Ποια είναι η προπαίδεια; ΑΠ:

Πως αλλιώς λέγεται και γράφεται η προπαίδεια; ΑΠ: Πίνακας του Πυθαγόρα (Διάσημος Έλληνας μαθηματικός από το νησί Σάμος 580 π.Χ. – 496 π.Χ. ). 2.3 = 6 3.2 = 6

Τι σημαίνει στην προπαίδεια το 2.3 = 6 και το 10.3 = 30 ; ΑΠ: 6 = 3 + 3 = {έχω δύο τριάρια να προσθέσω} = 2.3 30 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = {έχω δέκα τριάρια να προσθέσω} = 10.3

Τι σημαίνει το 5α ; ΑΠ: 5α = α + α + α + α + α = κρυμμένη πρόσθεση του α πέντε φορές. Παραδείγματα: 3χ = χ + χ + χ β + β + β + β = 4β 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6.2 = 12 (α + β) + (α + β) + (α + β) = 3(α + β) 2ωΧ = ωΧ + ωΧ ω = 1.ω

Τι σημαίνουν τα εξής σύμβολα: > , < , ≥ , ≤ , ≠ , ± ,  , ϵ , => ΑΠ: > σημαίνει «μεγαλύτερο» → 5 > 4 < σημαίνει «μικρότερο» → 4 < 5 ≥ σημαίνει «μεγαλύτερο ή ίσο» → χ ≥ 4 ≤ σημαίνει «μικρότερο ή ίσο» → χ ≤ 4 ≠ σημαίνει «όχι ίσο» δηλαδή διαφορετικό → 5 ≠ 4 ± σημαίνει «συν ή πλην » → χ = ± 1  σημαίνει «ισοδύναμο» → Χ = 10 / 2  Χ = 5 ϵ σημαίνει «ανήκει» → 5 ϵ Α = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} => σημαίνει «συνεπάγεται» δηλαδή συμπεραίνεται → χ > 10 => χ > 0

Ποια είναι η Ευκλείδεια διαίρεση και ποια είναι η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης; ΑΠ: (Ευκλείδης: Διάσημος Έλληνας μαθηματικός από την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου 300 π.Χ. - 270 π.Χ.) Διαιρετέος διαιρέτης Δ δ  πηλίκο π υ υπόλοιπο Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι η εξής: Δ = δ.π + υ με 0 ≤ υ < δ Παράδειγμα: 11 5  11 = 5.2 + 1 2 1

Ποιοι είναι οι άρτιοι (ζυγοί) αριθμοί και ποιοι είναι οι περιττοί (μονοί) αριθμοί; ΑΠ: ■ Άρτιοι είναι οι εξής αριθμοί: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , …. Οι άρτιοι διαιρούνται ακριβώς με το 2 (υπόλοιπο = 0) 2 Παράδειγμα: 12  12 = 2.6 + 0 = 2.6 6 ■ Περιττοί είναι οι εξής αριθμοί: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , …. Οι περιττοί όταν διαιρούνται με το 2 αφήνουν υπόλοιπο το 1 (υπόλοιπο = 1) Παράδειγμα: 13 2  13 = 2.6 + 1 6 1

Τι είναι κλάσμα; ΑΠ: * Το 2 / 3 είναι κλάσμα. * Κλάσμα = κομμάτι = ένα μέρος. * Χωρίζω το οικόπεδο ΑΒΓΔ σε 3 ίσα εντελώς μέρη και παίρνω από αυτά μόνο τα 2 μέρη. Παίρνω τα 2/3 του οικοπέδου. * Όλο το οικόπεδο ΑΒΓΔ γράφεται με μορφή κλάσματος ως 3 / 3 δηλαδή 1 = ολόκληρο * Το 2 / 3 γίνεται δεκαδικός αριθμός με την εξής διαίρεση 2 / 3 = 2 : 3 = 0,666667 * Το 2 λέγεται αριθμητής. * Το 3 λέγεται παρανομαστής. Α Δ 1 / 3 1 / 3 1 / 3 Β Γ 2 / 3 2 2 3 2 / 3 = = 2 : 3 = 0,666667  3 0,666667

Τι είναι σύνθετο κλάσμα; ΑΠ: 1 7 3 5 Το είναι σύνθετο κλάσμα. Α Β Γ Δ Α.Δ Το σύνθετο κλάσμα γίνεται απλό κλάσμα με τον εξής τύπο: = Β.Γ 1 7 3 5 1.5 5 * = = = 0,238095 7.3 21 7 1 * *

Τι είναι το πρόσημο; ΑΠ: Το + ή το - που υπάρχει μπροστά από έναν αριθμό. Αν δεν υπάρχει πρόσημο τότε εννοείται ότι είναι το + Παραδείγματα: Το πρόσημο του -3 είναι το - Το πρόσημο του +3 είναι το + Το πρόσημο του 3 είναι το +

Τι είναι ομόσημοι και τι ετερόσημοι αριθμοί; ΑΠ: Ομόσημοι = έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετερόσημοι = έχουν διαφορετικό πρόσημο. Παράδειγμα: Οι αριθμοί 5 και 12 είναι ομόσημοι. Οι αριθμοί -5 και -12 είναι ομόσημοι. Οι αριθμοί 5 και -12 είναι ετερόσημοι. Οι αριθμοί -5 και 12 είναι ετερόσημοι.

Πως διώχνω παρενθέσεις ; ΑΠ: -(-3) = +3 = 3  ίδιο πρόσημο μπρος και πίσω από την παρένθεση  βάζω + +(+3) = -(+3) = -3  διαφορετικό πρόσημο μπρος και πίσω από την παρένθεση  βάζω - +(-3) =

Πως κάνω πολλαπλασιασμό; ΑΠ: (-3)(-2) = +6 = 6  ίδιο πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  βάζω + (+3)(+2) = (-3)(+2) = -6  διαφορετικό πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  βάζω - (+3)(-2) =

Πως κάνω διαίρεση; ΑΠ: (-6)/(-2) = +3 = 3  ίδιο πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  βάζω + (+6)/(+2) = (-6)/(+2) = -3  διαφορετικό πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  βάζω - (+6)/(-2) =

Πως κάνω πρόσθεση; ΑΠ: +2 + 3 = + 5 = 5  ίδιο πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  κάνω πρόσθεση   το πρόσημο όπως είναι δηλαδή + -2 - 3 = -5  ίδιο πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  κάνω πρόσθεση   το πρόσημο όπως είναι δηλαδή -

Πως κάνω αφαίρεση; ΑΠ: -2 + 3 = + 1 = 1  διαφορετικό πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  κάνω αφαίρεση   βάζω το πρόσημο του μεγαλύτερου 3, δηλαδή το + +2 - 3 = - 1  διαφορετικό πρόσημο έχουν οι δύο αριθμοί  κάνω αφαίρεση  δηλαδή το -

Τι παρατηρώ ότι ισχύει όταν, διώχνω παρενθέσεις ή κάνω πολλαπλασιασμό ή κάνω διαίρεση ; -(-3) ΑΠ: Ισχύει το ίδιο « κόλπο ». +(+3) (-3)(-1) (+3)(+1) = +3 = 3  ίδιο πρόσημο  βάζω + -3 / -1 +3/+1 -(+3) +(-3) (-3)(+1) (+3)(-1) = -3  διαφορετικό πρόσημο  βάζω - -3 / +1 +3/-1

2 Στο κλάσμα - 3 στο οποίο υπάρχει πλην ( - ) μπροστά από την παύλα, που πηγαίνει αυτό το - , επάνω ή κάτω ή και στα δύο; ΑΠ: Πηγαίνει ή μόνο επάνω ή μόνο κάτω, δηλαδή γράφω το εξής: 2 -2 ή - = 3 3 2 2 ή - = 3 -3 -2 2 2 Δηλαδή ισχύει το εξής: - = = 3 -3 3

Πως προσθέτω δύο κλάσματα; ΑΠ: 2 4 + = {Βάζω χιαστί τους παρανομαστές πάνω από τους αριθμητές σε καπελάκια} = 3 5 5 3 Στο πρώτο κλάσμα κάνω το εξής: Πολλαπλασιάζω το 5 με το 2 και το βάζω αριθμητή. Πολλαπλασιάζω το 5 με το 3 και το βάζω παρανομαστή. Το ίδιο κάνω και στο δεύτερο κλάσμα αντίστοιχα. Ετσι τα κλάσματα αποκτούν τον ίδιο παρανομαστή 15 (ομώνυμα). 2 4 = + = = 3 5 10 12 10 + 12 22 = + = {Προσθέτω τους αριθμητές και αφήνω ίδιο τον παρανομαστή} = = 15 15 15 15

Πως αφαιρώ δύο κλάσματα; ΑΠ: 2 4 - = {Βάζω χιαστί τους παρανομαστές πάνω από τους αριθμητές σε καπελάκια} = 3 5 5 3 Στο πρώτο κλάσμα κάνω το εξής: Πολλαπλασιάζω το 5 με το 2 και το βάζω αριθμητή. Πολλαπλασιάζω το 5 με το 3 και το βάζω παρανομαστή. Το ίδιο κάνω και στο δεύτερο κλάσμα αντίστοιχα. Ετσι τα κλάσματα αποκτούν τον ίδιο παρανομαστή 15 (ομώνυμα). 2 4 = - = = 3 5 10 12 10 - 12 -2 = - = {Αφαιρώ τους αριθμητές και αφήνω ίδιο τον παρανομαστή} = = = 15 15 15 15 2 = - 15

Πως απλοποιώ ένα κλάσμα (κάνω απλοποίηση); ΑΠ: Διαιρώ αριθμητή και παρανομαστή, με τον ίδιο αριθμό. Παραδείγματα: 15 3 * = { Διαιρώ με το 5, τον αριθμητή και τον παρανομαστή} = = 3 5 1 20 2 * = { Διαιρώ με το 10, τον αριθμητή και τον παρανομαστή} = 30 3 12 = { Διαιρώ με το 2, τον αριθμητή και τον παρανομαστή} = * 20 6 3 = = { Διαιρώ με το 2, τον αριθμητή και τον παρανομαστή} = 10 5

Πως πολλαπλασιάζω δύο κλάσματα; ΑΠ: 2 4 ■ . Πολλαπλασιάζω μεταξύ τους τους αριθμητές και το αποτέλεσμα το βάζω αριθμητή. Το ίδιο κάνω αντίστοιχα και στους παρανομαστές. = = 3 5 2.4 8 = = 3.5 15 2 2 8 2.8 16 ■ . 8 = . = = 3 3 1 3.1 3

Πως διαιρώ δυο κλάσματα; ΑΠ: 2 4 = { Αντιστρέφω το δεύτερο κλάσμα και κάνω πολλαπλασιασμό } = * : 3 5 2 5 2.5 10 Αν θέλω κάνω απλοποίηση, δηλαδή διαιρώ αριθμητή και παρανομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους που είναι το 2. = = . = = = 3 4 3.4 12 5 = 6 2 2.5 10 5 3 = = = { κάνω απλοποίηση } = * Άλλος τρόπος  6 4 3.4 12 5

Πως βρίσκω τα α / β του Κ ; ΑΠ: α Κάνω τον πολλαπλασιασμό: . Κ β Παραδείγματα: * * Τα 2/3 του 12 = (2 / 3).12 = (2 / 3).(12 / 1) = 2.12 / 3.1 = 24 / 3 = 8. Τα 4/5 του 20 = (4 / 5).20 = (4 / 5).(20 / 1) = 4.20 / 5.1 = 80 / 5 = 16. *

Τι σημαίνει το ποσοστό α% ; Πως βρίσκω το ποσοστό α% του β ; ΑΠ: Παραδείγματα: 50 1 α * 50% = = = 0,5 ■ Σημαίνει το εξής: α% = 2 100 100 20 1 * 20% = = = 0,2 100 5 α ■ α% του β = . β 50% του 12 = 0,5.12 = 6 20% του 30 = 0,2.30 = 6 * 100 * 10 700 10.700 7000 10 . 10% του 700 = . 700 = = = = 70 * 100 100 1 100.1 100 * 1,2% του 5,6 = (1,2/100).5,6 = (0,012).(5,6) = 0,012 . 5,6 = 0,0672

Ποιες είναι οι ιδιότητες των πράξεων; ΑΠ: Α + Β = Β + Α  ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ  2 + 3 = 3 + 2 = 5 , 2.3 = 3.2 = 6 Α.Β = Β.Α Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ  ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ  2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9 , 2.(3.4) = (2.3).4 = 24 Α.(Β.Γ) = (Α.Β).Γ Α + 0 = 0 + Α = Α  ΤΟ 0 ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ Ή ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ  Α - 0 = Α , 0 - Α = -Α Α.1 = 1.Α = Α ΤΟ 1 ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ - Α + Α = Α - Α = 0  ΤΟ -Α ΚΑΙ ΤΟ Α ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΑΝΤΙΘΕΤΑ  -2 + 2 = 2 - 2 = 0 Α.(1 / Α) = (1/Α).Α = 1 ΤΟ Α ΚΑΙ ΤΟ 1 / Α ΛΕΓΟΝΤΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ 2.(1 / 2) = (1/2).2 = 1 Α(Β + Γ) = Α.Β + Α.Γ  ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ  2.(3 + 4) = 2.3 + 2.4 = 6 + 8 = 14 Α / Α = 1  2 / 2 = 1 Α / 1 = Α  2 / 1 = 2 0 / Α = 0  0 / 2 = 0 Α / 0 = ΑΔΥΝΑΤΟ  2 / 0 = ΑΔΥΝΑΤΟ 0 / 0 = ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟ * * 2 + 0 = 0 + 2 = 2 2 - 0 = 2 , 0 - 2 = -2 * 2.1 = 1.2 = 2 * * * ΟΥΔΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ = ΣΑΝ ΝΑ ΜΗ ΥΠΑΡΧΕΙ = ΔΕΝ ΣΥΜΜΕΤΕΧΕΙ. ΑΝΤΙΘΕΤΑ = Η ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΤΟΥΣ ΔΙΝΕΙ 0. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ = ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΤΟΥΣ ΔΙΝΕΙ 1.

