Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τμήματος Διοίκησης, στὸ μάθημα Γενικὰ Μαθηματικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τμῆμα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος Παρουσίαση Βασισμένη στὸ “Mathematical Analysis for Decision Making”, by A.K.McAdams, 1970, Macmillan Co καὶ στὶς σημειώσεις τῶν Α. Αργυροῦ & Μ. Παπαδοπούλη τοῦ Πανεπιστημίου Κρήτης, 2013. Ἀκαδ. Ἔτος 2013-14 ΠΡΟΣΟΧΗ! ΣΕ ΚΑΜΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΔΕΝ ΥΠΟΚΑΘΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ, ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ἤ ΑΛΛΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ. ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤῼΝ ΟΣΩΝ ΕΛΕΧΘΗΚΑΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ. ΥΦΙΣΤΑΤΑΙ ΑΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΥΘΥΝΗΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΥΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ἤ ΑΛΛΟ ΛΑΘΟΣ 2013, Γ.Κακαρελίδης

Περὶ Συνόλων– about SETS #1 Συμβολισμὸς: S = {6, 2, 8, 4} ἢ S={x: x εἶναι θετικὸς, ἅρτιος ἀκέραιος μικρότερος τοῦ 10} Ὁμοίως {{2, 1}, {3}, {3, 2, 1}, S}, {1, 2, 3, …}, {x  R | -3 < x < 6}, { Τὰ πάγια στοιχεῖα τῆς Ἑταιρείας Τάδε} ΠΡΟΣΟΧΗ ! {1,2} ≠{{1,2}} ΠΡΟΣΟΧΗ !! Τὰ στοιχεῖα συνόλων ΔΕΝ εἶναι διατεταγμένα, ἐκτὸς ἄν ὁρισθεῖ διάταξη 2013, Γ.Κακαρελίδης

Περὶ Συνόλων– #2 Καλὰ Ὁρισμένη: Δοθέντος στοιχείου x μία καὶ μόνον μία ἀπὸ τὶς ἀκόλουθες, εἶναι ὀρθὴ: εἲτε τὸ στοιχεῖο x ἀνήκει στὸ σύνολο (x  S ), ἤ τὸ στοιχεῖο x δὲν ἀνήκει στὸ σύνολο ( x  S) Διακεκριμένων : δὲν ὑπάρχουν δύο ἴδια στοιχεῖα στὸ σύνολο 2013, Γ.Κακαρελίδης

Περὶ Συνόλων– #3, Ἰσχύς, Ἰσότητα Συνόλων |S| : “πληθικὸς ἀριθµὸς ἢ ἰσχύς” τοῦ S (cardinal number) εἶναι τὸ πλῆθος τῶν στοιχείων τοῦ S. π.χ. |∅|=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5}}| = 2 Ἰσότητα Συνόλων: Δύο (μὴ διατεταγμένα) σύνολα λέγονται ΙΣΑ, ἐὰν καὶ μόνον ἐὰν ἐμπεριέχουν ΑΚΡΙΒΩΣ τὰ ἴδια στοιχεῖα. 2013, Γ.Κακαρελίδης

Εἰδικὰ σύνολα #1 , Κενὸ σύνολο (Empty, Null Set) Ἕνα Σύνολο ΧΩΡΙΣ στοιχεῖα, ὀνομάζεται ΚΕΝΟΝ καὶ συμβολίζεται μὲ  ἤ { } ΠΡΟΣΟΧΗ! { 0 } ≠ { } , { 0 } ≠  , 0 ≠  καὶ 0   2013, Γ.Κακαρελίδης

Εἰδικὰ σύνολα #2 , Ὑποσύνολο (SUBSET) Σύνολο A εἶναι ὑποσύνολο συνόλου B, (καὶ γράφεται A  B, ὅταν x, x  A  x  B. A εἶναι γνήσιο ὑποσύνολο B, ὅταν A εἶναι ὑποσύνολο τοῦ B καὶ x  B γιὰ τὸ ὁποῖο x  A. Ὁπτικὴ ἀναπαράσταση: μέσῳ διαγραμμάτων Venn. Προσοχὴ στὰ  (ἐμπεριέχεσθαι) καὶ  (ἀνήκειν). 2013, Γ.Κακαρελίδης

