحكاك باشد و اختلاف ارتفاع كف كانالها را بدست آوريد (سرعت در سطح مقطع ثابت و فشار هيدرواستاتیکی است) حل اگر ارتفاع كف كانالها y باشد، با استفاده از معادله ي برنولي داريم

شكل 8-3 جريان در كانال باز و در نتيجه m64/3= g مثال 5 با توجه به مخزن شكل (9-3) سرعت خروجي از نازل و دبي آن را محاسبه كنيد. حل معادله ي برنولي را براي دو سطح 1و2 مي نويسيم شكل 9-3 جريان در نازل خروجي مخزني

فشار جو را مبنا مي گيريم بنابراين و سرعت درسطح مخزن برابر صفر است فشار جو را مبنا مي گيريم بنابراين و سرعت درسطح مخزن برابر صفر است. بنابراين از رابطه ی بالا معلوم مي شود كه سرعت خروجي برابر با سرعت سقوط آزاد و از سطح مخزن است و آن را فرضيه ی توريچلس مي نامند. براي محاسبه ي دبي بايد سرعت خروجي را در مساحت قطع جريان ضرب كنيم. 7-3- كاربرد معادله ي تكانه ي خطي : رانش جهت و مكانيك راكتها در بخش (3-3) با استفاده از قانون دوم نيوتن ، معادله تكانه ي فعلي بدست آمد. و اين يك رابطه برداری است. اگر فقط جهت X مورد نظر باشد داريم. (40-3)

اگر مي خواهيم حجم كنترل را انتخاب كنيم بهتر است در محل هايي كه جريان سطح را قطع مي كند سطوح را عمود برجهت سرعت بگيريم . حتي اگر سرعت در تماس سطوح ثابت باشد ديگر نيازي به بكارگيري انتگرال سطحي نيست . در شكل (10-3) براي جريان دائمي، سطح كنترل نشان داده شده است . و نـيـروهاي وارد برحجم كنترل( Fx) از معادله ي (40-3) محاسبه مي شود. به طوري كه جرم ورودي و خروجي از حجم كنترل برابر است با حال اگر سرعت در نماي سطح مقاطع كنترل ثابت نباشد ، با استفاده از ضـريب تعيين تكانه P ميتوان سرعت متوسط را محاسبه كرد: (41-3) در معادله بالا بدون بعد است و داريم: (42-3) از تجربه مشخص شده است كه برابر است . براي جريان يكنواخت تعداد برابر است و هرگز از يك درهر حالتي نمي تواند كمتر باشد. به هنگام استفاده از معادله ی تكانه بايد دقت داشت كه حجم كنترل و نـيروهـاي وارد به آن به وضوح مشخص شده باشد و بايد به علامت جملات توجه كرد.

شكل 10-3 حجم كنترل با جريانهاي ورودي و قربالي يكنواخت عمود بر سطح كنترل مثال 6 زانوي نشان داده شده در شكل (11-3) در صفحه ي قائم قرار دارد. درون اين زانو آب جريان دارد و و و اتلاف درون زانو برابر با است. مقادير Fxو Fy و خط اثرنيروي برآيند را تعيين كنيد. شكل 11-3 نيروهاي وارد به زانويي كه باعث كاهش سطح مقطع مي شود.

حل سطح داخلي زانو شامل آن قسمت از سطح كنترل است كه جرياني از آن عبـور نمي كند مقاطع محوري 1 و 2 سطح كنترل را كامل مي كند. (37-3) با استفاده از معادله ي و تعيين آن براي سيال تراكم ناپذير ، داريم : (42-3) اكنون داده ها را جايگزين در معادله ي بالا مي كنيم تا p2 به دست آيد. و با اندكي محاسبه نتيجه مي شود براي محاسبه Fx از معـادله (40-3) داريم: و يا همين طور براي محور y داريم

و يا KN 384= Fy در تعيين خط اثر برآيند نيروها از بردارهاي تكانه و داده هاي زير استفاده مي شود . (شكل 11-3): با ترکیب این نیروها و بردار وزن w نيروي نهايي برابر با MN146/1 بدست مي آيد كه در خلاف جهت Fx و Fy است. مثال 7 از درون نازلی كه سدي قايقي سوار شده است، نواري آبي با قطر mm80 و سرعت 40 درجهت افقي خارج مي شود. چه نيرويي لازم است تا قايق را ساكن نگه دارد؟ حل اگر حجم كنترل را مانند شكل (12-3) بگيريم ، فشار خالص تكانه برابر خواهد بود: نيروي وارد بر قايق در جهت x برابر با 8/04 kNخواهد بود. شكل (12-3) نازل نصب شده روي قايق

مثال 8 نيروي وارد از طرف نازل به لوله ي شكل (13-3)الف را محاسبه كنيد مثال 8 نيروي وارد از طرف نازل به لوله ي شكل (13-3)الف را محاسبه كنيد. سيال روغني با 85/0=S و mpa7/0P1= است. از اتلاف صرف نظر كنيد. شكل 13-3 ناز ل در انتهاي لوله حل براي تعيين دبي ، معادله ي بهتری را بين قطع 1 و نقطه اي از پايين دست جريان كه فشار آن صفر است مي نويسيم: چون و است داريم بنابراين داريم 837/4= V1 833/40= V2 و

فرض مي كنيم Px (مطابق شكل 12-3 ب) نيروي اعمالي از طرف نازل به حجم كنـتـرل مـایع باشد. با استفاده از معادله ي (40-3) داريم. به آساني نتيجه مي شود: N2474Px= سيني روغن نيرويي برابر N2474 از راست به چپ به نازل وارد مي كند و نازل نـيـز نـيـروي كشش N2474 را به لوله اعمال مي دارد. 1-7-3 رانش جت پروانه يك نوع رانش فواره اي است كه در آن فواره ي توليد شده باعث ايـجاد نيروي رانش مي شود. در موتورهاي جت، هوا به داخل موتور مكيده مي شود و با مـقـدار كـمـي سوخت محترق مي شود. سپس گازها با سرعت خيلي بيشتر از سرعت جـريـان لـغزشی پروانه ها به خارج رانده مي شود. قطر فواره بايد كوچكتر از جريان لغزشی پروانه باشد . اگر از جرم مواد سوزا صرف نظر شود نيروي پروانه اي F را مي توان از معادله ي (40-3) چنين بدسـت آورد: (44-3) كه در آن برابر با سرعت مطلق سيال جت و برابر با جرم خروجي در واحد زمان مي باشد (شكل 14-3)

شكل 14-3 جداره هاي مسير گذر جريان موتورهاي جت بافرض حالت پايدار به عـنـوان سـطح كنترل هواپيما مد نظر گرفته شده است . بازده ی مكانيكي جت ها مانـند بـازده ی پروانه هاست و آن به صورت زير تعريف مي شود: (45-3) اما براي محاسبه وزن مواد سوزا در هواپيمايي , فـرض مـی كنيم هر جـرم هوا در واحد زمان و r نسبت جرم مواد سوزا به هوا باشد. با توجه به شكل (13-3) مقدار نيروي رانش برابر است با جمله دوم در سمت راست اين معادله برابر با جرم مواد سوزا در واحد زمان ضرب در تغيير سرعت سوخت مي باشد. با فاكتور گيري داريم: (46-3)

اكنون بازده مكانيكي را به صورت نسبت كار مفید بـه مـجـمـوع كـار مفید و انرژي جنبش باقي مانده تعريف مي كنيم. در نتيجه داريم. (47-3) سرانجام با جايگزين (46-3) در (47-3) بدست مي آوريم: اگر v1=v2 باشد بازده برابر واحد خواهد شد. در اين حالت مـحـصولات احتراق به حالت سكون در مي آيد و هيچ انرژي جنبشی در فواره باقي نخواهد ماند. مثال 8 هواپيمايي به ازاي 20 كيلوگرم، يك كيلوگرم مواد سوزا مصرف مي كند و گازهاي داغ را با سرعت 1800=V از لوله ي عقب خارج مي كند بازده ی اين هواپيما را به ازاي سرعت 100 و 150 به دست مي آوريد. حل به ازاي 300 =V داريم 05/0 =r و 6=300/1800 = 71/72 در نتيجه از معادله ي (47-3) داريم:

همچنين به ازاي 150= V مقدار 12 = = 71/72 خواهد شد پس 2-7-3 مكانيك راكتها موتور راكت يك جسم اكسيد كننده را با خود حمل مي كند. اين جسم با مـواد سوزا مخلوط مي شود و توليد نيروي رانشی مي كند. نيروي رانشی بستگي به مـاده اي كه راكت در آن حركت مي كند ندارد. چون در توربين ها گاز، سوخت با هوا مــخلوط مي شود، جرم گازهاي داغ خارجي ازتوربين گازي چندين برابر جرم مـواد سـوزايـي است كه راكت حمل مي كند. در تعيين شتاب راكت به هنگام پرواز، بهتر است حجم كنترل را منطبق بر سطوح خارجي راكت و صفحه ی عمود بر فواره ي خروجي از نازل بگيريم. (شكل 15-3) سرعت حجم كنترل برابر با سرعت راكت مي بـاشـد . اگر R مقاومت هوا و Mr جرم بدنه ي راكت و m جرم مواد سوزا و سـرعـت اشـتعال سوخت و Vr سرعت گاز خروجي نسبت به راكت و V1 برابر با سرعت حقيقي راكت ( وسرعت دستگاه مرجع) و V برابر با سرعت راكت نـسبت بـه دسـتـگـاه مـرجـع مختصات باشد. در اين صورت V برابر با صفر و برابر با شتاب راكت خواهد شد. معادله اصلي تكانه را براي محور قائم مي نويسيم. در نتيجه داريم: (49-3)

شكل 15-3 سطح كنترل براي تجزيه و تحليل شتاب گيري راكت شكل 15-3 سطح كنترل براي تجزيه و تحليل شتاب گيري راكت. اما V تنها تابعي از t است بنابراين معادله ي بالا را مي توان به صورت ديفرانسيلی زير درآورد. (50-3) اگر دبي ثابت سوخت باشد خواهد بود كه جرم اوليه مواد سوزا و اكسيد كننده است. حال جرم راكت و مواد سوزا را باهم در نظر مي گيريم . تفاضل نيروي رانش ( ) و مجموع وزن و مقاومت هوا دقيقاً برابر با حاصل ضرب جرم كلي حركت و مواد سوزا در شتاب راكت مي باشد. از تجربه مشخص شده است

كه با افزايش سرعت راكت بازده هاي موتور راكت نيز افزايش مي يابد كه با افزايش سرعت راكت بازده هاي موتور راكت نيز افزايش مي يابد. اگر E انرژي مفيد در واحد جرم ماده سوزا باشد به هنگامي كه ماده سوزا مشتعل مي شود ،‌انرژي مفيدي تبديل به انرژي جنبشي خواهد شد كه vr سرعت فواره نسبت به راكت خواهد بود. براي راكتي که سرعت آن نسبت به محورهاي ثابت روي زمين V1 باشد ، توان مفيد برابر خواهد بود . مقداری از انرژي جنبش به صورت موادسوزاي محترق نشده تلف ميشود. و مقداری از آن دراثر احتراق از بين مي رود ( ) بنابراين نتيجه مي گيريم: (51-3) = انرژي مفيد ورودی در واحد زمان و بازده ی مكانيكي از رابطه زير بدست مي آيد. (52-3) به ازاي ، بازده ی حداكثر e=1 بدست مي آيد و در اين حالت سرعت مطلق گاز خروجي صفر خواهد بود.

مثال 10 (الف) زمان احتراق راكتي را حساب كنيد كه وزن اوليه آن MN 903/4 باشد و 70% وزن آن را ماده سوزا تشكيل دهد. اين راكت سوخت را با دبي ثابت مصرف مي كند و رانش اوليه ای 10% بيشتر از وزنش می باشد و 3300= Vr (ب) با فرض ثابت بودن g و اين كه در هنگام پرواز قائم هيچ مقاومتي وجود نداشته باشد ، سرعت راكت و ارتفاع آن را از بين در لحظه اي پايان مواد سوزا و اوج راكت را بدست آوريد. (الف) با استفاده از رابطه رانش داريم: بنابراين 3/1634= (جرم مفيد مواد سوزا kg 350000مي باشد). حال زمان احتراق را مي توان بدست آورد: (ب) از معادله ي (50-3) داريم با اندكي عمليات جبري بدست مي آيد.