Τι είναι αντίθετοι αριθμοί και τι είναι αντίστροφοι αριθμοί ; ΑΠ: ■ Αντίθετοι είναι αυτοί που το άθροισμα τους είναι ίσο με το 0. Παραδείγματα: * Οι αριθμοί 5 και -5 είναι αντίθετοι διότι 5 + (-5) = 5 – 5 = 0 * Οι αριθμοί 5,46 και -5,46 είναι αντίθετοι διότι 5,46 + (-5,46) = 5,46 – 5,46 = 0 * Οι αριθμοί χ και -χ είναι αντίθετοι διότι χ + (-χ) = χ – χ = 0 ■ Αντίστροφοι είναι αυτοί που το γινόμενο τους είναι ίσο με το 1. Παραδείγματα: Οι αριθμοί 5 και 1/5 είναι αντίστροφοι διότι 5. (1/5) = (5/1).(1/5) = 5.1/1.5 = 5/5 = 1 * * Οι αριθμοί 5/3 και 3/5 είναι αντίστροφοι διότι (5/3). (3/5) = (5.3/3.5) = 15/15 = 1 Οι αριθμοί χ/ψ και ψ/χ είναι αντίστροφοι διότι (χ/ψ). (ψ/χ) = (χ.ψ)/(ψ.χ) = χψ/ψχ = 1 *

Ποιες είναι οι πράξεις με το 0 ; Παραδείγματα: 5 + 0 = 5 0 + 5 = 5 -5 + 0 = -5  Στην πρόσθεση και στην αφαίρεση είναι σαν να μη υπάρχει ( 0 = τίποτε = δεν υπάρχει ). 5 - 0 = 5 -5 – 0 = -5 0 - 5 = -5 0.5 = 0 5.0 = 0 0 / 5 = 0 5 / 0 = αδύνατο 0/0 = απροσδιόριστο  Στον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση το αποτέλεσμα είναι πάντα 0. Προσοχή: Δεν υπάρχει κλάσμα (διαίρεση), με 0 στον παρανομαστή (στον διαιρέτη).

Επιμεριστική ιδιότητα: Α(Χ + Ψ + Ω) = ΑΧ + ΑΨ + ΑΩ (Α + Β)(Χ + Ψ + Ω) = ΑΧ + ΑΨ + ΑΩ + ΒΧ + ΒΨ + ΒΩ Παραδείγματα: * 3(χ + ψ + ω) = 3χ + 3ψ + 3ω * (3 + χ)(5 + ψ + ω) = 3.5 + 3ψ + 3ω + χ5 + χψ + χω = 15 + 3ψ + 3ω + 5χ + χψ + χω * (α + χ)(β + ψ) = αβ + αψ + χβ + χψ

Τι είναι ο συμβολισμός Αν και πως διαβάζεται; Τι πράξη κρύβει αυτός ο συμβολισμός; ΑΠ: Ο συμβολισμός αυτός λέμε ότι είναι μια δύναμη. Διαβάζεται ως εξής: Α στην νιοστή = Α στην νη = Α στην ν. Η δύναμη είναι κρυμμένος πολλαπλασιασμός. Αν Παραδείγματα: * 23 = 2 στην τρίτη = 2 στην 3η = 2 στην 3 Δύναμη * (-2)3 = -2 και όλο στην τρίτη = -2 και όλο στην 3η = -2 και όλο στην 3 * -23 = -2 στην τρίτη = -2 στην 3η = -2 στην 3

Τι σημαίνει το Αν και με τι ισούται το Α0 και το Α1 ; ΑΠ: Αν = {πολλαπλασιασμός μόνο με Α} = Α.Α.Α….Α με ν το πλήθος Α Παράδειγμα: 30 = 1 31 = 3 32 = 3.3 = 9 33 = 3.3.3 = 27 34 = 3.3.3.3 = 81 Εδώ είναι Α = 3

Τι διαφέρει το 5α από το α5 ; ΑΠ: 5α = 5.α = α + α + α + α + α = κρυμμένη πρόσθεση μόνο του α, πέντε φορές. α5 = α.α.α.α.α = κρυμμένο γινόμενο μόνο του α, πέντε σε πλήθος

Τι σημαίνει το τετράγωνο του αριθμού α και τι σημαίνει ο κύβος του αριθμού α; ΑΠ: Τετράγωνο του αριθμού α = α.α = α2 Κύβος του αριθμού α = α.α.α = α3 Παραδείγματα: Το τετράγωνο του 3 είναι το 9 διότι 32 = 3.3 = 9 Το τετράγωνο του -3 είναι το 9 διότι (-3)2 = (-3).(-3) = +9 = 9 Το τετράγωνο του 5 είναι το 25 διότι 52 = 5.5 = 25 Το τετράγωνο του -5 είναι το 25 διότι (-5)2 = (-5).(-5) = +25 = 25 Ο κύβος του 2 είναι το 8 διότι 23 = 2.2.2. = 8 Ο κύβος του -2 είναι το -8 διότι (-2)3 = (-2).(-2).(-2) = -8 Το τετράγωνο του -1 είναι το 1 διότι (-1)2 = (-1).(-1) = +1 = 1 Ο κύβος του -1 είναι το -1 διότι (-1)3 = (-1).(-1).(-1) = -1 Το τετράγωνο του 1 είναι το 1 διότι 12 = 1.1 = 1 Ο κύβος του 1 είναι το 1 διότι 13 = 1.1.1 = 1

Τι σημαίνει το Αν και με τι ισούται το Α0 και το Α1 ; ΑΠ: Αν = {πολλαπλασιασμός μόνο με Α} = Α.Α.Α….Α με ν το πλήθος Α 30 = 1 31 = 3 32 = 3.3 = 9 33 = 3.3.3 = 27 34 = 3.3.3.3 = 81 -30 = -1 -31 = -3 -32 = -3.3 = -9 -33 = -3.3.3 = -27 -34 = -3.3.3.3 = -81 (-3)0 = 1 (-3)1 = -3 (-3)2 = (-3)(-3) = 9 (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27 (-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81 (-1)3 = -1 Εδώ Α = 3 (-1)2 = 1 (-1)4 = 1 (-1)5 = -1 (-1)6 = 1 (-1)7 = -1 (-10)2 = 100 (-10)3 = -1000 (-10)4 = 10000 (-10)5 = -100000 Εδώ Α = 3 (-10)6 = 1000000 (-10)7 = -10000000 0,1 = 1/10 = 1/101 = 10-1 0,01 = 1/100 = 1/102 = 10-2 0,001 = 1/1000 = 1/103 = 10-3 0,0001 = 1/10000 = 1/104 = 10-4 0,00001 = 1/100000 = 1/105 = 10-5 Εδώ Α = -3 10 = 101 100 = 10.10 = 102 1000 = 10.10.10 = 103 10000 = 10.10.10.10 = 104 100000 = 10.10.10.10.10 = 105

Να συμπληρωθούν οι ισότητες: 23 = …. (-2)3 = …. -23 = …. ΑΠ: 23 = 2 στην τρίτη = 2.2.2 = 8 * (-2)3 = -2 και όλο στην τρίτη = (-2)(-2)(-2) = -8 * * -23 = -2 στην τρίτη = -2.2.2 = - (2.2.2) = -8

Αν Στην δύναμη Αν πως λέγεται το Α και το ν; ΑΠ: ν = εκθέτης Δύναμη Στην δύναμη Αν πως λέγεται το Α και το ν; ΑΠ: ν = εκθέτης Δύναμη Αν Το Α λέγεται βάση. Το ν λέγεται εκθέτης. Α = βάση Παραδείγματα: Η βάση στη δύναμη 53 είναι το 5 και ο εκθέτης είναι το 3 Η βάση στη δύναμη 5-3 είναι το 5 και ο εκθέτης είναι το -3 Η βάση στη δύναμη 50 είναι το 5 και ο εκθέτης είναι το 0 Η βάση στη δύναμη 51 είναι το 5 και ο εκθέτης είναι το 1 Η βάση στον αριθμό 5 είναι το 5 και ο εκθέτης είναι το 1 που δεν φαίνεται, διότι 5 = {ιδιότητες δυνάμεων} = 51 Η βάση στον αριθμό Χ είναι το Χ και ο εκθέτης είναι το 1 που δεν φαίνεται, διότι Χ = {ιδιότητες δυνάμεων} = Χ1 * * *

Πως γράφεται ένας τυχαίος αριθμός α, σαν δύναμη; Πως γράφεται το 1, σαν δύναμη; ΑΠ: α = α1 1 = α0 Παραδείγματα: 4 = 41 68 = 681 2017 = 20171 5,93 = 5,931 2 / 3 = (2 / 3)1 1 = 2080 = 40 = 7,890 = (4 / 5 )0 = 980

Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων; ΑΠ: , 1 = Α0 Παραδείγματα: , Α = Α1 30 = 1 31 = 3 34 . 24 = (3.2)4 34 / 24 = (3/2)4 34 . 32 = 36 38 / 36 = 32 3-5 = 1/35 (32 )4 = 38 3-1 = 1/31 = 1/3 (3 / 4)-5 = (4 / 3)5

Ποια είναι η σχέση των δεκαδικών μονάδων με τις δυνάμεις; ΑΠ: Ένα δέκατο = 0,1 = 1/10 = 1/101 = 10 -1 Ένα εκατοστό = 0,01 = 1/100 = 1/102 = 10 -2 Ένα χιλιοστό = 0,001 = 1/1000 = 1/103 = 10 -3 Ένα δεκάκις χιλιοστό = 0,0001 = 1/10000 = 1/104 = 10 -4 Ένα εκατοντάκις χιλιοστό = 0,00001 = 1/100000 = 1/105 = 10 -5 Ένα εκατομμυριοστό = 0,000001 = 1/1000000 = 1/106 = 10 -6

Πως γράφεται αναλυτικά σε δυνάμεις του 10, ένας ακέραιος αριθμός με την μέθοδο των δυνάμεων; ΑΠ: 234568 = 200000 + 30000 + 4000 + 500 + 60 + 8 = = 2.100000 + 3.10000 + 4.1000 + 5.100 + 6.10 + 8 = = 2.105 + 3.104 + 4.103 + 5.102 + 6.101 + 8.1 = = 2.105 + 3.104 + 4.103 + 5.102 + 6.101 + 8.100 200000 30000 4000 500 60 + 8 234568 Διότι: 100 = 1 101 = 10 102 = 10.10 = 100 103 = 10.10.10 = 1000 104 = 10.10.10.10 = 10000 105 = 10.10.10.10.10 = 100000

Πως γράφεται αναλυτικά σε δυνάμεις του 10, ένας δεκαδικός αριθμός με την μέθοδο των δυνάμεων; ΑΠ: 234568,914 = = 200000 + 30000 + 4000 + 500 + 60 + 8 + 0,9 + 0,01 + 0,004 = = 2.100000 + 3.10000 + 4.1000 + 5.100 + 6.10 + 8 + 9/10 + 1/100 + 4/1000 = = 2.105 + 3.104 + 4.103 + 5.102 + 6.101 + 8.100 + 9.10-1 + 1.10-2 + 4.10-3 200000,000 30000,000 4000,000 500,000 60,000 8,000 0,9 0,01 + 0,004 234568,914 Διότι: 1/10 = 1/101 = 10 -1 1/100 = 1/102 = 10 -2 1/1000 = 1/103 = 10 -3

Να γίνει η αναλυτική γραφή του δεκαδικού αριθμού 4162,386 με δυνάμεις του 10 και να γραφούν οι ονομασίες των ψηφίων του δεκαδικού αριθμού 3654169,27635 ΑΠ:

Γιατί ζητείται ένας αριθμός να γραφεί σε αναλυτική μορφή δυνάμεων του 10; ΑΠ: Διότι έτσι μπορεί να τον επεξεργαστεί ταχύτερα και καλύτερα ο ηλεκτρονικός υπολογιστής στις πράξεις του.

Από το δεκαδικό σύστημα αριθμών της αγοράς, στο δυαδικό σύστημα αριθμών του ηλεκτρονικού υπολογιστή. { 0 , 1 } { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Πως μετατρέπω έναν αριθμό, σε «γλώσσα» υπολογιστή με ψηφία μόνο το 0 και το 1; Παράδειγμα: Δίδεται ο αριθμός 14 στο δεκαδικό σύστημα (10), δηλαδή αριθμός με ψηφία που ανήκουν στο σύνολο {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }. Να μετατραπεί σε αριθμό του δυαδικού συστήματος (2), δηλαδή σε αριθμό με ψηφία που ανήκουν στο σύνολο {0 , 1 } και αντιστρόφως. Το 0 στις κατασκευές, αντιστοιχεί σε ηλεκτρικό κύκλωμα που δεν διέρχεται το ηλεκτρικό ρεύμα και το 1 που διέρχεται. < 14 >  < ; >  Χρησιμοποιώ την Ευκλείδεια διαίρεση  14 2  1110 (10) (2) 2 7 3 2 1 1 1 < 1110 >  < ; >  Χρησιμοποιώ την ανάλυση του αριθμού σε δυνάμεις του 2, από την Άλγεβρα  (2) (10)  1110 = 1.23 + 1.22 + 1.21 + 0.20 = 1.8 + 1.4 + 1.2 + 0.1 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14

Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων; ΑΠ: Παρενθέσεις  Δυνάμεις  Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις  Προσθέσεις και αφαιρέσεις  ίσο Παραδείγματα: 23 + (-11 + 13)(-1) + (-6)/(-2) - (-10) = = 23 + (+2)(-1) + (-6)/(-2) - (-10) =  έκανα την πράξη μέσα στην παρένθεση (-11 + 13). = 8 + (+2)(-1) + (-6)/(-2) - (-10) =  έκανα την δύναμη 23 = 8 + (-2) + (+3) - (-10) =  έκανα την πολλαπλασιασμό(+2)(-1) και την διαίρεση (-6)/(-2). = 8 - 2 + 3 + 10 =  έκανα την απαλοιφή των παρενθέσεων για πρόσθεση και αφαίρεση, με = - 2 + 8 + 3 + 10 = τα αρνητικά μαζί και τα θετικά μαζί ξεχωριστά. = - 2 + 21 = = + 19 = = 19 * * 2 + 4.5 = 2 + 20 = 22 * 2.4 + 5 = 8 + 5 = 13 * 2(4 + 5) = 2.9 = 18

Τι είναι ταυτότητα και ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες; ΑΠ: Ισότητα που ισχύει για οποιαδήποτε αντικατάσταση των γραμμάτων στον τύπο της, με αριθμούς. Το πρώτο μέλος (αριστερά από το = ), ταυτίζεται με το δεύτερο μέλος (δεξιά από το = ). Παράδειγμα: Ισχύει άραγε η ισότητα (1 + 3)2 = 12 + 32 + 2.1.3 και σε τι χρησιμεύει; Είναι 1ο μέλος = (1 + 3)2 = 42 = 4.4 = 16 και 2ο μέλος = 12 + 32 + 2.1.3 = 1 + 9 + 6 = 16 Δηλαδή ισχύει: (1 + 3)2 = 12 + 32 + 2.1.3 Άρα μπορώ να αντικαθιστώ το 12 + 32 + 2.1.3 με το (1 + 3)2 που είναι ένα κρυμμένο γινόμενο, διότι ισχύει (1 + 3)2 = (1 + 3).(1 + 3). Τελικά το άθροισμα 12 + 32 + 2.1.3 γίνεται το γινόμενο (1 + 3)2 = (1 + 3).(1 + 3) με την χρήση της ταυτότητας (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ

Πως δείχνω ότι ισχύει μία ισότητα ή ταυτότητα Α = Β; ΑΠ: Ξεκινώ με πράξεις από το Α και προσπαθώ να φτάσω στο Β  Α = ……. =  Β * Ξεκινώ με πράξεις από το Β και προσπαθώ να φτάσω στο Α  Β = …… =  Α * * Ξεκινώ με πράξεις από το Α και φτάνω σε κάποιο Γ. Ξεκινώ με πράξεις από το Β και φτάνω στο Γ. Επειδή τα δεύτερα μέλη είναι ίσα Γ = Γ, θα είναι και τα πρώτα, δηλαδή Α = Β. Α = ….. = Γ Β = ….. = Γ => Α = Β * Ξεκινώ με ισοδυναμία () από την ισότητα Α = Β μέχρι να φτάσω σε ισότητα Γ = Γ που ισχύει. Τότε με ισοδυναμία θα ισχύει και η αρχική ισότητα Α = Β.  Α = Β  ……  Γ = Γ  ισχύει

Γιατί ισχύει η εξής ισότητα (α – β)2 = (β - α )2 ; ΑΠ: (α – β)2 = α2 + β2 - 2αβ => { τα δεύτερα μέλη είναι ίσα, άρα θα είναι και τα πρώτα } => (β – α)2 = β2 + α2 - 2βα => (α – β)2 = (β - α )2

Το τετράγωνο οποιασδήποτε παράστασης ή αριθμού, δεν είναι ποτέ αρνητικό. 52 ≥ 0 (-5)2 ≥ 0 Α2 ≥ 0 (Α + Β )2 ≥ 0 (Α + Β + Γ )2 ≥ 0 [(Α + Β)8 - (Γ + ΔΧ )9 ] 2 ≥ 0 [(ΑΧ + ΒΨ) / (ΓΚ + ΔΜ) ]2 ≥ 0 (-5Χ + 4Ψ )2 ≥ 0 (-5Χ2 - 8Χ - 12 )2 ≥ 0

Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα ( Χ + Ψ)2 - (Χ – Ψ)2 = 4ΧΨ ΑΠ: (Χ + Ψ)2 – (Χ – Ψ)2 = { χρησιμοποιώ την ταυτότητα (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ και την ταυτότητα (α - β)2 = α2 + β2 - 2αβ } = = (Χ2 + Ψ2 + 2ΧΨ) - (Χ2 + Ψ2 – 2ΧΨ) = { διώχνω τις παρενθέσεις } = = Χ2 + Ψ2 + 2ΧΨ - Χ2 - Ψ2 + 2ΧΨ = { κάνω πράξεις, διώχνω τα αντίθετα } = = Χ2 + Ψ2 + 2ΧΨ - Χ2 - Ψ2 + 2ΧΨ = = 2ΧΨ + 2ΧΨ = = 4ΧΨ

Χ + Ψ 1 Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα όταν Χ ,Ψ θετικοί αριθμοί. = Χ2 + Ψ2 + 2ΧΨ Χ + Ψ Χ + Ψ 1 ΑΠ: =  { κάνω « χιαστί » και προχωρώ με ισοδυναμία }  Χ2 + Ψ2 + 2ΧΨ Χ + Ψ  (Χ + Ψ)(Χ + Ψ) = 1(Χ2 + Ψ2 + 2ΧΨ)  { κάνω πράξεις }   (Χ + Ψ)2 = Χ2 + Ψ2 + 2ΧΨ  ισχύει από την ταυτότητα (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ .

Πως ελέγχω αν δυο κλάσματα είναι ίσα; ΑΠ: Α Χ  = ΑΨ = ΒΧ  Κόλπο «χιαστί» Β Ψ Παραδείγματα: 2 10 * =  2.20 = 4.10  40 = 40 → ισχύει, άρα τα αρχικά κλάσματα είναι ίσα. 4 20 2 10 2.30 = 4.10  60 = 40 → δεν ισχύει, άρα τα αρχικά κλάσματα δεν είναι ίσα. * =  4 30

Τι είναι αναλογία; ΑΠ: Ίσα κλάσματα. Παραδείγματα: * 1 / 2 = 5 / 10 = 2 / 4 = 100 / 200 = 1000 / 2000 = Α / 2Α  παρατηρώ ότι οι παρανομαστές είναι διπλάσιοι από τους αριθμητές. 1 / 3 = 2 / 6 = 10 / 30 = Β / 3Β = Χ / 3Χ  παρατηρώ ότι οι παρανομαστές είναι τριπλάσιοι από τους αριθμητές. 1 / 4 = 10 / 40  παρατηρώ ότι οι παρανομαστές είναι τετραπλάσιοι από τους αριθμητές. 5 / 1 = 10 / 2 = 50 / 10  παρατηρώ ότι οι αριθμητές είναι πενταπλάσιοι από τους παρανομαστές. * * *

Τι είναι ο λόγος λ σε μια αναλογία; ΑΠ: Ένα κλάσμα που δεν απλοποιείται πλέον, ίσο με όλα τα κλάσματα της αναλογίας. Παραδείγματα: Στην αναλογία 20 / 40 = 2 / 4 = 100 / 200 = 3 / 6 = 5 / 10 = α / 2α = 1/ 2 = λ, ο λόγος είναι λ = 1/2 Στην αναλογία 500 / 100 = 5000 / 1000 = 25 / 5 = 5β / β = 5γ / γ = 5 / 1 = 5 = λ, ο λόγος είναι λ = 5

Ποιες είναι οι ιδιότητες των αναλογιών; ΑΠ: α χ * =  αψ = βχ αψ = βχ  1 / 2 = 5 / 10  1.10 = 2.5  10 = 10 β ψ Πολλαπλασιάζω «χιαστί». α β *   1 / 2 = 5 / 10  1 / 5 = 2 / 10  1 / 5 = 1 / 5 = χ ψ Αλλάζω την θέση των χ και β μεταξύ τους. Ομοίως των α και ψ. α + β χ + ψ *  =  Ότι κάνω στο πρώτο κλάσμα, πρέπει να κάνω το αντίστοιχο, στο δεύτερο κλάσμα.  β ψ  1 / 2 = 5 / 10  (1 + 2) / 2 = (5 + 10)/10  3 / 2 = 15 / 10  3 / 2 = 3 / 2 κ α + χ + κ α = λβ χ = λψ κ = λμ * = = = λ   Όλα τα κλάσματα ίσα με τον «λόγο» λ.  μ β + ψ + μ  2 / 1 = 8 / 4 = 6 / 3 = (2 + 8 + 6) / (1 + 4 + 3) = 16 / 8 = 2  2 = 2.1 , 8 = 2.4 , 6 = 2.3

Τι σχέση έχει ο χάρτης της Ελλάδας με τις αναλογίες; ΑΠ: Στην γωνία επάνω του χάρτη υπάρχει η κλίμακα 1:1500000 δηλαδή 1 1500000 Αυτό σημαίνει ότι 1 εκατοστό πάνω στον χάρτη, αντιστοιχεί με 1500000 εκατοστά πάνω στο επίπεδο της Γης. Δηλαδή τα μήκη πάνω στη Γη, είναι 1500000 φορές μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα μήκη τους πάνω στον χάρτη.

Πως τα κατάφερναν οι αρχαίοι Έλληνες με την τέχνη; 2 2α  α / 2α = 1 / 2 α 1  α / 3α = 1 / 3 3 3α Οι «αναλογίες» στο άγαλμα 2, είναι διπλάσιες από τις «αναλογίες» στο άγαλμα 1. Οι «αναλογίες» στο άγαλμα 3, είναι τριπλάσιες από τις «αναλογίες»

Τρεις συνεταίροι Σ1 , Σ2 , Σ3 βάζουν τα εξής χρήματα (κεφάλαιο) για να κάνουν μια νέα επιχείρηση: Ο Σ1 βάζει 30000 ευρώ. Ο Σ2 βάζει 20000 ευρώ. Ο Σ3 βάζει 10000 ευρώ. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα υπάρχει κέρδος 12000 ευρώ, το οποίο θα πρέπει να μοιραστεί ανάλογα. Πόσα ευρώ από αυτό το κέρδος θα πάρει ο καθένας ; ΑΠ: Εστω χ το ζητούμενο κέρδος του Σ1, ψ το ζητούμενο κέρδος του Σ2 και ω το ζητούμενο κέρδος του Σ3. χ ψ ω χ + ψ + ω χ + ψ + ω 12000 12 1 = = = = = = = 30000 + 20000 + 10000 60000 60000 5 30000 20000 10000 60 χ 1 ● =  5χ = 1.30000  5χ = 300000  χ = 30000/5  χ = 6000 ευρώ  το κέρδος του Σ1 30000 5 ψ 1 ● =  5ψ = 1.20000  5ψ = 20000  ψ = 20000/5  ψ = 4000 ευρώ  το κέρδος του Σ2 20000 5 ω 1 ●  5ω = 1.10000  5ω = 10000  ω = 10000/5  ω = 2000 ευρώ  το κέρδος του Σ3 = 10000 5 Παρατηρώ ότι χ + ψ + ω = 6000 + 4000 + 2000 = 12000 ευρώ = συνολικό αρχικό κέρδος

Πως τοποθετώ τους αριθμούς σε οριζόντιο άξονα; Τι σημαίνει το 2 > 1 και το -2 < -1 και το 2 > 0 και το -2 < 0 ; ΑΠ: 4,5 = 9 / 2 5 = 2,236… …. …. 4 = 2 - 17 / 3 = - 5,666… - 5 = - 2,236… 0,5 = 1 / 2 π = 3,14…. 17 / 3 = 5,666… Το 2 > 1 σημαίνει ότι ο αριθμός 2 είναι μεγαλύτερος από το 1, δηλαδή ο αριθμός 2 είναι πιο δεξιά από τον 1. Το -2 < -1 σημαίνει ότι ο αριθμός -2 είναι μικρότερος από το -1, δηλαδή ο αριθμός -2 είναι πιο αριστερά από τον -1. Το 2 > 0 σημαίνει ότι ο αριθμός 2 είναι μεγαλύτερος από το 0, δηλαδή είναι πιο δεξιά από το 0, δηλαδή θετικός. Το -2 < 0 σημαίνει ότι ο αριθμός -2 είναι μικρότερος από το 0, δηλαδή είναι πιο αριστερά από το 0, δηλαδή αρνητικός.

Τι παρατηρώ για τους αριθμούς που διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο όταν τους τοποθετώ πάνω στον άξονα; ΑΠ: …. …. -2,5 2,5 - 17 / 3 = - 5,666… 17 / 3 = 5,666… Παρατηρώ ότι είναι συμμετρικοί ως προς το 0. Δηλαδή ισαπέχουν δεξιά και αριστερά από το 0. Επίσης παρατηρώ ότι όλοι οι αριθμοί προς τα δεξιά μεγαλώνουν συνεχώς.

Τι ισχύει στις ανισώσεις; Α > Β και Γ > 0  ΓΑ > ΓΒ ενώ Γ < 0  ΓΑ < ΓΒ * Α > Β  Α – Β > 0 * Όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό, αλλάζει η φορά. Α < Β  Α – Β < 0  * Α > Β  Α + Γ > Β + Γ Α > Β και Γ > 0  Α/Γ > Β/Γ ενώ Γ < 0  Α/Γ < Β/Γ * 5 > -5 > 0 -5 < 0 * * Όταν Α > 0 και Β > 0 και Γ > 0 και Δ > 0, τότε ισχύει: Α > Β Γ > Δ ΑΓ > ΒΔ Α > Β  Α - Γ > Β - Γ . * * Α2 = Α.Α ≥ 0 Α2 + Β2 ≥ 0 * Α > Β Γ > Δ Ε > Ζ Α2 + Β2 + Γ2 ≥ 0 (Α + Β)2 ≥ 0 + Α + Γ + Ε > Β + Δ + Ζ (Α - Β)2 ≥ 0 Προσοχή: Δεν αφαιρώ και δεν διαιρώ μεταξύ τους ανισώσεις.

Πότε αλλάζει η φορά σε μία ανίσωση; ΑΠ: * Όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό  3 > 2  3(-1) < 2(-1)  -3 < -2. 3 > 2  3/(-1) < 2/(-1)  -3 < -2. * Όταν αντιστρέφω ομόσημους (με ίδιο πρόσημο)  1/2 > 1/5  2/1 < 5/1  2 < 5. * Όταν υψώνω σε άρτιο εκθέτη, αρνητικούς  -2 > -3  (-2)2 < (-3)2  4 < 9. 9 -3 -2 2 3 4 5 1/5 1/2

Πως αποδεικνύω ανισότητες ; ΑΠ: Κάνω πράξεις και στα δύο μέλη και προχωρώ με ισοδυναμία, μέχρι να φτάσω σε σχέση που ισχύει. Τότε με την ισοδυναμία θα ισχύει και η αρχική ανισότητα.

Α + Β Να δειχθεί η σχέση ≥ ΑΒ όταν Α , Β θετικοί. 2 ΑΠ: Α + Β Α + Β )2 ≥ ( ΑΒ )2  ≥ ΑΒ  ( 2 2 (Α + Β )2  ≥ ΑΒ  22 Α2 + Β2 + 2ΑΒ  ≥ ΑΒ  4  Α2 + Β2 + 2ΑΒ ≥ 4ΑΒ  Α2 + Β2 + 2ΑΒ - 4ΑΒ ≥ 0    Α2 + Β2 - 2ΑΒ ≥ 0   ( Α - Β)2 ≥ 0  ισχύει

Πως διαβάζω τον συμβολισμό |Α| ; ΑΠ: |Α| = Απόλυτη τιμή του Α = απόλυτο του Α. Παραδείγματα: |5| = απόλυτη τιμή του 5 = απόλυτο του 5. |-5| = απόλυτη τιμή του -5 = απόλυτο του -5. |205| = απόλυτη τιμή του 205 = απόλυτο του 205. |-5,67| = απόλυτη τιμή του -5,67 = απόλυτο του -5,67. | 2 / 5| = απόλυτη τιμή του 2 / 5 = απόλυτο του 2 / 5. | 5χ + 20| = απόλυτη τιμή του 5χ + 20 = απόλυτο του 5χ + 20. |ω| = απόλυτη τιμή του ω = απόλυτο του ω.

Ποιο είναι το εσωτερικό του απολύτου |Α| ή το εσωτερικό της απόλυτης τιμής του Α; ΑΠ: Είναι το Α, δηλαδή ότι υπάρχει ανάμεσα στις δύο κάθετες που έχει το απόλυτο |Α|. Παραδείγματα: Το εσωτερικό του | 3 | είναι το 3. Το εσωτερικό του |-3 | είναι το -3. Το εσωτερικό του |3χ + 5| είναι το 3χ + 5. Το εσωτερικό του |χ - 2| είναι το χ - 2. Το εσωτερικό του |Α| είναι το Α.