Εἰδικὰ σύνολα #3– Δυναμοσύνολο, Powerset Τό Δυναμοσύνολο τοῦ A, συμβολίζεται μὲ P (A), εἶναι τὸ σύνολο ὉΛΩΝ τῶν ὑποσυνόλων τοῦ A. P(Α) :≡ {x | x⊆Α} Θεώρημα: Ἄν A  B, τότε P (A)  P (B). Θεώρημα: Ἄν τὸ σύνολο A ἔχει n στοιχεῖα, τότε τὸ P (A) ἔχει 2n στοιχεῖα. Προσοχη! Περιλαμβάνονται καὶ τὸ Α καὶ τὸ  Προκύπτει ότι∀Α:|P(Α)|>|Α|, e.g. |P(N)| > |N|. Υπάρχουν άπειρα σύνολα µε διαφορετικά µεγέθη! 2013, Γ.Κακαρελίδης

Εἰδικὰ σύνολα #3– Δειγματικὸς Χῶρος, Ὑπερσύνολο, Universe ἤ Population Set Ὁρίζεται ὡς τὸ σύνολο ΟΛΩΝ τῶν στοιχείων, σχετικῶν μὲ ἑνα πρόβλημα, συζήτηση, ἔρευνα. Σημαίνει τὴν ὁλικότητα τῶν ὑπὸ θεώρησιν στοιχείων. Μπορεῖ νὰ εἶναι ἐξαιρετικὰ μεγάλο, ὁπὸτε ἐνασχόληση μὲ ὑποσύνολὸ του ἤ “δεῖγμα” εἶναι προσφορότερη. Συμβολίζεται μὲ U 2013, Γ.Κακαρελίδης

Πράξεις Συνόλων #1–Ὁρισμοὶ Ἔστω A & B ὑποσύνολα of a universal set U. Ἕνωση Συνὀλων (Union Set) A  B = {x  U | x  A ἤ x  B } ὅπου ἤ = or =  Τομὴ Συνόλων (Intersection Set) A  B = {x  U | x  A καὶ x  B } ὅπου καὶ=and=  Διαφορὰ Συνόλων (Difference Set) : B ─ A = {x  U | x  B and x  A } Συμμετρικὴ διαφορὰ A⊕B :≡(AUB)–(A∩B) (ἕνωση μεῖον τομὴ) Συμπλήρωμα Συνόλου ((Complement Set) Ac = {x  U | x  A } (συμβολίζεται καὶ Α ) Ἱσότητα Δύο Συνόλων (Equal Sets) A = B  A  B and B  A 2013, Γ.Κακαρελίδης

Πράξεις Συνόλων#2 –Venn Diagrams 2013, Γ.Κακαρελίδης

Πράξεις Συνόλων #3- Πορίσματα Ἔστω A & B ὑποσύνολα of a universal set U. ἡ ἕνωση A∪B δύο συνόλων Α, Β ἀποτελεῖ ὑπερσύνολο καὶ τοῦ A καὶ τοῦ B (εἶναι τὸ µικρότερο δυνατὸ) : ∀A, B: (A∪B ⊇A) ∧ (A∪B ⊇B) ὅπου ∧= καὶ ἡ τοµὴ A∩B δύο συνόλων Α, Β εἶναι ἓνα ὑποσύνολο καὶ τοῦ A καὶ τοῦ B (τὸ µέγιστο τέτοιο ὑποσύνολο) : ∀A, B: (A∩B ⊆A) ∧ (A∩B ⊆B) Μεταβατικότητα ὑποσυνόλων: (A  B  B  C)  A  C Σημαντικό: |A∪B| = |A| +|B| −|A∩B| 2013, Γ.Κακαρελίδης