و با انتگرال گيري نتيجه مي شود مي دانيم به ازاي است پس حال به ازاي ,محاسبه مي شود : 24/1873=V1 و ارتفاع راكت به ازاي اين زمان نيز بدست مي آيد. اما پس از اتمام موادسوزا راكت مي تواند تا ارتفاع بالاتر برود پس اوج راكت برابر است با :

تست هاي فصل 3 1-2-3 جريان يك بعدي عبارت است از الف) جريان دائمي يكنواخت ب) جريان يكنواخت √ج) جرياني كه در آن از تغييرات شيب صرف نظر مي شود د) جريان كه مجبور است به خط مستقيم حركت كند. __________________________________________________________________________ 2-2-3 جريان ايزوتروپيك عبارتست از الف) جريان بي درروي با برگشت پذير ب) جريان گاز كامل ج) جريان سيال آرماني √د) جريان بي در روي برگشت پذير __________________________________________________________________________ 3-2-3 در جريان تلاطمي الف) ذرات سيال منظم حركت مي كند ب) انتقال تكانه فقط در حدود مولكولي روي مي دهد ج)يك لايه سيال به آرامي روي لايه ديگر مي لغزد √د) معمولاً تنش هاي برشی بزرگتر از جريان آرام مشابه است

4-2-3 در جريان تلاطمي، ضريب الف) يك خاصيت فيزيكي است √ب) وابسته به جريان و چگالي است ج) تابعي از دما و فشار سيال مي باشد د) مستقل از ماهيت جريان است. __________________________________________________________________________ 5-2-3 در جريان آرام √الف) قانون چسبندگي نيوتون بكار مي رود ب) وزارت سيال در مسيرهاي نامنظم و تصادفي حركت مي كند ج) چسبندگي بي اهميت است د) ضريب بستگي به جريان دارد. __________________________________________________________________________ 6-2-3 سيال آواني كدام است؟ الف) يك سيال خيلي چسبناك است ب) سيالي است كه از قانون چسبندگي نيوتون پيروي مي كند ج) فرض مفيدي است كه در مسایل جريان در كانالها بكار مي رود √د) سيالي است بدون اصطكاك و تراكم ناپذير __________________________________________________________________________

7-2-3 جريان دائمي هنگامي روي مي دهد كه √الف) شرايط در هيچ نقطه ای نسبت به زمان تغيير نكند . ب) شرايط به طور يكنواخت نسبت به زمان تغيير كند ج) شرايط در نقاط مجاور در هر لحظه يكسان باشد د ) ثابت بماند __________________________________________________________________________ 8-2-3 جريان يكنواخت كي اتفاق مي افتد؟ الف ) جريان يكنواخت باشد ب) در تمام نقاط صفر باشد ج) بردار سرعت در هر نقطه ثابت بماند √د) باشد __________________________________________________________________________ 9-2-3 كدام جريان دائمي نايكنواخت است؟ الف) حركت آب در اطراف كشتي در درياچه √ب) حركت رودخانه در اطراف پايه هاي پل ج) افزايش يكنواخت جريان داخل يك لوله د) كاهش يكنواخت جريان داخل يك مسير همگرا ___________________________________________________________________________

10-2-3 در جريان دو بعدي اطراف يك استوانه، فاصله خطوط جريان در فاصله اي دور از استوانه كه سرعت 100 است ، برابر با mm50 مي باشد. در نقطه اي نزديك به استوانه فاصـله خـطوط mm5/37 مي شود ، سرعت متوسط برابر است با (برحسب ) الف) 75 √ب) 133 ج) 150 د) 200 11-2-3 يك خط جريان الف) خط ارتباطي مركز سطح مقطع هاي عبور جريان است. ب) تنها در مورد جريان يكنواخت تعريف مي شود ج) عمود بر بردار سرعت در هر نقطه رسم مي شود √د) در جريان دائمي در فضا ثابت مي باشد. ___________________________________________________________________________ 1-3-3 در سیستم باز الف) يك سطح آزاد وجود دارد ب) جرمي معيني موجود است √ج) يك حجم كنترل وجود دارد د) هيچ ارتباطي بين سيستم و محيط وجود ندارد ___________________________________________________________________________

2-3-3 حجم كنترل عبارتست از √الف) ناحيه اي ثابت در فضا ب) جرم مشخص ج) يك سيستم بسته د) يك سيستم مجزا ___________________________________________________________________________ 3-3-3 قانون اول ترموديناميك براي جريان يكنواخت : √الف) شامل تمام انرژي هاي ورودي و خروجي حجم كنترل مي شود ب) عبارتست از توازن انرژي براي حجم مشخص از سيال ج) بيانگر پايستگي تكانه ي خطي است. د) اصولاً مرتبط به انتقال حركت است ___________________________________________________________________________ 1-4-3 معادله ي پيوستگي ممكن است به اين صورت باشد: الف) Q=PAV ب) ج) √د) ___________________________________________________________________________ 2-4-3 معادله ي پيوستگي الف) محتاج است كه قانون سوم نيوتن براي تمام نقاط سيال صادق باشد ب) بيانگر ارتباط بين انرژي و كار است ج) تكانه در واحدحجم بين دو نقطه سيال را بهم مرتبط مي كند د) در ارتباط با دبي جرمي جريان در امتداد لوله است √

3-4-3 دو لوله ای به قطر cm50 ، سرعت متوسط آب 3 است دبي لوله برحسب متر مكعب در ثانيه برابر است با √الف) 589/0 ب)50/1 ج)356/2 د)71/4 ___________________________________________________________________________ 4-4-3 معادله ي پيوستگي در جريان سيال حقيقي √الف) بيانگر اين است كه دبي خالص ورودي به هر حجم كوچكي بايد صفر باشد ب) تنها در هنگامي كه پتانسيل سرعت وجود داشته باشد، صادق است ج) تنها براي جريان بي گردش بكار مي رود د) بيانگر اين است كه انرژي در امتداد خط جريان ثابت است. ___________________________________________________________________________ 1-5-3 معادله ي Tds=(اتلاف)d محدود است به الف) جريان ايزوتروپيك ب) جريان برگشت پذير ج) جريان بي دررو √د) جريان گاز كامل ___________________________________________________________________________ 2-5-3 در يك فرآيند برگشت پذير لازم است كه : الف) انتقال دما وجود نداشته باشد ب) قانون چسبندگي نيـوتن صادق باشد ج)دماي سيستم و محيط برابر باشد √د) در سيستم اصطكاك چسبندگي يا خشك وجود نداشته باشد . ___________________________________________________________________________

3-5-3 آنتروپي در فرآيند برگشت پذير بدين صورت تعریف مي شود 3-5-3 آنتروپي در فرآيند برگشت پذير بدين صورت تعریف مي شود. الف) ب) ج) √د) ___________________________________________________________________________ 1-6-3 بعد معادله ي ثابت = برابر است: الف) ب) N ج) √د) ___________________________________________________________________________ 2-6-3 كاري كه مایع با استفاده از فشار انجام مي دهد برحسب نيوتن ـ متر بر نيوتن عبارتست از الف) Z ب)P √ ج) P/ د) ___________________________________________________________________________ 1-7-3 در معادله كدام دو فرض از فرضهاي زير صادق است؟ 1- سرعت درروي مقاطع پايان ثابت است 2- جريان دائمي 3- جريان يكنواخت 4- سيال بي اصطكاك √الف) 1و 2 ب) 1و 4 ج) 1و 3 د)2و 4 __________________________________________________________________________

2- 7-3 ضريب تعيين تكانه با كداميك از عبارتهاي زير بيان مي شود الف) √ب) ج) د) ___________________________________________________________________________ 3-7-3 سرعت روي يك سوم مساحت يك سطح صفر و در روي باقي مانده ي سطح يكسان مي باشد. ضريب تقسيم تكانه بـرابـر اسـت با الف ) 1 ب) 3 /4 √ ج) 2 /3 د) 2 _____________________________________________________________ 4-7-3 براي زانويي 90 كه قـطر آن mm200 و فـشـار درون آن Mpa 98/0 است،‌ مقدار نيروي لازم بـراي ثـابت نگه داشتن زانو در هنگامي كه جريان از آن نمي گذرد برابر است با (برحسب KN): الف) 5/61 √ب) 5/43 ج) 8/30 د) صفر ___________________________________________________________________________

5-7-3 زانويي 90 با قـطـر cm 30 آب را بـا سـرعـت 5 و فـشـار kpa35- انتقال مي دهد . مولفه ي نيروي لازم بر حسب نيوتن برای اين كه زانو درجاي خود نگه داشته شود برابر است با: الف) صفر ب) 5/70 √ج) 141 د) 515 _____________________________________________________________ 6-7-3 توان مفيد در فواره ي آبي كه مساحت مقطع آن 004/0 و سرعت 20 مي باشد ، برابر است با : الف ) 495/0 √ب)0/16 ج) 2/17 د) 3 _________________________________________________________________

فصل 4 پس از مطالعه ی كامل اين فصل بايد بتوانيد يكاها و ابعاد كميت هاي فيزيكي مورد استفاده در مكانيك سيالات را تعريف كنيد رابطه هاي مربوط را بنويسيد و همچنين پارامترهاي بي بعد مهم در مكانيك سيالات را با فرمولهاي مربوطه تعريف و در حل مسایل از آنها استفاده كنيد. 1-4 مقدمه پارامترهاي بي بعد درك و فهم را از پديده هاي ناشي از جريان سيال عميق تر مي كند. در بالا بر هيدروليكي، نسبت قطر پيستونها كه عددي بدون بعد است مزيت مكانيكي را بدست مي دهد . همچنين عددهاي بدون بعدي موجب آن مي شود كه بتوان نتايج آزمايشگاهي را براي شرايطي كه با شرايط آزمايشگاهي متفاوت باشند نيز بكار برد. بسياري از پارامترهاي بي بعد نسبت دو نيروي سيال است.

مقدار نسبي اين نسبت ها بيانگر اهميت نسبي يكي از نيروها به ديگري است مقدار نسبي اين نسبت ها بيانگر اهميت نسبي يكي از نيروها به ديگري است. اگر در مورد خاصي بعضي از نيروها خيلي بزرگتر از ديگر نيروها باشند، اغلب مي توان از اثر نيروهاي كوچكتر چشم پوشي كرد و پديده مزبور را بر حسب نيروهاي عمده بررسي كرد. دراين صورت مي توان براي حل مساله از روشهاي ازمايشگاهي مناسب و رياضي آسان تري استفاده كرد. در حالتي كه چندين نيرو با ارزش يكساني وجود داشته باشند مانندنيروهاي لختي، چسبنده و گرانشي از روشهاي خاصي استفاده مي شود. در اين فصل راجع به اهميت پارامترهاي بي بعد مي پردازيم. ابتدا كميت هاي مهمي كه در مكانيك سيالات بكار مي رود با نماد و ابعاد آنها ارائه مي شود.

2-4 یکاها و ابعاد مي دانيم ابعاد مكانيكي عبارتست از نيرو، طول و جرم و اين ابعاد از قانون دوم نيوتن بايكديگر ارتباط دارند. (1-4) F=ma پيش از اين با يكاهای نيرو و جرم آشنا شديم. براي تمام دستگاههاي فيزيكي ضروري است كه حداقل دو بعد در نظر گرفته شود. يكي در ارتباط با الكترومغناطيس وديگري با اثرات گرمايي. براي كار تراكم پذير، ضرورتي ندارد يكاي گرمايي را منظور كنيم زيرا معادلات حالت , ارتباط بين فشار، چگالي و دما را بيان مي كند.

شكل ابعادي قانون دوم نيوتن به صورت زير است شكل ابعادي قانون دوم نيوتن به صورت زير است. (2-4) از اين معادله ملاحظه مي شود كه تنها سه بعد مستقل وجود دارد كه در آن F بعد نيرو ، M بعد جرم, L بعد طول و T بعد زمان است. در جدول (1-4) بعضي از كميتهاي مورد استفاده در مكانيك سيالات با نماد و رابطه ي ابعادي آنها آمده است.

جدول 1-4 كميت هاي فيزيكي مورد استفاده در مكانيك سيالات ابعاد نماد كميت L l طول T t زمان M m جرم MLT-2 F نيرو LT-1 V سرعت LT-2 a شتاب L2 A سطح L3T-1 Q دبي تخليه ML-1T-2 فشار g گراني ML-3 چگالي ML-2T-2  وزن مخصوص چسبندگي ديناميكي L2T-1 چسبندگي سينماتيكي MT-2 كشش سطحي K مدول كشساني حجمي

3-4 پارامترهاي بي بعد در ارتباط با داده هاي آزمايشگاهي ، پنج پارامتر بي بعد: ضريب فشار، عدد رينولدز، عدد فرود, عدد وبر و عدد ماخ بااهميت اند. در بخش راجع به اين پنج پارامتر بحث مي كنيم و در فصلهاي بعدي از آنها استفاده خواهيم كرد. الف) ضريب فشار ضريب فشار برابر است با نسبت فشار به فشار ديناميكي: (3-4) اگر اين مقدار را در مساحت سطح ضرب كنيم نتیجه برابر با نسبت نيروي فشار به نيروي لختي است. يعني برابر با نيروهاي لازم جهت كاهش سرعت تا نزديكي صفر خواهد شد.

اما معادله دارسي ـ وايسباخ رابطه اي بين h1 اتلاف با طول L و قطر D و سرعت V است, اين معادله به صورت زير است: (4-4) اگر به صورت مجهول معادل را بدست آوريم: (5-4) ملاحظه مي شود كه سمت راست رابطه ي بالا همان ضريب فشار است در صورتي كه آن را بر  تقسيم مي كرديم. پس نتيجه مي گيريم برابر با ضريب فشار است. در اين رابطه f ضريب اصطكاك بدون بعد مي باشد.

ب) عدد ماخ اگر K برابر مدول حجمي كشساني باشد، مي دانيم سرعت صورت دريك مایع از رابطه ي بدست مي آيد. از سوي ديگر اين سرعت برابر است با كه در آن K ضريب گرماي ويژه و T دماي مطلق گاز كامل مي باشد. نسبت يا را عدد ماخ مي گويند و آن سنجه نسبت نيروهاي لختي به نيروهاي كشساني است. اگر را مجذور كنيم و صورت و مخرج اين كسر را در ضرب كنيم، آنگاه صورت كسر جديد برابر با نيروي ديناميكي و مخرج برابر نيروي ديناميكي در جرياني كه سرعت صوت دارد، خواهد شد. همچنين مي توان نشان داد كه عدد ماخ سنجه نسبت انرژي جنبشي جريان به انرژي داخلی سيال است. اثرات عدد ماخ در جريان گازهايي كه افت فشار زيادي دارند (يعني به هنگامي كه عدد ماخ نزديك به يك است) مي تواند اهميت زيادي داشته باشد. همچنين اگر سرعتها نزديك يا بيشتر از سرعت صوت باشد، اين عدد مهمترين ارتباطي است.

ج) عدد رينولدز نسبت را عدد رينولدز مي گويند و برابر با نسبت نيروهاي لختي به نيروهاي چسبنده است . عدد رينولدز بحراني بيانگر نوع جريان در لايه هاي مرزي و اطراف جسم غوطه ور مي باشد. در جريانهاي تراكم پذير، معمولاً عدد ماخ مهمتر از عدد رينولدز است. د) عدد فرود نسبت را عدد فرود مي نامند. اگر اين نسبت را مجذور و صورت و مخرج کسر را در ضرب كنيم نتيجه برابر است با نسبت نيروي ديناميكي به وزن مي باشد در جريان مايعاتي كه سطح آزاد دارند، ماهيت جريان (تند يا كند) بستگي به این دارد كه عدد فرود بزرگتر يا كمتر از يك باشد.

اين عدد درمحاسبات جهش هيدروليكي ، طراحي سازه هاي هيدروليكي و كششي مفيد مي باشد. هـ) عدد وبر اين عدد برابر با است و بيانگر نسبت نيروهاي لختي به نيروهاي كشش سطحي مي باشد. در سطح مشترك گاز – مايع يا مايع به مايع عدد وبر اهميت دارد.