Τι είναι απόλυτη τιμή του Α ή απόλυτο του Α; ΑΠ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Απόλυτη τιμή του Α = |Α| = το εσωτερικό του απολύτου αν Α ≥ 0 ή το αντίθετο του εσωτερικού του απολύτου αν Α < 0 Δηλαδή: Α αν Α ≥ 0 Απόλυτη τιμή του Α = |Α| = -Α αν Α < 0 Παραδείγματα στον ορισμό του απολύτου: Απόλυτη τιμή του 5 = |5| = 5 διότι το εσωτερικό του απολύτου είναι ο θετικός 5. Απόλυτη τιμή του -5 = |-5| = -(-5) = 5 διότι το εσωτερικό του απολύτου είναι ο αρνητικός -5. Απόλυτη τιμή του 0 = |0| = 0 διότι το εσωτερικό του απολύτου είναι το 0.

Τι παρατηρώ ότι ισχύει για το |Α| και το |-Α|; Τι πρόσημο έχει το |Α| και το |-Α| ; Ισχύει η σχέση |Α| < 0 ; ΑΠ: Ισχύει η εξής σχέση: |Α| = |-Α| Δηλαδή είναι το ίδιο αποτέλεσμα, άσχετα αν το εσωτερικό του απολύτου αλλάζει πρόσημο. Παραδείγματα: |-5 | = 5 > 0 |5| = 5 > 0 |-2,35| = 2,35 > 0 |2,35| = 2,35 > 0 |-2 / 7| = 2 / 7 > 0 |2 / 7| = 2 / 7 > 0 |0| = 0 Παρατηρώ ότι το |5| και το |-5| είναι το ίδιο το 5 χωρίς πρόσημο. Δηλαδή στο απόλυτο έχω πάντα θετικό αποτέλεσμα ή το 0 άσχετα από το πρόσημο που έχει στο εσωτερικό του. Επομένως δεν ισχύει η σχέση |Α| < 0, αλλά πάντα ισχύει η εξής σχέση: |Α| ≥ 0.

Πως γράφω γρήγορα την απόλυτη τιμή (το απόλυτο) ενός αριθμού; ΑΠ: Γράφω τον αριθμό χωρίς πρόσημο, χωρίς να χρησιμοποιήσω τον ορισμό του απολύτου. Παραδείγματα: * Απόλυτη τιμή του -12 = |-12| = 12 Το απόλυτο του -12 = |-12| = 12 Απόλυτη τιμή του -1,24 = |-1,24| = 1,24 Το απόλυτο του -1,24 = |-1,24| = 1,24 Απόλυτη τιμή του -1 / 2 = |-1 / 2| = 1 / 2 Το απόλυτο του -1 / 2 = |-1 / 2| = 1 / 2 Απόλυτη τιμή του 12 = |12| = 12 Το απόλυτο του 12 = |12| = 12 Απόλυτη τιμή του 1 / 2 = |1 / 2| = 1 / 2 Το απόλυτο του 1 / 2 = |1 / 2| = 1 / 2 * * * *

Ποιες είναι οι ιδιότητες των απολύτων; ΑΠ: |Α| ≥ 0 και |Α| = 0  Α = 0 |Α| = |-Α| |Α|2 = Α2 |Α – Β| = |Β – Α| |Α + Β| ≤ |Α| + |Β| |Α.Β| = |Α|.|Β| |Α / Β| = |Α| / |Β| |Α| < θ  -θ < Α < θ όπου θ > 0  |Α| > θ  Α < -θ ή Α > θ όπου θ > 0  |Α| = θ  Α = ± θ όπου θ > 0 -θ θ Α -θ θ Α Α  |Α| = |Β|  Α = ±Β

Γιατί ισχύει η εξής ισότητα |Α - Β| = |Β - Α| ; ΑΠ: |Α - Β| = |Β - Α|  { υψώνω στο τετράγωνο για να φύγουν τα απόλυτα }  |Α - Β|2 = |Β - Α|2   (Α - Β)2 = (Β - Α)2  Ισχύει από τις ταυτότητες.

Τι σημαίνει γεωμετρικά το |Α - Β| και το |Α| ; ΑΠ: |Α - Β| = |Β - Α| = η απόσταση του Α από το Β = η απόσταση του Β από το Α. |Α| = |Α - 0| = |0 - Α| = η απόσταση του Α από το 0 = η απόσταση του 0 από το Α. Β Α Απόσταση μεταξύ των Α και Β = = Απόσταση μεταξύ των Β και Α = = |Α – Β| = = |Β – Α|

Να βρεθεί η απόσταση του 4 και του -4 από το 0. Να βρεθεί η απόσταση του -6 από το +2. ΑΠ: 4 3 4 8 Απόσταση του 4 από το 0 = |4 - 0| = |4| = 4. Απόσταση του -4 από το 0 = |(-4) - 0| = |-4| = 4. Απόσταση του -6 από το +2 = |(-6) - (+2)| = |-6 - 2 | = |-8| = 8. Απόσταση του -5 από το -2 = |(-5) - (-2)| = |-5 + 2 | = |-3| = 3.

Πως θα γράψω γρήγορα το εξής: Το Χ είναι ανάμεσα στο 2 και το 6 ; ΑΠ: 2 < Χ < 6 2 6 Χ Παραδείγματα: 3 4 5 3 < 4 < 5  το 4 είναι μεταξύ του 3 και του 5  * 1 -1 * Το 0 είναι ανάμεσα στο -1 και στο 1  -1 < 0 < 1 

Πως διαβάζεται και τι σημαίνει ο συμβολισμός Χ ϵ [2 , 6) ; ΑΠ: Διαβάζεται ως εξής: Το χ ανήκει στο διάστημα από 2 κλειστό αριστερά έως ανοιχτό δεξιά 6. Σημαίνει το εξής: Το χ είναι μεταξύ του 2 (μαζί με το 2) και του 6 (όχι με το 6)   2 ≤ χ < 6   2 Χ 6 Δηλαδή το 2 περιέχεται στο διάστημα [2 , 6) διότι είναι δίπλα σε αγκύλη [ ενώ το 6 δεν περιέχεται στο διάστημα [2 , 6) διότι είναι δίπλα σε παρένθεση )

Να βρεθεί η παράσταση Α = |Χ – 4| , όταν 10 < Χ < 20 ΑΠ: Θα εφαρμόσω τον ορισμό του απολύτου, εξετάζοντας το εσωτερικό Χ – 4 του απολύτου, αν είναι θετικό ή αρνητικό. Για το απόλυτο |Χ – 4| έχω: Είναι 10 < Χ < 20   {αφαιρώ το 4 για να δημιουργήσω το εσωτερικό Χ – 4 του απολύτου στην διπλή ανίσωση}  10 – 4 < Χ – 4 < 20 – 4  6 < Χ – 4 < 16  το Χ – 4 είναι μεταξύ του 6 και του 16, που είναι δύο θετικοί αριθμοί . Άρα και Χ – 4 > 0, οπότε |Χ – 4 | = Χ – 4, διότι το εσωτερικό αυτού του απολύτου έδειξα ότι είναι θετικό. Τελικά |Χ – 4| = Χ – 4, δηλαδή Α = |Χ – 4| = Χ – 4.

Να βρεθεί η παράσταση Α = |Χ + 4| , όταν -20 < Χ < -10 ΑΠ: Θα εφαρμόσω τον ορισμό του απολύτου, εξετάζοντας το εσωτερικό Χ + 4 του απολύτου, αν είναι θετικό ή αρνητικό. Για το απόλυτο |Χ + 4| έχω: Είναι -20 < Χ < -10   {προσθέτω το 4 για να δημιουργήσω το εσωτερικό Χ + 4 του απολύτου στην διπλή ανίσωση}  -20 + 4 < Χ + 4 < -10 + 4  -16 < Χ + 4 < -6  το Χ + 4 είναι μεταξύ του -16 και του -6, που είναι δύο αρνητικοί αριθμοί . Άρα και Χ + 4 < 0, οπότε |Χ + 4 | = -(Χ + 4), διότι το εσωτερικό αυτού του απολύτου έδειξα ότι είναι αρνητικό. Τελικά |Χ + 4| = -(Χ + 4), δηλαδή Α = |Χ + 4| = -(Χ + 4) = -Χ - 4.

Να βρεθεί η παράσταση Α = |Χ – 4| + |Χ + 4| , όταν -4 < Χ < 4 Να βρεθεί η παράσταση Α = |Χ – 4| + |Χ + 4| , όταν -4 < Χ < 4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: ■ Θα εφαρμόσω τον ορισμό του απολύτου, εξετάζοντας το εσωτερικό σε κάθε απόλυτο, αν είναι θετικό ή αρνητικό. ■ Για το πρώτο απόλυτο |Χ – 4| έχω: Είναι -4 < Χ < 4   {αφαιρώ το 4 για να δημιουργήσω το εσωτερικό Χ – 4 του πρώτου απολύτου στην διπλή ανίσωση}  -4 – 4 < Χ – 4 < 4 – 4  -8 < Χ – 4 < 0  το Χ – 4 είναι μεταξύ του -8 και του 0. Άρα Χ – 4 < 0, οπότε |Χ – 4 | = -(Χ – 4) = -Χ + 4, διότι το εσωτερικό αυτού του πρώτου απολύτου έδειξα ότι είναι αρνητικό. ■ Για το δεύτερο απόλυτο |Χ + 4| έχω:  {προσθέτω το 4 για να δημιουργήσω το εσωτερικό Χ + 4 του δεύτερου απολύτου στην διπλή ανίσωση}  -4 + 4 < Χ + 4 < 4 + 4  0 < Χ + 4 < 8  το Χ + 4 είναι μεταξύ του 0 και του 8 . Άρα Χ + 4 > 0, οπότε |Χ + 4 | = Χ + 4, διότι το εσωτερικό αυτού του δεύτερου απολύτου έδειξα ότι είναι θετικό. ■ Τελικά : Α = |Χ – 4| + |Χ + 4| = (-Χ + 4) + (Χ + 4) = -Χ + 4 + Χ + 4 = 4 + 4 = 8

Δίδεται το διπλανό τρίγωνο με μεταβαλλόμενες πλευρές α, β, γ και ισχύει σε μέτρα το εξής: 10 < α < 100 20 < β < 90 30 < γ < 80 Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών θα μπορεί να είναι η περίμετρος του Π. Μπορώ να το περιφράξω, αν αγοράσω συρματόπλεγμα μήκους 55 μέτρων; ΑΠ: γ β α 10 < α < 100 20 < β < 90 30 < γ < 80 60 < α + β + γ < 100 + 90 + 80 60 < α + β + γ < 270 +   Άρα 60 < Π < 270 Δεν μπορώ να το περιφράξω, διότι 55 < 60

Πως συμβολίζω το ριζικό; Πως συμβολίζω την τετραγωνική ρίζα; Πως συμβολίζω την ρίζα 3ης τάξης και την ρίζα 4ης τάξης; ΑΠ: ν Το ριζικό το συμβολίζω έτσι ή έτσι όπου ν = 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , …. Την τετραγωνική ρίζα την συμβολίζω έτσι όπου ν = 2 δεν φαίνεται αλλά εννοείται 3 όπου ν = 3 Την ρίζα τρίτης τάξης την συμβολίζω έτσι 4 Την ρίζα τέταρτης τάξης την συμβολίζω έτσι όπου ν = 4

Τι είναι τετραγωνική ρίζα του αριθμού θ και πως συμβολίζεται ; Τι είναι τετραγωνική ρίζα του αριθμού θ και πως συμβολίζεται ; Τι αριθμός πρέπει να είναι ο θ για να βρω την τετραγωνική του ρίζα; ΑΠ: Τετραγωνική ρίζα του αριθμού θ = θ = α  α2 = θ Δηλαδή είναι ένας αριθμός α που το τετράγωνο του (α2 = α.α), μας δίνει τον θ. Προσοχή: Ο αριθμός θ δεν πρέπει να είναι αρνητικός. Παραδείγματα: * Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 9 = 9 = 3 διότι 32 = 3.3 = 9 16 = 4 διότι 42 = 4.4 = 16 * Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 16 = = 5 διότι 52 = 5.5 = 25 οπότε - 25 = - 5 25 * Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 25 = = δεν υπάρχει διότι -25 αρνητικός (-25 < 0 ) * Τετραγωνική ρίζα του αριθμού -25 = -25 * Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 0 = = 0

Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας ; ΑΠ: Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας ; ΑΠ: 2  5 = 5  5.6 = 5 6 όταν δεν γνωρίζω αν α > 0 ή α < 0 ή α = 0 χ 2 = |χ| 5 5  = 6 6 Με αυτόν τον τύπο ο αριθμός α, βγαίνει ή μπαίνει στο ριζικό   2 = 5 . 6 5 6

Τι είναι νιοστή ρίζα του αριθμού θ και πως συμβολίζεται ; Τι είναι νιοστή ρίζα του αριθμού θ και πως συμβολίζεται ; Τι αριθμός πρέπει να είναι ο θ για να βρω την νιοστή του ρίζα; ΑΠ: ν Νιοστή ρίζα του αριθμού θ = θ = α  αν = θ Προσοχή: Ο αριθμός θ δεν πρέπει να είναι αρνητικός. 3 Παραδείγματα: * Τρίτη ρίζα του αριθμού 8 = 8 = 2 διότι 23 = 2.2.2 = 8 4 * Τετάρτη ρίζα του αριθμού 16 = 16 = 2 διότι 24 = 2.2.2.2 = 16 4 * Τετάρτη ρίζα του αριθμού 81 = 81 = 3 διότι 34 = 3.3.3.3 = 81 4 * Τετάρτη ρίζα του αριθμού -81 = -81 = δεν υπάρχει διότι -81 αρνητικός (-81 < 0 )

Ποιες είναι οι ιδιότητες της νιοστής ρίζας ; ΑΠ: Ποιες είναι οι ιδιότητες της νιοστής ρίζας ; ΑΠ: 3 3 3 3  5 . 6 = 5 . 6 = 30  3 12 3.4 4  = 5 = 5 5 12 3.4 4  5 15 = 3.5 5 = 5 5 16  Χ 16 = | Χ |  Το 16 είναι άρτιος (ζυγός). όταν δεν γνωρίζω αν α > 0 ή α < 0 ή α = 0 16 16 5  5 =  { Με αυτόν τον τύπο ο αριθμός α, βγαίνει ή μπαίνει στο ριζικό }  4 4 4  5 . 8 = 5 8

Πως διώχνω το ριζικό από τον παρανομαστή; ΑΠ: 5 = {πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τον παρανομαστή} = 3 5 3 5 3 3 5 = = = = έφυγε το ριζικό από τον παρανομαστή. 2 3 3 3 3

Διότι ισχύει «χιαστί» και με ισοδυναμία το εξής: 1 2 Γιατί ισχύει η ισότητα = 2 2 ΑΠ: Διότι ισχύει «χιαστί» και με ισοδυναμία το εξής: 1 2 1 . 2 = 2 . 2  2 = 2.2  =  2 2 2 =   2 2  2 = 2  ισχύει

ΑΠ:  Δεν υπάρχει πλέον ριζικό στον παρανομαστή.