Ταυτότητες, νόμοι Συνόλων #1 Άντιμεταθετικὴ: A  B = B  A καὶ A  B = B  A Προσεταιριστικὴ: (A  B)  C = A  (B  C) καὶ (A  B)  C = A  (B  C) Ἐπιμεριστικὴ: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) καὶ A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Τομὴ, Ἕνωση μὲ τὸ Ὑπερσύνολο: A  U = A καὶ A  U = U 2013, Γ.Κακαρελίδης

Ταυτότητες, νόμοι Συνόλων #2 Συμπλήρωμα Συμπληρώματος: (Ac)c = A Αὐτοδυναμίας: A  A = A καὶ A  A = A Νόμος DeMorgan’s: (A  B)c = Ac  Bc καὶ (A  B)c = Ac  Bc Νόμος Ἀπορρόφησης: A  (A  B) = A καὶ A  (A  B) = A Ἐναλλακτικὴ διατύπωση διαφορᾶς: A – B = A  Bc Τομὴ & Ἕνωση μὲ ὑποσύνολο: ἄν A  B, τότε A  B = A καὶ A  B = B 2013, Γ.Κακαρελίδης

Περὶ κενοῦ συνόλου (συνέχεια) S = {x  R | x2 = -1}. X = {1, 3}, Y = {2, 4}, C = X  Y. Τὸ κενὸν σύνολο  δὲν ἔχει στοιχεῖα. Τὸ { } εἶναι ὑποσύνολο παντὸς συνόλου. Θεώρημα: Ὑπάρχει ἀκριβῶς 1 κενὸ σύνολο. Ἰδιότητες τοῦ κενοῦ συνόλου: A   = A, A   =  A  Ac = , A  Ac = U Uc = , c = U 2013, Γ.Κακαρελίδης

Διαμέριση Συνόλων- Partinioning Δύο σύνολα λέγονται ΞΕΝΑ ἤ διαζευγμένα ἐὰν δὲν ἔχουν κοινὰ στοιχεῖα ἤτοι (A∩B=∅) πχ {a,b,c}∩{2,3} =∅ Θεώρημα: τὰ A – B καὶ B εἶναι ξένα. Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: |A∪B| = |A| +|B| Μία συλλογὴ συνόλων A1, A2, …, An καλεῖται ἀμοιβαἰως ξὲνη ὅταν οἱοδήποτε ζεῦγος στοιχείων (συνόλων) αὐτῆς, αὐτὰ εἶναι ξένα. Μία συλλογὴ μή-κενῶν συνόλων {A1, A2, …, An} καλεῖται διαμέριση συνόλου A ἄν ἡ ἕνωση αὐτῶν τῶν συνόλων δίδει τὸ A καὶ ἡ συλλογὴ αὐτὴ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἀμοιβαίως ξένα σύνολα. 2013, Γ.Κακαρελίδης

Διατεταγμένα Σύνολα – Ordered Sets Ὁρισμὸς: Τὸ σύνολο Α καλεῖται διατεταγμένο ἐάν, γιὰ κάθε δύο στοιχεῖα x καὶ y στὸ Α, καθορίζεται ἐπακριβῶς ὅτι: εἴτε τὸ x προηγεῖται τοῦ y , εἴτε τὸ y προηγεῖται τοῦ x Ἐὰν ἔνδιαφέρει ἡ διάταξη τότε τὸ διατεταγμένο σύνολο ἀπεικονίζεται μὲ παρενθέσεις Πχ S={3,2,4,1}, S={1,2,3,4}, ἀλλὰ S=(1,2,3,4) 2013, Γ.Κακαρελίδης

Ἀρίθμηση Νὰ ὁρισθῇ ὁ ἀριθμὸς τῶν στοιχείων συνόλου Α. Τρόπος: Ἐκκινοῦμε ἀπὸ ἕνα στοιχεῖο τοῦ Α,στὸ ὁποῖο ἀντιστοιχοῦμε τὸν ἀριθμὸ 1 Έπιλέγουμε ἑπὸμενο καὶ ἀντιστοιχοῦμε τὸν ἀριθμὸ 2 Συνεχίζουμε ἕως ὅτου ἐξαντληθοῦν ὅλα τὰ στοιχεῖα τοῦ συνόλου Α. Ἡ διαδικασία αὐτὴ περιγράφεται μὲ δύο σύνολα: τὸ Α καὶ τὸ σύνολο τῶν θετικῶν ἀκεραίων Ι+ 2013, Γ.Κακαρελίδης