4-4 چكيده ابعاد مكانيكي نيرو F و جرم M و طول t است رابطه ي بين آنها از قانون دوم نيوتن مشخص مي شود: F=ma بنابراين رابطه ي ابعادي نيرو برابر با مي باشد. در جدول (1-4) ديگر كميت هاي مهم فيزيكي كه در مكانيك سيالات مورد استفاده مي باشند,آمده است. پنجم پارامتر بدون بعد مهم در مكانيک سيالات عبارتند از (آ) ضريب فشار (ب) عدد ماخ (ج) عددرينولدز (د) عدد فرود (هـ) عدد وبر

تست هاي فصل 4 1-2-4 یک ترکیب بدون بعد از کدام است؟ الف) ب) ج) √ د) _______________________________________________________________________________________________________________________ 1-3-4 کدام عبارت بیانگر عدد رینولدز است ؟ √الف) ب) ج) V/gD د) ________________________________________________________________________________________________________________________ 2-3-4 ضریب فشار را می توان به کدام صورت زیر نوشت ؟ الف) P/H Δ ب) ΔP/pv²/2 √ج) د) ________________________________________________________________________________________________________________________ 3-3-4 ضریب فشار برابر است با نسبت نیروهای فشاری به الف) نیروهای چسبنده √ ب) نیروهای لختی ج) نیروهای گرانی د) نیروهای کشش سطحی ___________________________________________________________________________

4-3-4 در جریان آرام بین دو صفحه ی موازی کدام دو نیرو با اهمیت تراند؟ الف) لختی و چسبنده ب)فشاری و لختی ج) گرانی و فشار √د) چسبنده و فشار ________________________________________________________________________________

فصل 5 مقاومت سيال 1-5 مقدمه در فصل معادلات بنيادي و مهم در تجزيه وتحليل جريان سيالات راارائه كرديم و در آنجا فرض كرديم كه سيال بدن اصطكاك باشد.در اين فصل راجع به سيالات واقعي بحث خواهيم كرد. يعني وضعيتي را مطرح مي كنيم كه بازگشت ناپذيري عاملي مهم باشد و چسبندگي سيال عامل ايجاد برگشت ناپذيري و اتلاف خواهد بود. بدون چسبندگي در يك سيال, هيچ مقاومتي مشاهده نخواهد شد. حالتهاي آسان تري چون جريان دائمي ، آرام را ابتدا بررسي مي كنيم و سپس مقاومت در مقابل جريان دائمي، يكنواخت، تراكم ناپذير در كانالهاي باز و بسته مطرح خواهد شد. و سرانجام بخشی به پديده انتقال اختصاص داده خواهد شد. معادلات حرکت يك سيال واقعي را مي توان از اثر نيروهاي وارد بر جزء كوچكي از سيال كه شامل تنشهاي برشي ناشي از حركت سيال و چسبندگي است ، بدست آورد. چگونگي تعيين اين معادلات را که معادلات ناوير ـ استوكس مي نامند، از سطح درس بالاتري باشد و مطرح نمي شود. اما با روش آساني مي توان چنين گفت كه اگر قانون اول نيوتن را در مورد چسبندگي (درك معادله 1-1) در جريان آرام يك بعدي را به جريان سه بعدي تعميم دهيم، داريم: (1-5 ( سه رابطه بالا را قانون چسبندگي استوكس مي نامند. در اين سه رابطه زيرنويس اول بيانگر تنش برشي در جهت عمود بر صفحه اي است كه مولفه ی برشي درآن وجه عمل مي كند و زيرنويس دوم جهت مولفه ي برشي را مشخص مي كند.

در فصل 3 به هنگام بحث راجع به معادلات اويلر و انرژي ، را مختص عمودي در نظر گرفتيم و بنابراين اندازه اي از انرژي پتانسيل در واحد وزن بود.در اين فصل سيستم مختصات را راستگرد فرض مي كنيم تا محاسبه آسان شود. مي دانيم نيروي گراني همواره رو به پايين عمل مي كند، بنابراين bرا به عنوان جهتي در نظر مي گيريم كه به سمت بالا مثبت باشد و كسينوس زاويه ي بين محور x و محور h خواهد بود. همين موضوع را مي توان براي y و نيز عمل كرد. اگر معادلات ناويرـ استوكس را محدود به سيالات تراكم ناپذير كنيم، داريم: (2-5) در معادلات V , چسبندگي سينماتيكي است و ثابت فرض مي شود، مشتق گيري نسبت به حركت است. (3-5) و عملگر چنين تعريف مي شود: (4-5)

براي سيال ناچسبنده، معادلات ناوير استوكس به معادلات اويلر براي حركت سه بعدي تبديل مي شود. اگر جريان يك بعدي را براي سيال واقعي در جهت وقتي كه h درجهت عمودي و روبه بالا و y عمود بر باشد (يعني ) (شكل 1-5) آنگاه در نظر بگيريم معادلات ناوير ـ استوكس به صورت زير خواهند آمد: (5-5) و براي جريان دائمي داريم و فقط تابعي از خواهد بود. از آنجا كه u فقط تابعي از y و براي جريان يك بعدي است، نتيجه مي شود: (6-5)

شكل 1-5 جريان سيال بين صفحات موازي شيبدار با صفحه ي فوقاني در حال حركت 2-5 جريان آرام، تراكم ناپذير ودائمي بين صفحات موازي فرض مي كنيم جريان آرامي بين دو صفحه ي موازي شيبدار به صورت دائمي جاري و صفحه فوقاني سرعت ثابت U داشته باشد (شكل 1-5) در اين شكل صفحه ي فوقاني موازي با جهت سيال حركت دارد بنابراين درجهت تغيير فشار وجود دارد. اكنون لايه ي نازكي با پهناي واحد در مسير جريان در نظر مي گيريم.در جريان يكنواخت اين لايه با سرعت ثابت U حركت مي كند:

مي دانيم و رابطه ي بالا برابر عنصر حجم تقسيم مي كنيم تا بدست آيد: (7-5) اما u تابعي از y است بنابراين مي باشد، و از نظر مقدار در جهت y تغيير نمي كند (زيرا شتاب وجود ندارد) ، فقط تابعي از است. پس در نتيجه معادله ي (7-5) به صورت زير در مي آيد: (8-5) از معادله ي بالا نسبت به y انتگرال مي گيريم. بار ديگر انتگرال مي گيريم تا بدست آيد (9-5) توجه داريم B,A دو ثابت انتگرال گيري است. با جايگزيني (Y=0,U=0) و U=u,y=a در رابطه ي (9-5) نتيجه مي شود: و B=0 سر انجام با حذف A و B در معادله ي (9-5) بدست مي آيد: (10-5)

اگر صفحات افقي باشند ، ديگر گراديان ناشي از فشار يا ارتفاع وجود ندارد، يعني توزيع فشار هيدروليكي است و توزيع سرعت به خط مستقيم خواهد بود. اما اگر صفحات شيبدار ولي ثابت باشند U=0 است و در نتيجه توزيع سرعت سهوي شكل خواهد شد. براي تعيين مقدار دبي خروجي در سطح مقطع ثابت كافي است از معادله ي (10-5) نسبت به y انتگرال بگيريم. (11-5) و توجه داريم در حالت كلي،‌ سرعت پيشينه در صفحه ي مياني نيست. مثال 1 در شكل (2-5) ، يك صفحه نسبت به ديگري حركت مي كند. و ، توزيع سرعت، دبي خروجي و تنش برشي وارد بر صفحه ي فوقاني را محاسبه كنيد. حل در صفحة فوقاني داريم : pa 26450=3×806/9×850+1400= شكل 2-5 جريان روي صفحات شيبدار

و در نقطه پاييني: pa800= بنابراين با توجه به شكل مزبور و m006/0=a است بنابراين از معادله ي (10-5) داريم: سرعت پيشينه هنگامي پيش مي آيد كه باشد و يا 00079/0=y در نتيجه 0236/0= Umax خواهد شد. Q مقدار دبي خروجي در واحد پهنا برابر است با كه رو به بالا مي باشد. اكنون تنش برشي بر صفحه ي فوقاني را محاسبه مي كنيم. و

لذا نيروي برشي در صفحه ي فوقاني برابر با pa44/31 است كه در مقابل حركت صفحه مقاومت مي كند. 3-5 جريان آرام در لوله ها و در فاصله ي بين دولوله ي هم محور براي جريان آرام، تراكم ناپذير و يكنواخت درون لوله يا در فاصله ي بين دو لوله ي هم محور يك جزو استوانه اي را مطابق شكل (3-5) به عنوان جسم آزاد در نظر مي گيريم. شتاب را برابر صفر فرض مي كنيم و معادله ي حركت را در جهت بكار مي بريم: مي دانيم و رابطه ي بالا بر حجم جسم آزاد يعني تقسيم مي كنيم . در نتيجه بدست مي آيد.: (11-5)

اما تابع r نيست، بنابر اين معادله بالا را در ضرب و نسبت به r انتگرال مي گيريم تا معادله ي حركت به صورت زير در آيد: (12-5) كه در آن A مقدار ثابت انتگرال گيري است. براي يك لوله با قاعده ي مستدير شكل اين معادله در صورتي كه r=0 بايد صدق كند پس A=0 با جايگزيني در رابطه ي (12-5) داريم (توجه شود كه علامت منفي ضروري است زيرا uبا افزايش r كاهش مي يابد): و با انتگرال گيري مجدد رابطه ي براي u بدست مي آيد. (13-5) حال اگر سيال در فاصله ي بين دو لوله ي هم محور جريان داشته باشد، مي دانيم اگر r=b (شعاع داخلي لوله) u=0 و به اجزاي r=a و u=0 خواهد بود. بنابراين با اين شرايط در معادله براي A و B بدست مي آيد و سرانجام با جايگزيني در معادله ي (13-5) نتيجه مي شود: (14-5)

معادله ي (14-5) همان معادله ي سرعت سيال در فاصله ي بين دو لوله محور است. اكنون Q دبي خروجي را براي اين حالت محاسبه مي كنيم (شكل 4-5): (15-5) شكل 3-5 نمودار آزاد يك جزء استوانه اي در جريان آرام درون لوله ي شيبدار

شكل 4-5 جريان در فاصله ي بين دو لوله ي هم محور لوله اي با قاعده ي مستدير براي لوله هاي معمولي در معادله ي (13-5) A=0 است و به ازاي r=a ، u=0 خواهد شد: (15-5) و اين سرعت سيال درون لوله اي با قاعده اي به شعاع a است. به ازاي r=0 ، سرعت بيشينه umax بدست مي آيد: (16-5) چون توزيع سرعت سهمي وار است، حجم آن برابر با نصف حجم استوانه محاط بر آن است. بنابراين سرعت متوسط آن برابر با نصف بيشينه سرعت خواهد شد: (17-5)

و مقدار دبي خروجي برابر با است: (18-5) مورد خاص: لوله هاي افقي مقدار دبي خروجي را مي توان با انتگرال گيري از u روي سطح مزبور بدست آورد (براي لوله هاي افقي ثابت= h است): (19-5) با توجه به اين كه افت فشار در طول L از رابطه زير بدست مي آيد. (20-5) و اگر قطر لوله برابر با D باشد داريم: (21-5) و رابطه ي سرعت متوسط با دبي خروجي به صورت زير است: (22-5)

اگر معادله ی را براي افت فشار حل كنيم، نتيجه مي شود: (23-5) از رابطه ي بالا مشاهده مي شود كه افت فشار با چسبندگي ، طول و دبي خروجي نسبت مستقيم و با توان چهارم قطر لوله نسبت عکس دارد. توجه داريم كه زبري لوله در اين معادلات مطرح نشده است. معادله ی(22-5) را در سال 1839 هاگن به صورت تجربي بدست آورد و چندين سال بعد، ويدمآن در سال 1856 آن را به روش تحليلي نتيجه گرفت. نتايج بدست آمده از معادله ي (12-5) تا (22-5) براي دهانه ي ورودي لوله معتبر نيست. اگر جرياني از مخزني از مدخلي كاملاً مدور وارد لوله اي شود، سرعت در ابتدا يكنواخت خواهد بود. اثر تنش برشي باعث كاهش سرعت سيال در نزديكي جداره مي شود، L طول گذار براي ايجاد سرعت سهموي تابع از عدد رينولدز است.لانگهار براي نخستين بار رابطه ي نظری به صورت زير بدست آورد: (24-5) كه امروزه با مشاهدات عملی توافق دارد و آن را رابطه ي لانگهار مي نامند. مثال 2 جهت جريان را در لوله ي شيبدار شكل (5-5) تعيين كنيد. در صورتي باشد. همچنين مقدار كمي جريان را بر حسب ليتر در ثانيه و عدد رينولدز جريان را تعيين كنيد. شكل 5-5

حل در نقطه ي 1 : در نقطه ي 2: اگر مبنای ارتفاع را در نقطه ي 2 بگيريم ، جريان از 2 به 1 است، زيرا انرژي در نقطه ي 2 بيشتر است. اكنون مقدار جريان را محاسبه مي كنيم: توجه داريم مقدار از 1 به 2 مثبت است. با جايگزيني در معادله ي (18-5) بدست مي آ 0368/0 -= 0000368/0- = 6000 و سرعت متوسط از معادله ي محاسبه مي شود: 4686/0= اكنون براي محاسبه ي عدد رينولدز داريم:

4-5 نيروي كشش بر اجسام غوطه ور نيروي كششي مولفه اي از نيرو است كه از سوي سيال متحرك به جسم وارد مي شود و موازي سرعت نزديكي نسبي است. نمودارهاي ضريب كشش كره وديسك هاي سندير در شكل (6-5) ارائه شده است و در شكل (7-5) نمودار ضريب كشش برای استوانه ی مستدیر با طول بینهایت نسبت به عدد رینولدز رسم شده است . در هر حال CD ضریب کشش به صورت زير تعريف مي شود: (25-5) = نیروی کشش كه در آن A تصوير سطح جسم روي صفحه اي عمود بر مسير جريان است. در جدول (1-5) ضرايب كشش نمونه اي براي چندين استوانه داده شده است. در حالت كلي اين تصاوير براي آن برد اعداد رينولدز داده شده است كه در آن ضرايب كشش با عدد رينولدز اندكي تغيير ميكند. نمودار نيروي كشش و نيروي بالابر براي يك سطح آيروديناميكي در شكل (8-5) ديده ميشود. نيروي بالابر مولفه اي از نيرو است كه از سوي سيال به جسم تحت زاويه ي قائم نسبت به سرعت نزديك نسبي وارد مي شود. ضريب نيروي بالابر CL به صورت زير تعريف مي شود. (26-5 ) = نيروي بالابر كه در آن A مربوط به طول قوس ضربدر طول يال براي نيروي كشش و نيروي بالابر در سطح آيروديناميكي است.