Τι κάνω για να διώξω απόλυτα ή τετραγωνικές ρίζες, σε ισότητες που υπάρχει άγνωστο γράμμα Χ; ΑΠ: Στα απόλυτα, υψώνω και τα δύο μέλη στο τετράγωνο ■ |Χ – 5| = |2Χ – 8|  { }  |Χ – 5|2 = |2Χ – 8|2  (Χ – 5)2 = (2Χ – 8)2 Στις τετραγωνικές ρίζες, υψώνω και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, και μετά παίρνω απόλυτα. ( Χ - 5 )2 = ( 2Χ - 8 )2  ■ = 2Χ - 8 Χ - 5    |Χ – 5| = |2Χ - 8| Παρατήρηση: Στα ριζικά πρέπει να ισχύει το εξής Χ – 5 ≥ 0 και 2Χ – 8 ≥ 0

Στις νιοστές ρίζες περιττής τάξης, υψώνω και τα δύο μέλη στο ν. Χ - 5 Τι κάνω για να διώξω ριζικά νιοστής τάξης, σε ισότητες που υπάρχει άγνωστο γράμμα Χ; ΑΠ: 3 Στις νιοστές ρίζες περιττής τάξης, υψώνω και τα δύο μέλη στο ν. 3 3 3 Χ - 5 )3  ■ Χ - 5 = 2Χ - 8   ( )3 = ( 2Χ - 8  Χ – 5 = 2Χ - 8 Στις νιοστές ρίζες άρτιας τάξης, υψώνω και τα δύο μέλη στο ν και μετά παίρνω απόλυτα. 4 4 4 4 ■ Χ - 5 Χ - 5  ( )4 = ( 2Χ - 8 )4  = 2Χ - 8   |Χ – 5| = |2Χ - 8| Παρατήρηση: Στα ριζικά πρέπει να ισχύει το εξής Χ – 5 ≥ 0 και 2Χ – 8 ≥ 0

Πως κάνω τις πράξεις; ΑΠ: * (3Χ2 + 2Χ3 )(-4Χ5 + 6Χ8) = {πολύ αναλυτική λύση με επιμεριστική ιδιότητα} = = (3Χ2 + 2Χ3 )(-4Χ5 + 6Χ8) = = 3.(-4)Χ2 Χ5 + 3.6Χ2 Χ8 + 2.(-4)Χ3 Χ5 + 2.6Χ3 Χ8 = = (-12)Χ7 + 18Χ10 + (-8)Χ8 + 12Χ11 = = -12Χ7 + 18Χ10 - 8Χ8 + 12Χ11 * (3Χ2 + 2Χ3 )(-4Χ5 + 6Χ8) = {απευθείας λύση με επιμεριστική ιδιότητα} = = -12Χ7 + 18Χ10 - 8Χ8 + 12Χ11

Πως κάνω τις πράξεις; ΑΠ: * (3α2 + 2β3 )(-4α5 + 6β8) = {πολύ αναλυτική λύση με επιμεριστική ιδιότητα} = = (3α2 + 2β3 )(-4α5 + 6β8) = = 3.(-4)α2 α5 + 3.6α2 β8 + 2.(-4)β3 α5 + 2.6β3 β8 = = (-12)α7 + 18 α2 β8 + (-8)β3 α5 + 12β11 = = -12α7 + 18 α2 β8 - 8β3 α5 + 12β11 * (3α2 + 2β3 )(-4α5 + 6β8) = {απευθείας λύση με επιμεριστική ιδιότητα} = = -12α7 + 18α2β8 - 8β3α5 + 12β11

Τι συμβαίνει σε κάθε ισότητα, όταν κάποιος όρος αλλάζει μέλος; Τι συμβαίνει σε κάθε ισότητα, όταν κάποιος όρος αλλάζει μέλος; ΑΠ: Αλλάζει το πρόσημο του χ + 4 = α + β 1ο μέλος 2ο μέλος Παραδείγματα: χ + 4 = α + β  { αλλάζει μέλος το 4, άρα το πρόσημο του από + θα γίνει - }  χ = α + β – 4 * χ + 4 = α + β  { αλλάζει μέλος το α, άρα το πρόσημο του από + θα γίνει - }  χ + 4 - α = β * * χ + 4 = α + β  { αλλάζει μέλος το β, άρα το πρόσημο του από + θα γίνει - }  χ + 4 - β = α * χ + 4 = α + β  { αλλάζει μέλος το χ, άρα το πρόσημο του από + θα γίνει - }  4 = α + β – χ χ + 4 = α + β  { αλλάζουν μέλος όλα όσα είναι στο 2ο μέλος }  χ + 4 – α – β = 0 * 5χ + 8 = -9 – 2χ  { χωρίζω γνωστούς (ότι δεν έχει χ), από αγνώστους (ότι έχει χ) }  5χ + 2χ = -9 - 8 *

Μπορώ σε μια ισότητα να αλλάξω ταυτόχρονα όλα τα πρόσημα όλων των όρων της ; Πως γίνεται αυτό; ΑΠ: Ναι, σε όλους τους όρους και σε όλα τα πρόσημα ταυτόχρονα. Αυτό το κόλπο, «κρύβει» την πράξη του πολλαπλασιασμού όλων των όρων και στα δύο μέλη της ισότητας με τον αριθμό -1. Δηλαδή με αυτό το «κόλπο» αλλάζω όλα τα πρόσημα, χωρίς να αλλάζω μέλος σε κάποιον όρο της ισότητας. χ + 4 = α - κ  -χ - 4 = -α + κ * -2Χ = 10  2Χ = -10 * -Χ2 – 4Χ + 40 = Χ – 10  Χ2 + 4Χ - 40 = -Χ + 10 * -Χ2 – 5Χ + 6 = 0  Χ2 + 5Χ - 6 = 0 *

Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; ΑΠ: Οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς μόνο με τον εαυτό τους και το 1, δηλαδή οι αριθμοί: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , ….

Πως αναλύω ένα αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (γινόμενο πρώτων αριθμών) ; ΑΠ: 24 12 6 3 1 2 3 Διαιρώ το 24 με το 2 και βάζω κάτω από το 24, το πηλίκο 12 και συνεχίζω με το 2 ομοίως μέχρι να βρω αριθμό που δεν διαιρείται ακριβώς με το 2. Επαναλαμβάνω την ίδια διαδικασία διαιρώντας με το 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , …. μέχρι να εμφανιστεί κάτω αριστερά το 1. Το ζητούμενο, είναι το γινόμενο 2.2.2.3 = 23 .3 των αριθμών που είναι δεξιά από την κάθετη γραμμή. Δηλαδή 24 = 2.2.2.3 = 23 .3 2 24 2 12 6 2 3 3 1

Πως βρίσκω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Ε.Κ.Π. αριθμών; ΑΠ: 1ος τρόπος: Θα βρω το Ε.Κ.Π.(2 , 3 , 4 ) = …… Βρίσκω τα πολλαπλάσια του 2 (προσθέτω συνεχώς το 2 στο προηγούμενο) = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 , 28 , 20 , 32 , 34 , 36 , 38 , …. }. Βρίσκω τα πολλαπλάσια του 3 (προσθέτω συνεχώς το 3 στο προηγούμενο) = {3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , 39 , 42 , 45 , 48 , …. }. Βρίσκω τα πολλαπλάσια του 4 (προσθέτω συνεχώς το 4 στο προηγούμενο) = {4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , …. }. Βρίσκω τα κοινά (ίδια) πολλαπλάσια τους = {12 , 24 , 36 , …. }. Ε.Κ.Π. (2 , 3 , 4) = 12 = το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια τους.

Πως βρίσκω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Ε.Κ.Π. αριθμών; ΑΠ: 2ος τρόπος: Θα βρω το Ε.Κ.Π.(2 , 3 , 4 ) = …… 2 3 4 2 3 2 2 3 1 3 1 Διαιρώ όλους τους δεδομένους αριθμούς 2 , 3 , 4 με το 2 και βάζω κάτω από τον καθένα το πηλίκο αν διαιρούνται ακριβώς ή τον ίδιο τον αριθμό αν δεν διαιρούνται ακριβώς. Επαναλαμβάνω την ίδια διαδικασία διαιρώντας με το 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , …. μέχρι να εμφανιστεί κάτω από όλους τους αριθμούς το 1. Το ζητούμενο ΕΚΠ είναι το γινόμενο 2.2.3 όλων των αριθμών που είναι δεξιά από την κάθετη γραμμή. ΕΚΠ(2 , 3 , 4) = 2.2.3 = 12

Πως βρίσκω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Ε.Κ.Π. αριθμών; ΑΠ: 3ος τρόπος: Θα βρω το Ε.Κ.Π.(12 , 24 , 36 ) = …… Αναλύω κάθε αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Ε.Κ.Π. (12 , 24 , 36) = το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους, με τον μεγαλύτερο εκθέτη τους. 36 18 9 3 1 2 3 12 6 3 1 2 3 24 12 6 3 1 2 3 12 = 2.2.3 = 22 .3 24 = 2.2.2.3 = 23 .3  Ε.Κ.Π.(12 , 24 , 36 ) = 23 . 32 = 8 . 9 = 72 36 = 2.2.3.3 = 22 .32

Πως λύνω εξίσωση της μορφής ΑΧ = Β; ΑΠ: Παραδείγματα: ΑΧ = Β   Χ = Β / Α * 2Χ = 6  Χ = 6 / 2  Χ = 3 * S = υ.t   υ.t = S   t = S / υ * U = IR  IR = U  I = U / R * -2Χ = 6  Χ = 6 / -2  Χ = -3 Διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου Χ, δηλαδή διαιρώ με το Α. * 2Χ = -6  Χ = -6 / 2  Χ = -3 Ε = α.β  α.β = Ε  β = Ε / α * * -2Χ = -6  Χ = -6 / -2  Χ = 3 * m.γ = F  γ = F / m

Τι συμβαίνει σε μια εξίσωση ή ισότητα όταν την αναποδογυρίζω (αλλάζω την θέση των μελών μεταξύ τους) ; ΑΠ: Δεν αλλάζω πρόσημα στα μέλη της. Παραδείγματα: 5 = 10/2  10/2 = 5 Α + Β = Γ + Δ  Γ + Δ = Α + Β 10 = 5Χ  5Χ = 10 5Χ + 3 = 8Χ – 24  8Χ – 24 = 5Χ + 3 Α = Β  Β = Α

Πως πολλαπλασιάζω ή διαιρώ έναν αριθμό λ σε μια εξίσωση ή ισότητα; ΑΠ: Πολλαπλασιάζω όλους τους όρους της με τον λ. Ομοίως και όταν διαιρώ. Προσοχή: λ ≠ 0 Παραδείγματα: * 5 = 5  2.5 = 2.5  10 = 10 * 5Χ = 10  { πολλαπλασιάζω με το 2 }  2.5Χ = 2.10  10Χ = 20 * 10Χ = 20  { διαιρώ με το 2 }  10Χ / 2 = 20 / 2  5Χ = 10 * 10Χ + 4Χ = 8Χ - 20  { πολλαπλασιάζω με το 2 }  2.10Χ + 2.4Χ = 2.8Χ - 2.20  20Χ + 8Χ = 16Χ - 40 * 40Χ + 4Χ = 8Χ - 20  { διαιρώ με το 4 }  40Χ/4 + 4Χ/4 = 8Χ/4 - 20/4  10Χ + Χ = 2Χ - 5

Πως προσθέτω ή αφαιρώ έναν αριθμό λ σε μια εξίσωση ή ισότητα; ΑΠ: Τον προσθέτω και στα δύο μέλη της ταυτόχρονα. Ομοίως και όταν αφαιρώ. Παραδείγματα: * 10 = 10  10 + 2 = 10 + 2  12 = 12 * 10 = 10  10 - 2 = 10 - 2  8 = 8 * 5Χ = 10  { προσθέτω με το 2 }  2 + 5Χ = 2 + 10  2 + 5Χ = 12 * 10Χ = 20  { αφαιρώ με το 2 }  10Χ - 2 = 20 - 2  10Χ - 2 = 18 * 10Χ + 4Χ = 8Χ - 20  { προσθέτω με το 2 }  2 +10Χ + 4Χ = 2 +8Χ - 20  2 + 14Χ = 8Χ - 18 * 40Χ + 4Χ = 8Χ - 20  { αφαιρώ με το 4 }  40Χ + 4Χ - 4 = 8Χ - 20 - 4  44Χ - 4 = 8Χ - 24

Πως λύνω εξίσωση της μορφής ΑΧ + Β = ΓΧ + Δ ; ΑΠ: Πως λύνω εξίσωση της μορφής ΑΧ + Β = ΓΧ + Δ ; ΑΠ: Να λυθεί η εξίσωση: 5Χ + 4 = 7Χ + 8  5Χ – 7Χ = 8 – 4  -2Χ = 4  Χ = 4 / -2   Χ = -2 Χωρίζω γνωστούς (έχουν το Χ) από αγνώστους (δεν έχουν το Χ), ότι περνά από το ίσον, αλλάζει το πρόσημο του.  Κάνω τις πράξεις  Διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου Χ, δηλαδή διαιρώ με το -2 Προσοχή: Το -2 άλλαξε μέλος αλλά ήταν «κολλημένο» με το χ σε γινόμενο -2.χ = -2χ και δεν ήταν μόνο του ως -2 για να αλλάξει το πρόσημό του. Δηλαδή το -2 δεν ήταν ξεχωριστός όρος.

Πως λύνω εξίσωση της μορφής Πως λύνω εξίσωση της μορφής Α Χ =  Δηλαδή δύο κλάσματα με το Χ σε αριθμητή. Β Γ ΑΠ:  Πολλαπλασιάζω «χιαστί» από τις αναλογίες Διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου Χ, δηλαδή με το 5 Προσοχή: Το 5 άλλαξε μέλος αλλά ήταν «κολλημένο» με το χ σε γινόμενο 5.χ = 5χ και δεν ήταν μόνο του ως 5 για να αλλάξει το πρόσημό του. Δηλαδή το 5 δεν ήταν ξεχωριστός όρος.