Αντιστοίχιση Ἑνὸς πρὸς Ἕνα - One–to–One Correspondence Ὁρισμός: Δύο σύνολα εὑρίσκονται σὲ ἀντιστοιχία ἑνὸς πρὸς ἕνα, ἐὰν τὰ στοιχεῖα τους συνδυἀζονται κατὰ τέτοιο τρόπο ὥστε κάθε στοιχεῖο τοῦ πρώτου συνόλου συνδυάζεται μὲ ἕν καὶ μόνον ἓν στοιχεῖο τοῦ δευτέρου καὶ κάθε στοιχεῖο τοῦ δευτέρου συνόλου συνδυάζεται μὲ ἕν καὶ μόνον ἓν στοιχεῖο τοῦ πρώτου. Ισοδυναμία Συνόλων: Α<->B Δύο σύνολα εἲναι ἰσοδύναμα ἐὰν μποροῦν νὰ τεθοῦν σὲ ἀντιστοιχία ἑνὸς πρὸς ἕνα. 2013, Γ.Κακαρελίδης

Ζεύγη–Pairs, Καρτεσιανὸ Γινόμενο, Ὁρισμός: Ζεῦγος εἶναι ἓνα σύνολο ἐκ ΔΥΟ στοιχείων Καρτεσιανὸ Γινόμενο Σύνολο ἐκ δύο συνόλων: Τὸ Καρτεσιανὸ Γινόμενο (παραγόμενο) δύο συνόλων Α καὶ Β, εἶναι τὸ σύνολο ὃλων τῶν διατεταγμένων ζευγῶν (x, y), διὰ τὰ ὁποῖα x  A καὶ x  B Τὸ Καρτεσιανὸ Γινόμενο (Cartesian Product Set of two sets) εἶναι σύνολο καὶ συμβολίζεται ὡς A×B :≡{(a, b) | a∈A∧b∈B}. π.χ. {a,b}×{1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Σημείωση: |A×B| = |A||B| ἀλλὰ ∀A,B: A×B ≠ B×A 2013, Γ.Κακαρελίδης

Σχέσεις - Relations Ὁρισμός: Ἕνα ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινομένου καλεῖται ΣΧΕΣΗ Πχ τὸ πραγματικὸ ἐπίπεδο εἶναι τὸ καρτεσιανὸ γινόμενο RxR τοῦ συνόλου τῶν πραγματικῶν άριθμῶν R. Τὸ 1ο τεταρτημόριο, ὥς ὑποσύνολο ὃλου τοῦ πραγματικοῦ ἐπιπέδου ἀποτελεῖ σχέση. Σημείωση: ἡ σχέση εἶναι σύνολο ! 2013, Γ.Κακαρελίδης

Συναρτήσεις - Functions Ὁρισμός: Δοθέντων δύο συνόλων Α καὶ Β καὶ, ἑνὸς κανόνος, ὁ ὁποῖος ἀντιστοιχεῖ γιὰ κάθε ἓνα στοιχεῖο x τοῦ Α , ἕνα μοναδικὰ προσδιοριζόμενο στοιχεῖο y τοῦ Β, τότε αὐτὸς ὁ κανὼν καθορίζει ἓνα σύνολο , f , ἀπὸ διατεταγμένα ζεύγη καὶ αὐτὸ τὸ σύνολο καλεῖται συνάρτηση ἀπὸ τὸ Α στὸ Β. Ἡ συνάρτηση f γράφεται ὡς f = { (x,y) } : γιὰ ὂλα τὰ x  Α ὑπάρχει μοναδικὸ y  B 2013, Γ.Κακαρελίδης