شكل ( 6-5) ضرايب نيروي كشش براي كره وديسكهاي سندير شكل (7-5) ضرايب نيروي كشش براي استوانه ي ستدير

شكل 8-5 ضرايب نيروي كشش ونيروي بالابر براي تشكيل آيروديناميكي جدول 1-5 ضرایب نیروی کشش برای انواع استوانه ها در دو بعدی _ _ _ _؟_ _ _ _ اثر تراكم پذيري بر نيروي كشش در تعيين كشش براي جريان گاز با سرعت بالا، اثر تراكم پذيري كه با عدد ماخ بيان مي شود ، مهم تر از عدد رينولدز است. M عدد ماخ نسبت سرعت سيال به سرعت صوت در سيال تعريف مي شود. اگر جريان در سرعت بحراني C باشد، همان سرعت موج صوت را دارد و بنابراين امواج فشاري كوچكي نمي توانند به سوي بالا دست جريان حركت كنند. در اين شرايط M=1 است و اگر M بزرگتر از 1 باشد، جريان مافوق صوت و اگر M كمتر از 1 باشد جريان مادون صوت است. هر نوع اغتشاش كوچكي با سرعت صوت انتشار مي يابد . به عنوان مثال اغتشاش در هواي ساكن به شكل موج فشاري كروي به طرف خارج حركت مي كند

در حالي كه منبع توليد اغتشاش با سرعتي كمتر از c حركت مي كند در حالي كه منبع توليد اغتشاش با سرعتي كمتر از c حركت مي كند. در شكل (9-5) اين موضوع نشان داده شده است. چون موج جلوتر از جسم متحرک قرار گیرد . مادامی که جسم فاصله ی Vt را طی مي كند ، موج اغتشاش به مقدار r=ct ازنقطه ي o دور شده است. در تمام موارد مادون صوت، اين امواج همواره داخل اولين موج كروي ايجاد شده قرار مي گيرند. اما در حركت مافوق صوت جسم سريعتر از امواج كروي ارسالي حركت مي كند و در نتيجه امواج مخروطي شكل با يك راس در جسم ايجاد مي شود. نصف زاويه ي را زاويه ماخ گويند. (27-5) نيروي كشش بر اجسام به مقدار زيادي تحت تاثير عدد ماخ است و اگر تراكم پذيري مهمتر شود، وابستگي خود را به عدد رينولدز از دست مي دهد. در شكل (10-5) ضرايب كشش براي 4 جسم پرتابه اي نسبت به عدد ماخ رسم شده است. براي اعداد ماخ كوچك، جسم بايد داراي پيشاني مدور و دماغه اي پهن و بدنه اي مخروطي شكل كشيده داشته باشد تا نيروي كشش به كميته برسد. به ازاي اعداد ماخ بزرگ (v یا بیشتر)نيروي كشش به سرعت زياد مي شود و در اين صورت جسم دماغه اي تيز داشته و لبه های جلويي آن نازك است. شكل 9-5 گسترش موج حاصل از يك متحرك الف با سرعت مادون صوت وب سرعت مافوق صوت

شكل 10-5 ضرايب كشش گلوله ها به صورت تابعي از عدد ماخ قانون استوكس استوكس در سال 1851 ، جريان سيالات تراكم ناپذير چسبنده را در پيرامون كره با 1 عدد رينولدز متفاوت ( ) كمتر از 1 حل كرد. او دريافت كه كشش (نيروي وارد بركره توسط جريان سيال پيرامونش) برابر است با : (28-5) نيروي كشش

كه در آن a شعاع كره و U سرعت كره نسبت سيال در فاصله ي زياد مي باشد در محاسبه سرعت نهايي كره اي كه در سيال سقوط مي كند (فرض مي كنيم سيال ساكن باشد) ، نيروي شناوري به اضافه ي نيروي كشش بايد برابر با وزن كره باشد: (9-5) كه در آن وزن مخصوص مایع و وزن مخصوص كره است. از حل اين رابطه ، سرعت نهايي U بدست مي آيد: (30-5) درشكل (6-5) ، خط راست بيانگر قانون استوكس است. كاربرد قانون استوكس درجداسازي سرد كننده از ذرات براده هاي فلزي در ماشينكاري ، نمك زدايي جريان رودخانه ها و در بهداشت محيط زيست جهت تصفيه آبها و فاضلابها است. مثال 3 از هواپيماي جتي ، ذرات جامدي به قطر و s=2/5 در ارتفاع 1100 متري، ذرات جامدي به درون جت ريخته مي شود. اگر چسبندگي هوا از رابطه ي بدست آيد كه در آن y بر حسب متر نسبت به سطح دريا اندازه گيري مي شود. زمان لازم را براي اين كه ذرات به سطح دريا برسند محاسبه كنيد. از جريان هوا و اثرات باد چشم پوشي شود. حل اگر معادله ي (30-5) را جايگزين كنيم و وزن مخصوص هوا بسيار كمتر از وزن مخصوص ذرات جامد باشد،‌ آنگاه داريم:

5-5 مقاومت در برابر جريان درهم سيالات در مجاري باز و بسته در جريان تراكم ناپذير درهم و يكنواخت دائمي در مجرايي با سطح مقطع ثابت، تنش برشي جداره تقريباً متناسب بامجذور سرعت متوسط تغيير مي كند: (30-5) كه در آن ضريب بدون بعدي است. دركانالهاي باز ومجاري غير مستدير بسته، تنش برشي روي سطح ثابت نيست، در اين موارد را به صورت مقدار متوسط تنش برشي درجداره بكار مي برند. در شكل (11-5) جريان يكنواختي در مجرايي باز يا بسته نشان داده شده است. در حالت باز بودن كانال برابر با است و جريان به دليل كاهش انرژي پتانسيل به مقدار بوجود مي آيد. اما در مجراي بسته انرژي لازم جهت ايجاد جريان با افت انرژي پتانسيل و همچنين با افت فشار - تامين مي شود. را مي توان در جهت جريان افزايش داد ولي كاهش انرژي پتانسيل بايد بيشتر از ( - )/ باشد تا انرژي لازم جهت غلبه بر تنش برشی جداره فراهم آيد.

معادله ي انرژي در اين حالت به صورت زير بيان مي شود: (31-5) 2-1 افت شكل 11-5 نيروهاي محور بر حجم كنترل درون يك مجرا نيروي بالابر نيروي بالابر زاويه ماخ قانون استوكس (سيال تراكم ناپذير چسبنده)

تنش برشی در جريان تراكم ناپذير در هم و يكنواخت دائمي معادله انرژي در مجاري باز و بسته معادله افت افت در واحد وزن در واحد طول كانال فرمول شزي چون حد سرعت همانند است : (32-5)

اگر جريان يكنواخت باشد ، معادله ي تكانه ي خطي درجهت بكاربرده مي شود: (33-5) كه در آن P بخش از محيط كه جداره درتماس با سيال است. چون بنابراين (34-5) اگر از معادلات (32-5) و (34-5) و (30-5) استفاده كنيم نتيجه مي شود: (35-5) كه در آن و شعاع هيدروليكي مجرا ناميده مي شود. براي لوله مستدير ، شعاع هيدروليكي برابر با است. عبارت مربوط به افت در معادله ي (35-5) بر حسب متر ـ نيوتن بر نيوتن است و آن را hf يا افت هد ناشي از اصطكاك مي نامند. اگر S را افت در واحد وزن در واحد طول كانال بگيريم: (36-5) و اين معادله را براي V حل كنيم: (37-5)

اين معادله را فرمول شزي مي نامند و ضريب يا C را بايد به روش تجربي تعيين كرد.براي لوله ها ، هنگامي كه و باشد، معادله ي دارسي ـ وايسباخ بدست مي آيد. (38-5) كه در آن D قطر داخلي لوله است. براي كانالهاي باز اين معادله به صورت زير در مي آيد. (39-5) 6- 5 جريان يكنواخت ـ دائمي در كانالهاي باز براي جريان دائمي تراكم ناپذير در عمق ثابت درون كانال باز منشوری شكل فرمول مفينگ بكار برد مي شود . اين فرمول را با جايگزيني رابطه ي (40-5) در فرمول شزی بدست آورده مي شود: (41-5) مقدار Cm برابر با يك، V سرعت متوسط در سطح مقطع مزبور , R شعاع هيدروليكي و S افت در واحد وزن در واحد طول كانال يا شيب كف كانال مي باشد. به نظر مي رسد كه ضريب n ضريب زبري مطلق تنها و ابسته به زبري سطح باشد ، ولي n بستگي به نامعلومي به ابعاد و شكل سطح مقطع كانال دارد.

مقدار ضريب n را در چندين آزمايش در كانالهاي واقعي بدست آورده اند كه در جدول (2-5) آورده ايم توجه داريم اين مقادير در سيستم SI است. جدول 2-5 مقادير متوسط ضريب زبري سينگ مواد مختلف _ _ _ _؟_ _ _ _ اگر معادله (41-5) را در سطح مقطع A ضرب شود، فرمول مفينگ به صورت زيردر مي آيد: (42-5) كه Qهمان دبي خروجي است. مثال 4 مقدار دبي خروجي از كانال ذوزنقه شكل (12-5) را كه عرض قاعده b=3m و وجوه آن شيب يك به يك دارد بدست آوريد. در صورتي كه عمق كانال m2 و شيب كف آن برابر 0009/0 و سطح واقعي كانال از سيمان ساخته شده است. حل با استفاده از جدول (2-5) 012/0=h و مساحت برابر است : و محيط خیس : با جايگزيني در معادله (42-5) بدست مي آيد.

شكل 12-5 سطح مقطع ذوزنقه شكل مثال 6 به چه عمقی نياز داريم اگر بخواهيم جريان در يك كانال چوبي مربع شكل به عرض m2 و شيب كف معادل 002/0 بوجود آيد؟ حل اگر عمق را y بگيريم، A=2y و p=2+2y خواهد بود. از جايگزيني دو معادله (42-5) نتيجه مي شود: پس از ساده كردن : اگر y=1 آنگاه 63/0= f(y) پس با فرض m89/0=y و 538/0= f(y) مي شود. بنابراين عمق درست برابر m89/0 است.

مثال 7 شخصی نياز به كانال دارد كه در آن از فرسايش خاك نيز جلوگيري شود مثال 7 شخصی نياز به كانال دارد كه در آن از فرسايش خاك نيز جلوگيري شود. كانال ذوزنقه اي شكل و شيب 0009/0 و قاعده ي آن m3 و شيب وجوه آن 2 به است (افقي به عمودي) . اگر او از قلوه سنگهاي كروي زبر براي آستر كانال استفاده كند حداقل قلوه سنگها كه مي تواند استفاده كند، چقدراست؟ دبي جريان در طراحي فرض شده است و تنشي كه قلوه سنگها در مقابل آن مقاومت مي كند يا معادله ي مشخص مي شود كه در آن واحد وزن قلوه سنگها و قطر متوسط قلوه سنگها بر حسب متر است . حل با مراجعه به جدول (2-5) ضريب n قلوه سنگها برابر با 25/0 با جايگزينی در معادله ي (42-5) بدست مي آيد. از حل اين معادله , عمق 626/2=y و شعاع هيدروليك m47/1=R بدست مي آيد. از معادلات (35-5) و (36-5) داريم: براي محاسبه ي از برابري داريم: 97/12= D50 (9806-21200)040/0 يا cm 84/2=

7-5 چكيده توزيع سـرعت در جريـان آرام ، تراكم ناپـذير دائمي بـين صـفحات موازي از رابـطه ي زير بدست مي آيد: اگر صفحات افقی باشند توزيع فشار هیدرولیکی برابر با مقداری ثابت است و توزیع سرعت به خط مستقیم خواهد بود . اما اگر صفحات شيبدار ولي ثابت باشند U=0 و در نيجه سرعت سهموي شكل است. و مقدار دبي خروجي در سطح ثابت از رابطه ي زير بدست مي آيد. براي جريان آرام ، تراكم ناپذير و يكنواخت بين دو لوله هم محور با شعاع داخلي b و شعاع خارجي a ,توزيع سرعت برابر است با اما اگر فقط يك لوله مستدير شكل به شعاع a داشته باشيم: و اين سرعت سيال درون لوله مزبور است.

سرعت متوسط نيز چنين خواهد شد سرعت متوسط نيز چنين خواهد شد. كه برابر بانصف پيشينه سرعت سيال است و تعداد دبي خروجي برابر است با لانگهار براي نخستين بار رابطه ي نظری به صورت زير بدست آورد: كه طول گذار براي ايجاد سرعت سهوي است و R عدد رينولدز مي باشد. نيروي كشش به صورت زير تعريف مي شود. = نيروي كشش كه درآن CD ضريب كشش و A تصوير سطح جسم روي صفحه اي عمود برمسير جريان است . نيروي بالابر مولفه اي از نيرو است كه از سوي سيال به جسم تحت زاويه اي قائم نسبت به سرعت نزديكي نسبی وارد مي شود. = نيروي بالابر كه در آن CL ضريب نيروي بالابر است و A مربوط به طول قوس ضربدر طول مايل براي نيروي كشش و نيروي بالابر در سطح آيروديناميكي مي باشد.

نصف زاويه زير را زاويه ي ماخ مي نامند نصف زاويه زير را زاويه ي ماخ مي نامند. استوكس دريافت كه كشش ، نيروي وارد بركره توسط جريان سيال پيرامونش برابر است با : = نيروي كشش كه در آن a شعاع كره و u سرعت كره نسبت به سيال در فاصله ي زيادي باشد و رابطه ی زير براي سرعت نهايي مي باشد. كه در آن وزن مخصوص مایع و وزن مخصوص كره است. در جريان تراكم ناپذير درهم و يكنواخت دائمي در مجرايي با سطح مقطع ثابت، تنش برشی جداره از رابطه ي زير بدست مي آيد. كه در آن ضريب بدون بعدي است و معادله ي انرژي به صورت زير در مي آيد.