Πως λύνω εξίσωση της μορφής |ΒΧ + Γ| = θ όπου θ > 0. ΑΠ: Εφαρμόζω την σχέση |Α| = θ  Α = ± θ όπου θ > 0. { εδώ Α = 5Χ – 10 και θ = 2 } 

Πως λύνω εξίσωση της μορφής |ΓΧ + Δ| = |ΕΧ + Ζ|; ΑΠ: { Εφαρμόζω την σχέση |Α| = |Β|  Α = ± Β } 

Παρατήρηση: Αντί να πολλαπλασιάσω με το Ε.Κ.Π., μπορώ να κάνω το ίδιο Εξίσωση με κλάσματα. Το χ είναι σε αριθμητή. Παρατήρηση: Αντί να πολλαπλασιάσω με το Ε.Κ.Π., μπορώ να κάνω το ίδιο ακριβώς με το γινόμενο 12 των παρανομαστών ή με οποιοδήποτε άλλο αριθμό, που όμως διαιρείτε ακριβώς με όλους τους παρανομαστές π.χ. με το 24. Με το Ε.Κ.Π. όμως θα έχω μικρότερα νούμερα, άρα μεγαλύτερη ευκολία πράξεων. Παρατήρηση: Μπορώ εδώ να κάνω απαλοιφή των παρανομαστών και «χιαστί»

Θα λύσω δίπλα την εξίσωση, πολύ αναλυτικά χ - 1 χ + 4 + = 5 2 3 χ - 1 Πολλαπλασιάζω όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π.(2 , 3 ) = 6 ή με το γινόμενο όλων των παρανομαστών ή με έναν αριθμό που διαιρείται ακριβώς με όλους τους παρανομαστές π.χ. 12, 18, 24, 30, …… 2 3 χ - 1 6. + 6. χ + 4 = 6.5 2 3 = 30 Το χ είναι σε αριθμητή.  Διαιρώ το 6 με κάθε παρανομαστή (κάνω απλοποίηση). 3(χ – 1) + 2(χ + 4) 3χ - 3 + 2χ + 8 = 30 Έφυγαν οι παρανομαστές (απαλοιφή). Κάνω τις πράξεις (επιμεριστικές). 3χ + 2χ = 30 + 3 - 8  Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους. 5χ = 33 - 8  Προσθέτω ή αφαιρώ σε κάθε μέλος. 5χ = 25 χ = 25 / 5  Διαιρώ με τον συντελεστή 5, του αγνώστου χ. χ = 5  Η ζητούμενη λύση της αρχικής εξίσωσης είναι η χ = 5.

(α + β)υ Θα λύσω δίπλα την ισότητα, ως προς α. Δηλαδή αριστερά (α + β)υ Θα λύσω δίπλα την ισότητα, ως προς α. Δηλαδή αριστερά από το ίσον στο 1ο μέλος, θα υπάρχει μόνο το α. Πολλαπλασιάζω όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών = 2 ή με το γινόμενο όλων των παρανομαστών ή με έναν αριθμό που διαιρείται ακριβώς με όλους τους παρανομαστές π.χ. 4 , 6 , 8, 10 , 12, …… Ε = 2 (α + β)υ 2Ε = 2. 2  Διαιρώ το 2 με κάθε παρανομαστή (κάνω απλοποίηση). 2Ε = (α + β)υ Ο άγνωστος α είναι σε αριθμητή. αυ + βυ 2Ε = Έφυγαν οι παρανομαστές (απαλοιφή). Κάνω τις πράξεις (επιμεριστικές). -αυ = βυ - 2Ε  Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους. Άγνωστος είναι ο α. αυ = -βυ + 2Ε Αλλάζω παντού τα πρόσημα, διότι θέλω να βρω το α και όχι το - α. αυ = 2Ε - βυ Αντιμεταθέτω αν θέλω, την θέση του -βυ και του 2Ε, που είναι στο ίδιο 2ο μέλος της ισότητας. 2Ε - βυ α = Το α είναι μόνο του στο 1ο μέλος της ισότητας. Δηλαδή έχω λύσει την αρχική ισότητα ως προς το α. υ Παρατήρηση: Μπορώ εδώ να κάνω απαλοιφή του παρανομαστή 2 και «χιαστί»

Εξίσωση της μορφής ΑΧ2 = Β Παράδειγμα: Χ2 = 9  Χ = ; ΑΠ: Α = 1 , Β = 9  1Χ2 = 9  Χ2 = 9 / 1  Χ2 = 9 Μέθοδος λύσης: ΑΧ2 = Β  Χ = ± Β/Α

Να λυθούν οι εξισώσεις: * *

Να λυθεί η εξίσωση:

Να λυθεί η εξίσωση:

Να λυθεί η εξίσωση:

Πως λύνω εξίσωση με ριζικά; Παράδειγμα: =  { υψώνω και τα δύο μέλη στο τετράγωνο (δηλαδή στο 2) για να φύγουν τα ριζικά }  ■ Χ - 1 2 2  ( ) = 2 Χ - 1  Χ – 1 = 4  Χ = 4 + 1  Χ = 5 ■ Εξετάζω τώρα, αν η λύση Χ = 5, επαληθεύει την αρχική εξίσωση. Αν δεν την επαληθεύει, τότε την απορρίπτω. = 2  4 = 2  2 = 2  ισχύει. 5 - 1 ■ Τελικά η λύση της εξίσωσης είναι η Χ = 5  δεκτή διότι την επαληθεύει.

Πως λύνω εξίσωση με ριζικά; Παράδειγμα:  = 3Χ ■ 5Χ - 6  { υψώνω και τα δύο μέλη στο τετράγωνο (δηλαδή στο 2) για να φύγουν τα ριζικά }  2 ) 2 = ( 3Χ ) 5Χ – 6 = 3Χ  5Χ – 3Χ = 6  2Χ = 6  Χ = 6 / 2  Χ = 3.  (  5Χ - 6 ■ Εξετάζω τώρα, αν η λύση Χ = 3, επαληθεύει την αρχική εξίσωση. Αν δεν την επαληθεύει, τότε την απορρίπτω. 5.3 - 6 = 3.3  15 - 6 = 9  9 = 9  3 = 3  ισχύει. ■ Τελικά η λύση της εξίσωσης είναι η Χ = 3  δεκτή διότι την επαληθεύει.

Χ1 = -0,22449  Κάνω επαλήθευση  Χ2 = 1 

Να λυθούν οι ανισώσεις: ΑΠ:  Την λύνω σαν εξίσωση  διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου, δηλαδή με το 2 -∞ 5 +∞ Χ Παρατηρώ ότι η λύση της ανίσωσης είναι σύνολο με άπειρους αριθμούς > 5  Την λύνω σαν εξίσωση  διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου, δηλαδή με το -2 -∞ -5 -∞ Χ Παρατηρώ ότι η λύση της ανίσωσης είναι σύνολο με άπειρους αριθμούς < -5

Τι συμβαίνει σε μια ανίσωση αν αλλάξω παντού τα πρόσημα των όρων της; ΑΠ: Αλλάζει ταυτόχρονα και η φορά της ανίσωσης. Δηλαδή το > θα γίνει < Παραδείγματα: 5Χ > 10  -5Χ < -10 5Χ > -10  -5Χ < 10 -5Χ > -10  5Χ < 10 -5Χ > 10  5Χ < -10 Αυτό συμβαίνει διότι είναι «κρυμμένη» η διαίρεση ή ο πολλαπλασιασμός που γίνεται και στα δύο μέλη με το -1

Τι συμβαίνει σε μια ανίσωση όταν την αναποδογυρίζω (αλλάζω την θέση των μελών μεταξύ τους) ; ΑΠ: Αλλάζω ταυτόχρονα και την φορά ( το > γίνεται < ) της ανίσωσης. Παραδείγματα: * 5 > 2  2 < 5 * α + β > γ  γ < α + β * 5Χ < 10  10 > 5Χ * Α < Β  Β > Α * 2 < Χ < 10  10 > Χ > 2

Πως λύνω ανίσωση της μορφής ΑΧ + Β > ΓΧ + Δ ; Πως λύνω ανίσωση της μορφής ΑΧ + Β > ΓΧ + Δ ; ΑΠ: Την λύνω σαν εξίσωση. Να λυθεί η ανίσωση: 5Χ + 4 > 7Χ + 8  5Χ – 7Χ > 8 – 4  -2Χ > 4  Χ < 4 / -2   Χ < -2 Χωρίζω γνωστούς (έχουν το Χ) από αγνώστους (δεν έχουν το Χ), ότι περνά από το ίσον, αλλάζει το πρόσημο του.  Κάνω τις πράξεις Διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου Χ, δηλαδή διαιρώ με το -2. Επειδή -2 < 0, η φορά της ανίσωσης αλλάζει. Προσοχή: Το -2 άλλαξε μέλος αλλά ήταν «κολλημένο» με το χ σε γινόμενο -2.χ = -2χ και δεν ήταν μόνο του ως -2 για να αλλάξει το πρόσημό του. Δηλαδή το -2 δεν ήταν ξεχωριστός όρος. -2 Χ

Πως λύνω ανίσωση της μορφής Πως λύνω ανίσωση της μορφής Α Χ >  Δηλαδή δύο κλάσματα με το Χ σε αριθμητή.  Την λύνω σαν εξίσωση. Β Γ ΑΠ: >  Πολλαπλασιάζω «χιαστί» . > Διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου Χ, δηλαδή με το 5. Επειδή 5 > 0, η φορά της ανίσωσης δεν αλλάζει. > > Προσοχή: Το 5 άλλαξε μέλος αλλά ήταν «κολλημένο» με το χ σε γινόμενο 5.χ = 5χ και δεν ήταν μόνο του ως 5 για να αλλάξει το πρόσημό του. Δηλαδή το 5 δεν ήταν ξεχωριστός όρος. > 4

Πως λύνω ανίσωση της μορφής |ΒΧ + Γ| < θ όπου θ > 0. ΑΠ: Εφαρμόζω την εξής σχέση: |Α| < θ  -θ < Α < θ από τα απόλυτα. |2Χ + 6| < 3  -3 < 2Χ + 6 < 3  { προσθέτω παντού το -6, για να διώξω το +6 μέσα στο απόλυτο }  Α Α -3 - 6 < 2Χ + 6 - 6 < 3 - 6  -9 < 2Χ < -3  { Για να πάρω μόνο του το Χ, διαιρώ με τον συντελεστή 2 του Χ. Δεν αλλάζει η φορά διότι 2 > 0 }  -9/2 < 2Χ/2 < -3/2   -9/2 < Χ < -3/2  -4,5 < Χ < -1,5 -9/2 -3/2 Χ

{ Το Χ όχι σε παρανομαστή. Την λύνω σαν εξίσωση }  Ανίσωση με κλάσματα: < { Το Χ όχι σε παρανομαστή. Την λύνω σαν εξίσωση }  < < < < Παρατήρηση: Αντί να πολλαπλασιάσω με το Ε.Κ.Π., μπορώ να κάνω το ίδιο ακριβώς με το γινόμενο 12 των παρανομαστών ή με οποιοδήποτε άλλο αριθμό, που όμως διαιρείτε ακριβώς με όλους τους παρανομαστές π.χ. με το 24. Με το Ε.Κ.Π. όμως θα έχω μικρότερα νούμερα, άρα μεγαλύτερη ευκολία πράξεων. < { Το -7 < 0, αλλάζει η φορά }  > 29/7 > Παρατήρηση: Μπορώ εδώ να κάνω απαλοιφή των παρανομαστών και «χιαστί»

Θα λύσω δίπλα την ανίσωση, πολύ αναλυτικά. Το χ όχι σε παρανομαστή. Την λύνω σαν εξίσωση: Θα λύσω δίπλα την ανίσωση, πολύ αναλυτικά. Το χ όχι σε παρανομαστή. χ - 1 χ + 4 + < = 5 Πολλαπλασιάζω όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π.(2 , 3 ) = 6 ή με το γινόμενο όλων των παρανομαστών ή με έναν αριθμό που διαιρείται ακριβώς με όλους τους παρανομαστές π.χ. 12, 18, 24, 30, …… 2 3 χ - 1 6. + 6. χ + 4 < = 6.5 2 3 < = 30  Διαιρώ το 6 με κάθε παρανομαστή (κάνω απλοποίηση). 3(χ – 1) + 2(χ + 4) 3χ - 3 + 2χ + 8 = 30 < Έφυγαν οι παρανομαστές (απαλοιφή). Κάνω τις πράξεις (επιμεριστικές). 3χ + 2χ = 30 + 3 - 8 <  Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους. 5χ = 33 - 8 <  Προσθέτω ή αφαιρώ σε κάθε μέλος. 5χ = 25 <  Δεν αλλάζει η φορά, διότι 5 > 0 χ = 25 / 5 <  Διαιρώ με τον συντελεστή 5, του αγνώστου χ. χ < 5  Η ζητούμενη λύση της αρχικής ανίσωσης είναι η χ < 5. 5

Το ίδιο ακριβώς κάνω και σε ανίσωση. Πως βρίσκω αν ένας αριθμός λ είναι λύση σε μια εξίσωση ή σε μια ανίσωση ; ΑΠ: Αντικαθιστώ στην εξίσωση τον αριθμό λ στην θέση του αγνώστου Χ και κάνω όλες τις πράξεις. Αν το τελικό αποτέλεσμα επαληθεύει την εξίσωση, τότε ο αριθμός λ είναι λύση αυτής της εξίσωσης. Το ίδιο ακριβώς κάνω και σε ανίσωση. Παραδείγματα: * Να βρεθεί αν ο αριθμός 2 είναι λύση της εξίσωσης Χ2 – 5Χ + 6 = 0. ΑΠ: Για Χ = 2  22 – 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 10 – 10 = 0  ισχύει, δηλαδή ο αριθμός 2 επαληθεύει την εξίσωση. Άρα ο αριθμός 2 είναι λύση της εξίσωσης. * Να βρεθεί αν ο αριθμός 1 είναι λύση της εξίσωσης Χ2 – 5Χ + 6 = 0. ΑΠ: Για Χ = 1  12 – 5.1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 7 – 5 = 2 ≠ 0  δεν ισχύει, δηλαδή ο αριθμός 1 δεν επαληθεύει την εξίσωση. Άρα ο αριθμός 1 δεν είναι λύση της εξίσωσης. * Να βρεθεί αν ο αριθμός 2 είναι στη λύση της ανίσωσης 5Χ – 15 > 0. ΑΠ: Για Χ = 2  5.2 – 15 = 10 – 15 = - 5 < 0  δεν ισχύει, δηλαδή ο αριθμός 2 δεν επαληθεύει την ανίσωση. Άρα ο αριθμός 2 δεν είναι στη λύση της ανίσωσης. * Να βρεθεί αν ο αριθμός 12 είναι στη λύση της ανίσωσης 5Χ – 15 > 0. ΑΠ: Για Χ = 12  5.12 – 15 = 60 – 15 = 45 > 0  ισχύει, δηλαδή ο αριθμός 12 επαληθεύει την ανίσωση. Άρα ο αριθμός 12 είναι στη λύση της ανίσωσης.