Συναρτήσεις ..συνέχεια 1η Μία συνάρτηση εἶναι σύνολο. Συμβολίζεται μὲ f ὅταν ἡ ἔμφαση εἶναι στὰ συναρτησιακὰ χαρακτηριστικὰ καὶ μὲ F στὰ τῶν συνόλων Τὸ στοιχεῖο y μπορεῖ νὰ ἀποδοθῇ καὶ ὡς f(χ) Τὸ σύνολο Α καλεῖται πεδίο Ὁρισμοῦ (Domain) τῆς f . Τὸ σύνολο B καλεῖται πεδίο Τιμῶν (Range) τῆς f Ἡ διαδικασία δημιουργίας μιᾶς ἀντιστοιχίας, δηλαδὴ τῶν διατεταγμένων ζευγῶν, λέγεται ἀπεικόνιση (mapping) ἤ μετασχηματισμὸς τοῦ Α στὸ Β καὶ συμβολίζεται A  B Ἄν ἡ ἀπεικόνιση αὐτὴ ἐξαντλῇ ὅλα τὰ στοιχεῖα τοῦ Β, τότε τὸ Α εἶναι συνάρτηση Ἐπὶ τοῦ Β. 2013, Γ.Κακαρελίδης

Συναρτήσεις ..συνέχεια 2α Τὸ καρτεσιανὸ γινόμενο SXT δύο συνόλων S, T, ὅπου τὸ S περιέχει n στοιχεῖα καὶ τὸ Τ m, ἀποτελεῖται ἀπὸ n x m διατεταγμένα ζεύγη Μία σχέση εἶναι ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινομένου. Μπορεῖ νὰ διατρέχη ἤ μἠ, ὅλα τὰ στοιχεὶα τοῦ S καὶ ὅποιο στοιχεῖο του μπορεῖ νὰ διαταχθῆ μὲ ἕνα ἠ περισσότερα στὸ Τ. Μία συνάρτηση εἶναι ἐπίσης ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινομένου. Πρέπει ὅμως νὰ ἐξαντλήση ὅλο τὸ πεδίο ὁρισμοῦ της, ὄχι ὅμως κατ᾽ἀνάγκην καὶ τὸ τιμῶν. Στὴν τελευταία περίπτωση καλεῖται ἀμφιμονοσήμανρη (ἕν πρὸς ἕν) συνάρτηση 2013, Γ.Κακαρελίδης

Συναρτήσεις ..συνέχεια 3η Προσοχὴ: ὁ κανών μιᾶς συνάρτησης μπορεῖ νὰ ἐκφρασθῆ ὥς ἐξίσωση. Ἡ ἐξίσωση ὅμως ΔΕΝ εἶναι ἡ συνάρτηση. Ἡ έξίσωση παρέχει τὸ στοιχεῖο στὸ πεδίο Τιμῶν ποὺ ‘ταιριάζει’ σὲ μία συγκεκριμένη τιμὴ ἀπὸ τὸ πεδίο ὁρισμοῦ. Μπορεῖ ὅμως νὰ ὑποδεικνύη καὶ τιμὲς ποὺ δὲν ἀποτελοῦν τμῆμα τῆς συνάρτησης. Δεδομένου ὅτι ἡ συνἀρτηση εἶναι σύνολο διατεταγμὲνων ζευγῶν, αὐτὸ μπορεῖ νὰ ἐπιτευχθῇ καὶ μὲ γράφημα, πίνακες, διαγράμματα, προφορικοὺς κανὀνες κτλ. 2013, Γ.Κακαρελίδης

Συναρτήσεις ..συνέχεια 4η Συνάρτηση σημείου : ὃταν ὁ κανών μιᾶς συνάρτησης εἶναι τῆς μορφῆς y=f(x) . Συνάρτηση συνόλου : ὃταν τὰ στοιχεῖα στὸ πεδίο ὁρισμοῦ εἶναι σύνολα. 2013, Γ.Κακαρελίδης

Ἀσκήσεις Εἶναι ἀληθὲς ὅτι (A – B)  (B – C) = A – C ? Δεῖξτε ὅτι (A  B) – C = (A – C)  (B – C) Εἶναι ἀληθὲς ὅτι A – (B – C) = (A – B) – C ? Εἶναι ἀληθὲς ὅτι (A – B)  (A  B) = A ? 2013, Γ.Κακαρελίδης