اگر S را افت در واحد وزن در واحد طول كانال بگيريم ، داريم: S= و فرمول شزي به صورت زير بدست مي آيد. براي جريان دائمي تراكم ناپذير در عمق ثابت درون كانال باز منشوري شكل داريم. كه در آن مقدار cm برابر با يك ، V سرعت متوسط در سطح مقطع مزبور و R شعاع هيدروليكي و S افت در واحد وزن در واحد طول كانال يا شيب كف كانال مي باشد و n ضريب زبري مطلق است (رجوع شود به جدول 2-5) و دبي خروجي برابر است با

تست هاي فصل 5 1-2-5 تنش برشی در یک سیال که بین دو صفحه موازی جریان دارد : الف) در تمام سطح مقطع ثابت است ب) در روی دو صفحه صفر است و تا نقطه ی مبنا به طور خطی افزایش می یابد. ج) در سطح مقطع مورد نظر به شکل سهمی تغییر می کند √د) در نقطه ی میانی صفر است و با افزایش فاصله از آن نقطه بطور خطی تغییر می کند ________________________________________________________________________________ 2-2-5 توزیع سرعت برای جریان سیال بین دو صفحه موازی و ثابت: الف) در تمام سطح مقطع ثابت است ب) در نزدیکی صفحات صفر است و به طور خطی به طرف مرکز افزایش می یابد √ج) در سطح مقطع مورد نظر به شکل سهمی تغییر می کند د) متناسب با توان 2/3 فاصله تا نقطه ی میانی تغییر می کند ________________________________________________________________________________ 3-2-5 دبی خروجی سیال از بین دو صفحه موازی که فاصله ی آنها از یکدیگر a است و یکی از آنها سرعت u دارد و تنش برشی در صفحه ثابت صفر می باشد برابر است با : √الف ) ua/3 ب) ua/2 ج) 2ua/3 د) ua

4-2-5 سیالی در بین دو صفحه موازی آرام حرکت می کـند 4-2-5 سیالی در بین دو صفحه موازی آرام حرکت می کـند . یکی از صفحات حرکت می کند و تحت گرادیان فشار قرار دارد به طوری که دبی خروجی از بین آنها در هر سطح مقطع ثابتی صفر اسـت . حداقل سرعت در نقطه ای روی می دهد که فاصله آن از صـفـحه ی ثـابـت برابر باشد با : الف) a/6 √ب) a/3 ج) a/2 د) 2a/3 _______________________________________________________________________________ 5-2-5 در تست 4-2-5 مقدار حداقل سرعـت بـرابـر اسـت بـا الف) -3u/4 ب) -2u/3 ج) –u/2 د) –u/3 ____________________________________________________________________ 6-2-5 رابطه ی بین فشار و تنش برشی در جریان آرام یک بعدی در جهت x کدام است؟ الف) dp/dx = µdz/dy ب) dx / dp/dy = dz ج) dp/dy = µdz/dx √ د) dy /z dp/dx = d ____________________________________________________________________

1-3-5 تنش برشی در سیال جاری در لوله : الف) در تمام سطح مقطع ثابت است ب) در جداره صفر است و به طرف مرکز به طور خطی افزایش می یابد √ج) در مرکز صفحه صفر و متناسب با شعاع به طور خطی زیاد می شود د) به شکل سهمی تغییر می کند _______________________________________________________________________________ 2-3-5 اگر افت فشار برای 30 متر طول از یک خط لـولـه بـه قـطـر 900mm برابر 70Kpa باشد تنش برشی در جدار بر حسب پاسکال برابر است با : الف) 0 √ب) 350 ج) 700 د) 1400 ____________________________________________________________________ 3-3-5 در جریان آرام در لوله , دبی : الف) بطور خطی با تغییر چسبندگی تغییر می کند ب) متناسب با مربع شعاع تغییر میکند ج) نسبت عکس با افت فشار دارد د) نسبت عکس با چسبندگی دارد _______________________________________________________________________________

4-3-5 اگر لوله ای شیب دار باشد , بجای ρ–dp/d از کدام رابطه زیر استفاده می شود ؟ الف) –dh/d ρ ب) _dh/dρ ج)ρ –d(P+h)/d √د)ρ –d(p+h)/d _______________________________________________________________________________ 1-4-5 در جریان سیال با چسبندگی کم : الف) اثر چسبندگی به طور چشم گیری کشش وارد بر جسم را افزایش نمی دهد ب) قضیه ی پتانسیل بیانگر نیروی کشش بر جسم است √ج) اثر چسبندگی محدود به ناحیه ای باریکی در پیرامون جسم می شود د) کشش ناشی از تغییر شکل روی جسم همواره غالب می شود _______________________________________________________________________________ 2-4-5 نیروی بالابر وارد بر جسم غوطهور در جریان سیال : الف) ناشی از نیروی شناوری است ب) همواره در جهت مخالف با جهت گرانی است √ج) مولفه ی نیروی دینامیکی سیال وارد بر جسم عمود بر سرعت نزدیکی نسبی است د) مولفه ی نیروی دینامیکی سیال وارد بر جسم موازی با سرعت نزدیکی نسبی است ______________________________________________________________________________

3-4-5 نیروی کشش فشاری ناشی از : الف) اصطحکاک سطحی است ب) تغییر شکل است √ج) جریان برگشتی است د) شکست جریان پتانسیلی در نزدیکی نقطه ی سکون پیکانی جسم است ________________________________________________________________________________ 4-4-5 جسمی با دماغه ی محدود و دنباله ای دراز و مخروطی شکل همواره جهت : الف) جریان آرام مناسب است √ب) جریان مادون صوت متلاطم مناسب است ج) جریان مافوق صوت مناسب است د) جریان در سرعت صوت مناسب است ________________________________________________________________________________ 5-4-5 اثر تراکم پذیری بر نیروی کشش عبارتست از : √الف) افزایش آن به مقدار زیاد در نزدیکی سرعت صوت ب) کاهش آن در نزدیکی سرعت صوت ج) افزایش سریعتر آن متناسب با توان دوم سرعت به ازای اعداد ماخ بالا د) کاهش آن در تمامی محدوده ی جریان ________________________________________________________________________________

6-4-5 سرعت نمایی کره ای که درون سیال چسبنده ای رو به پایین سقوط می کند : الف) با توان اول قطر آن تغییر می کند √ب) به صورت عکس با چسبندگی سیال تغییر می کند ج) به صورت عکس مربع قطر آن تغییر می کند د) به صورت عکی قطر آن تغییر می کند ________________________________________________________________________________ 1-5-5 شعاع هیدرولیک از الف) محیط خیس تقسیم بر سطح بدست می آید ب) سطح تقسیم بر مربع محیط خیس بدست می آید ج) ریشه ی دوم مساحت مشخص می شود √د) مساحت تقسیم بر محیط خیس تعیین می شود ________________________________________________________________________________ 2-5-5 شعاع هیدرولیک یک کا نـال بـاز بـا عـرض 60mm و عـمـق 120mm بر حسب میلی متر برابر است با: الف) 30 √ب) 24 ج) 40 د) 60 _____________________________________________________________________

1-6-5 افت جریان در کانال باز به طور کلی الف) متناسب با زبری به توان یک تغییر می کند ب) متناسب با عکس زبری تغییر می کند √ج)متناسب با مربع سرعت تغییر می کند د) متناسب با سرعت تغییر می کند ________________________________________________________________________________ 2-6-5 آسان ترین مورد محاسبه ی جریان کانال باز عبارتست از √الف) یکنواخت دائمی ب) نایکنواخت دائمی ج) یکنواخت غیر دائمی د) به تدریج متغیر _______________________________________________________________________________ 3-6-5 در کانال بازی با عرض زیاد , شعاع هیدرولیک برابر است با : الف) y/3 ب) y/2 ج) 2y/3 √د) y

فصل 6 جريان تراكم پذير پس از مطالعه ي اين فصل بايد بتوانيد روابراگازهاي كامل،‌ آنتروپي، قانون اول و دوم ترموديناميك ، سرعت امواج صوتي و عدد ماخ، جريان ايزوتوپي، شرايط بحراني، خطوط ريلي و فانو، جريان بي دررو بااصطكاك در كانالها با فرضيات مربوط به آن، حداكثر طول دراين شرايط و جريان بي اصطكاك داخل كانالها با انتقال گرما بنويسيد و بخوبي فراگيريد كه چگونه د رحل مسائل از آنها استفاده مي شود. 1-6 مقدمه در فصل قبلي راجع به جريان تراكم ناپذير و چسبنده بحث كرديم. دراين فصل به جريان تراكم پذير مي پردازيم و متغيير جديدي به نام چگالي و معادله اي ديگر به نام معادله ي حالت كه رابطه ي بين فشار و چگالي را مشخص مي كنيم. ارائه خواهد شد. در تجزيه و تحليل جريان سيال تراكم پذير از معادلات ديگري چون پيوستگي، تكانه و قانون اول و دوم ترموديناميك استفاده مي شود در بررسي جريان يكنواخت يك بعدي ، سرعت و چگالي درهر مقطعي ثابت است. اگرتغييرات چگالي به تدريج و ناچيز باشد، مي توان از چگالي متوسط استفاده كرد و سيال را تراكم ناپذير فرض كرد.

2-6 روابط گاز كامل در فصل 1 ملاحظه شد كه گاز كامل به صورت سيالي است كه ثابتهاي گرماي ويژه دارد و از قانون گاز زیر پيروي مي كند. (1-6) كه در آن فشار، T دما، هم چگالي و R ثابت گاز است. در اين بخش نسبت گرماي ويژه و رابطه ي ثابت گرماهاي ويژه و ثابت گاز ارائه خواهد شد و رابطه ي انرژي داخلي با آنتالپي و دما مطرح مي شود و سرانجام روابط مربوط به آنتروپي و فرآيندهاي ايزونتروپي و پلي تروپي برگشت پذير معرفي مي شوند. CV گرماي ويژه در حجم ثابت به صورت زير تعريف مي شود: (2-6) كه در آن u انرژي داخلي بايد به واحد جرم گاز اضافه شود (در حجم ثابت) تا دماي گاز را يك درجه بالا ببرد. Cp گرامي ويژه در فشار ثابت از رابطه زير بدست مي آيد. (3-6) كه در آن h آنتروپي درواحد جرم است و از رابطه ي بدست مي آيد. اما و u براي گاز كامل فقط تابعی از دماست. بنابراين h فقط به دما بستگي دارد. در بعضي از گازهاي معمولي چون بخار آب، هيدروژن، اكسيژن، و منواكسيد كربن و هوا تغييرات گرماي ويژه بين دماي 0 تا 300 بسيار كم است بنابراين براي آنها مقدار متوسطي در نظر گرفته مي شود و مانند گاز كامل از آنها استفاده مي كنند.

در جدول (1-6) گرماي ويژه ـ برخي از گازهاي معمولي دردماي 7/26 ارائه شده است. جدول 1-6 خواص گازها درفشار كم و دماي 7/26 براي گازهاي كامل، معادله (2-6) و (3-6) را به صورت زير مي نويسند: (4-6) گرمای ویژه K Kj/kg.k Cp Cv R ثابت گاز j/kg.k جرم مولکولی نسبی فرمول شیمیایی گاز 1.40 1.66 1.33 1.004 0.716 1.043 0.745 5.233 3.153 14.361 10.216 1.038 0.741 0.917 0.657 1.863 1.403 287 297 2077 4121 260 462 29.0 28.0 4.00 2.02 32.0 18.0 CO He H2 N2 O2 H2o Air Carbon Monoxide Helium Hydrogen Nitrogen Oxygen Water vapor

و از رابطه ي (3-6) داريم: (5-6) و يا مشتق گيري و از جايگزيني (4-6) در رابطه ي بالا نتيجه مي شود (6-6) معادله ي بالا براي تمام گازهايي كه از معادله ي (1-6) پيروي مي كنند ، برقرار است و k نسبت دماي ويژه به صورت زير تعريف مي شود. (7-6) با استفاده از اين معادله ومعادله (6-6) داريم (8-6) رابطه ی آنتروپي از قانون اول ترموديناميك مي دانيم، گرماي اضافه شده به سيستم برابر با كار انجام شده ي آن سيستم به اضافه افزايش انرژي داخلي سيستم مي باشد. اگر S را آنتروپي بگيريم اين قانون به صورت زير در مي آيد. (9-6)

اين رابطه براي تمام خالص برقرار است اين رابطه براي تمام خالص برقرار است. تغيير انرژي داخلي گاز كامل برابر است با (10-6) و تغيير آنتالپي : (11-6) h2 - h1 = Cp ( T2 - T1 ) بنابراین تغییر در آنتروپی برابر است با (12-6) و سرانجام با انتگرال (13-6) و به كمك معادلات (6-6) و (8-6) نتيجه مي شود: (13-6الف ) (14-6 ب)

(15-6 ج) معادلات (14-6)، صورتهاي مختلف قانون دوم ترموديناميك است (15-6 ج) معادلات (14-6)، صورتهاي مختلف قانون دوم ترموديناميك است. اگر فرآيند برگشت پذير باشد و بي دررو باشد dqH=0 خواهد بود. بنابراين در فرآيند بي در رو برگشت پذير ds=0 و يا مقدارثابت= S خواهد بود. پس يك فرآيند بي دررو برگشت پذير، ايزوتروپي مي باشد با استفاده از اين شرط s2=s1 و يا (15-6) از تركيب معادله ي (15-6) با قانون عمومي گازها به نتيجه زير مي رسيم: (16-6) تغيير آنتالپي براي فرآيند ايزوتروپي برابر است با (17-6) توجه داريم فرآيند پلي تروپي با رابطه ي زير تعريف مي شود: (18-6) مقدار ثابت =

رابطه ي بالا تقريبي براي فرآيندهاي واقعي است رابطه ي بالا تقريبي براي فرآيندهاي واقعي است. مثال 1 براي هليم 23/5=CP و 077/2=R است ، مقدار CV و K را بدست آوريد. حل مي دانيم مثال 2 مقدار R را براي هوا با استفاده از K و CP در جدول(1-6) بدست آوريد. مثال 3 تغييرات آنتالپي 5 كيلوگرم اكسيژن را كه در آغاز kPa abs130=p1 و و در پايان kPa abs 500=p2 و باشد، محاسبه كنيد. حل آنتالپي فقط تابعي از دماست ، با توجه به معادله ي (11-6) داريم:

مثال 4 تغييرات آنتروپي 5 كيلوگرم بخار آب را در شرايط kPa 42= p2=280kPa , p1 و تعيين كنيد. حل با استفاده از معادله ي (14-6 ج) و جدول (1-6) داريم: مثال 5 استوانه هاوي kg2 نيتروژن تحت فشار Mpa abs 14/0 ودماي 5 قرار دارد. اگر فشار به طور ايزونتروپي به Mpa3/0 برسد، دماي نهايي و كار انجام شده را محاسبه كنيد. حل از رابطه ي (16-6) داريم بنابر پایستگي انرژي، كار انجام شده روي گاز بايد برابر با افزايش انرژي داخلي باشد. بنابراين از فرآيند ايزونتروپي هيچ انتقال گرمايي انجام نمي گيرد، يعني

مثال 6 kg44 هوا فرآيند پلي تروپي برگشت پذير را طي مي كندو درآن شرايط اوليه از kPa85=p1 و به kPa140 = p2 تغيير مي كند. حجم هوا برابر است. مطلوبست تعيين (الف) فرمول اين فرآيند (ب) كارانجام شده روي هوا (ج) تعداد انتقال گرما و (د) تغييرات آنتروپي حل (الف) همچنين از معادله ي (18-6) داريم: از اين معادله n را بدست مي آوريم. بنابر اين مقدار ثابت = كه بيانگر فرآيند پلي تروپي است.