Να εξετασθεί αν ο αριθμός Χ = 1 είναι λύση της εξίσωσης 5Χ – 1 = 3Χ + 2 ΑΠ: Αντικαθιστώ το Χ με το 1 και εξετάζω αν επαληθεύει την εξίσωση. Δηλαδή μετά από τις πράξεις, αν το 1ο μέλος είναι ίσο με το 2ο μέλος. 5.1 – 1 = 3.1 + 2  5 – 1 = 3 + 2  4 = 5  δεν ισχύει, άρα ο Χ = 1 δεν επαληθεύει την εξίσωση, δηλαδή ο αριθμός Χ = 1 δεν είναι λύση της εξίσωσης.

Αντικαθιστώ το Χ με το 1 και εξετάζω αν επαληθεύει την ανίσωση. Να εξετασθεί αν ο αριθμός Χ = 1 είναι στη λύση της ανίσωσης 5Χ – 1 > 3Χ + 2 ΑΠ: Αντικαθιστώ το Χ με το 1 και εξετάζω αν επαληθεύει την ανίσωση. Δηλαδή μετά από τις πράξεις, αν το 1ο μέλος είναι μεγαλύτερο ( > ) από το 2ο μέλος. 5.1 – 1 > 3.1 + 2  5 – 1 > 3 + 2  4 > 5  δεν ισχύει, άρα ο Χ = 1 δεν επαληθεύει την ανίσωση, δηλαδή ο αριθμός Χ = 1 δεν είναι στη λύση της ανίσωσης. Η λύση της ανίσωσης 5Χ - 1 > 3Χ + 2 είναι η εξής: 5Χ – 1 > 3Χ + 2   5Χ – 3Χ > 1 + 2   2Χ > 3  Χ > 3/2  Χ > 1,5 Παρατηρώ ότι ο αριθμός 1 δεν ανήκει στην περιοχή λύσης της ανίσωσης.

1ος τρόπος: ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ : Γιατί ο αριθμός 2 δεν είναι στη λύση της ανίσωσης 5Χ – 15 > 0 ενώ ο αριθμός 12 είναι στη λύση ; 1ος τρόπος: ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ : * Θέτω στο 1ο μέλος στην ανίσωση, όπου Χ τον αριθμό 2 και κάνω όλες της πράξεις: 5Χ – 15 = 5.2 – 15 = 10 – 15 = -15 που είναι αρνητικός αριθμός, δηλαδή -15 < 0. Από την εκφώνηση όμως, η ανίσωση στο δεύτερο μέλος έχει > 0, δηλαδή απαιτεί θετικό τελικό αποτέλεσμα. Η αντικατάσταση όμως του Χ με το 2, έφερε τελικό αποτέλεσμα το -15, δηλαδή αρνητικό αριθμό και όχι θετικό. Δεν ισχύει λοιπόν η επαλήθευση της ανίσωσης για Χ = 2, επομένως το 2 δεν ανήκει στην περιοχή λύσης της ανίσωσης. Η λύση της ανίσωσης 5Χ – 15 > 0 είναι η εξής: 5Χ – 15 > 0   5Χ> 15   Χ > 15/5  Χ > 3 Παρατηρώ ότι ο αριθμός 12 ανήκει στην περιοχή λύσης της ανίσωσης, ενώ ο αριθμός 2 δεν ανήκει. 12 -∞ 2 3 +∞ * Θέτω στο 1ο μέλος στην ανίσωση, όπου Χ τον αριθμό 12 και κάνω όλες της πράξεις: 5Χ – 15 = 5.12 – 15 = 60 – 15 = 45 που είναι θετικός αριθμός, δηλαδή 45 > 0. Από την εκφώνηση, η ανίσωση στο δεύτερο μέλος έχει > 0, δηλαδή απαιτεί θετικό τελικό αποτέλεσμα. Η αντικατάσταση του Χ με το 12, έφερε τελικό αποτέλεσμα το 45, δηλαδή θετικό αριθμό. Ισχύει λοιπόν η επαλήθευση της ανίσωσης για Χ = 12, επομένως το 12 ανήκει στην περιοχή λύσης της ανίσωσης.

Γιατί ο αριθμός 2 δεν είναι στη λύση της ανίσωσης 5Χ – 15 > 0 ενώ ο αριθμός 12 είναι στη λύση ; 2ος τρόπος: ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΠΛΗ : * Θέτω στην ανίσωση όπως είναι, όπου Χ τον αριθμό 2 και κάνω όλες της πράξεις : 5.2 – 15 > 0  10 - 15 > 0  -5 > 0  δεν ισχύει διότι το -5 είναι αρνητικός αριθμός, επομένως μικρότερος από το 0. Θέτω στην ανίσωση όπως είναι, όπου Χ τον αριθμό 12 και κάνω όλες της πράξεις: * 5.12 – 15 > 0  60 - 15 > 0  45 > 0  ισχύει διότι το 45 είναι θετικός αριθμός, επομένως μεγαλύτερος από το 0.

άξονα των Πραγματικών αριθμών ; Τι παρατηρώ ότι ισχύει στην λύση μιας εξίσωσης και της αντίστοιχης ανίσωσης, πάνω στον άξονα των Πραγματικών αριθμών ; Παράδειγμα: 5Χ – 10 = 0  5Χ = 10  Χ = 10/5  Χ = 2. 5Χ – 10 > 0  5Χ > 10  Χ > 10/5  Χ > 2. 5Χ – 10 < 0  5Χ < 10  Χ < 10/5  Χ < 2. Η εξίσωση 5Χ – 10 = 0 έχει συγκεκριμένη λύση τον μοναδικό αριθμό Χ = 2 πάνω στον άξονα των Πραγματικών αριθμών, ενώ η ανίσωση 5Χ – 10 > 0 ή η ανίσωση 5Χ – 10 < 0, έχουν άπειρες λύσεις ( διάστημα ). -∞ 2 +∞  5Χ – 10 > 0  Χ > 2 -∞ 2 +∞ 5Χ – 10 < 0  Χ < 2 

Πως θα γράψω γρήγορα το εξής: Το Α είναι θετικό. Πως θα γράψω γρήγορα το εξής: Το Β είναι αρνητικό. Ποιο είναι τότε, το πρόσημο του Α και του Β ; ΑΠ: Το Α είναι θετικό  Α > 0  Το πρόσημο του Α είναι το + Το Β είναι αρνητικό  Β < 0  Το πρόσημο του Β είναι το - Παραδείγματα: * Το 23 είναι θετικό  23 > 0  Το πρόσημο του 23 είναι το + * Το -123 είναι αρνητικό  -123 < 0  Το πρόσημο του -123 είναι το - * Το 5Χ – 658 είναι θετικό  5Χ - 658 > 0  Το πρόσημο του 5Χ – 658 είναι το + * Το 8Χ2 – 12Χ - 4 είναι θετικό  8Χ2 – 12Χ - 4 > 0  Το πρόσημο του 8Χ2 – 12Χ - 4 είναι το + * Το Χ2 + 4Χ - 9 είναι αρνητικό  Χ2 + 4Χ - 9 < 0  Το πρόσημο του Χ2 + 4Χ - 9 είναι το -

Τι είναι το τριώνυμο και τι είναι το πρόσημο τριωνύμου; ΑΠ: Τι είναι το τριώνυμο και τι είναι το πρόσημο τριωνύμου; ΑΠ: Α = 1 Β = 1  ΑΧ2 + ΒΧ + Γ = 1Χ2 + 1Χ + 2 = Χ2 + Χ + 2 Γ = 2 Το τριώνυμο  ΑΧ2 + ΒΧ + Γ  Παράδειγμα: Παραδείγματα: ■ Στο τριώνυμο Χ2 + Χ + 2, βάζω στη θέση του Χ τον αριθμό 1 και κάνω όλες τις πράξεις. Βρίσκω 12 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 3. Παρατηρώ ότι το πρόσημο του 3 που βρήκα είναι το + . Άρα το πρόσημο του τριωνύμου Χ2 + Χ + 2 για Χ = 1, είναι το + δηλαδή το τριώνυμο Χ2 + Χ + 2 γίνεται θετικό (Χ2 + Χ + 2 > 0), όταν Χ = 1. Στο τριώνυμο Χ2 + 2Χ + 5, βάζω στη θέση του Χ τον αριθμό 0 και κάνω όλες τις πράξεις. Βρίσκω 02 + 2.0 + 5 = 0 + 0 + 5 = 5. Παρατηρώ ότι το πρόσημο του 5 που βρήκα είναι το + . Άρα το πρόσημο του τριωνύμου Χ2 + 2Χ + 5 για Χ = 0, είναι το + δηλαδή το τριώνυμο Χ2 + 2Χ + 5 γίνεται θετικό (Χ2 + 2Χ + 5 > 0), όταν Χ = 0. Στο τριώνυμο Χ2 + Χ - 10 βάζω στη θέση του Χ τον αριθμό 1 και κάνω όλες τις πράξεις. Βρίσκω 12 + 1 - 10 = 1 + 1 - 10 = -8. Παρατηρώ ότι το πρόσημο του -8 που βρήκα είναι το - . Άρα το πρόσημο του τριωνύμου Χ2 + Χ - 10 για Χ = 1, είναι το - δηλαδή το τριώνυμο Χ2 + Χ - 10 γίνεται αρνητικό (Χ2 + Χ - 10 < 0), όταν Χ = 1. ■ ■

Το πρόσημο του τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ με πίνακα. Όλες οι περιπτώσεις. Το πρόσημο του τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ με πίνακα. Όλες οι περιπτώσεις. Χ -∞ Χ1 Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ > 0 Ομόσημο του Α Ετερόσημο του Α ο ο Δ > 0  Έχω δύο διαφορετικές ρίζες Χ1 , Χ2 Ομόσημο του Α = ίδιο πρόσημο με το Α Ετερόσημο του Α = διαφορετικό πρόσημο με το Α Χ -∞ Χ1 = Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ = 0 Ομόσημο του Α ο Δ = 0  Έχω δύο ίσες ρίζες (διπλή ρίζα) Χ1 = Χ2 Χ -∞ +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ < 0 Ομόσημο του Α Δ < 0  Δεν έχω ρίζες. Τελικά:

Πως βρίσκω με πίνακα, το πρόσημο του τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ ; ΑΠ: Βρίσκω το πρόσημο του Α. Δ = Β2 – 4ΑΓ Χ1 Βρίσκω το πρόσημο της διακρίνουσας Δ και τις ρίζες Χ1 , Χ2. Χ2 Είναι το ίδιο με το πρόσημο του αριθμού Α, εκτός από την περίπτωση που η διακρίνουσα Δ είναι θετική και ο Χ είναι μεταξύ των δύο ριζών Χ1 και Χ2, οπότε στην περιοχή αυτή είναι διαφορετικό από το πρόσημο που έχει ο Α.

Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου Χ2 + 5Χ + 4. Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου Χ2 + 5Χ + 4. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: Α = 1 > 0 → (πρόσημο του Α είναι το +) Β = 5 Γ = 4 Δ = Β2 – 4ΑΓ = 52 – 4.1.4 = 25 – 16 = 9 > 0 → (πρόσημο του Δ είναι το +) -5 - 3 -8 = = -4  Χ1 = -4 2 2 -Β ± Δ -5 ± 9 -5 ± 3 Χ = = = = 2 2Α 2.1 -5 + 3 -2 = = 1  Χ2 = -1 2 2 Χ -∞ Χ1 Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ > 0 Ομόσημο του Α Ετερόσημο του Α ο ο Χ -∞ -4 1 +∞ Χ2 + 5Χ + 4 + _ ο ο  Το ζητούμενο πρόσημο του τριωνύμου

Πως λύνω την ανίσωση τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ > 0. Πως λύνω την ανίσωση τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ > 0. ΑΠ: Βρίσκω τον πίνακα με το πρόσημο του τριωνύμου. Από την εκφώνηση της άσκησης έχω > 0 δηλαδή +, οπότε λύση της ανίσωσης είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του πίνακα με το + εκτός από τις ρίζες Χ1 και Χ2 για τις οποίες το τριώνυμο μηδενίζεται.

Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 5Χ + 4 > 0 Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 5Χ + 4 > 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: Α = 1 > 0 → (πρόσημο του Α είναι το +) Β = 5 Γ = 4 Δ = Β2 – 4ΑΓ = 52 – 4.1.4 = 25 – 16 = 9 > 0 → (πρόσημο του Δ είναι το +) ο -5 - 3 -8 = = -4 2 2 -Β ± Δ -5 ± 9 -5 ± 3 Χ = = = = 2 2Α 2.1 -5 + 3 -2 = = -1 2 2 Χ -∞ Χ1 Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ > 0 Ομόσημο του Α Ετερόσημο του Α ο ο Χ -∞ -4 -1 +∞ Χ2 + 5Χ + 4 + _ ο ο ← Από την εκφώνηση της άσκησης έχω > 0 δηλαδή +, οπότε λύση της ανίσωσης είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του πίνακα με το + εκτός από τις ρίζες -4 και -1 για τις οποίες το τριώνυμο μηδενίζεται.

Πως λύνω την ανίσωση τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ < 0. Πως λύνω την ανίσωση τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ < 0. ΑΠ: Βρίσκω τον πίνακα με το πρόσημο του τριωνύμου. Από την εκφώνηση της άσκησης έχω < 0 δηλαδή -, οπότε λύση της ανίσωσης είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του πίνακα με το - εκτός από τις ρίζες Χ1 και Χ2 για τις οποίες το τριώνυμο μηδενίζεται.

Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 5Χ + 4 < 0 Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 5Χ + 4 < 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: Α = 1 > 0 → (πρόσημο του Α είναι το +) Β = 5 Γ = 4 Δ = Β2 – 4ΑΓ = 52 – 4.1.4 = 25 – 16 = 9 > 0 → (πρόσημο του Δ είναι το +) -5 - 3 -8 = = -4 2 2 -Β ± Δ -5 ± 9 -5 ± 3 Χ = = = = 2 2Α 2.1 -5 + 3 -2 = = -1 2 2 Χ -∞ Χ1 Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ > 0 Ομόσημο του Α Ετερόσημο του Α ο ο Ομόσημο του Α = ίδιο πρόσημο με το Α Ετερόσημο του Α = διαφορετικό πρόσημο με το Α Χ -∞ -4 -1 +∞ Χ2 + 5Χ + 4 + _ ο ο ← Από την εκφώνηση της άσκησης έχω < 0 δηλαδή -, οπότε λύση της ανίσωσης είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του πίνακα με το - εκτός από τις ρίζες -4 και -1 για τις οποίες το τριώνυμο μηδενίζεται.

Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου Χ2 + 2Χ + 1 Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου Χ2 + 2Χ + 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: Α = 1 > 0 → (πρόσημο του Α είναι το +) Β = 2 Γ = 1 Δ = Β2 – 4ΑΓ = 22 – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 → (πρόσημο του Δ είναι το +) -2 - 0 -2 = = -1 2 2 -Β ± Δ -2 ± -2 ± Χ = = = = 2 2Α 2.1 -2 + 0 -2 = = -1 2 2 Χ -∞ Χ1 = Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ = 0 Ομόσημο του Α ο Χ -∞ -1 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ = 0 +  Το ζητούμενο πρόσημο του τριωνύμου ο

Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 2Χ + 1 > 0 Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 2Χ + 1 > 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: Α = 1 > 0 → (πρόσημο του Α είναι το +) Β = 2 Γ = 1 Δ = Β2 – 4ΑΓ = 22 – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 → (πρόσημο του Δ είναι το +) -2 - 0 -2 = = -1 2 2 -Β ± Δ -2 ± -2 ± Χ = = = = 2 2Α 2.1 -2 + 0 -2 = = -1 2 2 Χ -∞ Χ1 = Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ = 0 Ομόσημο του Α ο Ομόσημο του Α = ίδιο πρόσημο με το Α Χ -∞ -1 +∞ Χ2 + 2Χ + 1 + ← Από την εκφώνηση της άσκησης έχω > 0 δηλαδή +, οπότε λύση της ανίσωσης είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του πίνακα με το + εκτός από το -1 για το οποίο το τριώνυμο μηδενίζεται. ο

Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 2Χ + 1 < 0 Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 2Χ + 1 < 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: Α = 1 > 0 → (πρόσημο του Α είναι το +) Β = 2 Γ = 1 Δ = Β2 – 4ΑΓ = 22 – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 → (πρόσημο του Δ είναι το +) -2 - 0 -2 = = -1 2 2 -Β ± Δ -2 ± -2 ± Χ = = = = 2 2Α 2.1 -2 + 0 -2 = = -1 2 2 Χ -∞ Χ1 = Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ = 0 Ομόσημο του Α ο ← Από την εκφώνηση της άσκησης έχω < 0 δηλαδή -, οπότε λύση της ανίσωσης είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του πίνακα με το - εκτός από το -1 για το οποίο το τριώνυμο μηδενίζεται. Δεν υπάρχει όμως στον πίνακα το - οπότε δεν υπάρχει γραμμοσκιασμένο μέρος. Άρα η ανίσωση είναι αδύνατη. Χ -∞ -1 +∞ Χ2 + 2Χ + 1 + ο

Το πρόσημο του τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ, Να γίνει πίνακας πρόσημου για το τριώνυμο -Χ2 - 5Χ + 6 και να γραμμοσκιαστεί η περιοχή που το τριώνυμο είναι θετικό. ΑΠ: Το πρόσημο του τριωνύμου ΑΧ2 + ΒΧ + Γ, είναι το ίδιο με το πρόσημο του αριθμού Α, εκτός από την περίπτωση που η διακρίνουσα Δ είναι θετική και ο Χ είναι μεταξύ των δύο ριζών Χ1 και Χ2, οπότε στην περιοχή αυτή είναι διαφορετικό από το πρόσημο που έχει ο Α. Το τριώνυμο -Χ2 - 5Χ + 6 έχει: Α = -1 < 0. Δ = διακρίνουσα = 1 > 0 και ρίζες Χ1 = -6 , Χ2 = 1. ο ο Δηλαδή το αρχικό τριώνυμο είναι θετικό (+) όταν το Χ είναι μεταξύ του -6 και του 1, ενώ είναι αρνητικό (-) όταν το Χ είναι μικρότερο από το -6 και μεγαλύτερο από το 1. Για Χ = -6 και Χ = 1 το τριώνυμο μηδενίζεται.

Δ = διακρίνουσα = 0 οπότε έχει δύο ίσες ρίζες Χ1 = Χ2 = 1. Να γίνει πίνακας πρόσημου για το τριώνυμο Χ2 - 2Χ + 1 και να γραμμοσκιαστεί η περιοχή που το τριώνυμο είναι θετικό. ΑΠ: Το τριώνυμο Χ2 - 2Χ + 1 έχει: Α = 1 > 0. Δ = διακρίνουσα = 0 οπότε έχει δύο ίσες ρίζες Χ1 = Χ2 = 1. Δηλαδή το αρχικό τριώνυμο είναι θετικό (+) για κάθε Χ εκτός από το Χ = 1 όπου μηδενίζεται.

Δ = διακρίνουσα = -3 < 0 οπότε δεν έχει ρίζες. Να γίνει πίνακας πρόσημου για το τριώνυμο Χ2 - Χ + 1 και να γραμμοσκιαστεί η περιοχή που το τριώνυμο είναι θετικό. ΑΠ: Το τριώνυμο Χ2 - Χ + 1 έχει: Α = 1 > 0. Δ = διακρίνουσα = -3 < 0 οπότε δεν έχει ρίζες. Δηλαδή το αρχικό τριώνυμο είναι θετικό (+) για κάθε Χ.

Να λυθεί η ανίσωση: ο ο

Να λυθεί η ανίσωση: Χ -∞ 1 +∞ Χ2 - 2Χ + 1 + 0 +

Να λυθεί η ανίσωση: Χ -∞ +∞ Χ2 - Χ + 1 +

Να λυθεί η ανίσωση: Χ -∞ +∞ Χ2 - Χ + 1 +

Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 5Χ + 4 ≥ 0 Να λυθεί η ανίσωση Χ2 + 5Χ + 4 ≥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΟΛΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ: Α = 1 > 0 → (πρόσημο του Α είναι το +) Β = 5 Γ = 4 Δ = Β2 – 4ΑΓ = 52 – 4.1.4 = 25 – 16 = 9 > 0 → (πρόσημο του Δ είναι το +) ο -5 - 3 -8 = = -4 2 2 -Β ± Δ -5 ± 9 -5 ± 3 Χ = = = = 2 2Α 2.1 -5 + 3 -2 = = -1 2 2 Χ -∞ Χ1 Χ2 +∞ ΑΧ2 + ΒΧ + Γ Όταν Δ > 0 Ομόσημο του Α Ετερόσημο του Α ο ο Χ -∞ -4 -1 +∞ Χ2 + 5Χ + 4 + _ ο ο ← Από την εκφώνηση της άσκησης έχω ≥ 0 δηλαδή + ή 0, οπότε λύση της ανίσωσης είναι το γραμμοσκιασμένο μέρος του πίνακα με το + μαζί με τις ρίζες -4 και -1 για τις οποίες το τριώνυμο μηδενίζεται.

Πως γίνεται γινόμενο το τριώνυμο ΑΧ2 + ΒΧ + Γ ; ΑΠ: Βήμα 1: Βρίσκω την διακρίνουσα με τον τύπο: Δ = Β2 – 4ΑΓ ≥ 0 Χ1 -Β ± Δ Βήμα 2: Βρίσκω τις ρίζες με τον τύπο: Χ1,2 = = 2Α Χ2 Βήμα 3: ΑΧ2 + ΒΧ + Γ = Α(Χ - Χ1)(Χ - Χ2) = γινόμενο Προσοχή: Αν Δ < 0 το τριώνυμο δεν γίνεται γινόμενο.

Να γίνει γινόμενο το τριώνυμο Χ2 - 5Χ + 6 ΑΠ: Α = 1 Β = -5 Γ = 6 Δ = Διακρίνουσα = (-5)2 - 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0 5 - 1 4 = = 2 2 2 -(-5) ± 1 5 ± 1 Χ1 , 2 = = = 2.1 2 5 + 1 6 = = 3 2 2 Χ2 - 5Χ + 6 = Α(Χ - Χ1)(Χ - Χ2) = 1.(Χ – 2)(Χ – 3) = (Χ - 2)(Χ - 3) = γινόμενο.

Πως κάνω γινόμενο αλγεβρικές παραστάσεις ; ΑΠ: * 5Χ + 5Ψ + 5Ω = {βγάζω κοινό παράγοντα το 5 } = 5(Χ + Ψ + Ω) = γινόμενο του 5 με το (Χ + Ψ + Ω). * 2Χ2 + 10Χ + 12 = {βγάζω κοινό παράγοντα το 2} = 2(Χ2 + 5Χ + 6) = γινόμενο του 2 με το Χ2 + 5Χ + 6. * 2Χ3 + 10Χ2 + 6Χ = {βγάζω κοινό παράγοντα το 2Χ} = 2Χ(Χ2 + 5Χ + 3) = γινόμενο του 2, του Χ και του Χ2 + 5Χ + 3. * Χ2 - Ψ2 = {χρησιμοποιώ την ταυτότητα α2 – β2 = (α – β)(α + β) } = (Χ - Ψ)(Χ + Ψ) = γινόμενο. Χ2 - 9 = Χ2 - 32 = {χρησιμοποιώ την ταυτότητα α2 – β2 = (α – β)(α + β) } = (Χ - 3)(Χ + 3). * αχ + βχ + αψ + βψ = {παίρνω ομάδες που έχουν κοινό παράγοντα } = (αχ + αψ) + (βχ + βψ) = = α(χ + ψ) + β(χ + ψ) = {βγάζω κοινό παράγοντα το χ + ψ } = (χ + ψ)(α + β). * * Χ3 – ΒΧ2 – Α2Χ + Α2Β = { παίρνω κατά ομάδες } = (Χ3 – ΒΧ2 ) + ( - Α2Χ + Α2Β) = Χ2(Χ - Β) - Α2 (Χ - Β) = = (Χ – Β)(Χ2 - Α2 ) = { παίρνω την επάνω ταυτότητα} = (Χ – Β)(Χ – Α)(Χ + Α) * Χ2 – 5Χ + 6 = { Α = 1 , Δ = διακρίνουσα = 1 , ρίζες Χ1 = 2 , Χ2 = 3 } = Α(Χ – Χ1)(Χ – Χ2) = 1(Χ – 2)(Χ – 3) = = (Χ – 2)(Χ – 3).

Πως απλοποιώ αλγεβρικές παραστάσεις; ΑΠ: (Χ2 - 5Χ + 6)(Χ + 3) = { Κάνω γινόμενο τον αριθμητή και τον παρανομαστή } = Χ2 - 9 (Χ – 2)(Χ – 3)(Χ + 3) (Χ – 2)(Χ – 3)(Χ + 3) (Χ – 2)(Χ – 3)(Χ + 3) (Χ – 2) = = Χ - 2 = = = (Χ - 3)(Χ + 3) (Χ - 3)(Χ + 3) 1 Χ2 - 32 Προσοχή: Πρέπει οι παρανομαστές, να είναι όλοι διάφοροι από το 0  Χ ≠ ± 3

Πως λύνω εξίσωση γινομένου: (Χ – 8)(24 – 6Χ)(Χ2 – 5Χ + 6 ) = 0  { Θέτω κάθε παράγοντα του γινομένου, ίσο με το 0 }  ή Χ – 8 = 0  Χ = 8. ή 24 – 6Χ = 0  -6Χ = -24  Χ = -24/-6  Χ = 4.  ή Χ2 – 5Χ + 6 = 0  { εξίσωση τριωνύμου, Δ = διακρίνουσα = 1 }  Χ1 = 2 , Χ2 = 3. Τελικά: Χ1 = 8, Χ2 = 4, Χ3 = 2, Χ4 = 3

Πως βλέπω που συναληθεύουν πολλές ανισώσεις ταυτόχρονα, δηλαδή ποια είναι η κοινή λύση τους; ΑΠ: Βήμα 1: Λύνω κάθε ανίσωση χωριστά. Βήμα 2: Βρίσκω την κοινή περιοχή (αν υπάρχει) που είναι ταυτόχρονα λύση σε όλες τις ανισώσεις.

Να βρεθεί που συναληθεύουν οι ανισώσεις: 5Χ – 10 > 0 2Χ – 12 < 6 ΑΠ: 2Χ – 12 < 6  2Χ < 6 + 12  2Χ < 18  2Χ < 18  Χ < 18/2  Χ < 9 5Χ – 10 > 0  5Χ > 10  Χ > 10 / 5  Χ > 2 +∞ -∞ 2 9 Οι ανισώσεις συναληθεύουν στην περιοχή (2 , 9)  2 < Χ < 9 Παρατηρώ ότι υπάρχει περιοχή (γραμμοσκιασμένη) όπου υπάρχουν ταυτόχρονα δύο ευθείες παράλληλες με τον άξονα.

Να βρεθεί που συναληθεύουν οι ανισώσεις: 5Χ – 10 > 0 2Χ – 12 < 6 10 Χ < 30 ΑΠ: 2Χ – 12 < 6  2Χ < 6 + 12  2Χ < 18  2Χ < 18  Χ < 18/2  Χ < 9 10Χ < 30  Χ < 30/10  Χ < 3 5Χ – 10 > 0  5Χ > 10  Χ > 10 / 5  Χ > 2 +∞ -∞ 2 3 9 Οι ανισώσεις συναληθεύουν στην περιοχή (2 , 3)  2 < Χ < 3 Παρατηρώ ότι υπάρχει περιοχή (γραμμοσκιασμένη) όπου υπάρχουν ταυτόχρονα τρεις ευθείες παράλληλες με τον άξονα.

Να βρεθεί που συναληθεύουν οι ανισώσεις: 5Χ – 10 > 0 2Χ + 2 < -6 ΑΠ: 2Χ + 2 < -6  2Χ < -6 - 2  2Χ < -8  2Χ < -8  Χ < -8/2  Χ < -4 5Χ – 10 > 0  5Χ > 10  Χ > 10 / 5  Χ > 2 +∞ -∞ -4 2 Οι ανισώσεις δεν συναληθεύουν. Παρατηρώ ότι δεν υπάρχει περιοχή όπου να υπάρχουν ταυτόχρονα δυο ευθείες παράλληλες με τον άξονα.

Να βρεθεί που συναληθεύουν οι ανισώσεις: 5Χ – 10 > 0 2Χ – 12 < 6 10 Χ < -30 ΑΠ: 2Χ – 12 < 6  2Χ < 6 + 12  2Χ < 18  2Χ < 18  Χ < 18/2  Χ < 9 10Χ < -30  Χ < -30/10  Χ < -3 5Χ – 10 > 0  5Χ > 10  Χ > 10 / 5  Χ > 2 +∞ -∞ -3 2 9 Οι ανισώσεις δεν συναληθεύουν. Παρατηρώ ότι δεν υπάρχει περιοχή όπου υπάρχουν ταυτόχρονα τρεις ευθείες παράλληλες με τον άξονα.