(ب) كارانجام شده هوا ولي با انتگرال گيري از رابطه بالا داريم : ابتدا V1 رامحاسبه مي كنيم. در نتيجه كار بدست مي آيد. بنابراين كار انجام شده روي گاز برابر با Kj1582+ مي باشد. (ج) با توجه به قانون اول ترموديناميك . گرماي اضافه شده منهاي كار انجام شده توسط گاز بايد برابر با افزايش انرژي داخلي باشد: QH – W = U2 - U1 = CVm (T2-T1)

ابتدا T2 را محاسبه مي كنيم در نتيجه داريم Kj806 - =( 289- 7/313)44 × 716/ 0+ 1582- = QHيعني مقدار Kj806 گرما از هوا انتقال يافته است. (د) براي محاسبه تغييرات آنتروپي از معادله ي (14-6 ب) استفاده مي كنيم. و يا 3-6 سرعت امواج صوتي و عدد ماخ سرعت يك اغتشاش كوچك را مي توان با بكار گيري معادله ي تكانه و معادله ي پيوستگي تعيين كرد. اكنون سئوالي پيش مي آيد و آن مربوط به امكان وقوع در كانالي است كه آيا امكان تغيير كوچك مانايي در سرعت ، فشار و چگالي وجود دارد؟ با توجه به شكل (1-6) ، معادله پيوستگي به صورت زير در مي آيد.

كه در آن A سطح مقطع كانال است و اين معادله ساده مي شود

اكنون اين مساله را مي توان به جريان ناپايدار با اغتشاش كوچك در سيال ساكني تبديل كرد و اين عمل از برهمتهي تمام سيستم و محيط آن (با بردن سرعت V به سمت چپ) انجام مي شود. اين سرعت را سرعت صوت در محيط C مي نامند. اغتشاش از يك منبع نقطه اي باعث امواج كروي مي شود ولي در فاصله ي از منبع اين امواج به صورت خطي يا يك بعدی مي باشد. معادله ي سرعت به صورت زير است: (20-6) مدول كشساني حجمي به صورت زير تعريف مي شود. (21-6) كه در آن V حجم سيالي است كه تحت تغييرات فشار dp قرار گرفته است. اما بنابراين اين مدول به صورت زير در مي آيد. (22-6) در نتيجه معادله ي (20-6) چنين مي شود: (23-6)

اين معادله براي مايعات و هم گازها بكار برده مي شود اين معادله براي مايعات و هم گازها بكار برده مي شود. به علت گذر امواج صوتي، تغييرات فشار و دما بسيار كوچك است. بنابراين فرآيند مزبور تقريباً برگشت پذير است. همچنين وقتي فرآيند گذر موج نسبتاً سريع و تغييرات دما ناچيز باشد، آن را بي دررو در نظر مي گيرند. در حد، اين فرآيند را مي توان ايزوتروپي گرفت، يعني يا مقدار ثابت= پس (22-6) و با استفاده ازقانون گاز كامل يعني داریم : (23-6) يعني سرعت صوت در گاز كامل فقط تابعي از دماست. در نتيجه در جريان تكدما، سرعت صوت ثابت باقي مي ماند. اما در فصل 4 ملاحظه كرديم كه عدد ماخ نسبت سرعت سيال به سرعت موضعي صوت درهمان محيط تعريف مي شود. (24-6) بنابراين مجذورعددماخ يعني را مي توان نسبت انرژي جنبشي سيال به انرژي گرمايي آن در نظر گرفت.

عددماخ سنجه ی قدر تراكم پذيري را نشان مي دهد عددماخ سنجه ی قدر تراكم پذيري را نشان مي دهد. در سيال تراكم ناپذير k نامتناهي است و m=0 اما براي گاز كامل (25-6) K=kp مي باشد. هنگاميكه تراكم به صورت ايزونتروپي باشد. مثال 7 مدول كشساني حجمي و چگالي تترا كلريد كربن به ترتيب برابر با Gpa24/1 و 1593 مي باشد. سرعت صوت را در اين محيط بدست آوريد. حل مثال 8 سرعت صوت در هواي خشك سطح دريا به ازاي و در طبقه ي فوقاني جو به ازاي چقدر است؟ حل در سطح دريا : در طبقه ي فوقاني جو :

4-6 جريان ايزونتروپي جريان ايزونتروپي يا بي دررو بدون اصطكاك ، جرياني آرماني است كه در جريان گازهاي حقيقي نمي توان به آن دست يافت. اما به هنگام گذر جريان از شيپورها و ونتوري مترها كه در آنها اثرات اصطحكاك بدليل كوتاهي مسير ناچيز است و انتقال گرما به دليل تغييرات بسيار كم ذرات كم است و كوچك بودن گراديان دما تا حدودي مي توان به جريان ايزونتروپي نزديك شد. دراين بخش راجع به جريان دائمي يك بعدي گاز كامل دركانالهاي همگرا و واگرا ـ همگرا بحث مي شود. با چشم پوشي از تغييرات ارتفاع به معادله اويلر به صورت زير در مي آيد: (25-6) و معادله ي پيوستگي عبارتست از : (26/6) مقدارثابت = از رابطه بالا ديفرانسيل مي گيريم و سپس بر تقسيم مي كنيم: (27-6) اكنون از معادله ي (20-6) را بدست مي آوريم و آن را در معادله ي (25-6) جايگزين ميكنيم. (28-6)

از حذف در دو معادله ي (27-6) (28-6) نتيجه مي شود: (29-6) توجه داريم معادله اخير بر اين فرض استوار است كه جريان دائمي و بي اصطحكاك باشد. از معادله (29-6) معلوم مي شود كه اگر جريان مادون صوت (M<1) باشد، مقوله همواره منفي است. يعني سطح كانال براي افزايش سرعت بايد كاهش يابد. اما اگر m=1 باشد، و سرعت فقط تا سطح مقطع كمينه يا گلوگاه افزايش مي يابد. همچنين براي اعداد ماخ بزرگتر از واحد مثبت است براي افزايش سرعت بايد سطح مقطع افزايش يابد. بنابراين سيالي كه در يك منبع در حالت سكون قرار دارد، براي اين كه به سرعت مافوق صوت برسد بايد ابتدا از داخل يك كانال همگرا و سپس از داخل يك كانال واگرا گذر كند. اگر جريان ايزونتروپي باشد، معادله ي (15-6) را مي توان به صورت زيردر آورد: (28-6) با مشتق گيري از رابطه ي بالا و جايگزين dp در معادله ي (25-6) نتيجه مي شود: (29-6) اكنون انتگرال مي گيريم: (6/30)مقدار ثابت =

و يا (31-6) اگر اين معادله بر حسب دما بيان شود بسيار مفيد است ( ): (32-6) برای جریان بی دررویی از یک منبع با شرایط P0 و p0 وT0 در هر سطح مقطعی داریم : (33-6) اكنون روابط قبلي را بر حسب عدد ماخ C2=KRT مي نويسيم ، ابتدا داريم: (34-6) به كمك اين معادله و معادله ي (16-6) به معادلات جريان ايزونتروپي مي رسيم: (35-6)

و (36-6) هنگاميكه سرعت برابر سرعت صوت شود، شرايط در گلوگاه را شرايط بحراني گويند و در متن اين شرط را با علامت ستاره نشان مي دهيم. يعني به ازاي معادلات (34-6) تا (36-6) در گلوگاه در شرايط بحراني به ازاي 4/1= K به صورت زير در مي آيند: (37-6 الف) (37-6 ب) (37-6 ج) از اين روابط مشخص مي شود كه براي جريان هوا ، دماي مطلق تا 17 درصد از مخزن تا گلوگاه كاهش مي يابد. و فشار بحراني 8/52 درصد فشار مخزن است و چگالي به حدود 37 درصد كاهش مي يابد.

تغيير سطح را مي توان به كمك عدد ماخ و معادله پيوستگي براي شرايط بحراني بدست آورد. (38-6) كه در آن براي گلوگاه كمينه است. رابطه بالا را به صورت زير مي نويسيم: (38-6الف) اكنون پس : (39-6) به همين روش براي داريم: (40-6) با جايگزيني (39-6) و (40-6) در (38-6) نتيجه مي شود: (41-6) معادله اخير تغييرات سطح كانال را بر حسب عددماخ بدست مي دهد. توجه داريم هرگز نمي تواند كمتراز واحد شود و به ازاي هر مقدار بزرگتر از واحد دو مقدار براي عدد ماخ بدست مي آيد : يكي كمتر از واحد و ديگري بزرگتر از واحد . به ازاي 40/1=K معادله (41-6) به صورت زير ساده مي شود:

(42-6) پيشينه ي آهنگ جريان جرم بر حسب مساحت گلوگاه و شرايط مخزن برابر است با : (42-6) اگر در اين رابطه جاي را با عوض نتيجه مي شود: (43-6) اكنون به ازاي 4/1=k نتيجه مي شود: (44-6) بنابراين ملاحظه مي شود كه آهنگ جريان جرم به طور خطي با تغيير مي كند و نسبت عكس با جذر دارد. براي جريان مادون صوت در كانال همگرا ـ واگرا ، سرعت در گلوگاه بايد كمتر از سرعت صوت يا باشد (زير نويسt به معني گلوگاه است). آهنگ جريان جرم از رابطه ي زير بدست مي آيد: (45-6)

اين معادله براي هر سطح مقطعي برقرار است و مادامي كه سرعت در گلوگاه مادون صوت است بكار مي رود. جدول (2-6) در حال مسائل كه در آنها جريان ايزونتروپي و 4/1= k مي باشد بسيار مفيد است. مثال 9 در طرحي براي كانال كه بتواند عدد ماخ 3/1 در خروجي ايجاد كند ، مورد نظر است. به ازاي فشار و دماي آهنگ جريان جرم برابر است. مطلوبست محاسبه ي (الف) سطح مقطع گلوگاه (ب) سطح مقطع خروجي (ج) سرعت، فشار و دما و چگالي خروجي جدول 2-6 رابطه هاي ايزونتروپي يك بعدي (براي گاز كامل با 4/1=k)

حل (الف) از معادله ي (44-6) داريم: (ب) با استفاده از جدول (2-6) سطح مقطع خروجي محاسبه مي شود: (ج) بار ديگر از جدول مزبور داريم با استفاده از قانون گاز كامل داريم بنابراين مقادیر خروجي بدست مي آيد: kPa 43/2=(90000)027/0= p 6/166-=K386/106=(25+273)357/0=T 0800/0=(0523/1)076 /0= و سرانجام با استفاده از معادله ي پيوستگي ، سرعت خروجي را محاسبه مي كنيم

مثال 10 تونل واگرا ـ همگرايي هوا كه سطح مقطع گلوگاه آن 372 و سطح مقطع خروج آن 929 است، در نظر بگيريد. فشار مخزان kPa210 و در حال آن 16 است. محدوده هاي عدد ماخ و فشار خروجي را براي جريان ايزونتروپي بدست آوريد. حل : با استفاده از جدول (2-6) يا معادله ي (42-6) 24 /0 و 44/2=M بدست مي آيد. به ازاي هر كدام از اين عدد ماخ در خروجي شرايط بحراني وجود دارد . بنابراين برد عدد ماخ براي جريان ايزونتروپي از 0 تا 24/0 و تك تعداد 44/2 است. اما از همين جدول يا معادله ي (37-6ب) به ازاي 44/2=M و kPa44/13=p و 24/0=m و kPa8/201=p مي باشد. برد فشار پايين است از kPa8/201 تا 210 مي باشد و به ازاي نقطه اي منحصر بفرد برابر با kPa 44/13 است. از معادله ي (44-6) پيشينه آهنگ جريان جرم بدست مي آيد. مثال 11-6 كانال همگرا ـ واگرا در مسير پايين دست جريان هواي خروجي از مخزني با گلوگاهي به قطر mm50 قرار دارد. آهنگ جريان جرم را به ازاي Mpa8/0= و و 5/0=P در گلوگاه به دست مي آيد. حل : داريم

از معادله ي (45-6) نتيجه مي شود: 5-6 امواج متحرك و خطوط ريلي و فانو در جريان يك بعدي تنها نوع موج شوكي كه پيش مي آيد موج سقوط تراكم عمودي است. در بحث كامل جريان همگرا ـ واگرا براي برد فشار پايين دست بايد امواج شوك مايل كه در خروجي بوجود مي آيد، در نظر گرفته شود. در بخش قبلي مربوط به جريان ايزونتروپي نشان داده شده كه در كانال همگرا ـ واگرا به ازاي برد فشار پايين است. جريان به مادون صوت است و در قسمت واگرا براي جريان مافوق صوت اتفاق مي افتد. يعني در جريان ايزونتروپي، موج شوك در جريان مافوق صوت اتفاق مي افتد و جريان را به جريان مادون صوت تبديل مي كند. ضخامت موج شوك بسيار كوچك و از مرتبه‌ي پويش متوسط آزاد مولكول گاز است. با توجه به شكل (2-6)، معادلات حجم كنترل براي جريان بي دررو به صورت زير مي باشد: (46-6) : پيوستگي (47-6) : انرژي توجه داريم كه در آن h آنتالپي است و از رابطه‌ي بدست مي آيد و ho مقدار آنتالپي در حال سكون است.

معادله‌ي (47-6) براي سيالات واقعي و براي بالا است و پايين است جريان برقرار مي باشد. شكل 2-6 موج شوك تراكمي عمودي در بررسي دقيق تر طبیعت تغيير جريان در فاصله‌ي كوتاه عرض موج شوك كه در آن سطح را مي توان ثابت فرض كرد، معادلات پيوستگي و انرژي را براي جريان دائمي، بي اصطحكاك و بي دررو تركيب مي كنيم. اگر در شرايط بالا است جريان 1 , V1 , P1 ثابت باشد، يك منحني براي تمام شرايط ممکن در مقطع 2 رسم مي‌كنيم. خطوطي را كه براي جريان جرم ثابت G رسم مي شود، خطوط فانو مي نامند. اغلب اين منحني را در دستگاه آنتروپي ـ آنتالپي رسمي مي كنند (نمودار hs). از بخش 1، معادله‌ي آنتروپي گاز كامل به صورت زير است: (48-6)

همچنين از معادله‌ي (47-6)، براي جريان بي دررو بدون تغيير ارتفاع داريم: (49-6) و معادله‌ي پيوستگي به ازاي هيچ تغييري در سطح مقطع (معادله‌ي 46-6): (50-6) G=V اما از معادله‌ي حالت مي توان بر حسب kh بر حسب P و  به صورت زير بيان كرد: (51-6) از حذف V, , P از اين چهار معادله نتيجه مي شود: (52-6) كه در شكل (3-6) بدون مقياس اين منحني رسم شده است. اگر بخواهيم آنتروپي پيشينه را بدست آوريم از معادله‌ي (52-6) نسبت به h مشتق مي گيريم و حاصل را برابر صفر قرار ميدهيم. (مقدار پيشينه را با زيرنويس a نشان مي دهيم): يا

بنابراين Va بدست مي آيد: (53-6) شكل 3-6 خطوط ريلي و فانو در نتيجه، آنتروپي پيشينه در نقطه‌ي a به ازاي M=1 يا شرايط صوتي برقرار است و به ازاي h>ha جريان مادون صوت و h<ha جريان مافوق صوت است. دو شرط، قبل و بعد از شوك بايد روي خط فانو قرار گيرد . توجه شود كه در بحث خطوط فانو از معادله‌ي تكانه استفاده نكرده ايم.

خطوط ريلي شرايط قبل و بعد از شوك بايد نيز در معادلات پيوستگي و تكانه صدق كنند. فرض مي كنيم شرايط بالا دست جريان و سطح مقطع ثابت باشد. با استفاده از معادلات (48-6) و (50-6) و (51-6) و (46-6) خطوط ريلي بدست مي آيد. از حذف V در معادلات پيوستگي و تكانه نتيجه مي‌شود: (54-6) B = مقدار ثابت اكنون P را از اين معادله و معادله‌ي آنتروپي حذف مي كنيم: (55-6) آنتالپي را نيز بر حسب  و شرايط بالا دست جريان بيان مي كنيم: (56-6) از دو معادله‌ي اخير S بر حسب h و پارامتر  تعيين مي شود و نمودار آن در شكل (3-6) رسم شده است و اين خط ريلي است. مقدار آنتروپي پيشينه از محاسبه و و تقسيم آن دو و برابري با صفر بدست مي آيد: توجه داريم بايد مخرج كسر بالا مخالف صفر باشد. پس

يا (57-6) يعني M=1 مي باشد. چون شرايط جريان بايد روي هر دو منحني قرار داشته باشد، بنابراين دقيقاً قبل و بعد از موج شوك، بايد از يك نقطه تقاطع سريع به نقطه تقاطع ديگر تغيير كند. چون آنتروپي كاهش نمي يابد، نقطه بالا دست جريان بايد در محل تقاطع با خط آنتروپي باشد. براي كليه گازها، اين تلاقي در قسمت مادون صوت، آنتروپي بزرگتر دارد. بنابراين شوك از مافوق به مادون صوت انجام مي شود. 6-6 جريان بي در رو با اصطكاك در كانالها ابتدا توجه داريم كه در اين بخش فرضهاي زير انجام مي شود: 1-گازكامل است يعني گرماي ويژه ثابت مي باشد . 2-جريان دايمي و يك بعدي است . 3-جريان بي در رو است . 4-ضريب اصطحكام در سر تا سر طول لوله ثابت مي باشد . 5-قطر موثر كانال چهار برابر شعاع هيدروليكي است (سطح مقطع تقسيم بر محيط ) . 6-تغيرات ارتفاع نا چيز است . 7-هيچ كاري به جريان داده يا از آن گرفته نمي شود . و معادلات كنترل عبارتند از: پيوستگي، انرژي تكانه و حالت و سطح مقطع كانال يا لوله ثابت فرض مي شود. بنابراين يك ذره در انتهاي بالا دست جريان درون كانال را مي توان با نقطه اي روي خط فانو و با در نظر گرفتن آنتالپي سكون ho و آهنگ جريان جرم G در واحد سطح نشان داد.

همان طوري كه ذره به پايين دست جريان حركت مي كند، خواص آن تغيير خواهد كرد، زيرا اصطحكاك يا بازگشت ناپذيري در جريان بي در رو باعث مي شود آنتروپي همواره افزايش يابد. از اين رو نقطه اي كه بيانگر اين ويژگي هاست در امتداد خط فانو به سوي بيشينه‌ي نقطه s حركت مي كند كه در آن نقطه M=1 است. اگر كانال با شيپوره‌ي همگرا ـ واگرا جريان را هدايت كند و در آغاز جريان مافوق صوت باشد آنگاه سرعت در پايين دست جريان كاهش مي يابد و همين طور بر عكس اگر جريان در آغاز مادون صوت باشد در پايين دست سرعت افزايش مي يابد. مي توان طول يك لوله را با توجه به شرايط بالا دست جريان، آنچنان دقيق تعيين كرد كه سرعت در پايين دست جريان لوله مساوي صوت M=1 شود. بنابراين براي لوله هاي كوتاه تر از اين لوله، سرعت جريان در خروجي به سرعت صوت نمي رسد ولي براي لوله هاي طويل تر از لوله‌ي مزبور اگر جريان مافوق صوت باشد، امواج شوك و اگر جريان مادون صوت باشد، خفگي بوجود مي آيد. خفگي يعني حالتي است كه در آن آهنگ جريان جرم مشخص انجام نمي گيرد و جريان كمتري اتفاق مي افتد. در جدول (3-6) تغيير خواص گاز را در جريان بي در رو از درون كانالی با سطح مقطع ثابت نشان مي دهد. توجه داريم در كانال با سطح مقطع ثابت، سرعت نمي تواند به تدريج از مادون صوت به مافوق صوت و برعكس تغيير كند. معادله‌ي تكانه را براي طول x كانال مي نويسيم (شكل 4-6): و يا (58-6)

اگر را بر حسب ضريب اصطكاك دارسي ـ وایسباخ f بنويسيم: (59-6) آنگاه نتيجه مي شود (60-6) اگر f ثابت باشد، اين معادله را مي توان به معادله اي برحسب x به طوري كه تابعي از عدد N باشد، تبديل كرده براي اين عمل، معادله‌ي بالا بر P تقسيم مي كنيم: (61-6) شكل 4-6 كاربرد معادله‌ي تكانه

اكنون هر جمله را بر حسب M بيان مي كنيم اكنون هر جمله را بر حسب M بيان مي كنيم. درجمله‌ي مياني با استفاده از تعريف داريم: (62-6 الف) يا (62-6 ب) همچنين معادله‌ي (62-6 الف) را به صورت زير در مي آوريم: (63-6) اكنون را بر حسب M بيان مي كنيم، از معادله‌ي انرژي زير مشتق مي گيريم: (64-6) يعني (65-6) VdV=0 CpdT+ معادله‌ي بالا را بر تقسيم مي كنيم تا نتيجه شود. (66-6) اما پس (67-6)

همچنين با مشتق گيري از و تقسيم آن بر نتيجه مي شود: (68-6) اكنون از دو معادله‌ي اخير حذف مي كنيم: (69-6) و سرانجام از معادله‌ي اخير و معادله‌ي (63-6) را حذف مي كنيم تا نتيجه شود: (70-6) و بالاخره را بر حسب M بيان مي كنيم. از P=RT و C=V داريم. (71-6) PV=GRT با مشتق گيري از آن داريم (72-6) و از معادلات (67-6) و (69-6) استفاده كنيم تا و حذف شوند: (73-6)

اكنون با جايگزينی معادلات (62-6) و (70-6) و (73-6) در معادله‌ي (61-6) بدست مي آيد: (74-6 الف) و يا (74-6 ب) اكنون از معادله‌ي (74-6) مي توان انتگرال گرفت و با فرض ( x=o , M=Mo ) و (X= , M=M) نتيجه مي شود: (75-6 الف) و يا (75-6 ب) به ازاي 4/1= K معادله‌ي بالا به صورت زير در مي آيد: (76-6) اگر Mo بزرگتر از 1 باشد، M نمي تواند كمتر از 1 شود و برعكس اگر Mo كمتر از 1 باشد، M نمي تواند بزرگتر از 1 شود. براي شرايط دومي M=1 و 4/1= K داريم: (77-6)

مثال 12 هوا از درون لوله اي به قطر داخلي 50 ميلي متر و 02/0= f جريان دارد. اگر عدد ماخ در ورودي لوله برابر با 30/0 باشد. حداكثر طول لوله را محاسبه كنيد. حل از معادله‌ي (77-6) داريم: پس Lmax=13/25 m با انتگرال گيري، فشار و سرعت دما را نيز مي توان بر حسب عدد ماخ بيان كرد. براي اين كه اين عمل آسان شود، معادلات مزبور را بين شرايط بالا دست جريان و شرايطي كه در آن M=1 باشد و با V*, T*, P* نشان داده شده است بدست مي آوريم: (78-6) (79-6) (80-6)

مثال 13 در بالا دست جريان درون لوله اي به قطر داخلي mm100 و 02/0 = f هوا با فشار kPa100 و C16=t و عدد ماخ مساوي 3 جريان دارد. مقادير T*, Lmax , P*, V* را محاسبه كنيد. حل از معادله‌ي (77-6) داريم: پس m 61/2‌ Lmax= سرعت ورودي برابر است با: از معادله‌ي (78-6) داريم: و از معادله‌ي (79-6) نتيجه مي شود: و سرانجام از معادله‌ي (80-6) داريم:

مثال 14 با توجه به مثال 13 مقادير Po , To, Vo و L را در جايي كه 0/2M= است بدست آوريد. حل همان محاسبات مثال قبلي را انجام مي دهيم ولي 2M= مي گيريم. و يا m 526/1 Lmax= بنابراين فاصله‌ي مقطعي كه M=2 تا قسمت بالا دست جريان برابر است با m 08/1=53/1-61/2 براي محاسبه‌ي To, Vo, Poداريم

7-6 جريان بي اصطكاك داخل كانالها با انتقال گرما در اين بخش جريان دائمي گاز كامل را داخل كانالي با سطح مقطع ثابت بررسي مي كنيم. فرض مي شود اصطكاك وجود نداشته باشد و هيچ كاري روي جريان يا توسط جريان انجام نگرفته باشد. معادلات لازم در تجزيه و تحليل اين به قرار زير است. (81-6) پيوستگي (82-6) مقدار ثابت تكانه (83-6) انرژي To2 , To1 دماهاي سكون ايزونتروپي است يعني: دماهاي مقطعي كه در آن جريان به طور ايزونتروپي به حالت سكون درآيد. خط ريلي كه از حل معادلات تكانه و پيوستگي براي قطع ثابتي با چشم پوشي از اصطحكاك بدست مي آيد، بسيار مفيد است. ابتدا V را در معادلات (81-6) و (82-6) حذف مي كنيم. داريم. (84-6) مقدار ثابت =

كه همان معادله‌ي (54-6) است و نمودار آن مانند شكل (5-6) خواهد شد كه همان معادله‌ي (54-6) است و نمودار آن مانند شكل (5-6) خواهد شد. چون هيچ افقي نداريم، بنابراين آنتروپي زماني افزايش مي يابد كه گرما اضافه شود و در نتيجه بايد خواص گاز مطابق شكل (5-6) تغيير كند. يعني به طرف نقطه اي كه آنتروپي بيشينه را نشان مي دهد، حركت كند. در نقطه اي كه آنتروپي حداكثر است، به ازاي تغييرات كوچك h، آنتروپي تغيير نمي كند و شرايط ايزونتروپي در اين نقطه بكار مي رود. سرعت صوت در اين شرايط از معادله‌ي بدست مي آيد. از معادله‌ي (84-6) ديفرانسيل مي گيريم و خواهيم داشت: (85-6) بنابراين روي خط ريلي درنقطه اي كه آنتروپي بيشينه است و M=1 خواهد شد يعني شرايط صوتي برقرار است. از معادله‌ي (83-6) ملاحظه مي شود كه افزايش در فشار سكون ايزونتروپي معياري در مقدار گرماي اضافه شده مي باشد. از رابطه‌ي گاز كامل و و پيوستگي داريم اكنون از معادله‌ي تكانه داريم و يا (86-6)

و در حالت و M2=1 داريم. (87-6) كه در آن P فشار هر نقطه ي كانال و M عدد ماخ همان نقطه است. در حالت مادون صوت، با افزايش M به سمت راست، P بايد كاهش يابد و در حالت مافوق صوت، با كاهش M به سمت راست، P بايد افزايش يابد. در ادامه‌ي بحث، از معادله‌ي انرژي استفاده مي كنيم. كه در آن To دماي سكون ايزونتروپي و T دماي جريان آزاد همان مقطع است. معادله‌ي بالا را در مقطع 1 بكار مي بريم، پس از تقسيم بر KRT1/ (K-1) داريم. (88-6) و همين طور در مقطع 2: (89-6) اگر دو معادله اخير را بر هم تقسيم كنيم: (90-6) اكنون ثبت را بر حسب اعداد ماخ بدست مي آوريم:

قانون گاز كامل را براي دو حالت 1 و 2 مي نويسيم و بر هم تقسيم مي كنيم: (91-6) از پيوستگي داريم و از تعريف عدد ماخ و بنابراين پس (92-6) از دو معادله‌ي (91-6) و (92-6) را حذف مي كنيم تا بدست آيد: (93-6) با جايگزينی اين معادله در (90-6) نتيجه مي شود: (94-6)

اگر اين معادله براي مقطع پايين دست جريان به ازاي To2=To اگر اين معادله براي مقطع پايين دست جريان به ازاي To2=To* و M2=1 بكار رود و زيرنويس را براي مقطع بالادست جريان حذف كنيم، بدست مي آيد: (95-6) تغييرات خواص جريان در جدول ( 6) آمده است. شكل 5-6 خط ريلي

جدول 4-6 روند تغييرات خواص _ _ _ _ ؟ _ _ _ _ _ مثال 15 هوا با و P=280kPa و t=16c در داخل كانالي به قطر mm100 جريان دارد. اگر بخواهيم در خروجي شرايط صوتي داشته باشيم، چه مقدار انتقال گرما در واحد جرم لازم مي باشد؟ فشار، دما و سرعت را در خروجي تعيين كنيد. حل دماي سكون ايزونتروپي در ورودي برابر است با: دماي سكون در خروجي برابر است با: گرماي انتقالي از يك كيلوگرم هواي جاري برابر است با: و فشار خروجي (معادله‌ي 87-6):

و دما (معادله‌ي 93-6): و سرعت در خروجي: مثال 16 با توجه به مثال قبلي فشار و دما و سرعت را در جايي كه 7/0=M است محاسبه كنيد. حل از معادله‌ي (87-6) داريم: و از معادله‌ي (93-6) دما را محاسبه مي كنيم: و سرانجام سرعت را بدست مي آوريم. 8-6 چكيده رابطه‌ي گاز كامل بصورت P=RT به كمك انرژي داخل و از آن گرماي ويژه در حجم ثابت

گرماي ويژه در فشار ثابت. و نسبت گرمايي ويژه به صورت زير تعريف مي شود گرماي ويژه در فشار ثابت و نسبت گرمايي ويژه به صورت زير تعريف مي شود. بدست مي آيد. رابطه‌ي آنتروپي براي اين گازها به صورت زير است. رابطه‌ي فرآيند ايزونتروپي به صورت زير است: و فرآيند پلي تروپي با رابطه‌ي زير تعريف مي شود: مقدار ثابت = معادله‌ي سرعت صوت از رابطه‌ي مشخص مي شود:

و مدول كشساني حجمي چنين تعريف مي شود: و عدد ماخ است و مدول كشساني حجمي چنين تعريف مي شود: و عدد ماخ است. معادلات جريان ايزونتروپي به صورت زير مي باشد. پيشينه‌ي آهنگ جريان جرم از رابطه زير بدست مي آيد. معادله‌ي پيوستگي به صورت زير تعريف مي شود: و معادله‌ي انرژي چنين مي باشد:

fضريب اصطحكاك دارسي ـ وايسباخ از رابطه‌ي زير بدست مي آيد

تست هاي فصل 6 1-2-6 گرماي ويژه در حجم ثابت با كدام رابطه تعريف مي شود: (الف) KCp (ب) (ج) √ (د) ________________________________________________________________________ 2-2-6 گرماي ويژه در فشار ثابت گازكامل برابر است با: (الف) KCV √ (ب) (ج) (د) ________________________________________________________________________ 3-2-6 آنتالپي گاز كامل: (الف) همواره به علت افت افزايش مي يابد. (ب) فقط به فشار بستگي دارد. √ (ج) فقط به دما بستگي دارد. (د) اگر انرژي داخلي كاهش يابد، ممكن است افزايش يابد. ________________________________________________________________________ 4-2- 6 Cp و CV با كدام رابطه به يكديگر مربوط مي شود؟ √ (الف) (ب) (ج) (د) ________________________________________________________________________

5-2-6 اگر و 66/1=k باشد CV بر حسب برابر است با: (الف) 76/0. (ب) 09/2 5-2-6 اگر و 66/1=k باشد CV بر حسب برابر است با: (الف) 76/0 (ب) 09/2 √ (ج) 760 (د) 2090 ________________________________________________________________________ 6-2-6 اگر و 33/1= k باشد، ثابت گاز بر حسب ژول بر كيلوگرم بر درجه كلوين برابر است با: (الف) 0416/0 (ب) 936/2 √ (ج) 416 (د) 2936 ________________________________________________________________________ 7-2-6 اگر و باشد، k توان فرآيند ايزونتروپي چقدر است؟ (الف) 2/1 √ (ب) 37/1 (ج) 66/1 (د) 89/1 ___________________________________________________________________________ 8-2-6 نسبت گرماي ويژه از كدام رابطه زير بدست مي آيد؟ √ (الف) (ب) (ج) (د) ___________________________________________________________________________

9-2-6 تغييرات آنتروپي گازكامل (الف) همواره مثبت است 9-2-6 تغييرات آنتروپي گازكامل (الف) همواره مثبت است. (ب) فقط تابعي از دماست. (ج) فقط تابعي از انرژي داخلي است. √ (د) يك ويژگي ترموديناميكي است كه به فشار و دما بستگي دارد. ___________________________________________________________________________ 10-2-6 فرآيند ايزونتروپي همواره (الف) برگشت پذير و بي در رو است. (ب) برگشت پذير و تكدماست. √ (ج) آنتروپي ثابت است. (د) بدون اصطكاك و برگشت ناپذير است. __________________________________________________________________________ 11-2-6 رابطه‌ي (مقدار ثابت)=P فقط براي فرآيندهايي برقرار است كه: (الف) پلي تروپي و برگشت پذير باشد. (ب) ايزونتروپي باشد. (ج) تكدما بدون اصطكاك باشد. (د) برگشت ناپذير بي در رو باشد. __________________________________________________________________________

12-2-6 فرآيند پلي تروپي برگشت پذير (الف) بدون اصطكاك و بي در رو است 12-2-6 فرآيند پلي تروپي برگشت پذير (الف) بدون اصطكاك و بي در رو است. (ب) با رابطه‌ي مقدار ثابت = مشخص مي شود. (ج) با رابطه‌ي مقدار ثابت = مشخص مي شود. √ (د) با رابطه‌ي مقدار ثابت = مشخص مي شود. __________________________________________________________________________ 13-2-6 فرآيند پلي تروپي برگشت پذير با كدام رابطه مشخص مي شود؟ √ (الف) (ب) (ج) (د) ___________________________________________________________________________ 1-3-6 عبارتي كه مفهوم سرعت امواج صوتي را نمي رساند مشخص كنيد. (الف) √ (ب) (ج) (د) ___________________________________________________________________________ 2-3-6 سرعت صوت در آب تحت شرايط معمولي چقدر است؟ (بر حسب ) (الف) 469 (ب) 1483 √ (ج) 1755 (د) 4690 _____________________________________________________________

2-3-6 مجذور سرعت صورت در گاز آرماني به طور مستقيم با: (الف) چگالي تغيير مي كند. (ب) فشار مطلق تغيير مي كند. √ (ج) دماي مطلق تغيير مي كند. (د) مدول كشساني حجمي تغيير مي كند. __________________________________________________________________________ 1-4-6 معادله‌ي ديفرانسيل انرژي جريان ايزونتروپي به كدام صورت بيان مي شود؟ (الف) (ب) (ج) √ (د) __________________________________________________________________________ 2-5-6 در جريان ايزونتروپي، پاي آن √ (الف) از دماي منبع نمي تواند بيشتر باشد. (ب) به عدد ماخ بستگي ندارد. (ج) تنها تابعي از عدد ماخ است. (د) در كانال ثابت مي ماند. __________________________________________________________________________

3-4-6 نسبت فشار بحراني براي جريان ايزونتروپي منواكسيد كربن برابر است با: √ (الف) 528/0 (ب) 634/0 (ج) 833/0 (د) 0/1 _______________________________________________________________ 4-4-6 با توجه به جرياني كه داخل يك لوله همگرا ـ واگرا گذر مي كند. كدام جمله صحيح‌ترين است؟ √ (الف) اگر عدد ماخ در خروجي بزرگتر از واحد باشد، موج متحرك در لوله اتفاق نمي‌افتند. (ب) هنگامي كه نسبت فشار بحراني زياد مي شود، عدد ماخ در گلوگاه بزرگتر از واحد است. (ج) عدد ماخ در گلوگاه همواره واحد است. (د) چگالي در پايين دست در امتداد مسير قسمت همگراي لوله زياد مي شود. ___________________________________________________________________________

1-5-6 در اثر امواج شوك عمودي در جريان يك بعدي: (الف) سرعت، فشار و چگالي زياد مي شود. √ (ب) فشار، چگالي و دما زياد مي شود. (ج) سرعت، دما و چگالي افزايش مي يابد. (د) آنتروپي ثابت مي ماند. ___________________________________________________________________________ 2-5-6 يك موج شوك عمودي (الف) بازگشت پذير است. (ب) ممكن است در لوله‌ي همگرا پيش بيايد. √ (ج) بازگشت ناپذير است. (د) ايزونتروپي است. __________________________________________________________________________

3-5-6 در عرض موج عمودي كه در يك نازل همگرا ـ واگرا روي مي دهد، كدام گزاره صحيح است؟ (الف) معادلات پيوستگي، انرژي، معادله‌ي حالت، رابطه ايزونتروپي صادق اند. (ب) معادلات انرژي، تكانه، معادله‌ي حالت و رابطه‌ي ايزونتروپي برقرارند. √ (ج) معادلات پيوستگي، انرژي، تكانه،معادله‌ي حالت، صادق اند. (د) معادلات حالت، تكانه و رابطه‌ي ايزونتروپي و اصل پايستگي جرم برقرار اند. __________________________________________________________________________ 4-5-6 در مقطع موج شوك عمودي: (الف) P, M , S افزايش مي يابد. √ (ب) S, P افزايش ولي M كاهش مي يابد. (ج) P افزايش اما S, M كاهش مي يابد. (د) P, N, T افزايش مي يابد. __________________________________________________________________________

5-5-6 خط ريلي از معادلات زير بدست مي آيد. √ (الف) تكانه و پيوستگي 5-5-6 خط ريلي از معادلات زير بدست مي آيد. √ (الف) تكانه و پيوستگي (ب) انرژي و پيوستگي (ج) تكانه و انرژي (د) تكانه، پيوستگي و انرژي _________________________________________________________________________ 6-5-6 صحيح ترين گزاره درباره‌ي خطوط فانو و ريلي كدام است؟ (الف) دو نقطه كه آنتروپي يكساني دارند، شرايط قبل و بعد از شوك را نشان مي دهد. (ب) PV در طول خط ثابت نگه داشته مي شود. (ج) عدد ماخ همواره با آنتروپي افزايش مي يابد. √ (د) آنتالپي در بخش مادون صوت منحني از آنتالپي در بخش مادون صوت آن بيشتر است. __________________________________________________________________________

1-6-6 خفگي در جريان داخل يك لوله به معني اينست كه: (الف) يك شير در مسير بسته شده است. (ب) انسدادي در مسير جريان پيش آمده است. √ (ج) جريان جرم به مقدار معين شده بوجود نيايد. (د) جريان مافوق صوت در جايي از مسير پيش آمده است. ___________________________________________________________________________ 2-6-6 در جريان بي در روي مادون صوت در درون يك لوله: √ (الف) V ,M, S افزايش ولي P, T, ρ كاهش مي يابد. (ب) M, P, V افزايش اما T, ρ كاهش مي يابد. (ج) P, M, S افزايش ولي V, T, ρ كاهش مي يابد. (د) , M, S ρافزايش اما V, T, P كاهش مي يابد. ___________________________________________________________________________ 3-6-6 در جريان بي در روي مافوق صوت در درون يك لوله: (الف) V, M, S افزايش ولي P, T, ρ كاهش مي يابد. (ب) P, T, S افزايش اما V, ρ , M كاهش مي يابد. (ج) P, M, S افزايش ولي V, T, ρ كاهش مي يابد. √ (د) P, T, ρ , S افزايش اما V, M كاهش مي يابد. ___________________________________________________________________________

1-7-6 اگر در داخل كانالي جريان بي اصطكاك با انتقال گرما وجود داشته باشد، كدام گزاره صحيح ترين است؟ (الف) افزايش گرما به جريان مافوق صوت، عدد ماخ را زياد مي كند. √ (ب) افزايش گرما به جريان مادون صوت، عدد ماخ را زياد مي كند. (ج) سرمايش جريان مافوق صوت، عدد ماخ را كاهش مي دهد. (د) دماي سكون ايزونتروپي در طول لوله ثابت مي ماند. ___________________________________________________________________________ 2-7-6 كدام گزاره در زير تغييرات خواص جريان را در كانال بي اصطكاك با گرماي انتقالي به لوله اي كه در آن M<1 است، نشان مي دهد. (الف) V, P افزايش و ρ , T, To كاهش مي يابد. (ب) To , V افزايش و P, ρ كاهش مي يابد. (ج) T, ρ , P افزايش و To , V كاهش مي يابد. (د) T, V افزايش و To, ρ , P كاهش مي يابد. ___________________________________________________________________________

3-7-6 براي سرمايش در كانال بي اصطكاك با جريان M>1، صحيح ترين گزاره كدام است؟ (الف) V افزايش و To , P, ρ , T كاهش مي يابد. (ب) V,P افزايش و To , T, ρ كاهش مي يابد. (ج) V, ρ , P افزايش و To , T كاهش مي يابد. (د) , P ρافزايش و To ,T, V كاهش مي يابد. ___________________________________________________________________________